ATPS de Matemática aplicada 3 SEMESTRE

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ETAPA 2
PASSO 1
APLICAÇÕES DAS DERIVADAS NO ESTUDO DAS FUNÇÕES
 
 
 
MÁXIMOS E MÍNIMOS
 
Valores críticos e Máximos e Mínimos relativos
Os valores críticos para uma função y = f(x) são valores de x, para os quais a função é definida e nos quais y’ = 0 ou se torna infinita. Na Fig. 2, B, C, D, F e H são pontos críticos da curva e suas abscissas x = b, x = c, x = d, x = f e x = h são valores críticos para a função.
Uma função y = f (x) tem um valor máximo relativo para x = x0, se f (x0) for maior do que os valores que imediatamente o precedem e sucedem na função. Quando x aumenta, passando por x = x0, f (x) varia, passando de crescente para decrescente e f'(x) muda o sinal de positivo para negativo.
Uma função y = f (x) tem um valor mínimo relativo para x = x0, se f (x0) for menor do que os valores que imediatamente o precedem e sucedem na função. Quando x aumenta, passando por x = x0, f (x) varia, passando de decrescente para crescente e f'(x) muda o sinal de negativo para positivo.
Dentre as importantes aplicações de máximos e mínimos destacamos os problemas que têm na sua estrutura o valor máximo ou mínimo de algumas variáveis tais como área, volume, força, potência, tempo, lucro ou custo. Na prática, estes problemas são bastante abrangentes, que vão desde problemas geométricos, até problemas que dizem respeito à física, engenharia, biologia, negócios e economia. De uma forma geral, estes problemas podem ser abordados através do seguinte processo, que sumarizamos a seguir: 
1] Associe um símbolo adequado à grandeza a ser maximizada ou minimizada; para a finalidade desta discussão, chame-o de Q. Determine as grandezas restantes em variáveis em função de Q e associe símbolos a essas variáveis. Se for possível esboce um diagrama e marque as várias pontes com os símbolos correspondentes.
 2] Expresse a quantidade Q cujo valor extremo é desejado em função das fórmulas em que figurem as variáveis das quais ela depende. Se na fórmula figurarem outras variáveis, use as condições dadas no enunciado do problema para achar relações entre essas variáveis que podem ser usadas para eliminar variáveis da fórmula.
 3] Agora temos Q = f(x), onde (para o propósito desta discussão) x denota a variável simples da qual Q foi considerada dependente, e f é a função determinada por esta dependência. Se houver restrição à quantidade x imposta pela natureza física do problema ou por outras considerações práticas, explique estas restrições explicitamente.
 4] Aplique os métodos discutidos no tópico anterior (construção de gráficos) para determinar o extremo absoluto de f(x) desejado sujeito às restrições impostas a x.
Na prática, a eliminação de todas as variáveis exceto uma, da qual Q depende no passo 2, é freqüentemente a parte mais astuciosa do processo. Algumas vezes isto não se pode executar totalmente porque nem todas as relações entre essas variáveis são dadas pelo enunciado do problema. Neste caso, o processo dado acima falha, e um método mais sofisticado precisa ser usado (multiplicadores de Lagrange).
Funções crescentes e decrescentes.
A taxa de variação de uma função y = f (x) em relação a x, é dada por y’ = f' (x). Quando x cresce num intervalo, y cresce se y' for positiva e decresce se y’ for negativa.
 Concavidade e ponto de inflexão
Um arco de uma curva é côncavo para cima se, em todos os pontos, o arco fica acima da tangente. Quando x aumenta ou y' não varia de sinal e é crescente.
 (como no intervalo b < x < c), ou troca de sinal, passando de negativo para positivo (como nos intervalos c < x < e e g < x < i).
 Em qualquer caso, a inclinação y' da curva é crescente e y" é positiva.Um arco de uma curva é côncavo para baixo se, em todos os pontos, o arco fica abaixo da tangente. Quando x aumenta, ou y' não varia de sinal e é decrescente (como no intervalo a < x < b), ou troca de sinal, passando de positivo para negativo (como no intervalo e < x < g).
 Em qualquer caso, a inclinação y' da curva é decrescente e y" é negativa.Ponto de inflexão é o ponto em que a curva muda de côncava para cima em côncava para baixo, ou vice-versa
PASSO 3
DERIVAR A FUNÇÃO CUSTO : 
C(q)= q² - 40q + 700
C'(q)= 2q²-¹ - 2q- 40q¹-¹ + 0
C'(q)= 2q - 40 . 1
C'(q)= 2q - 40
PASSO 4 : RELATÓRIO 2
Derivada função de custo de pares de sapatos do tipo B
Achar o valor minimizado de custo:
C(X) = x² - 40x = 700
Derivada:
C'(x) = 2x - 40
Encontrar o valor minimizado de custo: C'(x) =0
2x - 40 = 0
2x= 40
x = 40/2
x=20
ETAPA 3 
PASSO 1
 Técnicas de Derivação; Aplicações das Derivadas nas Áreas econômica e administrativa.
“Aplicações de Funções Matemáticas”.
 
