Yohanan - Questões resolvidas - 6 2 e 6 3 [Çengel]

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QUESTÃO RESOLVIDA
6.2 - ÇENGEL
YOHANAN GIL CINTRA MACHADO
O escoamento de óleo em mancal pode ser aproximado como um escoamento 
paralelo entre duas grandes placas, sendo uma em movimentação e a outra 
estacionária. Esses escoamentos são conhecidos como escoamento de Couette.
Considere duas grandes placas isotérmicas separadas por uma película de óleo de 2 
mm de espessura. A placa superior se move a uma velocidade constante de 12 m/s, 
enquanto a placa inferior é estacionária. Ambas as placas são mantidas a 20 °C. (a) 
Obtenha as relações para distribuições de velocidade e temperatura no óleo. (b) 
Determine a temperatura máxima do óleo e o fluxo de calor a partir do óleo para 
cada placa.
O escoamento de óleo em mancal pode ser aproximado como um escoamento 
paralelo entre duas grandes placas, sendo uma em movimentação e a outra 
estacionária. Esses escoamentos são conhecidos como escoamento de Couette.
Considere duas grandes placas isotérmicas separadas por uma película de óleo de 2 
mm de espessura. A placa superior se move a uma velocidade constante de 12 m/s, 
enquanto a placa inferior é estacionária. Ambas as placas são mantidas a 20 °C. (a) 
Obtenha as relações para distribuições de velocidade e temperatura no óleo. (b) 
Determine a temperatura máxima do óleo e o fluxo de calor a partir do óleo para 
cada placa.
1 – DADOS DA QUESTÃO
• Escoamento paralelo entre duas grandes placas
• Placas isotérmicas
• Espessura de óleo entre as placas: � = 2��
• Placa superior com � = 12�/�
• Placa inferior com �� = 0�/�
• Temperatura das placas em � = 20°� = 293,15 �
2 – OBJETIVO DA QUESTÃO
a) Relações para as distribuições de velocidade e de temperatura no óleo
b) Temperatura máxima do óleo e o fluxo de calor do óleo para cada placa
3 – PROPRIEDADES TABELADAS
A partir da Tabela A-13 do livro do Çengel, podemos extrair 
algumas propriedades do óleo a 20°C, como:
a) � = 0,145 �/� ∙ �
b) � = 0,8374 ��/� ∙ � 
Multiplicando a unidade em cima e em baixo pela aceleração (�/�²), temos:
� = 0,8374 �� ∙ [�/�²] ∙ [�²/�]/� ∙ �
Vemos que � = �� ∙ �/�2 e que [�²/�]/� ∙ � = �/�².
Temos, por fim: � = 0,8374 � ∙ �/�²
4 – SUPOSIÇÕES 
1. Regime permanente – Propriedades não variam no tempo
2. Óleo incompressível com propriedades constantes – Garante a uniformidade 
de densidade do óleo ao longo de sua extensão
3. As forças de corpo são desprezíveis – A quantidade de óleo é tão pequena 
que forças como a gravidade são desprezíveis para a questão, já que fica 
pouco peso, por exemplo.
4. Placas tão grandes que não há variação no eixo z – Espessura (�) de óleo 
constante
5 – RESOLUÇÃO
• Sendo o eixo x na direção do escoamento e o y o normal, temos � = 0. Para esta 
equação, � e � são velocidades do fluido nas direções x e y respectivamente.
∴ ��
��
+ ��
��
= 0 → ��
��
= 0 → � = �(�), pois sua derivada em x é 0. Portanto, � varia 
em y e é constante em x.
• Note que o escoamento é mantido pelo movimento relativo entre as placas ao invés 
de ser consequência do gradiente de pressão, ou seja, ��
��
= 0.
• Quantidade de movimento em x:
� ∙ � ∙
��
��
+ � ∙
��
��
 = � ∙
�2�
��2
−
��
��
Note que, conforme vimos anteriormente, apenas ��
��
= � = ��
��
= 0 → �
2�
��2
=0
• Note que �2�
��2
=0 é uma EDO s imples de resolver, cu ja solução tr iv ia l é 
�(�) = �1 ∙ � + �2. Como condições de contorno, temos as velocidades das placas, 
que são �(0) = 0  → �2 = 0 e �(�) = �  → �1 = �/�. 
• ∴ �(�) = �
�
∙ �   é a distribuição de velocidade.
• Para o aquecimento, temos a seguinte equação geral:
� ∙ c� ∙ � ∙
��
��
+ � ∙
��
��
 = � ∙ 
�2�
��2
+
�2�
��2
 + � ∙ Φ
Φ = 2 ∙ 
��
��
 
