Resumo Transmissão de calor I

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Transmissão de calor I 
 
1. INTRODUÇÃO 
 
O curso de transmissão de calor interessa, por exemplo, quando uma peça de 
material qualquer está sendo fundida, ou uma sala a ser condicionada ou um motor a ser 
refrigerado. 
 
Definindo calor (Q) como a energia trocada (explicada pelas teorias de Planck 
ou Maxwell) na presença de um gradiente de temperaturas ( ∇ T ou dT/dx), a 
termodinâmica clássica lida a maneira com que esta energia altera as propriedades 
(dependentes e independentes) de um sistema (os quais podem ser aberto, fechado ou 
isolado) no estado de equilíbrio. Em outras palavras, discute-se a troca de calor que 
acontece na presença de uma diferença de temperatura entre dois pontos. 
 
Em transmissão de calor se vê como estes dois pontos interagem. Em 
transmissão de calor se está mais interessado em taxas de troca de calor (watt = J/s) e 
não em trocas de energia (joule = N.m). 
 
A equação mais importante da termodinâmica é a Primeira lei da termodinâmica, 
sendo igual a: 
 
. .e e e e G s s s sQ W m e q Q W m e U+ + + − − − = ∆ .... (Eq. 1.1) 
 
Onde os índices e e s significam entrada e saída do sistema, respectivamente. 
O primeiro termo representa o calor que entra através da fronteira (Qe), o segundo é o 
trabalho que entra (We; entenda-o como trabalho de fronteira, de eixo ou elétrico), o 
terceiro é a energia quer seja cinética, potencial ou de pressão, contida em uma massa, 
m), qG = calor gerado pelo corpo devido à: reações químicas, por exemplo exotérmicas, 
endotérmicas, ou efeito Joule etc. 
∆U é a variação de energia interna (U) sofrida pelo sistema, ou seja: 
 
. . corpo
dT
U m c calor sensível
dt
∆ = .... (Eq. 1.2) [Está aquecendo ou resfriando] 
. corpo
E
h
U m calor latente
dt
∆
∆ =
.... (Eq. 1.3) [Está mudando de fase (p.e.: líq→gás)] 
 
A primeira lei vale para uma “coisa” (objeto bem definido), ou seja, um volume, 
uma superfície (área), uma linha ou um ponto. 
 
A 1ª lei também sugere, simplificadamente, que a energia (na forma de Q ou 
trabalho, W) não é criada e sim, transformada. 
 Considerando um sistema fechado (m´ = 0) aplicada a um volume (V) constante, 
tem-se: 
ji
i j
dWdQ
E
dt dt
Σ − Σ = ∆ .... (Eq. 1.1´) 
 
 As duas grandezas (Q e W) estão aplicadas à razão 
d
dt
. Porém, esta formulação 
deve ser aplicada ao estado de equilíbrio do sistema termodinâmico. 
 
Os valores de variação temporal destas taxas, assim como sua dependência do 
tipo de meio e da superfície de absorção/ emissão de calor, não são aqui consideradas, 
só em transmissão de calor. 
 Existem três modos de troca de calor: Condução, convecção e radiação 
(condução e radiação podem ocorrer isoladamente). Convecção já envolve condução de 
Q com transporte de massa. (na verdade não é fácil separá-las, mas é mais didático). 
Processos mais sofisticados, como ebulição e condensação, envolvem condução, 
transporte de massa e mudança de fase. 
 
 
2. MODOS DE TROCA DE CALOR 
 
2.1. CONDUÇÃO 
 
 Condução de calor (qk) é o processo de troca de energia (de um sistema, ou 
partes do mesmo) em diferentes temperaturas que ocorre pela interação molecular, na 
qual moléculas de alto nível energético transferem energia, pelo impacto, às outras de 
menor nível, gerando uma onda térmica, cuja velocidade de propagação depende da 
natureza da matéria. 
É um processo pelo qual o calor flui de uma região de temperatura (T) mais alta 
para outra de T mais baixa, dentro de um meio (sólido, líquido ou gasoso) ou entre 
meios diferentes em contato físico direto. (por ex.: ar no capô do carro). 
 A energia (Q) do corpo de T mais alta agita as moléculas do corpo de T mais 
baixa, fazendo com que a cinética média das moléculas deste último se eleve, 
aumentando assim, sua energia interna específica (u). 
 Processo que também é chamado de difusão do calor. Em metais este processo é 
acelerado devido aos elétrons livres, quando excitados, afastam-se da face mais 
aquecida. Isto explica porque bons condutores elétricos são bons condutores térmicos. 
(Exceção é o diamante, que é um isolante elétrico, mas é melhor condutor térmico que a 
prata e o cobre). 
 
Para sólidos não metálicos, devido à inexistência dos elétrons livres, o 
mecanismo básico de condução de calor está associado às vibrações das estruturas 
eletrônicas. Gases e líquidos não têm elétron livres e só podem trocar energia pela 
interação molecular e eletrônica (daí não serem tão bons condutores de calor). 
 
Segundo a definição do cientista J.B.J. Fourier, 1882, a quantidade de calor 
transmitida por condução segue a seguinte lei: 
 
. .k
dT
q k A
dx
= − .... (Eq. 2.1) 
Onde: k = condutividade térmica, A = área (perpendicular ao fluxo de calor), 
dT
dx
= 
gradiente de T na seção. 
 Nesta formulação, toma-se como convenção a direção do aumento na 
coordenada x como fluxo positivo de Q. 
 Aplicando a fórmula de Fourier para parede plana em regime permanente, 
sem geração interna de calor (qg), resulta: . .k
T
q k A
L
∆
= − . Onde L é a espessura da 
parede, conforme visto na figura 2.1. 
 Reposicionando os termos 
.
L
A k
 chama-se resistência térmica à condução ( )kR . 
 .... ( . 2.2) .... ( . 2.3)
.k k k
L T
R Eq q Eq
A k R
∆
= ∴ = 
Estas formas de equações simplificam bastante os problemas de transmissão de 
calor, como será visto a partir da seção 3 deste trabalho. 
 
Conhecer o fluxo de Q é fundamental para compreensão, especificação e 
melhorias em trocadores de calor, caldeiras, condensadores, ar-condicionados, 
cafeteiras, ferro de passar etc, o que por sua vez implica em custos também. 
 
Em diversos casos, k se altera conforme a T (resolve-se por aproximação linear). 
Para alguns metais, k diminui com a T, ao passo que para gases e materiais isolantes ela 
aumenta com a T. A condutividade k varia com a anisotropia. 
 
Modos básicos de transmissão de calor por CONDUÇÃO: 
 
Equação de Fourier: . .k
dT
q k A
dx
= − 
- Parede plana: 
Diagrama linear: 2 1
T TdT T
dx x L
−∆
= =
∆
 
 
Figura 2.1: Representação de uma parede plana, um tijolo por exemplo. 
 
A Resistência térmica de uma parede pode ser calculada por: 
.k
L
R
k A
= .... (Eq. 2.2) 
OBS 1: Para parede plana, regime permanente e sem geração de calor, o fluxo de calor 
pode ser calculado através da derivada da reta ∆T/∆x (vermelha), conforme abaixo. 
 
Figura 2.2: Parede plana, em regime permanente (R.P.) e sem qG. 
OBS 2: Pode-se ter associação de paredes planas. Estas serão tratadas como sendo em 
série e/ou paralelo, conforme subseção 3.1.2 deste trabalho. 
Da associação surge o conceito da resistência de contato (Rcont), a qual trata das 
imperfeições entre as superfícies. 
 
- Parede Cilíndrica (condução radial): 
 
 
Figura 2.3: A parede pode ser cilíndrica, conforme a representação acima. 
A Resistência térmica de um cilindro pode ser calculada por: 
0ln
2. . .
i
k
r
r
R
L kπ
 
 
 = .... (Eq. 2.4) 
 
- Parede Esférica (condução radial): 
 
 
Figura 2.4: A parede pode ser esférica, conforme a representação acima. 
 
A Resistência térmica de uma esfera pode ser calculada por: 0
04. . . .
i
k
i
r r
R
k r rπ
−
= .... (Eq. 2.5) 
Onde, 
k = condutividade térmica do material 
A = área perpendicular ao fluxo de calor 
qk = fluxo de calor por condução 
dT
dx
= gradiente de temperatura na direção x. 
L = espessura da parede/comprimento do cilindro 
r0 = raio externo 
ri = raio interno 
Rk = resistência térmica à condução. 
 
2.1.1. Exercícios básicos de condução 
 
1. Deseja-se dissipar 1840 W por uma parede cujas dimensões não podem ser 
maiores do que 0,08 m2 e espessura de 0,1 m. A face da esquerda não pode 
ultrapassar 110 °C e a da direita não pode cair abaixo de 40 °C, determine a 
condutividade do material a ser utilizado. (R.: 32,8 W/m.K) 
 
 
2. A parede de um forno industrial é construída de tijolo refratário com 15 cm de 
espessura, cuja condutividade térmica é de 1,7 
.
W
m K
. Medidasfeitas ao longo da 
operação em regime estacionário revelam temperaturas de 1400 e 1150 K nas 
paredes interna e externa, respectivamente. Qual a taxa de calor perdida através 
de uma parede que mede 0,5 x 1,2 m? (R.: 1700 W) 
 
3. Calcule a temperatura da superfície externa de uma tubulação de um metro de 
comprimento, contendo em seu interior vapor de água a 100 °C, cujo diâmetro 
externo é de 70 mm e o interno 60 mm. Dados: Condutividade térmica = 30 
.
W
m K
 e QT = 2.000 W. (R.: 98,5 °C) 
 
2.1.2 Equação da condução de calor (ou equação da difusão de calor) 
 
 As equações a seguir tratam da distribuição de temperaturas dentro de qualquer 
sólido ao longo do tempo. 
 Os primeiros três termos das equações abaixo são as coordenadas (operador 
laplaciano 2∇ ). O quarto termo do lado esquerdo é o calor gerado (energia interna 
desprezível ou não). O lado direito é a parte transiente (∆T/∆t), esquentando ou 
resfriando com o tempo. Em outras palavras, o segundo termo da equação é zero quando 
o regime for permanente. 
 Só uma coordenada (x, y ou z) será importante quando houver condição 
unidimensional. As coordenadas podem ser divididas nas três geometrias já 
mencionadas, conforme abaixo: 
 
• Coordenadas cartesianas 
 
2 2 2
2 2 2
1
.g
qT T T T
x y z k tα
∂ ∂ ∂ ∂
+ + + =
∂ ∂ ∂ ∂
 .... (Eq. 2.6) 
 
 
• Coordenadas cilíndricas 
 
2 2
2 2 2
1 1 1
. . . . .g
qT T T T
r
r r r r z k tφ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
+ + + = 
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ 
.... (Eq. 2.7) 
 
 
• Coordenadas esféricas 
 
2
2
2 2 2 2
1 1 1 1
. . . . . . . .
. .
gqT T T Tr sen
r r r r sen r sen k t
θ
θ θ θ θ φ α
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
+ + + =   
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂   
.... (Eq. 2.8) 
 
 
Onde α é a difusividade térmica. 
2
. p
k m
c s
α
ρ
 
=  
 
; k = condutividade térmica, ρ = 
massa específica (densidade) e cp = calor específico a pressão constante. 
 
