PF Calculo Numerico 2018 1 Gabarito washington CEFET

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Centro Federal de Educação Tecnológica C. S. da Fonseca
UnED Itaguaí
Engenharia de Produção
Cálculo Numérico Turma 2018-1 Data: 04/07/2018 Prova: PF
Professor: Washington da Silva Aluno:Washington Santos Silva Santos Silva Nota:
Questão 1 – (2.0 pt)
Seja f(x) = x − 6 − 2ln(x − 2) + 2ln(x − 1). Sejam ξ1 e ξ2 suas raízes tais que ξ1 ∈ (2, 3) e
ξ2 ∈ (5, 6). Mostre, pelo teorema, se ϕ(x) = 6 + 2ln(x − 2) − 2ln(x − 1) converge para ξ1 ou
ξ2 pelo Método do Ponto Fixo, tomando x0 ∈ (2, 3) ou x0 ∈ (5, 6), respectivamente. NESTA
QUESTÃO, VOCÊ NÃO DEVE USAR CALCULADORA.
Solução 1. ϕ(x) = 6 + 2ln(x − 2) − 2ln(x − 1) é contínua em (2,∞) pois ln(x − 2) implica
x > 2; já
ϕ′(x) =
2
x− 2 −
2
x− 1 =
2
(x− 1)(x− 2)
é contínua em (−∞, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2,∞). Logo, ϕ(x) e ϕ′(x) são contínuas em (2, 3) e (5, 6).
No entanto, observe que
|ϕ′(x)| =
∣∣∣∣ 2(x− 1)(x− 2)
∣∣∣∣ = 2|(x− 1)(x− 2)| < 1 =⇒ |(x− 1)(x− 2)| = |x2 − 3x+ 2| > 2
Não é difícil notar que |x2−3x+2| = 2 em x = 0 ou x = 3. Assim , temos que |x2−3x+2| > 2
para x ∈ I = (−∞, 0) ∪ (3,∞). Como (5, 6) ⊂ I, temos que ϕ(x) converge para ξ ∈ (5, 6)
tomando x0 ∈ (5, 6). Mas ϕ(x) não converge para ξ ∈ (2, 3) pois (2, 3) 6⊂ I.
Questão 2 – (2.0 pt)
Considere o sistema tridiagonal dado por
2x1 − x2 = 1
−xi−1 + 2xi − xi+1 = 0, 2 ≤ i ≤ (n− 1)
−xn−1 + 2xn = 0
para n = 4. Escreva a matriz A dos coeficientes e obtenha as matrizes L e U da decomposição
LU . NESTA QUESTÃO, VOCÊ NÃO DEVE USAR CALCULADORA.
Solução 2.
A =

