50031 39741 CN erros2

Prévia do material em texto

Prof.: Frederico Galaxe Paes
Cálculo Numérico
‹nº›
22
Erros - Roteiro
◼ Existência
◼ Tipos
◼ Propagação
3
◼ Premissa
◼ Impossibilidade de obtenção de soluções
analíticas para vários problemas de Engenharia.
◼ Consequência
◼ Emprego de métodos numéricos na resolução
de inúmeros problemas do mundo real.
Erros - Existência
4
◼ Método Numérico
◼ Método adotado na resolução de um problema
físico, mediante a execução de uma sequência
finita de operações aritméticas.
◼ Consequência
◼ Obtenção de um resultado aproximado, cuja
diferença do resultado esperado (exato)
denomina-se erro .
Erros - Existência
5
Erros - Existência
◼ Natureza dos Erros I
◼ Erros inerentes ao processo de aquisição
dos dados
◼ Relativos à imprecisão no processo de
aquisição/entrada, externos ao processo
numérico.
◼ Proveniência  Processo de aquisição/
entrada (medidas experimentais)
◼ Sujeitos às limitações/aferição dos instrumentos
usados no processo de medição.
6
◼ Natureza dos Erros II
◼ Erros inerentes ao modelo matemático
adotado
◼ Relativos à impossibilidade de representação
exata dos fenômenos reais a partir de modelos
matemáticos
◼ Necessidade de adotar condições que
simplifiquem o problema, a fim de torná-lo
numericamente solúvel
◼ Proveniência  Processo de modelagem do
problema
◼ Modelos matemáticos raramente oferecem
representações exatas dos fenômenos reais
Erros - Existência
7
◼ Natureza dos Erros III
◼ Erros de truncamento
◼ Substituição de um processo infinito de
operações por outro finito.
◼ Ex.: 𝑒𝑥 = σ𝑛=0
∞ 𝑥
𝑛
𝑛!
; cos 𝑥 = σ𝑛=0
∞ (−1)𝑛
𝑥2𝑛
(2𝑛)!
◼ Erros de arredondamento
◼ Inerentes à estrutura da máquina e à
utilização de uma aritmética de precisão
finita.
◼ Ex.: 𝑆 =
2
3
+
2
3
+
2
3
Erros - Existência
8
Erros - Existência
◼ Natureza dos Erros IV
◼ Erros da representação de números
◼ A representação de um número depende da
base disponível na máquina em uso e do nº
máximo de dígitos (t) usados na sua
representação;
◼ Ao se converter um número da base 10 para a
base 2, por exemplo, este número pode tornar-
se infinito.
9
Erros - Existência
Modelo 
Numérico
Erros Inerentes
ao Modelo
Modelo
Matemático
Dados e 
Parâmetros 
do Modelo
Processamento
Numérico
Solução
Numérica
Problema
do Mundo Real
Erros de 
Truncamento
Erros de Aquisição/
Entrada de Dados
Erros de 
Arredondamento
Erros de 
Representação
Representação dos Números
10
◼
Representação dos Números
◼ Sistema de numeração decimal ou base 10:
◼ Sistema de numeração binário ou base 2:
◼ Conversão de números
◼ Conversão de número decimal → binário.
Para convertermos um número decimal para um número binário
devemos aplicar um método para a parte inteira (divisões sucessivas)
e outro método para a parte fracionária, se houver (multiplicações
sucessivas).
11
Representação dos Números
◼ Conversão de número decimal → binário.
12
Representação dos Números
◼ Conversão de número decimal → binário
Para números fracionários utilizamos a regra da multiplicação:
13
Representação dos Números
◼
14
ou
Representação dos Números
◼ Conversão de número binário → decimal.
15
Representação dos Números
16
17
◼ Representação Numérica em Máquinas
Digitais
◼ Discreta  Conjunto finito de números em
qualquer intervalo [a, b] de interesse
◼ Implicação imediata  Possibilidade de
comprometimento da precisão dos
resultados, mesmo em representações de
dupla precisão
Erros - Existência
21
◼ Indicador de Precisão de um Resultado
◼ Número de algarismos significativos (AS)
◼ Algarismos que podem ser usados
com confiança;
◼ Algarismos nulos localizados entre a
vírgula e o primeiro algarismo não
nulo, não são considerados AS.
Erros - Existência
22
◼ AS de um número I
◼ Exemplo 02: Considere os seguintes valores
de médias obtidas em um experimento
estatístico:
◼  = 138   = 0,138 . 103  3 as
◼  = 138,7   = 0,1387 .103  4 as
◼  = 138,76   = 0,13876 . 103  5 as
◼  = 138,76875   = 0,13876875 . 103  8 as
◼  = 138, 7687549  = 0,1387687549 . 103  10 as
◼  = 138, 768754927 = 0,138768754927 . 103  12 as
Erros - Existência
23
Erros nos Métodos
◼ Método Numérico
◼ Aproximação da solução de um problema
de Matemática
◼ Truncamento de uma solução em série
(Maclaurin), considerando apenas um
número finito de termos
◼ Exemplo 03:
...
!!!2
1
! 43
432
0
+++++==

