Análise Real - Slides de Aula Unidade III

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Unidade III
ANÁLISE REAL
Prof. MSc. Elvis Pontes
Séries numéricas
 Veremos nesta aula a definição de uma 
série numérica infinita e o conceito de 
convergência destas.
 Inicialmente, daremos alguns exemplos 
para que você se familiarize com esses 
objetos matemáticos para depois 
estudarmos a convergência 
(ou não) destes.
Séries numéricas
 Comecemos então nos recordando da 
definição de sequência: uma lista 
ordenada de números reais.
 Tomemos uma sequência .
Podemos tentar somar todos os termos 
na
desta sequência, ou seja, fazer:
......21  naaa
Séries numéricas
 Essa soma infinita é chamada de série 
numérica infinita, ou simplesmente, 
como faremos daqui por diante, de série.
A notação para esta soma infinita é:

ou simplesmente:

1n
na
 na
ficando subentendido que essa última se 
inicia do número 1.
Séries numéricas
 O objetivo do estudo desses objetos 
é verificar quando uma soma dessas 
faz sentido.
 Veremos que nem sempre existe essa 
soma, o que chamaremos de série 
divergente. Se a soma existir, 
será uma série convergente.
 Aqui, os conceitos de convergência e 
divergência são análogos aos que 
vimos em sequências.
Séries numéricas
Vejamos alguns exemplos:
1. , obviamente essa 
soma não existe, pois quanto mais 
termos adicionarmos, maior será 
sua soma.
......321  nn
2. Consideremos agora um pedaço de 
barbante de 1m de comprimento. 
Cortemos esse barbante em dois 
pedaços, cada qual com 0,5m.
Séries numéricas
 Desprezemos uma metade e com 
a outra metade fazemos a mesma coisa, 
dividimos em duas partes iguais, 
de tamanho ¼ = 0,25.
 Novamente desprezamos uma parte e, 
com a outra, fazemos o mesmo processo, 
desprezando uma e dividindo a 
outra ao meio.
Séries numéricas
Se fosse possível realizar esse processo 
indefinidamente, teríamos a soma:
...
2
1...
8
1
4
1
2
1  n
Claro que essa soma infinita dos pedaços 
do barbante reproduziria o barbante original 
de 1 metro, ou seja:
 11  1
2
1
n
Séries numéricas
 Vimos que, em geral, uma série inicia-se 
com o termo de índice 1, ou seja, a 
primeira parcela da soma infinita 
tem índice 1.
 Análogo ao caso das sequências, por 
vezes, é necessário ou conveniente 
iniciá-la a partir de outro índice.
Vejamos alguns exemplos:
Séries numéricas
 Observe que a seguinte série não é bem 
definida se n = 1. Logo, iniciamos a soma 
a partir de n = 2.
 11
 Esta outra não faz sentido para n = 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7. Iniciamos, então, a partir de 
n = 8.

 2 1n n
 8


8
8
n
n
Séries numéricas
 Não importa quantos termos (um número 
finito) retiremos da série, pois ela 
continua sendo uma soma infinita 
de termos.
 Outra observação importante é que o 
comportamento de uma série não se 
modifica se retirarmos um número finito 
de termos da sua soma.
Interatividade
Qual é a soma dos 5 primeiros termos da 
série ?
a)



1
1
n n
n
5
6
4
5
3
4
2
32 
b)
c)
6
5
3
4
2
3
3
21 
4
5
3
4
2
32
2
1 
d)
e)
4322
54321 
65432 
Convergência de séries
 Veremos agora a definição formal de uma 
série convergente, ou seja, quando 
existirá uma dada soma infinita.
 Utilizaremos a convergência de 
sequências que estudamos 
anteriormente.
 Lembrete: uma sequência é convergente, 
em breves palavras, se os seus 
elementos se aproximam tanto quanto 
quisermos de um número real (único).
Convergência de séries
Em primeiro lugar, vamos definir o que são 
as somas parciais de uma série:
Convergência de séries
 As somas parciais de uma série, como 
pudemos ver, constituem uma 
sequência:
 ,...,...,,, 321 nssss
A definição de convergência da série é a 
seguinte:
Convergência de séries
Vejamos alguns exemplos:
Convergência de séries
1. Vamos estudar o comportamento, ou 
seja, verificar pela definição se é 
convergente ou divergente a seguinte 
série:
 1
Em primeiro lugar, vamos desenvolver o 
termo geral em frações parciais:
  )1( 1nn
Convergência de séries
Temos que:
)1(1
1)1(
1


BnnA
n
B
n
A
nn
)(1
)1(1
)1(
)(
)1(



AnBA
BnnA
nn
nn
nn
11
01


BeA
BAeA
Convergência de séries
 Logo:
1
11
1)1(
1
 nnn
B
n
A
nn
 E, portanto:
   1
11
)1(
1
nnnn   1)1( nnnn
Convergência de séries
Finalmente, considerando a soma parcial de 
ordem n desta série, temos:
1
11
)1(
1 



  jjjjs
nn
n
1
1
11...
3
1
2
1
2
11
1)1( 11





 