A seqüência de resolução dos problemas usando a equação da difusão do calor é: 
Quando houver geração interna de calor, qg diferente de zero. 
Isolar as derivadas e depois integrar os dois lados. 
Integrar de novo quando necessário. 
 
Todos os exercícios terão condições de contorno para acharmos C1 e C2 se as integrais 
não forem definidas. 
 
As condições de contorno mais utilizadas: 
• Para x = .... T = .... 
• Para x = .... 0
dT
dx
= (máximo ou mínimo) 
• Para x = isolamento 0
dT
dx
= 
• q(x) = conhecido q = -k.A. 
dT
dx
 
para x = ... ....
dT
dx
= 
 
2.1.2.1 Exercícios 
 
1. Considere que a placa da base de um ferro de passar de 1200 W tenha espessura de 
0,5 cm, área da base igual a 300 cm2 e a condutividade térmica 15 W/m.K. A superfície 
interna da placa é submetida a um fluxo de calor uniforme, gerado pela resistência 
elétrica interna, enquanto a superfície externa perde calor para o meio (de temperatura 
20 °C) por convecção, como indicado na figura abaixo. Assumindo que o coeficiente de 
transferência de calor por convecção seja de 80 W/m2.K e desprezando a perda de calor 
por radiação, obtenha uma expressão para a variação de temperatura na placa da base do 
ferro. A expressão deve ser do tipo T = T(x), onde T deve estar obrigatoriamente em °C 
e x em metros. Determine também a temperatura em x = 0 e x = L (no detalhe, indique 
graficamente o resultado na placa). A orientação do sistema de coordenadas está 
indicada na figura e não pode ser alterado. Supondo operação em regime permanente e 
troca de calor unidimensional (apenas na direção x). Indique claramente quais são os 
termos a serem desprezados na equação da condução e as hipóteses simplificadoras 
adotadas. (R.: T = - 2666,7.x + 533,3) 
 
 
2. A usina termonuclear de Angra II queima combustível através de uma reação nuclear 
de fissão para gerar o calor necessário para produzir vapor superaquecido. O 
combustível está na forma de dióxido de urânio (de condutividade térmica igual a 4 
W/m.K). O núcleo do reator é composto de dezenas de milhares de varetas cilíndricas 
de combustíveis com 8 mm de diâmetro e 3,63 m de altura, podendo ser considerado um 
cilindro muito longo. Considere uma vareta combustível média onde as reações de 
fissão geram uma produção uniforme interna de calor de qg = 4,3.10
8 W/m3 e induzem 
uma temperatura na sua superfície de 540 °C. Determine, em regime permanente e 
condução radial, a temperatura máxima do combustível que ocorre no centro do 
cilindro. (R.: 970 °C) 
 
 
 
3. Considere uma esfera homogênea (maciça e confeccionada completamente do mesmo 
material) de raio externo 40 mm composta de um material radioativo que gera calor a 
uma taxa uniforme e constante de 4.107 W/m3. O calor gerado é dissipado 
constantemente para o ambiente. A superfície externa da esfera é mantida a uma 
temperatura uniforme de 80 °C e a condutividade térmica da esfera é de 15 W/m.K. 
Assumindo que a transferência de calor é unidimensional e permanente: 
a) Obtenha uma expressão da temperatura (°C) em função do raio da esfera (m); 
b) Determine a temperatura no centro da esfera. 
(R.: -444.444,4.r2 + 791,11 e 791,11°C) 
 
 
4. Em certos instantes de tempo, a distribuição de temperaturas em uma parede com 0,3 
m de espessura é T = a + b.x + c.x2, onde a temperatura está em graus Celsius e a 
coordenada independente (x) em metros, a = 200 °C, b = -200 °C/m e c = 30 °C/m2. A 
parede possui uma condutividade térmica de 1 W/m.K. Admita troca de calor 
unidimensional e área de troca de calor unitária para ambas as faces da parede. 
Despreze os efeitos de troca de calor por radiação. Determine: 
 
a) A taxa de transferência de calor na face em x = 0 m (face esquerda) e também em x = 
0,3 m (face direita) indique se em cada uma das faces a parede está recebendo ou 
cedendo calor ao meio externo. (R.: 200 W – recebendo e 182 W – cedendo) 
 
b) Se a superfície “fria” estiver exposta a um fluido a 100 °C, qual é o coeficiente de 
transferência de calor por convecção? (R.: h = 4,26 W/m2.K) 
 
c) Nas condições apresentadas, indique (justificando) se o regime é permanente, e em 
caso negativo, se a placa está aquecendo ou resfriando com o tempo. (R.: Como a 
parede recebe maior quantidade de calor (energia) na face esquerda do que perde pela 
face direita, há aumento de temperatura com o tempo). 
 
 
5. Condução unidimensional (apenas na direção x), em regime permanente, com 
geração interna uniforme de calor (igual a 0,01 W/cm3) ocorre em uma parede plana 
com espessura de 85 mm e uma condutividade térmica constante igual a 0,5 W/m.K. 
Nessas condições, a distribuição de temperatura na placa segue a equação: 
( )2 12
1
.
. .
2. 2.
g gq q LT TT x x T
k L k
 −
= − + + + 
 
. O coeficiente de transferência de calor por 
convecção do lado esquerdo e do lado direito valem respectivamente, 20 e 10 W/m2.K. 
Despreze os efeitos da radiação térmica. Sabendo que T1 igual a 25 °C, determine: 
a) A temperatura T2 (na face direita da placa com x = 85 mm). (R.: 65 °C) 
b) A temperatura máxima na placa e sua localização (valor da coordenada x). (R.: x = 
66,03 mm; Tmáx = 68,6°C) 
 
 
 
6. O reator IEA-R1 é um reator nuclear de pesquisa que utiliza elementos combustíveis 
do tipo placa (uma ilustração do núcleo pode ser observada na figura com cotas em 
milímetros). O reator está localizado no IPEN – SP. Sabendo que será testado um novo 
tipo de material nuclear no cerne de seu combustível U3O8Al (k = 20 W/m.K) e que a 
temperatura não deve ser superior a 80°C (em nenhuma localização do cerne). Cálculos 
de neutrônica indicaram um valor para a geração de calor (no cerne) de valor igual a 
2.108 W/m3 (uniforme). O valor do coeficiente de transferência de calor por convecção 
para a vazão de fluido refrigerante no núcleo é de 3265 W/m2.K, a condutividade 
térmica do alumínio de revestimento é igual a 239 W/m.K. Admita transferência de 
calor permanente e unidimensional. 
a) Determine qual deverá ser a temperatura média do fluido refrigerante. (R.: 41,25°C) 
b) Faça um gráfico da variação da temperatura na placa indicada na seção. 
 
 
 
7. Condução bidimensional, emregime permanente, ocorre em um sólido cilíndrico oco 
de condutividade térmica 16 W/m.K, raio externo igual a 1 metro e comprimento total, 
L = 2.ze = 5 m. A origem do sistema de coordenada encontra-se localizada no meio da 
linha de centro do cilindro. A superfície interna do cilindro (localizada em r = ri) é 
isolada termicamente e a distribuição de temperaturas no cilindro obedece a seguinte 
equação: T = -0,4 – 3.r2 + 0,24.ln(r) + 6.z2. A coordenada radial r e a coordenada 
longitudinal z estão em metros e a temperatura T em °C. Determine: 
a) O raio interno, ri, do cilindro. (R.: 0,2 m) 
b) Obtenha uma expressão (ou o valor) para a taxa volumétrica de geração de calor qg 
nas unidades do S.I. (R.: zero) 
 
 
8. Considere uma esfera homogênea (maciça e confeccionada completamente de mesmo 
material) de raio externo 40 mm composta de um material radioativo que gera calor a 
uma taxa de geração de calor não uniforme: qg = 3.10
7.r. Onde r é uma coordenada 
radial medida a partir do centro da esfera. O calor gerado é dissipado constantemente 
para o ambiente. A superfície externa da esfera é mantida a uma temperatura uniforme 
de 80°C e a condutividade térmica da esfera é de 5 W/m.K. Assumindo que a 
transferência de calor é unidimensional e permanente, determine: 
 
a) Uma equação para a distribuição de temperatura T (°C) na esfera em função do raio r 
(m). (R.: T = -5.105.r3 + 112) 
 
b) A taxa de transferência de calor através da superfície da esfera. (R.: 241,27 W) 
 
c) Um gráfico de taxa de transferência de calor (W) versus posição radial r (m) para a 
esfera. (calculando os valores para r em intervalos de 0,01 m) 
 
d) Supondo que a superfície da esfera possa trocar calor exclusivamente com um fluido 
de condutividade térmica igual a 0,6 W/m.K, determine o gradiente de temperatura no 
fluido junto a superfície da esfera. 
0,04r m
dT
dr =
 
 
 
(R.: -20.000 K/m) 
 
 
9. A superfície exposta (x = 0) de uma parede plana, com condutividade térmica k, está 
sujeita à radiação de microondas, causando um aquecimento volumétrico (semelhante à 
geração interna de calor) que varia segundo: qg = 0. 1
x
q
L
 
− 
 
, onde q0 [W/m3] é uma 
constante. A fronteira da placa em x = L está perfeitamente isolada, enquanto a 
superfície exposta é mantida a uma temperatura constante T0. Determine a distribuição 
de temperatura T(x) em termos de x, L, k, q0 e T0. (R.: 
2 3
0 0
0
.
. .
2 6. 2.
q q Lx x
T x T
k L k
 
= − − + + 
 
) 
 
10. Um sólido de formato cônico (truncado) possui seção transversal circular e o seu 
diâmetro está relacionado à coordenada axial (x) através de uma expressão: D = 
3
2x 
(com o diâmetro e a coordenada axial em metros). A superfície lateral é isolada 
termicamente, enquanto a superfície superior é mantida a 100 °C, a inferior é mantida a 
20 °C. Determine a taxa de transferência de calor através do cone. Admita regime 
permanente sem geração interna de calor e transferência de calor quase unidimensional. 
A condutividade térmica do alumínio é 238 W/m.K. (R.: 189,26 W) 
 
 
 
 
2.2. CONVECÇÃO 
 
É o processo de transporte de energia pela ação combinada da condução de Q, 
armazenamento de energia e movimento de mistura. Importante principalmente quando 
se tem um fluido interagindo com uma superfície sólida. Para os fluidos (gases e 
líquidos) o principal mecanismo de troca de calor está associado à movimentação de 
partes macroscópicas. Já que em fluidos, a mobilidade das partículas é grande, 
aquecidas pelo contato direto com a superfície sólida tendem a migrar para locais onde 
as T são mais baixas. Esta movimentação acarreta uma transferência de energia de uma 
posição para outra, caracterizando a transmissão de calor por convecção. 
Outra coisa interessante é que à medida que o líquido vai esquentando, começa a 
se movimentar mais rápido. 
Aumenta-se a troca de Q se houver movimento relativo entre um corpo e o 
fluido que o cerca, estando em diferentes T. Este tipo de mecanismo de troca de calor, 
envolvendo contato térmico entre fluido em movimento relativo e uma superfície é 
chamado convecção. 
Quando o movimento do fluido for criado artificialmente, por uma bomba, 
ventilador etc., diz-se que a troca de Q é feita por convecção forçada. (Se não for, se diz 
convecção natural ou livre). 
Em qualquer um destes, o calor trocado por convecção é descrito pela lei de 
resfriamento de Newton: 
 
. . . .( )C s s sq h A T h A T T∞= ∆ = − .... (Eq. 2.9) 
 
Onde, 
 h = coeficiente de troca de calor por convecção, de dimensão 
2. .
J
s L K
 
 
 
, cuja 
unidade no sistema internacional (S.I.) é 
2.
W
m K
 
  
. 
As = área superficial, ou de contato, entre a peça e o meio ambiente (fluido). 
Ts = temperatura superficial da peça. 
T∞ = temperatura do meio ambiente (fluido). 
O conceito de T∞ é da temperatura em um ponto longínquo ao objeto de estudo, 
onde considera-se que a temperatura do meio ambiente é constante no tempo. 
O coeficiente h, ou de película ou filme, é função de geometria, orientação, das 
condições superficiais (p.ex.: bola de golfe), características e velocidade do meio 
ambiente. 
A troca de calor é influenciada pela natureza do fluido, por exemplo água, óleo, 
sal etc. 
Usando-se a definição de condutância térmica (KC) e resistência térmica à 
convecção (RC), resulta: 
 
1
. 
 