=
xxx
x
n
x
e
n
n
x
24
Erros nos Métodos
◼ Exemplo 03: Determinação do valor de e.
Lembrar que . Logo:
um truncamento no sexto termo gera:


=
=
0n
!n
1
e
...59057182818284,2
!
1
0
==

=n n
e 66677166666666,2
!
15
0
==
=n n
e
25
Erros nos Métodos
◼ Exemplo 03:
Então, o erro de truncamento, ET , será:
92380016151617,0
66677166666666,259057182818284,2
!
1
!
1 5
00
=
−=
−= 
=

=
T
T
T
E
E
nn
E
nn
26
Erros nos Métodos
◼ Exemplo 04: Determinação do número de
termos para a aproximação de cos(x) com 8
AS, considerando x=/3.
Lembrar que:
...
!7!!3)!12(
)1(
)(
753
0
12
5
+−+−=
+
−
=

=
+ xxx
x
n
x
xsen
n
nn
...
!6!!2
1
)!2(
)1(
)cos(
642
0
2
4
+−+−=
−
=

=
xxx
n
x
x
n
nn
27
Erros nos Métodos
◼ Exemplo 04: Calculando o valor da soma vem
𝑥𝟔
𝟔!
=
(𝟎.𝟑𝝅)𝟔
𝟕𝟐𝟎
= 𝟎,𝟎𝟎𝟎𝟗𝟕𝟑𝟒; 𝐜𝐨𝐬 𝒙 = 𝟏 −
𝑥2
2!
+
𝑥𝟒
𝟒!
−
𝑥𝟔
𝟔!
= 0,5877699
◼ Observe que o terceiro AS não mais se alterará.
28
Erros nos Métodos
◼ E que o quarto AS não mais se alterará a
partir de:
◼ nem o sexto AS a partir de:
◼ nem o oitavo AS a partir de:
29
Erros nos Métodos
◼ Exemplo 04:
Assim sendo, o número de termos para a
aproximação de cos(x) com 8 AS é igual a 7
(incluindo o termo de ordem 0, igual a 1)
30
Erros nos Métodos
◼ Exercício 01: Determinar o número de
termos para a aproximação de
1. log(1+x) com 8 AS, considerando x = 0,09.
2. sen(x) com 6 AS, considerando x= 4/3.
3. 𝒆𝒙 com 7 AS, considerando x= 1/3.
Qual conclusão que se chega a partir destes
cálculos?
3131
Erros - Existência
◼ Erro de Representação x Erro de
Truncamento de Dígitos
Erro de Representação
⚫ Associado à conversão numérica entre
bases (representação humana (=10) e de
máquina (=2)) ou à realização de
operações aritméticas.
Erro de Truncamento de Dígitos
⚫ Associado à quantidade de informação
que a máquina pode conter sob a forma
de um número.
3232
◼ Representação dos números reais com um
número finito de dígitos (aproximação)
Dependência da representação numérica da
máquina utilizada
Um número pode ter
representação finita em uma
base e não finita em outra
Erros - Existência
Erro de 
Representação Operações com dados imprecisos
ou incertos acarretam a
propagação do erro.
0,110 = 0,00011001100110011...2
3333
◼ Representação dos números reais com um
número finito de dígitos (aproximação)
Ex. 05: Cálculo da área de uma
circunferência de raio 100 m
Possíveis resultados:
(1) A = 31400 m2
(2) A = 31416 m2
(3) A = 31415,92654 m2
Erro de 
Representação
 não tem representação finita - 3,14
(1), 3,1416 (2) e 3,141592654 (3)
Erros - Existência
3434
Tipos de Erro
◼ Absoluto
Diferença entre o valor exato de um
número e o seu valor aproximado (em
módulo)
|x|xEAx −=
3535
Tipos de Erro
◼ Relativo
Razão entreo erro absoluto e o valor
exato do número considerado (em
módulo)
|x|
|x|x
ERx
−
=
Erro Percentualx = ERx . 100%
3636
Tipos de Erro
◼ Relativo
Este tipo de erro é utilizado em processos
iterativos, pois sendo o processo
convergente, a cada iteração o valor atual
estará mais próximo do valor exato do que
o valor anterior
atualvalor x
anteriorvalor x


