P1 Calculo Numerico 2018 1 Gabarito washington CEFET

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Centro Federal de Educação Tecnológica C. S. da Fonseca
UnED Itaguaí
Engenharia de Produção
Cálculo Numérico Turma 2018-1 Data: 18/04/2018 Prova: P1
Professor: Washington da Silva Aluno:Washington Santos Silva Santos Silva Nota:
Questão 1 – (2.0 pt)
Seja f(x) =
√
x − 5e−x e ξ sua raiz no intervalo (1.1; 1.9). Mostre que podemos considerar
ϕ1(x) = 25e
−2x e ϕ2(x) = ln(5)− 12 ln(x); verifique, FAZENDO USO DO TEOREMA, se ϕ1(x)
ou ϕ2(x) convergem para ξ ∈ (1.1; 1.9) se usarmos o Método do Ponto Fixo com x0 = 1.5.
Solução 1. Note que
√
x− 5e−x = 0 =⇒ √x = 5e−x =⇒ x = (5e−x)2 =⇒ x = 25e−2x
Logo, podemos considerar ϕ1(x) = 25e−2x.
Observe também que
√
x− 5e−x = 0 =⇒ 5e−x = √x =⇒ e−x =
√
x
5
=⇒ −x = ln
(√
x
5
)
= ln(
√
x)− ln(5)
=⇒ x = −ln(x1/2) + ln(5) = −1
2
ln(x) + ln(5)
Logo, podemos considerar também ϕ2(x) = ln(5)− 12 ln(x).
É imediato que ϕ1(x) = 25e−2x e ϕ′1(x) = −50e−2x são contínuas em R. Em particular, são
contínuas em (1.1; 1.9). No entanto,
|ϕ′1(x)| = | − 50e−2x| = 50e−2x < 1 =⇒ e−2x <
1
50
=⇒ −2x < ln
(
1
50
)
=⇒ x > −1
2
ln
(
1
50
)
≈ 1.9560
Como (1.1; 1.9) não está contido em (1.9560;∞), temos que ϕ1(x) = 25e−2x não converge para
ξ ∈ (1.1; 1.9).
Por outro lado, temos que ϕ2(x) = ln(5) − 12 ln(x) e ϕ′2(x) = − 12x são contínuas em (0;∞) e
R− {0}, respectivamente. Em particular, são contínuas em (1.1; 1.9). Além disso, note que
|ϕ′2(x)| =
∣∣∣∣− 12x
∣∣∣∣ = 12|x| < 1 =⇒ |x| > 12 =⇒ x > 12 = 0.5 ou x < −12 = −0.5
Como (1.1; 1.9) ⊂ (0.5;∞), temos que ϕ2(x) = ln(5)− 12 ln(x) converge para ξ ∈ (1.1; 1.9).
Questão 2 – (1.5 pt)
Trabalhando com arredondamento para oito dígitos significativos em todas as operações, quando
for o caso, use o método de Newton para obter uma solução aproximada x¯ para f(x) =
√
x−
5e−x = 0 com x0 = 1.5 e � = 10−3.
1
Solução 2. A função iteração no método de Newton é dada por
ϕ(x) = x− f(x)
f ′(x)
= x−
√
x− 5e−x
1
2
√
x
+ 5e−x
=⇒ xk+1 = ϕ(xk) = xk −
√
xk − 5e−xk
1
2
√
xk
+ 5e−xk
Como |f(x0)| = 0.10909407 > �, devemos efetuar as iterações. Segue que
x1 = ϕ(x0) = 1.42841122 =⇒ |f(x1)| = 0.00328557 > � e |x1 − x0| = 0.07158876 > �
x2 = ϕ(x1) = 1.43044337 =⇒ |f(x2)| = 2.77504384 · 10−6 < � e |x2 − x1| = 0.00203215 > �
Como |f(x2)| = 2.77504384 · 10−6 < �, temos que x¯ = x2 = 1.43044337 (note que nem precisa-
ríamos ter calculado |x2 − x1|).
Questão 3 – (2.0 pt)
Dado o sistema linear 
2x1 + 3x2 + 5x3 = −1
−4x1 − 4x2 + 10x3 = −4
3x1 + 5x2 − 3x3 = −3
Obtenha as matrizes L e U da decomposição LU ; a seguir, resolva os sistemas Ly = b e Ux = y
a fim de encontrar o vetor solução x (nesta questão, você não deve usar calculadora para
fazer as contas; não transforme as frações em números decimais; faça as contas com
frações, quando for o caso).
Solução 3. Sejam
A =
 2 3 5−4 −4 10
3 5 −3
 e b =
−1−4
−3