C C
C
C
K h A e R
K
T
q
R
= =
∆
∴ =
 
 
Nos casos reais, há a mistura dos três modos de troca de calor e a equação acima 
se torna: 
1 2 3
 
... n
T
q
R R R R
∆
=
+ + + +
 
1 2 3
1
onde o termo 
... nR R R R+ + + +
 é usualmente chamado de coeficiente global de 
transmissão de calor, U. . . q U A T∴ = ∆ .... (Eq. 2.10) 
 
Coeficiente global de transferência de calor (U): Artifício facilitador, pois engloba 
todas as resistências e tudo que ocorre no sistema. 
1
.
. .
eq
U
R A
q U A T
=
= ∆
 
 
2.2.1 Regimes de escoamento 
 
2.2.1.1 Regime laminar 
 
 Um fluido pode apresentar diferentes comportamentos quanto ao movimento 
relativo entre as suas partículas. Quando elas caminham em camadas que não se 
misturam, o regime de escoamento é dito laminar (por exemplo, apenas no eixo x). A 
elevada viscosidade e a baixa velocidade do fluido são as responsáveis pelo 
estabelecimento e manutenção deste tipo de escoamento. Lembre-se da experiência de 
Osborne Reynolds. 
 Em uma tubulação, o regime laminar ocorre quando o número de Reynolds é 
menor do que 2.000. Como se observa pela equação 2.11 abaixo, o número de Reynolds 
é proporcional à velocidade do fluido e inversamente à sua viscosidade. Quando a 
velocidade aumenta, as forças de inércia provocam o deslocamento entre as lâminas e o 
regime laminar tende a se desfazer (por exemplo, movimento das partículas em x e y). 
Por outro lado, a viscosidade elevada de um fluido tende a facilitar o regime laminar, 
superando as forças de inércia. 
 
. .
Re
v Dρ
µ
= ... (Eq. 2.11) 
 
Onde: ρ = massa específica (densidade); µ = viscosidade dinâmica; v = velocidade 
média do fluido na seção de escoamento e D = diâmetro interno da tubulação. 
 
2.2.1.2 Regime turbulento 
 
 Quando a velocidade aumenta (ou a viscosidade diminui), as forças de inércia do 
movimento tendem a superar as forças viscosas e o regime deixa de ser laminar. 
Inicialmente as camadas se descolam, mas não se verifica uma mistura total entre as 
partículas do fluido. Em seguida, com o aumento da velocidade, verifica-se uma mistura 
total e o regime se torna turbulento (por exemplo, movimento das partículas em x, y e 
z). Em tubulações, este regime verifica-se quando o número de Reynolds supera o valor 
de 2.400. Entre 2.000 e 2.400, verifica-se uma fase intermediária, denominada regime 
transitório. 
 
A forma de escoamento de um fluido interfere diretamente no processo de troca 
de calor por convecção, pois neste caso, a transferência de calor é feita através do 
movimento da massa fluida. 
 
Verificandoo escoamento de fluido sobre uma superfície, vê-se que, devido aos 
efeitos viscosos, a velocidade do fluido relativa à superfície é nula, ou seja, o fluido 
adere a superfície. Isto constitui a condição de não deslizamento. Assim, existirá uma 
pequena camada de fluido adjacente à superfície onde o mecanismo de troca de calor é 
condução de Q pura. De maneira mais geral, as regiões onde efeitos viscosos ou de 
difusão são importantes são chamadas de camadas limite hidrodinâmicas (difusão de 
quantidade de movinento) ou térmicas (difusão térmica). No presente caso, é essa 
película ou filme que controla a troca de calor, controlando assim, o valor de h (por isso 
h às vezes é chamado de coeficiente de filme ou película). 
 A agitação tem como efeito quebrar a estratificação, misturando os pacotes 
quentes com os frios. 
 
2.2.1.3 Camada limite 
 
 Sempre que um fluido se movimenta ao longo de uma superfície sólida, a 
primeira partícula se adere a ela, dando origem a uma força viscosa. Forma-se então 
uma camada de fluido de espessura ε de baixas velocidades, onde se estabelece o 
regime laminar. Dentro desta camada, as velocidades são variáveis, aumentando na 
medida em que o fluido se afasta da superfície. 
 A região que sofre interferência com a presença do corpo sólido, denomina-se 
camada limite, e sua formação deve-se à viscosidade do fluido. Esta propriedade faz 
com que uma partícula fluida em movimento arraste as demais com as quais ela está em 
contato. Este movimento vai se transferindo para as camadas mais distantes, com 
intensidade cada vez menor até se anular. 
 A figura 2.5 representa uma placa plana sobre a qual passa um fluido que se 
aproxima com a velocidade uniforme, v0. O ponto A sobre a placa, define a origem de 
um sistema de coordenadas, tendo como abscissa a velocidade v e como ordenada a 
distância y das camadas mais distantes da origem. 
 
Figura 2.5: Uma placa interagindo com um fluido em movimento. 
 
No ponto A, a velocidade é nula porque a partícula está em contato com a placa 
e, na medida em que o ponto se afasta da origem, as velocidades aumentam tendendo à 
velocidade de aproximação v0. No ponto B, a velocidade do fluido é 99% de v0, 
podendo-se afirmar, com erro menor ou igual a 1%, que fora desta região a presença da 
placa não interfere no movimento do fluido. 
Uma linha paralela à placa, passando pelo ponto B, separa duas regiões: Uma 
abaixo desta linha, denominada camada limite e outra, acima dela, denominada região 
de fluido livre, na qual a presença da placa, praticamente não interfere no movimento do 
fluido. A camada limite está representada na figura 2.6. Um fluido pode se movimentar 
de uma forma totalmente irregular, misturando-se as partículas desordenadamente. Este 
tipo de movimento denomina-se regime turbulento, como já foi dito. 
Nas proximidades da placa devido às baixas velocidades, forma-se o regime 
laminar, em que as camadas caminham umas sobre as outras. A espessura da camada 
laminar varia em função da velocidade v0 do fluido que se aproxima da placa, que é a 
mesma da região do fluido livre. 
 
 
Figura 2.6 Representação esquemática da camada limite de um fluido com 
velocidade v0, interagindo com uma placa. 
 
 Qualquer que seja o regime do fluido que se aproxima com a velocidade v0, 
dentro da camada limite formam-se sempre os dois regimes. A espessura ε do filme 
laminar é variável, de acordo com a velocidade v0. Quando esta velocidade é alta, a 
região turbulenta tende a se expandir, diminuindo a espessura da camada laminar. Esta 
espessura é definitiva na troca de calor por convecção. 
 
2.2.2 Escoamento em regime permanente 
 
 Um sistema fluido que interage como o seu meio pode sofrer alterações em todas 
as suas propriedades. No estudo de transmissão de calor, a temperatura é a propriedade 
que mais interessa nesse conceito, pois ela é afetada pelas trocas de calor com o meio. 
 Um sistema funciona em regime permanente em relação à temperatura, quando 
em todos os seus pontos, a temperatura permanece inalterada ao longo do tempo, 
podendo entretanto, variar de um ponto para outro do sistema. Ou seja, quando o objeto 
de estudo não se aquece (calor sensível) ou não muda de fase (calor latente), o regime é 
dito permanente. Isto quer dizer que, se todos os pontos internos ao sistema apresentam 
temperatura constante, também em cada ponto não há variação de energia interna. Não 
havendo variação de energia interna acumulada no sistema, de acordo com a primeira 
lei da Termodinâmica, a quantidade de energia que entra no sistema é igual a que sai, 
durante o mesmo tempo (∆U = zero). 
 
Pode ser dito que: Quando o regime for permanente, o fluxo de calor que entra é 
igual ao que sai e a temperatura interna permanece inalterada em cada ponto, podendo 
variar de um ponto para outro. 
 
 Quando o regime não for permanente se diz que o é regime transiente, nesta 
condição, a temperatura em um mesmo ponto do sistema varia com o tempo, um 
exemplo seria um motor nos segundos decorrentes a sua ignição ou em seu 
desligamento. 
 
 Este tema será tratado no capítulo XX deste livro. 
 
 
Modos básicos de transmissão de calor por CONVECÇÃO: 
 
Equação do resfriamento de Newton: . .C cq h A T= ∆ 
 
Figura 2.7: Representação de uma superfície horizontal em uma determinada 
temperatura, trocando calor com um fluido em outra temperatura, caracterizando a 
convecção do calor. 
A Resistência à convecção pode ser calculada por: 
1
.C C
R
h A
= .... (Eq. 2.11) 
Onde, 
Ch = coeficiente médio de troca de calor por convecção 
A = área de troca de calor 
qC = condução de calor por convecção 
 
 
2.2.3 Exercícios 
 
1. A face direita de uma parede plana, de área igual a 35 cm2, com temperatura de 100 
°C, está em contato com água em convecção forçada, a 25 °C. Determine a taxa de calor 
trocado por convecção. Obs: Utilize o valor médio de h na condição proposta e despreze 
a radiação. (R.: 3 W) 
 
2. Uma tubulação de vapor de água, sem isolamento térmico, atravessa uma sala na qual 
o ar e as paredes se encontram a 25 °C. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, sua 
temperatura superficial é de 200 °C. Despreze a radiação dos corpos. Sendo o 
coeficiente associado à transferência de calor por convecção natural da superfície para o 
ar de 15 
2.
W
m K
, qual é a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de 
comprimento do tubo? (R.: 577, 3 W) 
 
 
2.3. RADIAÇÃO 
 
É o processo de transmissão de calor entre dois corpos separados no espaço, 
ainda que exista vácuo entre eles. 
Conhecido como qr (calor radiante) o calor transmitido por radiação. 
Não há necessidade de contato físico, esta forma de energia se assemelha 
fenomenologicamente, com a radiação da luz, diferindo apenas nos comprimentos de 
onda, a transmissão de calor pode ser explicada pelas hipóteses de Planck, na forma de 
quanta (porções discretamente definidas) de energia ou pela teoria de Maxwell (ondas). 
O estudo da radiação é importante, por exemplo, em uma caldeira, além da energia que 
é transmitida do combustível queimado às paredes da caldeira, existe também uma 
parcela de calor radiante. Existem peças que devem ser adicionadas à ela de forma a 
proteger, por exemplo superheaters. 
 Todos os corpos que possuam temperatura absoluta (Tabs) diferente de 0 K 
emitem calor radiante, a qual será uma função do tipo do corpo etc. 
 Para os corpos chamados irradiadores perfeitos, ou corpos negros, esta 
quantidade de calor é feita em uma taxa proporcional à quarta potência da temperatura 
absoluta (Tabs) do corpo: 
 