3737
Tipos de Erro
◼ Erro Absoluto - Considerações I
◼ EAx só poderá ser determinado se x for
conhecido com exatidão
◼ Na prática, costuma-se trabalhar com um
limitante superior para o erro, ao invés do
próprio erro (|E|<ε, sendo ε o limitante)
Ex. 08: Para   (3,14; 3,15)
0,01<π-π=E Aπ

3838
Tipos de Erro
◼
0,373aaEAa =−=
0,373bbEA b =−=
3939
Tipos de Erro
◼ Erro Absoluto - Considerações III
▪ Obviamente, o resultado do erro absoluto
é o mesmo nos dois casos
▪ Entretanto, o peso da aproximação em b é
maior do que em a
4040
Tipos de Erro
◼ Erro Relativo - Consideração
O erro relativo pode, entretanto, traduzir
perfeitamente este fato, pois:
4a
a 100,000096
3876
0,373EA
ER −==
a
0b
b 1050,373
1
0,373EA
ER ==
b
4141
Ex. 09: Cálculo do erro relativo na
representação dos números
x = 2112,9 e y = 5,3, sendo
|EA| < 0,1
|ERx| = |x - ഥ𝒙|/|a| = 0,1/2112,9  4,7 x 10
-5
|ERy| = |y - ഥ𝒚 |/|y| = 0,1/5,3  0,02
Conclusão: x é representado com maior
precisão do que y
Tipos de Erro
Aritmética de Ponto Flutuante
◼ A representação de números reais mais
utilizada em máquinas é a do ponto flutuante
(PF). Esse número tem três partes: o sinal, a
parte fracionária (mantissa) e o expoente:
𝒎 = ±𝟎, 𝒅𝟏𝒅𝟐𝒅𝟑…𝒅𝒕 ×𝜷
𝒆
◼ Sendo:
◼ 𝒅𝒊
′𝒔 : dígitos da parte fracionária, 𝒅𝟏 ≠ 𝟎, 0≤𝒅𝒊≤ (β -1)
◼ β : base (em geral 2, 10 ou 16),
◼ t : nº de dígitos na mantissa.
◼ e : expoente inteiro, com e [𝒆𝒎í𝒏, 𝒆𝒎á𝒙].
42
Aritmética de Ponto Flutuante
◼ Ex. 10:
a) x=34,2 (decimal); β=10; t=4
x=0,3420 × 𝟏𝟎𝟐
b) x=0,1 (decimal) ; β=2; t=9
Equivalente à (0,00011001100110011...)𝟐
x=0,110011001 × 𝟐−𝟑
43
Aritmética de Ponto Flutuante
◼ Uma aritmética de ponto flutuante F é
caracterizada por quatro números inteiros:
F(β, t, 𝒆𝒎í𝒏, 𝒆𝒎á𝒙).
◼ Em qualquer máquina, apenas um subconjunto de
IR é representado exatamente e, portanto, a
representação de um nº real será realizada através
de truncamento ou arredondamento.
◼ Dígitos significativos de um nº x, são todos os
algarismos de 0 a β - 1, desde que x esteja
representado na forma normalizada.
44
Aritmética de Ponto Flutuante
◼ Ex. 11:
Considere F (2, 2, -1, 2), com número normalizado (𝒅𝟏 ≠ 0).
Os números serão:
± 0,10 × 𝟐𝒆 ou ± 0,11 × 𝟐𝒆, sendo -1≤e ≤2.
Convertendo para decimal, temos: 0,10 = ½ e 0,11 = ¾.
Com isso, os únicos números positivos representáveis nesse
computador são:
1/2 ×𝟐𝒆, para e = -1, 0, 1 e 2.
3/4 ×𝟐𝒆, para e = -1, 0, 1 e 2.
Ou seja, 1/4, 1/2, 1, 2, 3/8, 3/4, 3/2 e 3, que podem ser
representados na reta numerada:
45
Aritmética de Ponto Flutuante
◼ O número total de elementos de uma
aritmética de PF é dado por:
◼ Para o exemplo anterior temos que o número