2
+ 
��
��
 
2
 + 
��
��
+
��
��
 
2
• � ≡ massa específica; �� ≡ calor específico; � ≡ constante de condutividade; � ≡ 
viscosidade; Φ ≡ função de dissipação viscosa.
• Placas isotérmicas e sem mudança de direção do escoamento → � = �(�).
Sabemos que:
��
��
= � =
��
��
= 0  → �
�2�
��2
=− � ∙ 
�
�
 
2
• Note que a equação obtida anteriormente é uma EDO fácil de resolver. 
Integrando as duas vezes e aplicando as condições de contorno �(0) = �0 e 
�(�) = �0, temos o seguinte resultado para a distribuição de temperatura:
�(�) = �0 +
� ∙ �
2 ∙ �
∙ 
�
�
−
�2
�2
 
• Para encontrarmos a temperatura máxima, temos que encontrar o ponto de 
máxima temperatura na equação de distribuição de temperatura �(�). Fazendo, 
portanto, ��
��
= 0, temos que o ponto de máxima temperatura é quando � = �
2
.
• Substituindo este � encontrado em �(�), encontramos um ��á�.
� 
�
2
 = ��á� = �0 +
� ∙ �
2 ∙ �
∙ 
�/2
�
−
�2/2²
�2
 = �0 +
� ∙ �
8 ∙ �
• Aplicando os valores fornecidos e tabelados, temos ��á� ≅ 124 °� como 
temperatura maior do fluido.
• O fluxo de calor pode ser obtido por definição.
�0 =− � ∙
��
��
 
�=0
=− � ∙
� ∙ �2
2 ∙ � ∙ �
 (1 − 0) =−
� ∙ �2
2 ∙ �
• Substituindo os valores, encontramos �0 ≅− 30,1 ��/�² 
• �� =− � ∙ ���� �=� =− � ∙
�∙�2
2∙�∙�
 (1 − 2) = �∙�
2
2∙�
=− �0
• Substituindo os valores, encontramos �� ≅ 30,1 ��/�²
Note que os fluxos de calor são iguais nas placas em módulo, mas diferentes em sinais.
6 – DISCUSSÃO FINAL
O aumento de temperatura de 20 °C para 124 °C confirma nossa suspeita de 
que a dissipação viscosa não era desprezível, já que houve uma diferença de 
104 °C. Além disso, o fluxo de calor é equivalente à taxa de dissipação da 
energia mecânica. Portanto, a energia mecânica está sendo convertida em 
energia térmica a uma taxa de 60,2 kW/m² de área da placa para superar o 
atrito do óleo, que é a soma dos módulos das taxas de transferência de calor. 
Por último, os cálculos foram feitos usando as propriedades do óleo a 20 °C, 
mas a temperatura do óleo revelou-se muito mais elevada. 
RESUMO
Em síntese, o que fizemos foi:
1. Extrair os dados do enunciado e da tabela;
2. Entender e definir as incógnitas da questão;
3. Levantar as hipóteses que foram utilizadas a fim de facilitar a solução da 
questão;
4. Utilizamos as equações de quantidade de movimento, de aquecimento 
(levando em conta a dissipação viscosa), a definição de cálculo para 
encontrar máximos ou mínimos e a definição de fluxo de calor;
5. Discutimos os resultados obtidos.
RESULTADOS
a) Relações para as distribuições de velocidade e de temperatura no óleo
�(�) =
�
�
∙ �
�(�) = �0 +
� ∙ �
2 ∙ �
∙ 
�
�
−
�2
�2
 