4. . .... ( . 2.12)Rq AT Eqσ= 
 , onde σ = constante de Stefan-Boltzmann = 4,88.10-8 
 
2 4. .
kcal
h m K
 ou 5,67.10-8
2 4.
W
m K
. 
 Note que na equação não há meio. 
 De um corpo negro para outro, que o envolve completamente, a máxima troca 
possível de calor por radiação é: 
 
4 4
1 1 2. .( ) , 1 é o corpo envolvido e 2 é o corpo que envolve.Rq A T T ondeσ= −
 
Agrandeza 
1
Rq
A
é chamada de poder emissivo (E) e tem dimensão 
2
W
m
 
  
. Esta 
equação acima só é válida para corpos negros considerados perfeitos. 
Para levar isto em conta, define-se emissividade (ε) que relaciona a radiação da 
superfície real com a ideal. 4 41 1 2 . . .( ) .Rq A T Tε σ∴ = − 
Para identificarmos toda a energia radiante que deixa a superfície devemos 
entender o conceito de energia radiante. Seja a irradiação, G também em 
2
W
m
 
  
, já que 
se trata da quantidade de energia por unidade de área em um determinado ponto sobre a 
superfície em questão. A transmissividade (capacidade de transmissão) de um material é 
função da natureza e da espessura. 
A radiação incidente faz aumentar a energia interna do corpo (indicando energia 
absorvida). Escreve-se: 
 
. . . 1
 .
 .
 .
G G G G onde
fração da energia incidente absorvida
fração da energia incidente refletida
fração da energia incidente transmitida
α ρ τ α ρ τ
α
ρ
τ
= + + + + =
=
=
=
 
 
Agora seja a radiosidade, J, como a soma de todos os componentes de radiação 
que deixam a superfície. 
No regime permanente teremos equilíbrio entre energia absorvida e emitida, 
resultando em T cte. do corpo. 
A emissão de radiação se dá em todas as direções, embora não necessariamente 
de modo uniforme. 
É costume em casos reais aplicar-se o conceito de fator de forma, F1-2. Se duas 
superfícies “se enxergam” elas podem trocar calor, esta é a essência do fator de forma 
ou de vista. Em outras palavras, se alguma parte delas não estiver passível de troca de 
calor, a troca de calor será prejudicada. E assim, fica a equação: 
 
4 4
1 2 1 1 2. . .( )Rq F A T Tσ−= − 
 
Na maior parte dos casos práticos, o Q transmitido por irradiação está em 
conjunto com outras formas de transmissão de Q. Portanto, usa-se a definição de 
condutância térmica (KR – kcal/h.°C) e resistência térmica a irradiação (RR). 
 
4 4
1 2 1 1 2
1
. . .( )
 
2
1
R
R
R
F A T T
K
dT
T
dt
R
K
σ− −=
 
− 
 
=
 
 
A equação acima pode ser escrita como: 
 
2
1
 R
R
dT
T
dt
q
R
 
− 
 = T2 = qualquer T de referência. 
 
Outra definição importante na irradiação é o coeficiente médio de transmissão de 
calor (irradiado), dado por: 
2. .
R
R
R
Kkcal
h
h m C R
 
= ° 
. 
Para determinar o coeficiente combinado de transmissão de calor, hcomb, deve-se 
adotar: hcomb = hC + hR. Apenas quando a T da vizinhança for igual a T do meio. 
 
 
Modos básicos de transmissão de calor por RADIAÇÃO: 
 
Equação de Stefan-Boltzmann da radiação líquida entre dois corpos: 
 
4 4
1 1 1 2. . .( )Rq A T Tε σ= − .... (Eq. 2.13) 
 
Figura 2.8: Calor trocado por radiação entre uma placa e uma vizinhança. 
 
Coeficiente médio de transmissão de calor por radiação: 
4 4
1 2
1 2
. .( )
R
T T
h
T T
ε σ −
=
−
 
Resistência à radiação: 
1
.R R
R
h A
= 
Corpo negros (ideais) possuem emissividade (ε) igual a 1, para os outros corpos este 
valor varia de zero a um. 
 
 
 
2.3.1 Exercícios 
 
1. Uma tubulação de vapor de água, sem isolamento térmico, atravessa uma sala na qual 
o ar e as paredes se encontram a 25 °C. O diâmetro externo do tubo é de 70 mm, sua 
temperatura superficial é de 200 °C e esta possui emissividade igual a 0,8. Quais são o 
poder emissivo da superfície e sua irradiação? Sendo o coeficiente associado à 
transferência de calor por convecção natural da superfície para o ar de 15 
2.
W
m K
, qual é 
a taxa de calor perdida pela superfície por unidade de comprimento do tubo? (R.: E = 
2270 
2
W
m
, G = 447,1
2
W
m
 e QT = 998 W) 
 
 
3. ANALOGIAS ELÉTRICAS 
 
3.1 RESISTÊNCIA TÉRMICA 
 
O conceito de resistência térmica foi apresentado no item 2.1 deste trabalho. Ao 
se reposicionar os termos em qualquer uma das equações de transmissão de calor, é 
possível encontrar o que se chama resistência térmica (R). 
 
A partir deste conceito inicia-se o estudo de isolamentos em cilindros e esferas e 
as analogias com a elétrica. 
 
3.1.1 Raio crítico de isolamento 
 
O conceito de raio crítico de isolamento é útil para calcular a espessura de um 
isolante em cilindros (portanto fios, cabos elétricos etc) e esferas. 
 
 
 
Figura 3.1: À esquerda detalhe da camada de um isolante qualquer. À direita resistência 
térmica (R) do objeto, em função do raio do isolante (r0). 
 
A respeito do raio crítico, olhando o gráfico da figura 3.1 [Resistência térmica 
(R) - raio externo (r0)], percebe-se como aumentar o raio externo do isolamento faz 
aumentar a troca de calor por condução (mais material empregado) e faz diminuir a 
troca por convecção (pois maior será a área de contato com o meio). A curva de 
Resistência TOTAL é a soma das duas e o ponto de inflexão é chamado de raio crítico. 
 
 Abaixo é possível ver como se calcula o raio crítico de um cilindro e de uma 
esfera, respectivamente, além de um resumo do gráfico da figura 3.1, portanto: 
0
0
2.
 
 .
 
cilindro esferaisolamento isolamento
crítico crítico
crítico
crítico
k k
r e r
h h
Se r r o calor dissipado DIMINUI
Se r r o calor dissipado é MÁX
∞ ∞
= =
>
=
0
.
 .crítico
IMO
Se r r o calor dissipado AUMENTA<
 
 
Para se calcular a resistência térmica de condução e convecção em cilindros, 
respectivamente, valem as fórmulas: 
0
0
ln
2. . .
1 1
. .2. . .
iIsolante
K
isolante
C
r
r
R
k L
R
h A h r L
π
π
 
 
 =
= =
 
Analogamente, para calcular a resistência térmica de condução e convecção em esferas, 
respectivamente, valem as fórmulas: 
2
4. . . .
1 1
. .4. .
e i
K
e i
C
r r
R
k r r
R
h A h r
π
π
−
=
= =
 
 
Se o problema pedir a maior troca de calor possível significa que o raio 
externo (r0) é igual ao raio crítico (rc). 
 
3.1.1.1 Exercícios 
 
1. Para cobrir um fio de 10 mm de diâmetro e temperatura externa de 100 °C utiliza-se 
um isolante de condutividade térmica de 0,08 W/m.K. Sendo a temperatura do ambiente 
de 30 °C e o coeficiente de convecção no valor de 10 W/m2.K, pede-se: 
 
a) O raio crítico (R.: 8 mm). 
b) Sendo instalada uma espessura de isolamento de 8 mm, o que irá ocorrer com o fluxo 
de calor? E se for instalada uma espessura de 2 mm? 
c) Qual o máximo fluxo de calor dissipado por metro de fio? (R.: 23,9 W) 
 
 
 
 
2. Um fio de cobre usado para transporte de energia elétrica (de 3 mm de diâmetro e 5 
m de comprimento) é recoberto com uma camada constante de material plástico, cuja 
condutividade térmica é 0,15 W/m.K. Se o fio isolado é exposto a um ambiente de 30 
°C e coeficiente de troca de calor por convecção é 12 W/m2.K, admitindo regime 
permanente determine: 
 
a) A espessura de isolamento para que a temperatura na interface fio/isolamento seja a 
menor possível (nas condições indicadas) sabendo que a potência a ser dissipada pelo 
fio é de 80 W. (R.: 11 mm) 
 
b) O valor da temperatura na interface fio/isolamento na condição do item a. (R.: 83 °C) 
 
 
3. Uma esfera de 14 cm de diâmetro contém rejeitos nucleares que, devido ao 
decaimento dos produtos da fissão geram calor (de modo homogêneo) a uma taxa de 
5.104 W/m3. As esferas são envolvidas em Zircaloy (k = 17,3 W/m.K) que possui 
espessura desprezível. Na superfície do Zircaloy é aplicado um isolante com 
condutividade térmica de 2 W/m.K. Sabe-se que as esferas deverão ficar armazenadas 
em um reservatório que contém água a 20 °C, e se desenvolve um coeficiente de 
transferência de calor por convecção igual a 50 W/m2.K. Determine: 
 
a) A espessura do isolante para que se obtenha a máxima taxa de transferência de calor 
(R. 1 cm) 
 
b) A temperatura na interface rejeito/Zircaloy na condição do item (a). (R.: 43 °C) 
 
Como simplificação assuma: regime permanente, transferência de calor unidimensional 
e resistência de contato desprezível. 
 
 
3.1.2 Analogia elétrica 
 
 É possível usar a analogia elétrica para resolver problemasde transmissão de 
calor quando estes forem unidimensionais, em regime permanente, ausente de fontes 
internas de calor e quando a temperatura inicial e final do circuito forem iguais. 
 
O desenho de resistências térmicas chama-se circuito térmico. 
 
A resolução de exercícios por analogia elétrica se dá através das equações 
abaixo: 
 
O fluxo de calor pode ser calculado como: 
T
Q
R
−∆
=
Σ
 
Resistências em série: 1R
n
eq i iR== Σ 
Resistências em paralelo: 1
1 1
R
n
i
eq iR
== Σ 
Onde: 
Q = fluxo de calor. 
∆T = variação de temperatura. 
R = resistência térmica. (Rk = resistência térmica à condução, RC = resistência térmica à 
convecção e RRad = resistência térmica à radiação). 
ΣR = somatória das resistências térmicas. 
Req = resistência térmica equivalente. 
 