de elementos é 17. (8 positivos, 8 negativos e o
zero).
◼ O zero em PF é representado com o menor
expoente possível, para não acarretar perda de
dígitos significativos no resultado da adição.
46
Aritmética de Ponto Flutuante
◼ Nas máquinas digitais, um digito binário é
denominado bit. Um grupo de oito bits corresponde
a 1 byte.
◼ A representação dos números binários num
computador é feita com um número finito de bits,
denominado palavra de computador.
◼ Em geral, os microcomputadores padrão PC tem
tamanho de palavra de 16 e 32 bits. Computadores
modernos tem palavras de 64 bits ou mais.
47
Aritmética de Ponto Flutuante
◼ Ex. 12:
Considere uma máquina de calcular com F (2, 10, -15,
15).
𝟐𝟓𝟏𝟎 = 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏𝟐 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏 × 𝟐
𝟓 = 𝟎, 𝟏𝟏𝟎𝟎𝟏 × 𝟐𝟏𝟎𝟏
Nesta máquina são utilizados 10 bits para a mantissa, 4
bits para o expoente (𝟏𝟓𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟐), 1 bit para o sinal
do expoente e 1 bit para o sinal da mantissa(0 se + e 1
se -), resultando em 16 bits.
48
0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1
mantissa expoente
4949
◼ Arredondamento
◼ Truncamento de Dígitos
Quanto menor for o erro, maior
será a precisão do resultado da
operação.
Aproximação
5050
◼ Arredondamento
Ex. 10: Cálculo de 𝟐 utilizando uma calculadora
digital
Valor apresentado: 1,4142136
Valor real: 1,41421356...
Aproximação
Regra:
• Se 𝒅𝒕+𝟏 < 𝟓, despreza-se todos os algarismos após 𝒅𝒕;
• Se 𝒅𝒕+𝟏 ≥ 𝟓, despreza-se todos os algarismos após 𝒅𝒕
, fazendo 𝒅𝒕 = 𝒅𝒕 + 𝟏.
5151
◼ Truncamento de Dígitos
 Descarte dos dígitos finais de uma
representação exata por limitações de
representação
Ex. 11:
Representação truncada de 2 com 7 dígitos
Valor apresentado: 1,4142135
Valor real: 1,41421356...
Aproximação
5252
▪ Seja um sistema que opera em PF de t dígitos na
base 10, e seja x, escrito na forma:
⚫ x = fx . 10
e + gx . 10
e-t (0,1  fx  1 e 0  gx 1)
⚫ Por exemplo, se t = 4 e x = 234,57, então:
⚫ gx . 10
e-t não pode ser incorporado
totalmente à mantissa. Como considerar
esta parcela na mantissa e definir o erro
máximo cometido?
Erros de arred. e trunc. em um sistema
de aritmética de PF
x = 0,2345 . 103 + 0,7 . 10-1
fx = 0,2345
gx = 0,7
5353
Erros - Truncamento
◼ No truncamento, gx.10
e-t é desprezado e
visto que |gx|< 1
, pois 0,1 é o menor valor possível para fx
tete
xx 1010.gxxEA
−− =−=
e
x 10.fx =
5454
◼ No arredondamento simétrico (forma mais
utilizada):
, se (gx é desprezado)
, se (soma 1 ao último
dígito de fx)
Erros – Arredondamento I





