Séries Infinitas 2014.3_ 2ª parte

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Engenharia: Civil, Elétrica e Mecânica	���
SÉRIES INFINITAS – Parte 2
TESTES GERAIS DE CONVERGÊNCIA OU DIVERGÊNCIA DE SÉRIES INFINITAS 
Vimos que determinar se uma série geométrica converge ou diverge é simples.
O que fazer quando a série que está sendo investigada não é uma série geométrica?
Discutiremos agora, alguns testes gerais para verificar se uma série do tipo converge ou diverge.
TESTE DE DIVERGÊNCIA
TEOREMA:
ATENÇÃO: Note que, o teste de divergência não pode ser usado para mostrar que a série do tipo converge. Em outras palavras, o fato de que não significa, necessariamente, que a série converge.
Exemplos: 
TESTE DE CONVERGÊNCIA
TEOREMA: Condição necessária de convergência
(O termo geral de uma série convergente tem limite zero, a recíproca deste teorema não é verdadeira).
Exemplos: 
As séries abaixo, já estudadas anteriormente, são convergentes. Mostremos que seu limite é zero.
Veja essa contraprova: ( mas, diverge.
SÉRIES DE TERMOS NÃO NEGATIVOS
Porque essa restrição? Por que as somas parciais dessas séries formam sequências crescentes, e sequências crescentes limitadas superiormente sempre convergem como vimos na unidade anterior:
TEOREMA: Toda sequência monotônica limitada é convergente
Corolário: Uma série de termos não negativos converge se suas somas parciais são limitadas superiormente.
Este resultado é a base dos testes, a seguir, para estabelecer a convergência.
Entre as séries infinitas mais simples estão aquelas cujos termos formam uma sequência decrescente de números positivos. Vamos estuda-las por meio de integrais impróprias da forma 
TESTE DA INTEGRAL
TEOREMA: Se é uma função positiva, contínua e decrescente para e então
(os limites de integração, são os limites do somatório correspondentes)
Interpretação: 
casos, o n-ésimo termo é uma função de n dada por uma fórmula simples, . Supondo que a função , obtida substituindo a variável contínua no lugar da variável discreta , seja uma função de decrescente para .
O Teste da Integral: O Teste da Integral nos orienta, então, a calcularmos a integral do enésimo termo da série trocando a variável discreta pela variável contínua , depois, a calcularmos o limite dessa integral, pois só depois disso podemos classificar a série em convergente ou divergente: Se esse limite existe (como número finito) dizemos que a série converge, caso contrário diverge.
Os limites da integral da esquerda representam o intervalo , ou seja, os limites da série [na verdade, o valor do limite inferior , não é importante no estudo da convergência/divergência; mas é muito importante que ele faça parte do domínio da função ]. Note que, na integral da esquerda, deu lugar a b, falsamente, pois, observe que o limite tem . 
Como analisar se a função é positiva, contínua e decrescente.
Positiva: Faz o estudo do sinal da função
Contínua. Por definição:
Uma função polinomial é contínua para todos os números reais;
Uma função racional é contínua para todos os números de seu domínio.
Portanto, basta estudar o domínio da função e verificar se está contida nesse domínio.
Decrescente: .
Exemplos:
Estudar a convergência/divergência das séries abaixo, pelo teste da integral.
Solução: Inicialmente trocamos a variável discreta pela variável contínua .
Estudando se a função é positiva: Fazemos o estudo do sinal e observamos o intervalo onde a função é positiva.
Note que a função apresenta valores positivos para . Logo a função é positiva no intervalo que vem da série dada (pois na série, só assume valores inteiros positivos) e está contido em Continuidade: A função está definida para todo valor real exceto . Assim note que o intervalo está contido no domínio da função. Logo a função é contínua no intervalo .
Decrescente: Calculando a primeira derivada de , temos:
Então podemos aplicar o teste da integral à série dada. Assim:
Solução: Inicialmente trocamos a variável discreta pela variável contínua .
Positiva: A função apresenta valores positivos para qualquer valor de , inclusive . Logo é positiva.
Continuidade: Como o domínio da função e , o intervalo está contido nesse domínio. Logo a função é contínua no intervalo .
Decrescente: Calculado a primeira derivada de , aplicando a regra do produto e da cadeia:
Logo a função é positiva, contínua e decrescente para .
Então podemos aplicar o teste da integral à série dada. Assim fazemos:
Solução: Trocamos a variável discreta k pela variável contínua .
Positiva: Note que a função apresenta valores positivos para . Logo a função é positiva no intervalo que vem da série dada e está contido em .
Continuidade: A função está definida para todo valor real exceto . Assim note que o intervalo está contido no domínio da função. Logo a função é contínua no intervalo .
Decrescente: Calculado a primeira derivada da , temos:
Logo a função é positiva, contínua e decrescente para .
Então podemos aplicar o teste da integral à série dada. Assim fazemos:
EXERCÍCIOS
Estudar a convergência/divergência das séries abaixo, pelo teste da integral.