Revisando: 
A partir da equação de Fourier para condução, temos que: 
 
. . 
.
k
dT t t
q k A q
dxdx R
k A
∆ ∆
= − ⇒ = − = − 
 
A partir da equação de resfriamento de Newton para convecção, temos que: 
 
. .( ) 
1
.
s
c
s
t t
q h A T T q
R
h A
∞
∆ ∆
= − ⇒ = = 
 
A partir da equação de Stefan-Boltzmann para radiação, temos que: 
 
 
4 4 1 2
1 2
1 12
. . .( ) 
1
.
rad
J J J
q A T T q
R
A F
ε σ
− ∆
= − ⇒ = = 
Onde: J é a radiosidade e F12 é o fator de forma entre as superfícies 1 e 2. 
 
O fluxo de calor será sempre calculado por estas equações, quer seja para 
paredes planas, cilíndricas ou esféricas. No entanto, a resistência térmica (R) muda para 
cada um destes tipos, de acordo com o resumo abaixo: 
 
 
PAREDES PLANAS 
 
CONDUÇÃO: 
.K
e
R
k A
= 
Onde: 
e = espessura da parede. 
k = coeficiente de condutividade térmica. 
A = área da parede. 
 
CONVECÇÃO: 
1
.C
R
h A
= 
 
Onde: h = coeficiente de película. 
A= área da parede. 
PAREDES CILÍNDRICAS 
 
CONDUÇÃO: 
ln
2. . .
e
i
K
r
r
R
l kπ
 
 
 = 
Onde: 
l = comprimento do tubo. 
k = coeficiente de condutividade térmica. 
re e ri =São os raios externo e interno, respectivamente. 
 
CONVECÇÃO: 
1
.C
R
h A
= 
 
Onde: h = coeficiente de película. 
A= área do tubo = 2.π.r.l 
 
PAREDES ESFÉRICAS 
 
CONDUÇÃO: 
( )1
.
4. . .
e i
K
e i
r r
R
k r rπ
−
= 
Onde: 
k = coeficiente de condutividade térmica. 
re e ri =São os raios externo e interno, respectivamente. 
 
CONVECÇÃO: 
1
.C
R
h A
= 
 
Onde: h = coeficiente de película. 
A= área da esfera = 4.π.r2 
 
 
3.2 EXERCÍCIOS 
 
1: Exercício com analogia elétrica para paredes planas simples. 
2: Exercício com analogia elétrica para paredes planas compostas. 
3: Exercício com analogia elétrica para parede cilíndrica simples. 
4 e 5: Exercícios com analogia elétrica para paredes planas compostas. 
6: Exercício com analogia elétrica para paredes cilíndricas compostas. 
7: Exercício com analogia elétrica para esfera simples. 
8 em diante: Exercícios complexos. 
 
1.
 
 
2.
 
 
 
Note que até aqui os exercícios foram exclusivos de transmissão de calor por 
condução. No próximo exercício, condução e convecção coexistem, mas ainda se 
desprezará a parcela trocada por radiação. 
 
 
3. Exercício parede cilíndrica: Um gás quente à temperatura de 120 °C escoa através 
de uma tubulação de aço carbono de 7,5 cm de diâmetro interno e 0,5 cm de espessura. 
O tubo é isolado com uma camada de fibra de vidro de 5 cm de espessura, cuja 
condutividade térmica vale 0,076 W/m.K. O ar atmosférico que envolve o isolamento 
do tubo está a 28 °C. Determine a taxa de calor, por unidade de comprimento do tubo, 
considerando que o coeficiente de troca de calor no lado interno vale 300 W/m2.K e do 
lado externo vale 3 W/m2.K. Considere a condutividade térmica do tubo como 63,9 
.
W
m K
. (R.: 42,1 W/m) 
 
 
4. Em uma parede plana composta por diferentes materiais, supondo regime 
permanente, calcule o fluxo de calor para uma área de transferência de calor igual a 2 
m2. (Resp.: 579.809 W) 
 
 
5. A temperatura interna de um forno é 1680 °C, a primeira camada da parede do forno, 
conforme a figura abaixo, é de uma camada de tijolo refratário, de condutividade 
térmica 1 W/m.K, seguida de um vão com ar em convecção forçada, considere o 
coeficiente de troca médio o maior possível para esta situação. Após a camada do fluido 
existe uma parede composta de isolamento externo, cuja temperatura não pode ser 
maior do que 140 °C. Com os dados abaixo, calcule o calor perdido considerando a área 
igual a unidade. (Resp.: 754,2 W) 
 
 
 
6. Um gás quente a 123 °C escoa através de uma tubulação de aço, com 1,5 metro de 
comprimento, 6 cm de diâmetro interno e 1 cm de espessura, cuja condutividade térmica 
é 40 W/m.K. Metade do tubo é isolado com uma camada de fibra cerâmica e a outra 
metade com um elastômero, ambas com 5 cm de espessura. Estas possuem 
condutividade térmica de 0,07 e 0,05 W/m.K, respectivamente. O ar atmosférico que 
envolve o tubo está a 25 °C. Determine a taxa de calor trocado, sabendo que o 
coeficiente de troca de calor médio no lado interno vale 200 W/m2.K e do lado externo 
vale 6 W/m2.K. Considere o regime permanente. (Resp.: 59,4 W) 
 
 
7. Uma esfera de prata oca, com diâmetro interno de 5 cm e espessura 0,5 cm, está 
imersa em um fluido cuja temperatura é 30 °C e coeficiente de película médio de 20 
W/m2.K. Supondo que dentro da esfera haja 208 g de vapor de água a 120 °C, cujo calor 
específico, cp vale 4,22 kJ/kg.K. Sendo assim, calcule a taxa de calor trocada em 5 
segundos e o coeficiente de película médio do vapor. (Resp.:15,8 W e 100 W/m2.K) 
 
8. Deseja-se limitar a temperatura superficial da chapa inferior de um ferro de passar em 
674 °C, sabendo que normalmente é deixado sobre a tábua de passar com a sua base 
exposta ao ar, em um ambiente a 20 °C. Estima-se que o coeficiente de transferência de 
calor por convecção médio entre a superfície da base e o ar nas vizinhanças seja de 35 
W/m2K. Se a base tem emissividade 0,6 e uma área de 200 cm2, pede-se determinar a 
potência do ferro. Suponha regime permanente. (R.: 1000 W) 
 
 
9. A energia transferida pela câmara anterior do olho, através da córnea, varia 
consideravelmente com o uso ou não de uma lente de contato. Tratar o olho como um 
sistema esférico e admitir que o sistema esteja em um regime permanente. O coeficiente 
médio de transferência por convecção não se altera pela presença ou ausência da lente 
de contato. A córnea e a lente cobrem um terço da área superficial esférica. 
 
a) Construa o circuito térmico incluindo a lente de contato e desprezando a 
resistência de contato. 
b) Determine a perda de calor pela câmara anterior para o ambiente com a lente de 
contato. (R.: 0,04495 W) 
Dados: 
1 2 3
2 2
10, 2 ; r =12,7 mm; 16,5 ; 37 ;
21 ; 0,35 ; 0,8 ;
. .
12 ; 6 .
. .
C L
r mm r mm Ti C
W W
Te C k k
m K m K
W W
hi he
m K m K
= = = °
= ° = =
= =
 
 
 
10. A figura ilustra esquematicamente um detalhe do sistema de aquecimento do 
reservatório de água de uma cafeteira elétrica. Um aquecedor elétrico dissipa 
(constantemente) uma quantidade equivalente a 80.000 J de energia em 100 segundos 
de operação nas condições descritas a seguir. Tágua = 100 °C, Tar ambiente = 25 °C, 
espessura da chapa de aço é de 2 mm e a do isolante 4 mm. Admita: 
a) regime permanente; 
b) condução de calor unidimensional (apenas na direção x); 
c) aquecedor com temperatura homogênea em todo seu volume; 
d) que os efeitos da radiação térmica possam ser desprezados; 
e) que a troca de calor através dos pés do equipamento possa ser desprezada e que as 
resistências de contato são pequenas. 
 
Dados: Condutividade térmica do aço = 40 W/m.K. 
Condutividade térmica do isolante = 0,06 W/m.K. 
Coeficiente de troca de calor por convecção entre o aço e a água = 3000 W/m2.K. 
Coeficiente de troca de calor por convecção entre o isolante e o ar = 10 W/m2.K. 
Área de contato entre a água e o aço = 180 cm2. 
Área de contato entre o isolante e o ar =180 cm2. 
 
Desenhe o circuito térmico equivalente e determine a temperatura do elemento de 
aquecimento (R.: 116,83 °C) 
 
 
 
11. A figura abaixo representa um molde de vulcanização (60 x 60 x 50 cm) de uma 
peça de borracha em formato de paralelepípedo (20 x 20 x 10 cm) é colocado entre as 
mesas de uma prensa de vulcanização. As temperaturas das mesas, superior e inferior da 
prensa são, respectivamente, 400 e 100 °C. Admita que o molde esteja completamente 
isolado em suas laterais e não perde calor por convecção (este isolamento não está 
representado na figura abaixo), admita também regime permanente e resistências de 
contato desprezíveis, bem como ausência de efeitos de radiação térmica e que a 
condução é unidimensional. São dados: condutividade térmica do aço: 43 W/m.K, a 
condutividade térmica da borracha (a qual preenche toda a cavidade do molde): 0,465 
W/m.K, o custo da energia R$ 0,40 por kW.h. Esquematize o circuito térmico utilizado 
na solução. 
Determine: 
a) o fluxo de calor que atravessa o molde de aço (R.: 8309,5 W) 
b) a menor temperatura na peça de borracha (R.: 112,4 °C) 
c) o custo em energia para produzir a peça que fica em média 25 minutos na 
prensa. (R.: R$ 1,39) 
 
 
 
12. Em um reator nuclear denominado Pebble – BedReactor é utilizado um combustível 
nuclear composto por esferas de 6 cm de diâmetro (esfera 1). O combustível nuclear 
(esfera 1) é composto de 11.000 esferas menores (esfera 2) de 0,6 mm de diâmetro e o 
material que realiza fissão armazenado no centro desta e envolto por uma camada de 
carbono, cada esfera menor transfere, em regime permanente, 0,11 W para o 
combustível nuclear (esfera 1). Também em regime permanente, o núcleo do reator é 
refrigerado por hélio a uma pressão de 80 bar, vazão em massa de 120 kg/s e 
temperatura média de 692,7 °C. O coeficiente de transferência de calor entre o 
combustível nuclear (esfera 1) e o hélio é estimado em 450 W/m2.K. Como uma 
aproximação, suponha regime permanente, transferência de calor unidimensional, 
despreze os efeitos da radiação e do contato entre as esferas. Sendo assim, calcule: 
 
a) A taxa média de geração volumétrica de calor na esfera 1 (R.: 10,699.106 W/m3) 
b) A temperatura externa da esfera 1 (R.: 930,45 °C) 
 
 
 