+
=
−tee
x
e
x
1010.f
10.f
x
2
1
gx 
2
1
gx 
5555
Erros - Arredondamento II
Se , então:
tete
xx 10.
2
1
10.gxxEA −− =−=
2
1
gx 
5656
Erros – Arredondamento III
Se , então:
e
tete
x
tete
xx ..g.gEA
−−−− −=−= 10
2
1
1011010
2
1
gx 
( ) ( )teextexexx .f.g.fxxEA −− +−+=−= 10101010
|𝒈𝒙 − 𝟏| ≤ 𝟏/𝟐
5757
◼ Erros de Truncamento e Arredondamento
Sistema operando em ponto flutuante - Base
10
◼ Erro de Truncamento
e
◼ Erro de Arredondamento
e
te
x 10EA
−
1t
x 10ER
+−
1t
x 10
2
1
ER +−te
x 10
2
1
EA −
Arredondamento e Truncamento I
e – exp. em PF
t - nº de dígitos da mantissa
5858
Arredondamento e Truncamento II
◼ Sistema de aritmética de ponto flutuante de
4 dígitos (t=4), precisão dupla
◼ Ex. 12: Seja x = 0,937.104 e y = 0,1272.102.
Calcular x+y.
 Alinhamento dos pontos decimais antes da
soma
x = 0,937. 104 e y = 0,001272. 104,
x+y = 0,938272. 104
 Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x+y = 0,9383.104
Truncamento: x+y = 0,9382.104
5959
Arredondamento e Truncamento III
◼ Sistema de aritmética de ponto flutuante de
4 dígitos, precisão dupla
◼ Ex. 12: Seja x = 0,937.104 e y = 0,1272.102.
Calcular x.y.
x.y = (0,937.104).(0,1272.102)
x.y = (0,937.0,1272).106  x.y = 0,1191864.106
 Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x.y = 0,1192.106
Truncamento: x.y = 0,1191.106
6060
◼ Considerações
◼ Ainda que as parcelas ou fatores de uma
operação possam ser representados
exatamente no sistema, não se pode
esperar que o resultado armazenado seja
exato.
◼ x e y tinham representação exata, mas os
resultados x+y e x.y tiveram
representação aproximada.
Arredondamento e Truncamento IV
6161
Arredondamento e Truncamento V
◼ Ex. 13: Seja x = 0,7237.104 , y = 0,2145.10-4
e z= 0,2585.10¹. Efetuar a operação x + y +
z e calcular o erro relativo do resultado,
supondo x, y e z exatamente
representados. Considere ainda precisão
dupla:
x+y+z = 0,7237.104 + 0,2145.10-4+ 0,2585.10¹
= 0,7237.104 + 0,00000000.104 +
0,0002585.104 = 0,7239585.104
Resultado com 4 dígitos
Arredondamento: x+y+z = 0,7240.104
Truncamento: x+y+z = 0,7239.104
6262
Arredondamento e Truncamento VI
Erro relativo (no arredondamento):
34
4
.1850
1072400
,
−−
++
++