2 −1 0 0
−1 2 −1 0
0 −1 2 −1
0 0 −1 2
 , L =

1 0 0 0
−1
2
1 0 0
0 −2
3
1 0
0 0 −3
4
1
 e U =

2 −1 0 0
0 3
2
−1 0
0 0 4
3
−1
0 0 0 5
4

1
Questão 3 – (2.0 pt)
Seja f(x) = sen
(pix
2
)
. Determine a função Spline Linear sobre os pontos x0 = 3, x1 = 4 e
x2 = 5; use a forma de Lagrange para obter o polinômio de interpolação Pn(x) (polinômio de
grau menor ou igual a n) sobre esses mesmos pontos; faça uma tabela comparando os valores de
f(3.5), S1(3.5) e P2(3.5). NESTA QUESTÃO, VOCÊ NÃO DEVE USAR CALCULADORA.
Solução 3. Considere a tabela abaixo:
x 3 4 5
f(x) −1 0 1
A fim de escrevermos a função S1 Spline Linear, devemos obter as partes s1(x) e s2(x). Segue
que
s1(x) = f(x1)
x− x0
x1 − x0 − f(x0)
x− x1
x1 − x0 = −
(−1)(x− 4)
4− 3 = x− 4
s2(x) = f(x2)
x− x1
x2 − x1 − f(x1)
x− x2
x2 − x1 =
x− 4
5− 4 = x− 4
Logo,
S1 = x− 4, x ∈ [3, 5]
Agora, a fim de escrevermos o polinômio de interpolação quadrático, devemos obter L0(x) e
L2(x) (note que não precisamos escrever L1(x) visto que f(x1) = f(4) = 0). Segue que
L0(x) =
(x− x1)(x− x2)
(x0 − x1)(x0 − x2) =
(x− 4)(x− 5)
(−1)(−2) =
x2 − 9x+ 20
2
L2(x) =
(x− x0)(x− x1)
(x2 − x0)(x2 − x1) =
(x− 3)(x− 4)
2
=
x2 − 7x+ 12
2
Logo
P2(x) = −x
2 − 9x+ 20
2
+
x2 − 7x+ 12
2
=⇒ P2(x) = x− 4
f(3.5) S1(3.5) P2(3.5)
−
√
2
2
−0.5 −0.5
2
Questão 4 – (2.0 pt)
Seja I =
∫ 4
1
2√
x
dx.
Determine com quantas divisões do intervalo [1, 4], no mínimo, podemos esperar obter erros
menores que 10−4 ao integrarmos numericamente pela Regra dos Trapézios e pela Regra 1/3
de Simpson. Use aproximação por arredondamento com 4 casas decimais, quando for o caso.
Solução 4. n pela Regra dos Trapézios Repetida:
|ETR| ≤ nh
3M2
12
, h =
3
n
, M2 = máxx∈[1,4]|f ′′(x)|
Segue que
f ′(x) = − 1√
x3
; f ′′(x) =
3
2
√
x5
=⇒M2 = |f ′′(1)| = 3
2
Então
nh3M2
12
= n ·
(
3
n
)3
· 3
2
· 1
12
=
27
8n2
< 10−4 =⇒ n2 > 27
8 · 10−4 =⇒ n >
√
27
8 · 10−4 ≈ 183.7117
Logo, a fim de integrar numericamente I pela Regra dos Trapézios Repetida com erro menor
que 10−4, basta tomarmos n = 184.
n pela Regra 1/3 de Simpson Repetida:
|ESR| ≤ nh
5M4
180
, h =
3
n
, M4 = máxx∈[1,4]|f (iv)(x)|
Segue que
f ′′′(x) = − 15
4
√
x7
; f (iv)(x) =
105
8
√
x9
=⇒M4 = |f (iv)(1)| = 105
8
Então
nh5M4
180
= n·
(
3
n
)5
·105
8
· 1
180
=
567
32n4
< 10−4 =⇒ n4 > 567
32 · 10−4 =⇒ n >
4
√
567
32 · 10−4 ≈ 20.5167
Logo, a fim de integrar numericamente I pela Regra 1/3 de Simpson Repetida com erro menor
que 10−4, basta tomarmos n = 22.
3
Questão 5 – (2.0 pt)
Considere o PVI dado por {
y′ − y = 2te2t
y(0) = 1
Usando o método de Taylor de ordem k = 2, calcule y(0.2) com h = 0.1. Use aproximação por
arredondamento com 5 casas decimais, quando for o caso.
Solução 5. O método de Taylor de ordem k = 2 é dado por
yn+1 = yn + y
′
nh+ y
′′
n
h2
2
Devemos calcular a derivada y′′. Segue que
y′ = y + 2te2t
y′′ = y′ + 2e2t + 4te2t =⇒ y′′ = y + 2e2t + 6te2t
y1 é dado por
y1 = y0 + (0.1)y
′
0 +
(0.1)2
2
y′′0
onde,
y0 = 1
y′0 = y0 + 2 · 0 · e0 = 1
y′′0 = y0 + 2 · e0 + 6 · 0 · e0 = 1 + 2 = 3
Logo,
y1 = 1 +
1
10
+
3
200
=
200 + 20 + 3
200
=
223
200
=⇒ y1 = 1.115
y2 é dado por
y2 = y1 + (0.1)y
′
1 +
(0.1)2
2
y′′1
onde,
y1 = 1.115
y′1 = y1 + 2 · (0.1) · e0.2 = 1.35928
y′′1 = y1 + 2 · e0.2 + 6 · (0.1) · e0.2 = 4.29065
Logo,
y2 = 1.115 +
1.35928
10
+
4.29065
200
=⇒ y2 = 1.27239
4
SPILINE LINEAR
si(x) = f(xi)
x− xi−1
xi − xi−1 − f(xi−1)
x− xi
xi − xi−1 ∀x ∈ [xi−1, xi]
FÓRMULA DE LAGRANGE
Pn(x) =
n∑
k=0
fkLk(x), Lk(x) =
n∏
i=0
i 6=k
(x− xi)
(xk − xi)
REGRA DOS TRAPÉZIOS REPETIDA
|ETR| ≤ nh
3M2
12
, n =
b− a
h
, M2 = máxx∈[a,b]|f ′′(x)|
REGRA 1/3 DE SIMPSON REPETIDA
|ESR| ≤ nh
5M4
180
, n =
b− a
h
, M4 = máxx∈[x0,xn]|f (iv)(x)|
MÉTODO DE TAYLOR DE ORDEM k
yn+1 = yn +
(
k∑
i=1
y(i)n
hi
i!
)
5