a matriz de coeficientes e o vetor de termos independentes, respectivamente. Procuramos L e
U , tais que LU = A, dadas por
L =
 1 0 0l21 1 0
l31 l32 1
 e U =
u11 u12 u130 u22 u23
0 0 u33

De antemão, sabemos que
u1j = a1j =⇒ u11 = 2, u12 = 3 e u13 = 5
Multiplicando a segunda e terceira linhas de L pela primeira coluna de U , respectivamente,
temos
2l21 = −4 e 2l31 = 3 =⇒ l21 = −2 e l31 = 3
2
2
Multiplicando a segunda linha de L pela segunda e terceira colunas de U , respectivamente, temos
−6 + u22 = −4 e − 10 + u23 = 10 =⇒ u22 = 2 e u23 = 20
Multiplicando a terceira linha de L pela segunda coluna de U , temos
3
2
· 3 + 2l32 = 5 =⇒ l32 = 1
4
E, finalmente, multiplicando a terceira linha de L pela terceira coluna de U , temos
3
5
· 5 + 1
4
· 20 + u33 = −3 =⇒ u33 = −31
2
Então,
L =
 1 0 0−2 1 0
3
2
1
4
1
 e U =
2 3 50 2 20
0 0 −31
2

Segue que  1 0 0−2 1 0
3
2
1
4
1

y1y2
y3
 =
−1−4
−3
 =⇒ y1 = −1, y2 = −6 e y3 = 0
2 3 50 2 20
0 0 −31
2

x1x2
x3
 =
−1−6
0
 =⇒ x3 = 0, x2 = −3 e x1 = 4
Logo,
x =
 4−3
0

Questão 4 – (2.0 pt)
Dado o sistema linear 
5x1 + 2x2 + x3 = 14
x1 + 4x2 + x3 = −8
2x1 + 3x2 + 8x3 = −1
Verifique que pelo critério das linhas, temos que o método iterativo de Gauss-Seidel gera uma
sequência x(k) convergente para a solução do sistema linear dado; escreva como deve ser o
esquema iterativo de Gauss-Seidel para esse problema, isto é, escreva a fórmula iterativa para
cada x(k+1)i , i = 1, 2, 3, e faça (apenas) duas iterações, ou seja, obtenha x(2), com x(0) = (1, 1, 1)T
(neste caso, não é preciso utilizar o critério de parada visto que não foi dada nenhuma precisão
�).
3
Solução 4. Testando o critério das linhas, temos
α1 =
∣∣∣∣25
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣15
∣∣∣∣ = 35 , α2 =
∣∣∣∣14
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣14
∣∣∣∣ = 12 , α3 =
∣∣∣∣28
∣∣∣∣+ ∣∣∣∣38
∣∣∣∣ = 58 =⇒ α = 58 = 0.625 < 1
Logo, o método iterativo de Gauss-Seidel gera uma sequência x(k) convergente para a solução
do sistema linear dado, onde a fórmula iterativa para cada x(k+1)i , i = 1, 2, 3, deve ser
x
(k+1)
1 =
14−2x(k)2 −x(k)3
5
x
(k+1)
2 =
−8−x(k+1)1 −x(k)3
4
x
(k+1)
3 =
−1−2x(k+1)1 −3x(k+1)2
8
Iterando, temos
k = 0: 
x
(1)
1 =
14−2−1
5
= 11
5
= 2.2
x
(1)
2 =
−8−2.2−1
4
= −11.2
4
= −2.8
x
(1)
3 =
−1−4.4+8.4
8
= 3
8
= 0.375
k = 1: 
x
(2)
1 =
14+5.6−0.375
5
= 3.845
x
(2)
2 =
−8−3.845−0.375
4
= −3.055
x
(2)
3 =
−1−7.69+9.165
8
= 0.059375
Você pode notar que a solução desse sistema também é
x =
 4−3
0

4