2.1) Apresentacao Retas(1)

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Escola Politécnica – UFRJ
Departamento de Expressão Gráfica – DEG
Sistemas Projetivos
Representação de Retas no Sistema Mongeano
NOTAS DE AULA
Prof. Julio Cesar B. Torres (juliotorres@ufrj.br)
Sejam dois pontos 
(A) e (B)
REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO
Projeções verticais de (A) e (B)
Projeções horizontais de (A) e (B)
REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO
Projeções na épura:
REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO
Seja a reta (r) que contém (A) e (B):
Observação sobre a NOTAÇÃO utilizada: 
- retas serão representadas com letras minúsculas;
- (r) representa a reta “no espaço”(objeto)
- r e r’ são, respectivamente, as projeções horizontal e vertical da reta (r).
REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO
Projeção vertical da reta (r)
Projeção horizontal da reta (r)
Projeção vertical da reta (r)
Projeção horizontal da reta (r)
REPRESENTAÇÃO DA RETA NO SISTEMA MONGEANO
Definição: o traço de uma reta é o 
seu ponto de interseção com um 
plano de projeção
TRAÇO DE UMA RETA
Dependendo da direção da reta, esta 
poderá ter até dois traços: 
-o traço horizontal, ponto (H);
-o traço vertical, ponto (V).
TRAÇO DE UMA RETA
Cada traço, por ser UM PONTO, terá
também suas projeções:
(V) : V e V’
TRAÇO DE UMA RETA
Cada traço, por ser UM PONTO, terá
também suas projeções:
(V) : V e V’
(H) : H e H’
Cada traço, por ser UM PONTO, terá
também suas projeções:
(V) : V e V’
(H) : H e H’
TRAÇO DE UMA RETA
TRAÇO DE UMA RETA
CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS
No estudo da Geometria Descritiva e do Sistema 
Mongeano classifica-se a reta em função da sua posição 
em relação aos planos de projeção.
Para que as retas possam ser definidas são utilizados 
TRÊS planos de referência: os dois planos de projeção -
(p) e (p’) e um plano auxiliar, denominado plano de 
PERFIL, perpendicular ao demais e no qual não é
necessário realizar projeção.
CLASSIFICAÇÃO DAS RETAS
Plano de Perfil, usado 
apenas como referência para 
a definição da posição das 
retas em relação aos planos.
- Obliqua aos 3 planos
RETA QUALQUER
- Obliqua aos 3 planos
RETA QUALQUER
- Nenhuma das projeções encontra-se 
em VERDADEIRA GRANDEZA.
- Paralela ao plano (p)
- Oblíqua aos planos (p’) e (p’’) 
RETA HORIZONTAL
- Paralela ao plano (p)
- Oblíqua aos planos (p’) e (p’’) 
RETA HORIZONTAL
Projeção Horizontal em 
VERDADEIRA GRANDEZA
- Paralela ao plano (p)
- Oblíqua aos planos (p’) e (p’’) 
RETA HORIZONTAL
- Possui apenas traço VERTICAL (V) 
- Paralela ao plano (p’)
- Oblíqua aos planos (p) e (p’’) 
RETA FRONTAL
- Paralela ao plano (p’)
- Oblíqua aos planos (p) e (p’’) 
RETA FRONTAL
Projeção Vertical em 
VERDADEIRA GRANDEZA
- Paralela ao plano (p’)
- Oblíqua aos planos (p) e (p’’) 
RETA FRONTAL
- Possui apenas traço HORIZONTAL (H) 
- Perpendicular ao plano (p)
(paralela aos planos (p’) e (p’’)) 
RETA VERTICAL
- Possui apenas traço HORIZONTAL (H) 
- Perpendicular ao plano (p)
(paralela aos planos (p’) e (p’’)) 
RETA VERTICAL
Projeção Vertical em 
VERDADEIRA GRANDEZA
- Perpendicular ao plano (p)
(paralela aos planos (p’) e (p’’)) 
RETA VERTICAL
- Possui apenas traço HORIZONTAL (H) 
- Perpendicular ao plano (p’)
(paralela aos planos (p) e (p’’)) 
RETA DE TOPO
- Possui apenas traço VERTICAL (V) 
- Perpendicular ao plano (p’)
(paralela aos planos (p) e (p’’)) 
RETA DE TOPO
Projeção Horizontal em 
VERDADEIRA GRANDEZA
- Perpendicular ao plano (p’)
(paralela aos planos (p) e (p’’)) 
RETA DE TOPO
- Possui apenas traço VERTICAL (V) 
- Paralela à linha de terra (p’)
- Perpendicular ao plano (p’’)
- Paralela aos planos (p) e (p’) 
RETA FRONTO-HORIZONTAL
- Não possui traços 
- Paralela à linha de terra (p’)
- Perpendicular ao plano (p’’)
- Paralela aos planos (p) e (p’) 
RETA FRONTO-HORIZONTAL
As DUAS projeções encontra-se em VG.
- Paralela ao plano (p’’)
- Oblíqua aos planos (p) e (p’) 
RETA DE PERFIL
(p’’)
(p’’)
- Paralela ao plano (p’’)
- Oblíqua aos planos (p) e (p’) 
RETA DE PERFIL
- Nenhuma das projeções encontra-se em VG.
- As projeções r e r’ tornam-se coincidentes e 
perpendiculares à linha de terra.
(p’’)
RETA DE PERFIL
IMPORTANTE: A coincidência das projeções da reta de perfil gera uma 
indeterminação: Não é possível, apenas através das projeções da reta, determinar 
sua direção no espaço. Pois infinitas retas poderão ter essas mesmas projeções.
(p’’)
RETA DE PERFIL
Portanto, uma reta de perfil só está completamente representada na épura se, além 
das suas projeções, identificarmos DOIS PONTOS pertencentes à reta.
(p’’)
RETA DE PERFIL
Este tipo de reta possui sempre DOIS TRAÇOS
Porém, não é possível determiná-los diretamente através do prolongamento das 
projeções (como ocorre com os demais seis tipos de retas)
(V)
(H)
H ????
V’ ????
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS
Duas retas, não coincidentes no espaço, podem ser:
- PARALELAS
- CONCORRENTES
- REVERSAS
(r)
(s)
(r)
(s)
(r)
(s)
COPLANARES
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS PARALELAS
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS CONCORRENTES
RETAS REVERSAS
RETAS REVERSAS
RETAS REVERSAS
RETAS REVERSAS
RETAS REVERSAS
IMPOSSÍVEL!!!
Neste caso, observa-se que, o que imaginamos serem as projeções de um 
ponto, de fato não são, pois não há ponto com duas abscissas ou cujas 
projeções não estejam verticalmente alinhadas. Logo, se não existe ponto 
comum, as retas são reversas.
RETAS REVERSAS
RETAS REVERSAS
RETAS REVERSAS
P?
ou P?
Neste caso, verifica-se que também não é possível existir um ponto (P) com duas 
projeções horizontais.
RETAS REVERSAS
RETAS REVERSAS
RETAS REVERSAS