TESTE DAS SÉRIES p (ou p série)
As séries p também são chamadas de séries hiper-harmônicas
Exemplos:
Use o teste da série p para determinar se as séries convergem ou divergem 
EXERCÍCIOS
Estudar a convergência/divergência das séries abaixo, pelo teste da integral.
Esses dois próximos testes para séries de termos positivos aumentam muito a variedade das séries cuja convergência ou divergência você é capaz de testar. Eles permitem que você compare uma série que tenha termos complicados com uma série mais simples, cuja convergência ou divergência você conheça. 
TESTE DA COMPARAÇÃO DIRETA
Esse teste permite compararmos uma série que tenha termos complicados com uma série mais simples, cuja convergência ou divergência você conheça.
(Se a comparação termo a termo mostra que uma série é menor do que uma série divergente, o Teste da Comparação Direta não lhe diz nada).
Princípios para conjecturar a série menor para comparação (não há garantia que sempre dará certo)
Termos constantes no denominador de podem geralmente ser eliminados sem afetar a convergência ou a divergência da série;
Se o polinômio em aparecer como um fator no numerador ou denominador de , todos os termos do polinômio, exceto o termo dominante, podem geralmente ser descartados sem afetar a convergência ou a divergência da série.
Exemplos:
A comparação termo a termo nos mostra que a série tomada, satisfaz os critérios para divergência. A 
EXERCÍCIOS
Estudar a convergência/divergência das séries abaixo, aplicando o teste da comparação direta.
TESTE DA COMPARAÇÃO NO LIMITE
Exemplos:
Logo, a série dada é divergente.
EXERCÍCIOS
Estudar a convergência/divergência das séries abaixo, aplicando o teste da raiz.
TESTE DA RAZÃO
TEOREMA:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , não é possível saber se série converge ou diverge.
O teste da razão mede a taxa de crescimento (ou decrescimento) de uma série examinando-se a razão . Para uma série geométrica , essa taxa é uma constante e a série converge se e somente .
O Teste da Razão é uma regra poderosa que estende esse resultado e é especialmente útil quando aplicado a uma série na qual os termos envolvem potências ou fatoriais. Vejamos:
Exemplos:
 Verifique se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
EXERCÍCIOS
Estudar a convergência/divergência das séries abaixo, aplicando o teste da razão.
Estudante: Observe o uso da equação pois será usado com frequência.
TESTE DA RAIZ
A série converge se ,
A série diverge se ,
Não é possível saber se série converge ou diverge se , o teste não podeser aplicado.
Exemplos:
EXERCÍCIOS
Estudar a convergência/divergência das séries abaixo, aplicando o teste da raiz.
TESTES PARA SÉRIES QUE CONTÊM TANTO TERMOS POSITIVOS QUANTO NEGATIVOS
TESTE DA SÉRIE ALTERNADA
Séries alternadas ocorrem de duas formas: ou os termos ímpares são negativos ou os termos pares são negativos.
EXERCÍCIOS
Estudar a convergência/divergência das séries abaixo, aplicando o teste da série alternada.
ESTRATÉGIA PARA TESTAR SÉRIES
Procedimentos:
O enésimo termo tende a zero? Se não, a série diverge.
A série é uma das de tipo especial, geométrica, p série, telescópica ou alternada?
O Teste da Integral, o Teste da Razão ou o Teste da Raiz pode ser aplicado?
A série pode ser comparada de forma favorável com uma de tipo especial?
EXERCÍCIOS
Aplicar as estratégias para testa as séries
SUBSÍDIOS TEÓRICOS
DECOMPOSIÇÃO DE FRAÇÃO RACIONAL EM FRAÇÕES PARCIAIS
Em álgebra, aprende-se como combinar duas ou mais frações em uma única, usando denominador comum. Por exemplo:
Porém para nossos propósitos, o lado esquerdo é preferível ao lado direito, uma vez que cada um de seus termos é de fácil integração:
Cada fração parcial constitui uma parte da fração racional e somadas chegamos a ela; 
Os numeradores das frações parciais são constantes e
Os denominadores das frações parciais são fatores do denominador da fração racional.
Vejamos como decompor frações racionais em frações parciais para fins desejados.
1º) Inicialmente vamos supor seja uma fração racional própria, o que significa que o numerador é menor do que o denominador.
2º) Um Teorema em Álgebra avançada afirma que toda fração racional própria pode ser expressa como uma soma
quais os denominadores são frações de .
Há duas etapas para se encontrar uma decomposição em frações parciais: (1) determinar a forma exata da decomposição e (2) encontrar as constantes desconhecidas.