TAXA DE VARIAÇÃO
· Taxa de Variação Média
Quando uma grandeza y está sendo expressa em função de outra x, ou seja, y = f (x), observamos que, para uma dada variação de x, ocorre, em correspondência, uma dada variação de y, desde que y não seja uma função constante.
Se y = f (x) = x2, e, a partir de x0, supomos uma variação Δx, ou seja, xvaria de x0 até x0 + Δx(podemos calcular a correspondente variação de y, que denominamos Δy).
O quociente é denominado taxa de variação média e normalmente depende do particular ponto x0 e da variação Δx considerada.
 
· Taxa de Variação Instantânea
Seria interessante conhecer a taxa de variação em intervalos de comprimento "muito pequeno" o que ainda não resolveria o nosso problema, uma vez que "muito pequeno" não é algo totalmente claro. O ideal mesmo seria conseguir definir o que é taxa de variação em cada ponto.
Aplicações das Derivadas nas Áreas Econômicas e Administrativas
Objetivo
O significado econômico da marginalidade avaliando o custo marginal, custo médio marginal, receita marginal e lucro marginal. 
Funções Marginais
Analisaremos a propensão marginal a consumir e a propensão marginal a poupar. O significado da palavra marginal pode ser estendido a outras funções, sendo natural pensar em produção marginal e produção média marginal que discutiremos no custo marginal, custo médio marginal etc.
• O Custo Marginal de uma produção
O Custo Marginal corresponde ao acréscimo dos custos totais de produção, quando se aumenta a quantidade produzida em uma unidade. É o custo de se produzir mais uma unidade.
Para se analisar é necessário: a função da produção em relação ao custo C(q) e a sua derivada C’ (q)=;que chamamos Custo Marginal.
• Função Custo Marginal e Outras Funções Marginais
Para cada nível de produção temos um custo marginal, o que motiva a determinação da função Custo Marginal.
• A Receita Marginal
Nos da à variação da receita correspondente ao aumento de uma unidade na venda de um produto. A função Receita Marginal é obtida pela derivada da Função Receita. Se a função Receita é simbolizada por R(q), então:
R mg = Função Receita Marginal = R'(q)
É comum analisar a receita vinculada ao custo, associando custo e receita para uma mesma quantidade produzida e vendida. 
• O Lucro Marginal
A função Lucro Marginal é obtida pela derivada da função Lucro. Se a função lucro é simbolizada por L(q), então:
L mg = Função Lucro Marginal = L'(q)
L = R-C
• Custo Médio Marginal
O Custo Médio Marginal nos dá a variação do custo médio de um produto correspondente ao aumento de uma unidade na produção dele. A função Custo Médio Marginal é obtida pela derivada da função Custo Médio. Se a função custo médio é simbolizada por C me(q), então
C memg = Função Custo Médio Marginal = C me(q)
• A Produção Marginal
A variação da produção correspondente ao aumento de uma unidade na quantidade do insumo utilizado na produção. A função Produção Marginal é obtida pela derivada da função Produção. Se a função produção é simbolizada por P (q), então:
P mg = Função Produção Marginal = P' (q)
PASSO 3 :
1) DETERMINAR A FUNÇÃO LUCRO DO Sr. OTÁVIO:
Função de custo
C(q)= q² - 40q + 700
FUNÇÃO RECEITA:
R(q) = 40q
FUNÇÃO DO LUCRO:
L= R- C 
L(q)= -q² + 80q - 700
2) DERIVAR A FUNÇÃO LUCRO:
L'(q)= - 2q + 80
Igual a zero:
L'(q) = 0
-2q + 80 = 0-2q = - 80
q = - 80/-2
q = 40 
PASSO 4: 
RELATÓRIO 3
Pares de sapatos de numero (q), do tipo B foram produzidos e vendidos para obter lucro máximo de 40 pares.
REFERENCIAS 
 
· MUROLO, Afrânio C.; BONETTO, Giácomo. Matemática aplicada à administração, economia e contabilidade. 2ºEd. Ver. e Ampl. – São Paulo: Cengage Learning, 2012. 
· SILVA, W. 2008. Montagem e análise de uma indústria visando gerar lucros. Disponível em: http://sare.Unianhanguera.Edu.Br/index.Php/rcger/article/view/304/304. Acesso em: 09 de Maio de 2013.
• HUGHES - HALLETT, Deborah. Matemática Aplicada. 3ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008. 
• WEBER, Jean E. Matemática para Economia e Administração. 2ª ed. São Paulo: Harbra, 2001. 
• SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo com Geometria Analítica. Volume I, 2ª ed. São Paulo: Makron Books, 2010 Cap. 04.