 
  
nn
jjjj jj
1
11  n
Convergência de séries
Calculamos o limite deste termo geral da 
sequência de somas parciais, isto é:
1
1
11limlim 


 nsn
 Como o limite deu um número, isso 
significa que a sequência é convergente 
e, portanto, a série também é 
convergente.
1 n
  )1( 1nng
 Além disso,
)(
1
)1(
1  nn
Interatividade
 1A sequência de somas parciais da série
é:
a)
 n21
nns 2
1
b)
c)
nns 2
11
nns 2
11
d)
e)
1
2
1  nns
12
1
 nns
Convergência de séries
Mais um exemplo:
2. Vamos agora estudar o comportamento 
da série harmônica:
 n1
Da sequência de somas parciais desta série, 
vamos considerar a subsequência formada 
n
 ,...,...,,, 321 nssss
q
pelos índices que são potência de 2, isto é:
 ,...,...,,,,,, 232168421 nsssssss
Convergência de séries
Temos então:
2
11
1
2
1


s
s
2
21
4
1
4
1
2
11
4
1
3
1
2
11
2
4 

 

 s
Convergência de séries
Mais alguns elementos:
2
31
8
1
8
1
8
1
8
1
4
1
4
1
2
11
8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
118


 

 


 

 s
61
2
51
2
41
28888442
32
16




s
s
s
.
.
.
2
164 s
Convergência de séries
Em geral, temos que:
2
1
2
kss nkn 
lili Mas: 
 Ou seja, a subsequência é divergente.
 nk ssn 2limlim
Convergência de séries
 Por um teorema sobre sequências, temos 
que a própria sequência das somas 
parciais é divergente.
 Portanto, a série também é divergente. 
Nesse caso, sua soma é infinita, embora 
estejamos somando elementos cada vez 
menores conforme aumenta o índice.
Convergência de séries
Outro exemplo:
3. Consideremos a série: 
 n1
 Vamos estudar seu comportamento, isto 
é, verificar se ela é convergente ou 
divergente.
Convergência de séries
Em primeiro lugar, vamos observar o 
seguinte:
nn
11 

 Isso significa que todo termo da série 
harmônica é maior ou igual a todo termo 
de mesmo índice desta série que 
t t d d
nn
estamos estudando.
Convergência de séries
Ora, então:
( )
1 1 11 ...
2 3 4
1 1 11 ...
2 3 4
h n
n
s
s
     
     
 Ou seja, cada termo da sequência de 
somas parciais da série harmônica, 
denotada por é menor ou igual a 
2 3 4 n
nhs )(p g
todo termo da sequência que estamos 
estudando, denotada por .ns
Convergência de séries
Temos, então:
e, portanto:
nnh ss )(
nnh ss limlim )( 
 Mas, sabemos que , logo
.
nhs )(lim
nslim
 Portanto, a série é divergente.  n1
InteratividadeA partir do último exemplo, podemos 
concluir que a série é:
a) Convergente e sua soma vale 1.
b) Convergente e sua soma vale 1/2
 31n
b) Convergente e sua soma vale 1/2.
c) Convergente e sua soma vale 3/2.
d) Convergente e sua soma vale 2.
e) Divergente.
Convergência de séries
 Vamos agora enunciar alguns resultados 
importantes sobre convergência 
de séries.
 Começamos com um teorema que 
relaciona a divergência de uma 
série com o limite de seu termo geral.
É o seguinte:
Convergência de séries
sequência
Convergência de séries
Exemplos:
1. Sabemos que a sequência é 
convergente (a primeira que obtivemos, 
no exemplo do barbante).
 n2
1
p )
 Vamos calcular o limite de seu termo 
geral:
0
2
1lim n
pois o denominador tende ao infinito 
quando n tende ao infinito.
Convergência de séries
2. Também sabemos que a sequência 
é convergente.
Calculando o limite de seu termo geral, 
  )1(
1
nn
g
temos:
01lim
)1(
1lim 2  nnnn
 Basta dividir todos os elementos por n 
elevado à potência 2 e verificar isso.
Convergência de séries
 Observação importante: a recíproca do 
teorema anterior não é verdadeira.
 A recíproca seria: se , então, 
a série é convergente.
0lim naa g
 Atenção!!!! Isso é falso!!!!!!!
 na
Convergência de séries
 Como contraexemplo, temos a série 
harmônica .
 Vimos anteriormente que se trata de uma 
série divergente.
 n
1
g
No entanto, temos: 
 Isso mostra que a recíproca do 
01limlim 
n
an
q p
teorema é falsa.
Convergência de séries
 O que sempre vale é a contrapositiva 
daquele teorema.
O teorema dizia o seguinte:
A contrapostiva desse teorema é:
Teorema: se , então, é 
uma série divergente. 
0lim na  na
 Esse teorema é chamado de teste da 
divergência.
Convergência de séries
Vejamos alguns exemplos:
Convergência de séries
2. Vamos estudar o comportamento da série:
ê
 

2
1
n
n
Aplicando o teste da divergência, temos:
1
2
1lim 

n
n
 Logo, é uma série divergente.  

2
1
n
n
Convergência de séries
Um último teorema desta aula:
Convergência de séries
Exemplo:
Interatividade 
 23Dada a série 
podemos afirmar que ela é:
a) Convergente e sua soma é 1.
) C é /
 


 )1(3
2
2.5
3
nnn
b) Convergente e sua soma é 15/19.
c) Convergente e sua soma é 18/15.
d) Convergente e sua soma é 15/18.
e) Convergente e sua soma é 19/15.
ATÉ A PRÓXIMA!