=
++
=
10
2
1
.1073
.,
.10 - 0,72402.100,72395850
zyx
EA
ER
44
zyx
zyx
6363
Erros – Propagação I
◼ Propagação dos Erros
 Durante uma sequência de operações
aritméticas, os erros dos operandos
produzem um erro no resultado da
operação
◼ Propagação ao longo do processo
◼ Determinação do erro no resultado final
obtido
6767
Erros – Propagação IV
◼ Resolução numérica de um problema
 Importância do conhecimento dos
efeitos da propagação de erros
◼ Determinação do erro final de uma
operação
◼ Conhecimento da sensibilidade de um
determinado problema ou método
numérico
7272
Erros – Propagação X
◼ Análise dos Erros Absoluto e Relativo
 Expressões para a determinação dos erros
nas operações aritméticas
 Erros presentes na representação das
parcelas ou fatores, assim como no
resultado da operação
◼ Supondo um erro final arredondado,
sendo x e y, tais que:
yx E Ayy E Axx +=+=
e
7373
Erros – Propagação XI
◼ Adição
 Erro Absoluto
 Erro Relativo






+
+





+
=
+
=
+
+
yx
y
ER
yx
x
ER
yx
EA
ER yx
yx
yx
yxyx
yx
yx
EAEAEA
EAEAyx
EAyEAxyx
+=
+++
=+++=+
+
)()(
)( )(
7474
Erros – Propagação XII
◼ Subtração
 Erro Absoluto
 Erro Relativo






−
−





−
=
−
=
−
−
yx
y
ER
yx
x
ER
yx
EA
ER yx
yx
yx
yxx-y
yx
yx
EAEAEA
EAEAyx
EAyEAxyx
−=
−+−
=+−+=−
)()(
)( )(
7575
Erros – Propagação XIII
◼ Multiplicação
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
muito pequeno
( ) ( ) ( )yxyxyx .E AE AE Ax.E Ayy.xE Ay.E Axx .y +++=++=
( ) ( )
xyyx
yxyx
.EAyEAxEA
EAx.EAyy.xEAy.EAxx.y
+
++=++
..
yxy.x E RE RE R +=
7676
Erros – Propagação XIII
◼ Divisão
 Erro Absoluto
 Erro Relativo
yxx/y E RE RE R −=
Simplificação:
(desprezam-se os termos de potência >1)
( )
( )
( )












+
+
=
+
+
=
y
EA
1
1
.
y
EAx
EAy
EAx
y
x
y
x
y
x ...
y
EA
y
EA
y
EA
1
y
EA
1
1
3
y
2
yy
y
+





−





+−=
+
2
yx
2
x
y
EAx.EAy
y
EAyx
y
EA
y
x
y
x −
=−+
7777
Erros – Análise I
EAx=EAy= 0,
 EAx+y=0
1t
yx 10
2
1
RAER +−+ =
Ex. 19: Cálculo de ER(x+y)
Como x e y são exatamente representados, ERx+y se
resume ao Erro Relativo de Arredondamento (RA) no
resultado da soma.
RAER
RA
yx
EA
ER
yx
yx
yx
=
+
+
=
+
+
+
7878
Erros – Análise II
◼ Sistema de aritmética de ponto flutuante
de 4 dígitos, precisão dupla.
 Ex. 20: Seja x = 0,937.104, y = 0,1272.102
e z = 0,231.101, calcular x+y+z e
ER(x+y+z), sabendo que x, y e z estão
exatamente representados.
Solução:
Alinhando as vírgulas decimais:
x = 0,937000.104
y = 0,001272.104 e
z = 0,000231.104
7979
Erros – Análise III
 Ex. 20: Seja x = 0,937.104, y = 0,1272.102
e z = 0,231.101, calcular x+y+z e
ER(x+y+z), sabendo que x, y e z estão
exatamente representados.
Solução:
A soma é feita por partes: (x+y)+z
x+y = 0,9383 . 104
x+y+z = 0,9383 . 104 + 0,000231 . 104
x+y+z = 0,938531. 104
x+y+z = 0,9385. 104
(após o arredondamento)
8080
Erros – Análise IV
Solução:
EAz=0,
 ERz=0
1t
zyx 10
2
1
1
zyx
yx
ER +−++ 







+
++
+









+
++
+
=+







++
+
=
+







++
+
=
+







++
+







++
+
=
++
++
++
1
zyx
yx
RARA
zyx
yx
RAER
RA
zyx
yx
ERER
RA
zyx
z
ER
zyx
yx
ERER
szyx
szyx
zszyx
8181
Erros – Análise V
Solução:
3
zyx 10.0,9998E R
−
++ 
110
2
1
1 +−++ 