b) Temperatura máxima do óleo e o fluxo de calor do óleo para cada placa.
��á� ≅ 124 °�
�0 ≅− 30,1 ��/�²
�� ≅ 30,1 ��/�²
QUESTÃO RESOLVIDA
6.3 - ÇENGEL
YOHANAN GIL CINTRA MACHADO
• Uma placa plana de 2 m x 3 m é suspensa em uma sala e submetida a 
escoamento de ar paralelo em sua superfície, ao longo do lado de 3 m de 
comprimento. A temperatura e a velocidade do escoamento livre do ar são 
20 °C e 7 m/s. A força de arrasto total agindo na placa é medida como 
0,86 N. Determine o coeficiente médio de transferência de calor por 
convecção para a placa.
• Uma placa plana de 2 m x 3 m é suspensa em uma sala e submetida a 
escoamento de ar paralelo em sua superfície, ao longo do lado de 3 m de 
comprimento. A temperatura e a velocidade do escoamento livre do ar são 
20 °C e 7 m/s. A força de arrasto total agindo na placa é medida como 
0,86 N. Determine o coeficiente médio de transferência de calor por 
convecção para a placa.
1 – DADOS DA QUESTÃO
• Escoamento de ar paralelo na superfície da placa plana ao longo dos 3 m
• Placa de 2 m x 3 m
• Força de arrasto total: �� = 0,86 �
• Velocidade do escoamento livre do ar � = 7�/�
• Temperatura do escoamento livre do ar � = 20°� = 293,15 �
2 – OBJETIVO DA QUESTÃO
Uma placa plana é submetida a escoamento de ar, e é medida a força de 
arrasto que age nela. Determinar o coeficiente médio de convecção.
3 – PROPRIEDADES TABELADAS
A partir da Tabela A-15 do livro do Çengel, podemos extrair 
algumas propriedades do ar a 20°C e 1atm, como:
a) �� = 1,007 ��/�� ∙ �
b) � = 1,204 ��/�³ 
c) �� = 0,7309
4 – SUPOSIÇÕES 
1. Regime permanente – Propriedades não variam no tempo2. Pressão atmosférica do ambiente a 1 atm – Facilita encontrar os dados da 
tabela
3. Os efeitos das extremidades são desprezíveis – facilita os cálculos por 
termos de considerar apenas a superfície de dimensões 2 m x 3 m. É uma 
aproximação razoável, desde que seja um corpo delgado (espessura << 
Altura e Comprimento)
5 – RESOLUÇÃO
• De acordo com o enunciado da questão, o escoamento ocorre ao longo do lado 
de 3 m da placa, o que implica que o comprimento característico L=3 m. Note 
que o escoamento do ar abrange as duas superfícies da placa.
�� = 2 ∙ � ∙ � = 2 ∙ (2 �) ∙ (3 �)
∴ �� = 12 �2
• Para placas planas, temos que o atrito e o arrasto são equivalentes. Portanto:
�� = �� ∙ �� ∙
� ∙ �²
2
�� ≡ Força de Arrasto
�� ≡ Área de superfície
�� ≡ Coeficiente médio de atrito
� ≡ Massa específica do ar (densidade)
� ≡ Velocidade de 
escoamento do ar
• O que desejamos para calcular o coeficiente médio de transferência de calor por 
convecção, que é o solicitado pelo enunciado da questão, é o termo �� , que é o 
coeficiente médio de atrito, para aplicarmos à fórmula q. Manipulando a equação 
anterior, obtemos:
�� =
��
�� ∙
� ∙ �2
2
• Aplicando os valores pertinentes à nossa questão, temos:
�� ≅ 0,00243
• Por fim, pela analogia modificada de Reynolds, temos:
ℎ =
��
2
∙
� ∙ � ∙ ��
��2/3
�� ≡ Número de Prandtl �� ≡ calor 
específico ℎ ≡ coeficiente médio de transferência de calor por convecção
ℎ =
��
2
∙
� ∙ � ∙ ��
��2/3
• Aplicando os valores pertinentes à questão, temos que o coeficiente médio de 
transferência de calor por convecção será
ℎ = 12,7 �/�2 ∙ �
6 – DISCUSSÃO FINAL
Podemos observar neste exemplo o quão úteis são as analogias entre 
transferência de calor e quantidade de movimento, no qual o coeficiente de 
transferência de calor por convecção pode ser obtido par t indo do 
conhecimento de coeficiente de atrito, que é mais fácil de entender e 
determinar. 
Note que os coeficientes são adimensionais, já que eles determinam relações 
entre variáveis de mesma dimensão, de dimensão inversa ou de dimensões que 
se anulam ao fim das operações.
RESUMO
Em síntese, o que fizemos foi:
1. Extrair os dados do enunciado e da tabela;
2. Entender e definir as incógnitas da questão;
3. Levantar as hipóteses que foram utilizadas a fim de facilitar a solução da 
questão;
4. Utilizamos as equações de cálculo de área, da força de atrito e de 
analogia modificada de Reynolds;
5. Discutimos os resultados obtidos.
RESULTADOS
Coeficiente médio de atrito:
�� ≅ 0,00243
Coeficiente médio de troca de calor por convecção:
ℎ ≅ 12,7 �/�2 ∙ �