13. Um secador de cabelos pode ser idealizado como um duto circular através do qual 
um pequeno ventilador sopra ar ambiente, e dentro do qual o ar é aquecido ao escoar 
sobre uma resistência elétrica na forma de um fio helicoidal. O aquecedor foi projetado 
para operar sob tensão de 110 V e corrente elétrica de 5,1 A, para aquecer o ar que está 
na entrada do duto a 20 °C até 45 °C (na saída do mesmo), sabendo que o diâmetro 
externo do duto tem 70 mm e sua temperatura externa é de 40 °C (uniforme) determine, 
quando se estabelece condições de regime permanente, a vazão em massa de ar (em 
gramas por segundo) que passa pelo ventilador. São dados: Comprimento do duto do 
secador: 150 mm, a emissividade superficial do duto do secador igual a 0,8, o 
coeficiente de troca de calor por convecção natural do lado externo do duto igual a 4 
W/m2.K, a temperatura do ar da sala e das vizinhanças igual a 20 °C. Admita que a sala 
tem grandes dimensões e, por este motivo, a temperatura do ar da sala não se altera com 
o tempo. O calor específico do ar é de 1,007 kJ/kg.K e a densidade média do ar vale 1,1 
kg/m3. O duto é confeccionado em material com densidade 2702 kg/m3, condutividade 
térmica de 237 W/m.K e o calor específico de 903 J/kg.K (R.: 20 g/s) 
 
 
 
14. A temperatura dos gases de exaustão que escoam através de uma grande chaminé 
(tubular) de uma caldeira é medida por um termopar prismático regular que se encontra 
no interior de um tubo cilíndrico. A chaminé (tubo) é fabricada com uma folha metálica 
(relativamente fina) que se encontra a uma temperatura uniforme igual a 115 °C e está 
exposta ao ar ambiente a 27 °C e uma grande vizinhança com temperatura igualmente 
de 27 °C. O coeficiente de transferência de calor por convecção associado à superfície 
externa do tubo é igual a 25 W/m2.K e o interno ao tubo vale 12 W/m2.K. O coeficiente 
de transferência de calor por convecção na superfície do termopar vale 73 W/m2.K. A 
emissividade da superfície do termopar e da superfície externa do tubo tem valor igual a 
0,8 (a parte interna do tubo pode ser considerada como um corpo negro). Sabendo que a 
temperatura dos gases no interior do tubo tem valor uniforme Tg, determine a 
temperatura Tt medida pelo termopar. Admita regime permanente e temperatura 
uniforme em todo o termopar. Suponha que as trocas térmicas relevantes neste se dêem 
apenas na porção do mesmo que está no interior do tubo. (R.: 573,3 K) 
 
15. Uma panela de pressão está sendo testada em laboratório e deseja-se obter a vazão 
em massa de vapor de água que sai da válvula durante a operação. No teste, a taxa de 
transferência de calor pelo fundo da panela é igual a 350 W (panela recebendo energia). 
Usando um modelo geométrico simplificado (no qual a panela é aproximada a um 
cilindro de diâmetro igual a 20 cm e a altura igual a 12 cm) determine a vazão em 
massa de vapor lançada no ambiente quando a panela opera a pressão interna absoluta (e 
constante) de 198.530 Pa (abs). Em seus cálculos admita que o ar ambiente e as 
vizinhanças estejam em temperatura de 28 °C. Admita que o coeficiente de 
transferência de calor por convecção interno à panela seja extremamente elevado, que a 
resistência à condução na parede da panela seja desprezível, o coeficiente de 
transferência de calor externo (com ar) tenha valor de 20 W/m2.K e a superfície externa 
da panela tenha emissividade 0,8. O teste é conduzido em condição em que sempre há 
água líquida e vapor no interior da panela. Admita como uma simplificação grosseira a 
hipótese de regime permanente, ou seja, que a mesma quantidade de vapor retirada pela 
válvula é acrescentada de água líquida na temperatura de 120 °C(por uma tubulação 
ligada à panela e não indicada no desenho). Assuma que o fundo da panela só troque 
calor com os gases quentes da combustão. Da tabela de saturação para água, abaixo, 
sabe-se: (R.: 0,03525 g/s) 
 
 
 
4. SUPERFÍCIES ESTENDIDAS - ALETAS 
 
4.1 INTRODUÇÃO 
 
 Em diversos casos de engenharia, usam-se superfícies estendidas para aumentar 
a eficiência da troca de calor, quer na coleta de energia (como nos coletores solares), 
quer na sua dissipação (como em radiadores e até mesmo nos motores; pode-se 
considerar a figura 4.1 como sendo um pedaço da lateral de um motor de motocicleta). 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.1: Representação de uma superfície com duas aletas ortogonais. 
 
Outro exemplo cotidiano seria uma xícara de café quente. Medindo suas 
temperaturas inicial e ao longo do tempo, por exemplo, de dois em dois minutos. Nesta 
situação, observa-se que as superfícies de perda de energia do café são a de contato com 
a xícara (cerâmica) e a superfície livre de contato com o ar ambiente, esteja ele parado 
ou em movimento. Repetir a experiência, mas agora com uma colher de metal dentro, 
ou várias para ficar mais evidente. 
 Ao comparar os dois perfis de temperatura, identifica-se os modos de troca de 
calor e a influência da colher (com ela, estendemos a superfície de contato ou de troca 
de calor). Qual será a influência do material da colher? E da parte submersa? E da 
espessura? Para responder a estas perguntas, precisamos modelar física e 
matematicamente as situações. 
 O princípio físico que justifica o uso de aletas é simples. Ao observar a lei do 
resfriamento de Newton, podemos escrever que: . . . .( )C s s sq h A T h A T T∞= ∆ = − . 
Para aumentar a dissipação de calor podemos aumentar h, As e a diferença de 
temperaturas. O aumento de h pode ser conseguido de diversas maneiras, entre elas, 
aumentando-se a velocidade do fluido ou pela troca do tipo de fluido. Ambas 
alternativas podem ser tão custosas e devem ser bem pensadas. 
 Trocar o fluido certamente ajuda, mas nem sempre podemos trocar o ar ambiente 
quenos cerca por um outro fluido, ainda que água. No estudo de convecção, a 
influência da natureza do fluido é indicada pelo número de Prandtl, Pr
υ
α
= = razão 
entre a difusividade cinemática e a térmica. 
Para aumentar a diferença de T, podemos abaixar a T do fluido ambiente, o que 
poderá ser muito caro pela inexistência de uma fonte natural em temperatura mais baixa 
que o ar ou aumentar a T da superfície primária, podendo ser desastroso também, quer 
pelo aumento das tensões térmicas, quer por um eventual derretimento do material. 
A alternativa mais fácil de conseguir tal aumento é pelo aumento da área 
superficial. As superfícies estendidas são comumente encontradas na forma de aleta ou 
área aletada, presas à superfície da estrutura com o objetivo de aumentar a interação 
entre a dita estrutura e o fluido que a envolve. Elas podem ser de vários tipos, variando 
quanto ao perfil, ao tipo de seção reta etc. Exemplos de superfícies estendidas pela 
natureza são os braços, as orelhas, o nariz etc. Por isto o nariz e orelhas ficam tão 
gelados em um dia frio. 
Nos problemas de transmissão de calor entre dois fluidos, são inúmeros os casos 
de que há uma grande diferença entre a resistência térmica de cada um dos fluidos com 
as respectivas paredes. Tome-se como exemplo a figura 4.2, um fluido quente com 
elevado coeficiente de convecção, movimentando-se dentro de um tubo, sendo este 
envolvido por outro fluido com baixo coeficiente de convecção. Neste caso, 
desprezando-se a resistência térmica do tubo, pode-se escrever ao seguinte fluxo de 
calor: 
 
Figura 4.2: Tubo com aletas retangulares. 
1 2
T
q
R R
−∆
=
+
 1
1 1
1
.
R
h A
= 2
2 2
1
.
R
h A
= ... (Eq. 4.1) 
 
Sendo o coeficiente de convecção h1 >> h2 e as áreas A1 aproximadamente igual 
a A2, verifica-se que a resistência térmica total depende quase que exclusivamente do 
valor da resistência externa. Isto significa que o fluxo de calor tem muita facilidade para 
passar do fluido interno para o tubo, mas muita dificuldade de sair deste para o fluido 
externo. 
Pode-se entretanto, facilitar a saída do calor elevando-se a área em contato com 
o fluido externo, através da instalação de aletas. Pode-se, portanto, entender as aletas 
como expansões metálicas unidas ao tubo, com formatos adequados e regularmente 
espaçados. As aletas podem ter formas diversas, longitudinais, transversais, helicoidais 
etc. 
 
 
4.2 ESTUDO DE UMA ALETA LONGITUDINAL 
 
A figura 4.3 mostra um diagrama indicando a variação da temperatura ao longo 
da altura de uma aleta longitudinal. Na base da aleta, a temperatura coincide com a da 
superfície externa onde ela está fixada. 
 
Figura 4.3: Distribuição de temperaturas em uma aleta longitudinal. 
 
O calor percorre a aleta pelo processo de condução no sentido longitudinal, 
saindo dela através de uma superfície lateral elementar, cuja área é definida por: 
 
2.( . . ) 2.( ).LatdA L dx e dx L e dx= + = + ... (Eq. 4.2) 
 
Onde: 2.(L + e) = perímetro da seção transversal da aleta (Pst). 
 
Sendo a espessura muito menor que o comprimento, o perímetro pode ser calculado 
como Pst = 2.L. 
 
4.2.1 Hipóteses e definições adotadas para uma aleta longitudinal 
 
a) A seção da aleta é retangular e constante. 
b) O regime é permanente. 
c) A aleta recebe calor apenas através da base. 
d) Não há resistência térmica entre o tubo e a base da aleta. 
e) A temperatura do fluido externo é constante uniforme. 
f) A temperatura na base da aleta é igual à temperatura da superfície externa do 
tubo. 
g) O coeficiente de convecção é uniforme ao longo da superfície da aleta. 
h) Considera-se desprezível o fluxo de calor que sai através da extremidade 
superior. 
 
De acordo com as figuras 4.2 e 4.3, são definidos as seguintes grandezas relativas à 
aleta: 
 
L = comprimento. 
l = altura. 
e = espessura 
Ast = área da seção transversal = L.e 
Pst = perímetro da seção transversal = 2.L 
P.l = área por onde o calor sai da aleta. 
Tb = temperatura na base da aleta. 
TF = temperatura do fluido externo. 
Tx = temperatura da aleta na seção de abscissa x medida a partir da base da aleta. 
 
 
4.2.2 Fluxo de calor transferido por uma aleta longitudinal 
 
 A diferença de temperatura entre uma seção da aleta de abscissa x e o fluido é 
dada por: 
 
( )x x FT T T∆ = − ... (Eq. 4.3) 
 
Como a temperatura do fluido é constante, diferenciando-se esta expressão, 
teremos: 
( )x xdT d T
dx dx
∆
= ... (Eq. 4.4) 
Considerando-se uma área elementar da aleta, que é dada por P.dx, isto é, o 
produto do perímetro pela altura infinitésima dx. O calculado por área será: 
 
. . xdQ h Pdx T= ∆ ou . . x
dQ
h P T
dx
= ∆ ... (Eq. 4.5) 
 
Este calor deve corresponder ao calor que passa por condução entre as duas 
seções da aleta separadas de dx. 
 