DETERMINANDO A FORMA EXATA DA DECOMPOSIÇÃO
1º) Fatorar completamente em fatores lineares, quadráticos e irredutíveis
2º) Juntar todos os fatores repetidos, de modo que seja expresso como um produto de fatores distintos da forma e 
3º) A partir desse fatores podemos determinar a forma da decomposição das frações parciais usando duas regras que passamos a discutir:
(ou seja, o expoente de cada fator linear, indica quantas frações serão geradas por ele)
Exemplos:
Os fatores e são lineares e estão elevados a 1 (). Desta forma, cada fator contribui com um termo na decomposição em frações parciais pera RFL. Logo, a decomposição tem a forma:
Onde A e B são constantes a serem determinadas. Determinando o mmc, obtemos:
Desenvolvendo o 2º membro: 
Comparando os dois membros, obtemos o sistema: e , onde:
 
 e 
Temos uma função racional própria que pode ser escrita como
Os fatores e são lineares e estão elevados a 1 (). Desta forma, cada fator contribui com um termo na decomposição em frações parciais pera RFL. Logo, a decomposição tem a forma:
Onde A e B são constantes a serem determinadas. Determinando o mmc, obtemos:
Desenvolvendo o 2º membro: 
Comparando os dois membros, obtemos o sistema: e , onde:
 
 . Logo, 
FATORES QUADRÁTICOS
Se alguns fatores de são quadráticos irredutíveis, então sua decomposição em frações parciais contém a seguinte soma de m frações parciais:
Exemplos:
O denominador pode ser fatorado por agrupamento: 
Note que temos uma função racional própria que pode ser escrita como:
Pela Regra do Fator Linear, o fator contribui com um termo, a saber: ;
E pela Regra do fator Quadrático, o fator contribui com um termo, a saber: ;
Assim, a decomposição em frações parciais fica:
Determinando o mmc, obtemos: 
Desenvolvendo o 2º membro:
 
Comparando os dois membros, obtemos o sistema: ; , onde:
. Assim como 
. Substituindo em 
Assim, temos que:
Observe que trata-se de uma fração racional própria: O numerador tem grau 4 e o denominador tem grau 5. Logo podemos aplicar o método das frações parciais.
Desenvolvendo o 2º membro:
Desenvolver para encontrar , bem como calcular o valor da integral, fica como exercício para o estudante.
INTEGRANDO FUNÇÕES RACIONAIS IMPRÓPRIAS
Embora o método das frações parciais se aplique somente a funções racionais próprias, uma função racional imprópria pode ser integrada efetuando-se uma divisão e expressando-se a função como o quociente mais o resto sobre o divisor. O resto sobre o divisor será uma função racional própria, a qual pode, então, ser decomposta em frações parciais. Essa ideia está ilustrada no exemplo a seguir:
Exemplos:
Fica a cargo do estudante dá sequência!
EXERCÍCIOS
Decomponha:
COMPLEMENTO SOBRE O TESTE DA INTEGRAL
RECORDANDO PARA SABER MAIS
Definição de continuidade
Suponha que c seja um número no intervalo aberto e que f seja uma função cujo domínio contém o intervalo . A função f é contínua no ponto c se as seguintes condições forem verdadeiras.
 é definida existe. 
Se f for contínua em todos os pontos no intervalo , então ela será contínua no intervalo aberto .
Continuidade das funções racionais e polinomiais
Uma função polinomial é contínua para todos os números reais;
Uma função racional é contínua para todos os números de seu domínio.
Definição de continuidade
Suponha que f seja definida em um intervalo fechado . Se f é contínua no intervalo aberto e então f é contínua no intervalo fechado . Além disso, f é contínua à direita em a e contínua à esquerda em b. 
BIBLIOGRAFIAS CONSULTADAS
HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações: tópicos avançados. 10. ed. – Rio de Janeiro: LTC, 2010. Pág. 63 a 103.
HOWARD, Anton; BIVENS, Irl; DAVIS, Stephen. Cálculo. Vol. 2. 8 ed. – Porto Alegre: Bookman, 2007.
LARSON, Ron; HOSTETLER, Robert P.; EDWARDS, Bruce H. Cálculo. Vol. 2, 1. ed. – São Paulo: McGraw – Hill, 2006.
LEITHOLD, L.; PATARRA, C. C.; FERREIRA, W. C.; PREGNOLATTO, S. O Cálculo com Geometria Analítica. Vol. 2. 3. Ed. São Paulo: Harbra, 1994.
MUNEM & FOULIS. Cálculo. Vol.2 – pág. 621 a 631
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. Vol. 2. São Paulo: Pearson Makron Books, 1988. Pág. 6 – 66.
STEWART, James. Cálculo. Vol. 1. 3 ed. – São Paulo: Thomson Pioneira, 2002.
THOMAS, George B. Cálculo. Vol.2 – pág. 26 a 35.
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REGRA DO FATOR LINEAR (RFL): Para cada fator da forma � QUOTE � ���, a decomposição em frações parciais contém uma soma de � QUOTE � ��� frações parciais:
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Cálculo C – ANO: 2014 – FTSC / Professor Paulo Henrique Farias Xavier	Página � PAGE \* MERGEFORMAT �7