+
++
+
 tzyx .
zyx
yx
ER 3
4
4
10
2
1
1
1093850
1093830 −
++ 





+ .
.,
.,
ER zyx
8282
Erros – Análise VI
◼ Ex. 21: Supondo que u é representado
em um computador por ū, que
é obtido por arredondamento.
Obter os limites superiores para
os erros relativos de v = 2. ū e
w = ū + ū.
8383
Erros – Análise VII
◼ Ex. 21:
Solução:
1t
v 10ER
+−
u.2v =
1t
u2.
u2u2.
.10
2
1
2.ER
RA2.RARARAERERER
+−
=+=++=
8484
Erros – Análise VIII
◼ Ex. 21:
Solução:
uuw +=
1t
vw 10E RE R
+−=
RA
uu
u
ER
uu
u
ERER uuw +





+
+





+
=
RA2.RA
uu
u
RA2.ERw =+





+
=
1t1t
w 10.10
2
1
2.RA2.ER +−+− ==
8585
Erros – Sumário I
1. Erro Relativo da Adição  Soma dos
erros relativos de cada parcela,
ponderados pela participação de cada
parcela no total da soma.
2. Erro Relativo da Subtração  Soma dos
erros relativos do minuendo e
do subtraendo, ponderados pela
participação de cada parcela no
resultado da subtração.
8686
Erros – Sumário II
3. Erro Relativo da Multiplicação  Soma
dos erros relativos dos fatores.
4. Erro Relativo da Divisão  Soma
dos erros relativos do dividendo e do
divisor.
8787
Erros – Exercício I
◼ Seja um sistema de aritmética de ponto
flutuante de 4 dígitos, base decimal e com
acumulador de precisão dupla. Dados os
números x = 0,7237.104, y = 0,2145.10-3 e
z = 0,2585.101, efetuar as seguintes
operações e obter o erro relativo nos
resultados, supondo que x, y, e z estão
exatamente representados.
a) x+y+z b) x−y−z c) x/y
d) (x.y)/z e) x.(y/z) f) (x+y).z
8888
Erros – Exercício II
x.3u =
xxxw ++=
x.4u =
xxxxw +++=
◼ Supondo que x é representado num
computador por x e obtido por
arredondamento, determinar os limites
superiores para os erros relativos de:
a) b)
c) d)
8989
Erros – Exercícios III
◼ Sejam ī e ū as representações de i e u
obtidas em um computador por
arredondamento. Deduzir expressões de
limitante de erro, a fim de mostrar que o
limitante de erro relativo de
é
y.x.3u =
( ) y.xxxv ++=
9090
Erros – Exercício IV
◼ Um computador armazena números reais
utilizando 1 bit para o sinal do número, 7 bits
para o expoente e 8 bits para a mantissa.
Admitindo que haja truncamento, como
ficarão armazenados os seguintes números
decimais?
a) n1 = 25,5 b) n2 = 120,25 c) n3 = 2,5
d) n4 = 460,25 e) n5 = 24,005
9393
Erros - Bibliografia
 Ruggiero, M. A. Gomes & Lopes, V. L. da R.
Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e
computacionais. MAKRON Books, 1996, 2ª ed.
 Asano, C. H. & Colli, E. Cálculo Numérico:
Fundamentos e Aplicações. Departamento de
Matemática Aplicada – IME/USP, 2007.
 Sanches, I. J. & Furlan, D. C. Métodos
Numéricos. DI/UFPR, 2006.
 Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação
de Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online]
http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/sem
estre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último
acesso 07 de Junho de 2007].
9494Erros - Bibliografia
 Paulino, C. D. & Soares, C. Erros e Propagação
de Erros, Notas de aula, SE/ DM/ IST [Online]
http://www.math.ist.utl.pt/stat/pe/qeb/sem
estre_1_2004-2005/PE_erros.pdf [Último
acesso 08 de Setembro de 2011].