. . x
dT
Q k A
dx
= 
 
Diferenciando, resulta: 
 
2
2
. . x
d TdQ
k A
dx dx
= ... (Eq. 4.6) 
 
Igualando-se as equações 4.5 e 4.6, resulta: 
 
2
2
2
2
. . . .
.
. 0
.
x
x
x
x
d T
k A h P T
dx
d T h P
T
dx k A
= ∆
∆
− ∆ =
 
 
Para facilidade de cálculo, adota-se: 2
.
.
h P
m
k A
= 
E resulta: 
2
2
2
. 0x x
d T
m T
dx
∆
− ∆ = ... (Eq. 4.7) 
 
A solução desta equação é do tipo: 
1 2. .
x xm m
xT C e C e
−∆ = + ... (Eq. 4.8) 
 
Os valores das constantes de integração são determinados pelas condições de 
contorno: 
Para x = 0 tem-se: x p FT T T∆ = − 
 
Para x = l tem-se: 0x
d T
dx
∆
= , indicando que não se registra saída de calor 
pela extremidade superior. 
 
 Substituindo-se na equação (4.8), resulta: 
 
Tp – TF = C1 + C2 
0 = 1 2. .
x xm mC e C e−+ 
 
A solução para as duas equações acima é: 
 
11 21
F
m
Tp T
C
e
−
=
+
 e 
12 21
F
m
Tp T
C
e−
−
=
+
... (Eq. 4.9) 
 
Substituindo os valores (4.9) na equação (4.8), teremos: 
 
1 12 21 1
x xm m
x F
m m
p F
T T e e
T T e e
−
−
−
= +
− + +
 
 
Matematicamente, podemos transformar a equação em: 
.( ) ( )mmx F
mml
p F
T T e l x e l x
T T e e
−
−
− − + −
=
− +
... (Eq. 4.10) 
 
Sabendo-se que: coshx = 
2
x xe e−+
, e portanto: 
cosh ( )
cosh
x F
p F
T T m l x
T T ml
− −
=
−
 
 
Diferenciando a equação acima, tem-se: 
 
( ).( ). (1 )
cosh
p Fx
T T m senhm xdT
dx ml
− − −
= 
 
 
 
 
Para x = 0, 
.( ). tanhx p F
dT
m T T ml
dx
 
= − − 
 
 
 
A quantidade de calor cedida pela área da aleta é igual à quantidade de calor 
recebido pela aleta por sua base. 
. . x
dT
q k A
dx
= − . . .( ). tanh( )p Fq m k A T T ml∴ = − ... (Eq. 4.11) 
 
. . .( ). tanh( )a p FQ m k A T T ml= − ...(Eq. 4.12) 
 
4.2.3 Aleta ideal 
 
 Como se observa na figura 4.3, a diferença de temperatura entre a aleta e o ar 
externo diminui nas seções mais distantes da base. Desta forma, pode-se concluir que a 
troca de calor fica cada vez mais difícil quando se caminha para a extremidade superior 
da aleta. O ideal seria que a temperatura permanecesse inalterada em toda a extensão, 
dando origem à definição da aleta ideal. 
 Aleta a ideal é aquela na qual a temperatura é a mesma em todos os seus pontos, 
sendo esta, a mesma de sua base. 
 O fluxo de calor que sai da aleta e vai para o ar externo é feito por convecção e, 
desta forma, pode ser calculado através da seguinte equação: 
 
Qi = h.Alateral.(Tb – TF) ... (Eq. 4.13) 
 
Na equação acima, a área da superfície lateral (Alateral) da aleta se encontra em 
contato com o fluido externo, com exceção da extremidade superior. Conforme se 
observa na figura 4.2, esta área pode ser representada pela equação. 
 
Alateral = 2.(L.l + l.e) = 2.(L + e).l 
 
2.(L + e) representa o perímetro da seção transversal da aleta. 
 
 Sendo a espessura (e) muito menor que o comprimento (L), o perímetro pode ser 
representado por P = 2.L e a área lateral da aleta pode ser expressa como: 
 
Alateral = Pst.l (perímetro da seção transversal multiplicado pela área desta seção). 
 O fluxo de calor de uma aleta longitudinal ideal está representado pela equação 
abaixo: 
Qi = h.(Pst.l).(Tb – TF) ... (Eq. 4.14)4.2.4 Rendimento da aleta 
 
 Define-se o rendimento de uma aleta (ηa) como sendo a relação entre o calor que 
ela transfere para o fluido externo em condições reais e o calor transferido pela aleta 
ideal. 
 
. . .( ). tanh( . )
. .( )
a b F
a
i l b F
Q m k A T T m l
Q h P T T
η
−
= =
−
 Mas, 2
.
.
st
st
h P
m
k A
= , então resulta: 
 
tanh( . )
.
m l
m l
η = ...(Eq. 4.15) 
 
4.2.5 Resistência térmica de uma superfície aletada 
 
 A figura 4.4 mostra uma placa plana contendo aletas longitudinais, com o 
objetivo de transferir calor para o ar externo. Em lugar da placa plana, poderia ser uma 
superfície cilíndrica, ou outra qualquer, na qual estariam instaladas as aletas. O presente 
estudo busca uma equação para o cálculo da resistência térmica do conjunto formado 
pela placa e as aletas. O calor é liberado para o fluido externo através de N aletas e da 
superfície descoberta da placa. 
 
 
Figura 4.4: Placa plana com aletas longitudinais. 
 
QT = N.Qa + Qsa ... (Eq. 4.16) 
 
Onde: 
 
QT = Fluxo de calor total emitido pela superfície aletada. 
N = Número total de aletas 
Qa = Fluxo de calor emitido por uma aleta. 
Qsa = Fluxo de calor emitido pela superfície descoberta da placa. 
 
 No cálculo do calor QS utiliza-se a equação da convecção, que consiste no 
produto do coeficiente de convecção h, pela área da superfície descoberta da placa Asa e 
pela diferença de temperatura entre a superfície e o fluido externo. 
 
Qsa = h.Asa.(Tb - )T∞ ... (Eq. 4.17) 
 
O fluxo de calor de uma aleta é calculado utilizando a definição de rendimento: 
 . . .( . ).( )aa a i a a b F
i
Q
Q Q h P l T T
Q
η η η= ∴ = = − ... (Eq. 4.18) 
 
Pela definição de resistência térmica aplicada à superfície aletada, pode-se escrever: 
sa b
( ) ( )
. .( . ).( ) h.A .(T ) 
b F b F
s
T a st b F F
T T T T
R
Q h P l T T Tη
− −
= =
− + −
 
sa
1
.[ . .( . ) A ]s a st
R
h N P lη
=
+
... (Eq. 4.19) 
 
 A área da superfície descoberta (Asa) é a diferença entre a área total da superfície 
e a área da seção transversal da aleta (Ast), multiplicada pelo número de aletas, N. 
 
• Para uma superfície plana retangular: Asa = l.L – N.Ast 
 
Onde l = largura da placa. 
 
• Para um conduto cilíndrico de raio externo (r2): Asa = 2.π.r2.L – N.Ast 
 
 
4.3 ALETA TRANSVERSAL CIRCULAR 
 
 O presente estudo refere-se a uma aleta transversal de forma circular, de 
espessura constante. A partir da figura 4.5 pode-se definir as seguintes grandezas 
relativas à geometria deste tipo de aleta: 
 
 
Figura 4.5: Tubo com aletas transversais circulares de seção constante. 
 
e = espessura (t = thickness). 
l = altura = (r3 – r2). 
AL = área de troca de calor = π. ( )2 23 2r r− . 
LT = comprimento do tubo que contém as aletas. 
N = número de aletas. 
Asa = área da superfície descoberta no tubo = 2.π.r2.(LT – N.t). 
Tb = temperatura na base da aleta. 
 
 Pode-se então procurar uma expressão para a aleta circular ideal, lembrando que 
ela tem a mesma temperatura em todos os pontos da sua superfície em contato com o ar 
externo. Então: 
 
Qi = h.π. ( )2 23 2r r− .(Tb – TF) ... (Eq. 4.20) 
 
4.3.1 Aleta longitudinal equivalente 
 
 Quando se estuda uma aleta transversal pode-se fazer a retificação desta aleta e 
resolvê-la como se fosse uma aleta longitudinal. Para isto, é necessário definir o 
diâmetro médio da aleta transversal, denominado diâmetro médio logaritmo (dml), sendo 
igual a: 
 
3 2
3
2
ln
ml
D D
d
D
D
−
= ... (Eq. 4.21) 
 Estuda-se então, uma aleta de comprimento L = π.dml, de altura representada 
pela diferença dos raios l = (r3 – r2) e de espessura e, conforme a figura 4.6. 
 
 
 
Figura 4.6: Aleta longitudinal equivalente. 
 
 Observa-se que na aleta longitudinal são definidos os seguintes elementos: 
Área da superfície exposta ao ar externo Aa = P.l. 
 
P = 2.L = 2.π.dml. 
 
Asa = 2.(π.dml).l 
 
Desta forma, o fluxo de calor de uma aleta transversal ideal pode ser calculado 
através da equação: 
Qi = h.(2.π.dml).l.(Tb – TF) ... (Eq. 4.22) 
 
4.3.2 Rendimento da aleta transversal 
 
 Adotando-se a aleta longitudinal equivalente, pode-se então calcular o 
rendimento como: 
tanh( . )
.
m l
m l
η = 
Onde: m = 
.
.
st
st
h P
k A
; Pst = 2.π.dml; Ast = (π.dml).e 
 
 
4.3.3 Resistência térmica da superfície com aletas transversais 
 
 A expressão utilizada para aletas longitudinais serve também para as 
transversais, desde que se faça as adaptações necessárias na equação 4.19. 
 
1
.[ . .( . ) ]s st sa
R
h N P l Aη
=
+
 
 
 
4.4 UTILIZAÇÃO EFICIENTE DE TUBOS ALETADOS 
 
 A expressão (m.l) é adimensional e pode ser utilizada em qualquer conjunto de 
unidades, desde que compatíveis. 
 O calor total transmitido pelo tubo aletado é igual à soma dos calores 
transmitidos pelas aletas com o calor transmitido pela superfície livre do tubo. 
 
Qtotal = N.Qaleta + Qsa 
 
 Na equação acima, N representa o número de aletas e Qsa representa o calor que 
sai pela superfície sem aletas. 
 O cálculo do fluxo de calor que sai através da superfície descoberta feito 
somente por convecção é representado por: 
 
Qsa = h.Asa.(Tb – TF) 
 
Admitindo-se que as aletas sejam instaladas em um tubo de raio externo (r2), a 
área da superfície descoberta é igual à área da superfície externa do tubo menos a área 
ocupada pela base das aletas, conforme a relação: 
 
22. . .( . )saA r L N eπ= − Para aletas transversais. 
22. . . .sa stA r L N Aπ= − Para aletas longitudinais. 
 
 A eficiência de uma aleta é tanto maior quanto menor a altura l, pois nas seções 
mais distantes da base, a temperatura diminui, reduzindo a transferência de calor para 
fora. A eficiência de troca de calor de uma aleta é função direta dos coeficientes de 
condutividade térmica do material e de convecção do fluido externo, pois seus valores 
elevados facilitam a condução de calor através da aleta. 
 A fórmula da eficiência não é absolutamente rigorosa, pois inúmeras hipóteses 
foram feitas para sua simplificação. Entretanto, quando as aletas têm pequena espessura 
em relação à sua altura, verifica-se que os resultados obtidos por essa fórmula são 
perfeitamente aceitáveis. 
 Aletas transversais, em geral, são menos eficientes que as longitudinais, embora 
na prática sejam muito mais utilizadas pela facilidade de confecção e por permitirem 
maiores áreas de troca de calor por metro linear de tubo. 
 
4.4.1 Resultados experimentais com aletas 
 
 Para se ter idéia do significado prático da colocação de aletas, observe os 
resultados obtidos em uma experiência realizada com um tubo de cobre de 18 mm de 
diâmetro externo, área de 0,0565 m2 por metro linear. O tubo foi percorrido 
internamente por vapor de água e externamente por uma corrente de ar, com 
velocidades variáveis. Foram efetuadas medidas de fluxo de calor trocado entre o vapor 
de água e o ar. 
Em seguida, colocou-se 300 aletas transversais circulares de seção constante em 
um metro de tubo. Novas medidas foram efetuadas, com as mesmas velocidades 
anteriormente usadas, conforme a tabela 4.1. 
As aletas ensaiadas têm 8 mm de espessura e 4 cm de altura e sua colocação 
produziu um aumento de 17 vezes na área de troca de calor, comparada com a área do 
tubo sem aletas. A área inicial de 0,0565 m2 passou para 0,96 m2 após a colocação das 
aletas. 
 
Tabela 4.1: Resultados experimentais com aletas. 
 
 
 
Observa-se que, cada metro linear de tubo passou a transmitir aproximadamente, 
20 vezes mais calor do que sem aletas, indicando um aumento no coeficiente de 
convecção. Este fato não ocorre sempre, e prova que o coeficiente de convecção 
depende também do formato da superfície de contato. No caso da convecção natural, há 
uma pequena diminuição deste coeficiente, embora largamente compensado pelo 
aumento da área total de transmissão de calor. 
 
4.4.2 Regras práticas para uma boa eficiência 
 
 O fluido em contato com as aletas deve ter um movimento relativo paralelo à 
superfície das aletas, tanto no escoamento natural comono forçado. 
 No caso do escoamento natural, deve-se usar aletas longitudinais para tubos 
verticais e aletas transversais para tubos horizontais, para que o movimento do ar 
externo seja sempre no sentido ascendente. O ar aquecido torna-se menos denso 
indicando um movimento ascendente, dando origem ao que se denomina convecção 
natural. As aletas devem ser paralelas à velocidade do ar para não dificultar sua 
circulação. 
 No caso de fluidos que tenham coeficientes de convecção da mesma ordem de 
grandeza, não se justifica o uso de tubos com aletas. Isto significa que se o fluido 
interno tem baixo coeficiente de convecção, não adianta colocar aletas do lado de fora, 
porque o fluido interno dificulta a saída de calor. 
 No caso de fluidos que tenham coeficientes de convecção muito diferentes, o 
fluido de maior coeficiente deve circular dentro do tubo, e o fluido de menor coeficiente 
deve circular por fora, junto às aletas. 
 
4.5 GUIA PRÁTICO PARA RESOLUÇÃO DE EXERCÍCIOS 
 
A figura 4.7 representa a capacidade de trocar calor de uma superfície estendida. 
Em qualquer aleta uma de suas extremidades estará longe da fonte quente que a 
diferença de temperatura tende a ser ínfima e, portanto, assim será com o calor trocado, 
tornando-a ineficiente na função para qual foi projetada, além de implicar em excesso 
de material, peso e custos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.7: Superfície aletada à esquerda e à direita sua distribuição de temperaturas. 
 
 A convecção estará sempre presente nos casos do uso de aletas, por isto as 
fórmulas abaixo orientam na resolução dos exercícios com superfícies estendidas. Onde 
a nomenclatura será: 
 
Qaleta ou Qa = calor de uma aleta, quer seja real ou ideal. 
η = rendimento de uma aleta. 
m = parâmetro da aleta. 
QTotal = calor total. 
Asa = área sem aletas. 
Qasa = calor trocado pela parte “descoberta” do objeto. 
ε ou %aumento∆ = aumento percentual devido à extensão superficial. 
Ast = Área da seção transversal da aleta. 
Pst = Perímetro da seção transversal da aleta. 
 
Distribuição de temperaturas da aleta 
Portanto: 
Calor de uma aleta ideal: 
( ) . .( )aleta IDEAL aleta baseQ h A t t∞ ∞= − 
 
 
Calor de uma aleta real: 
ALETAoobasealetaREALaleta ttAhooQ η)..(.)( −= 
 
 
Rendimento da aleta: 
tanh( . )
.aleta
m l
m l
η = 
 
 
Parâmetro da aleta: 
.
.
oo st
ALETA st
h P
m
k A
= 
 
Distribuição de temperaturas na aleta: 
cosh[ ( )]
cosh( . )
BASE
X oo
T T
T T m l x
m l
∞−− = − 
Observação: aletaA - área da aleta em contado com o fluido (Só se considera sua ponta se for 
pedido!) 
 
Sistema aletado 
 
Calor total dissipado pelo sistema aletado: 
ALETAS
SEM
ÁREAALETASALETATOTAL
QNQQ += . 
Calor dissipado pela área sem aleta: 
. .( )sa baseÁREA
SEM
ALETAS
Q h A T T∞ ∞= − 
Aumento percentual devido a instalação das aletas: 
 
%
total sem
aletas
aumento
sem aleta nenhuma
Q Q
Q
−
∆ = 
 
A figura 4.8 ilustra alguns tipos de superfícies aletada. Onde: r = raio, D = 
diâmetro, L = length (comprimento), w = width (largura) e t = thickness (espessura). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)w.t.(Nw.SAsa −=
s
w
L D
t
w
S
L
w
D2
D3
t
t
Lw
D2
²)r..( πNw.SAsa −=
)t.Nw.(2D.πAsa
)t.2D..( πNw.2D.πAsa
−=
−=
)t.w.(Nw.2DπAsa −=
Aaleta.NAtotalAsa −=
Figura 4.8: Superfícies com aletas e suas diferentes possibilidades de forma. 
 
A figura 4.9 demonstra o cálculo da área “descoberta” pelas aletas, chamada de 
área sem aletas (Asa), não confundir com área sem aleta NENHUMA. 
 
Figura 4.9: Representação da área sem aletas (Asa) em superfícies planas e circulares. 
 
OBS: Quando não for dado o rendimento da aleta circular, fazer a seguinte modificação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 4.10: Conversão equivalente de aleta transversal para longitudinal. 
 
A efetividade de aletas (ε) é a relação entre o calor trocado pela superfície com a 
presença da aleta, comparada ao valor sem a sua presença. Tendo o mesmo significado 
físico de %aumento∆ . 
/ 
aleta
s aleta nenhuma
Q
Q
ε = 
 
A hipótese de aleta infinita é válida a partir da seção em que não há mais 
condução na direção normal à parede. Uma hipótese de teste é comparar o calor 
dissipado com uma aleta de ponta adiabática. Quando a diferença entre os dois fluxos de 
calor for menor que 1%, ela é considerada infinita. 
 
O comprimento corrigido é um artifício para se trabalhar com aletas que 
apresentam convecção como se fossem de ponta adiabática. Desta forma, a área da 
ponta é convertida em uma extensão do seu comprimento, L, tornando-se agora Lc. O 
comprimento é corrigido de maneira a se obter a mesma área de troca para a aleta, 
conforme a figura abaixo. 
 
2D
3D
ln
2D3D
Dml
−
=
mleequivalent D.L π=
 
Figura 4.11: Comprimento corrigido de uma aleta. 
 
É possível encontrar na literatura outros perfis de aletas, como na figura 4.12. 
 
 
Figura 4.12: Gráfico de rendimento para aletas triangulares e parabólicas. 
 
4.6 EXERCÍCIOS 
 
1. Uma placa metálica plana de 3,5 m de comprimento por 2,5 m de largura contém, em 
toda sua extensão, 250 aletas longitudinais, 4,4 cm de altura e 3 mm de espessura. 
Calcular: 
 
a) Rendimento das aletas. (0,821) 
b) Resistência térmica da superfície aletada. (3,18.10-4
C
W
°
) 
 
Dados: h = 45 W/m2.°C e k = 85 W/m.°C. 
 
2. Um tubo de 2,6 m de comprimento com 8 cm de diâmetro externo contém 60 aletas 
longitudinais em toda a sua extensão. Cada aleta tem 4,5 cm de altura e 3 mm de 
espessura e é feita de um material de condutividade igual de 120 W/m.°C. Calcular: 
 
a) Rendimento das aletas. (0,9473) 
b) Fluxo de calor que sai através de uma aleta. (405,7 W) 
c) Fluxo total de calor que sai do tubo aletado. (24.681,4 W) 
 
Dados: Coeficiente de convecção: har = 15 W/m
2.°C. 
Temperatura na base da aleta = 150°C. 
Temperatura do ar externo = 28 °C. 
 
 
3. Um tubo de 2,8 m de comprimento possui 185 aletas transversais circulares de 5 cm 
de altura e espessura de 3 mm. O tubo tem 6,0 cm de raio interno e 6,5 cm de raio 
externo. Pede-se calcular: 
 
a) Resistência térmica total das superfícies do tubo.( 9,9.10-3
C
W
°
) 
b) Fluxo de calor que atravessa o tubo aletado, sabendo que a temperatura do fluido 
externo, que é ar, é 26°C e a do fluido internamente é de 170°C. (14.119 W) 
c) Temperatura na base das aletas. (71°C) 
Dados: har = 35 W/m
2.°C; hinterno = 135 W/m
2.°C; kaleta = 70 W/m.°C. 
 
 
4. Um tubo de 2,6 m de comprimento, com 8 cm de diâmetro externo contém 60 aletas 
longitudinais, de mesmo comprimento do tubo. Cada aleta tem 4,5 cm de altura e 3 mm 
de espessura e é feita de um material de condutividade térmica igual a 120 W/m.°C. 
 
Calcular: 
a) Rendimento das aletas. (94,73%) 
b) Fluxo total de calor que sai do tubo aletado. (24.681 W) 
c) Aumento percentual do fluxo de calor, depois instalação das aletas. (1960%) 
 
Dados: Coeficiente de convecção: har = 15 W/m
2.°C. 
 Temperatura na base da aleta: 150°C. 
 Temperatura do ar externo: 28°C. 
 
5. Calcular o fluxo de calor que sai de um tubo de 2 metros de comprimento e 5 cm de 
diâmetro externo, contendo 20 aletas longitudinais. (R.: 1548,5 kcal/h) 
Dados: Comprimento das aletas, L = 2 m. 
Espessura das aletas, e = 1 mm. 
Altura das aletas, l = 5 cm. 
Condutividade do material, k = 35 kcal/h.m.°C. 
Coeficiente de convecção, h = 8 kcal/h.m2.°C. 
Temperatura do fluido externo, TF = 20°C. 
Temperatura na base da aleta, Tb = 80°C. 
 
 
6. Um trocador de calor é constituído por 4 paredes planas de 4 metros de comprimento 
por 2 metros de largura. Cada uma tem 400 aletas longitudinais de 4 metros de 
comprimento, 6 cm de altura e 2 mm de espessura. Sabe-se que os gases internos tem 
temperatura de 150°C e o coeficiente de convecção vale 300 kcal/h.m2.°C, e que a 
temperatura externa é de 20°C com um coeficiente de convecção de 8 kcal/h.m2.°C. A 
chapa tem 2 cm de espessura e seu material possui condutividade térmica de 60 
kcal/h.m.°C. Calcular: 
 
a) Temperatura na face externa da parede (base da aleta).