Gabarito - prova 2 - Noite

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
ECT 1301 - Probabilidade e Estatística
Prof. Sandro Bruno do Nascimento Lopes
Prova 2 - Noite 2015.1
GABARITO
1. (2, 0 pontos) A análise de desempenho médio dos alunos de uma grande escola foi
levantada. Para tanto, realizou-se um teste com 51 alunos escolhidos aleatoria-
mente, e constatou-se um desempenho médio de 590 pontos, e desvio padrão de
77 pontos. Determine o Intervalo de Confiança, com nível de confiança de 95%,
para o desempenho médio dos alunos da escola.
O problema pede para estabelecer um Intervalo de Confiança para o desempenho médio dos
alunos da escola. Como se trata de um valor médio (desempenho médio), este Intervalo de
Confiança pode ser considerado referente a média populacional µ.
No problema é fornecido um valor de desvio-padrão referente a uma amostra com 51 alunos.
Neste caso, o Intervalo de Confiança de interesse é dado como:[
x− tα
2 ,n−1
(
s√
n
)
;x+ tα
2 ,n−1
(
s√
n
)]
Para estabelecer o Intervalo de Confiança como sendo o apresentado anteriormente, é preciso
garantir que a média amostral tenha distribuição aproximadamente normal. Isto pode ser
feito verificando se a variável aleatória que descreve a população possui distribuição normal,
ou o tamanho da amostra utilizada é suficientemente grande para considerar a aplicação do
Teorema do Limite Central. Para este exemplo, a segunda condição é satisfeita, visto que a
amostra utilizada tem tamanho n = 51 elementos, e a regra para a aplicação do Teorema do
Limite Central é que n > 30.
Com esta definição, torna-se necessário definir o valor crítico tα
2 ,n−1, sabendo que o nível de
confiança desejado é de 95% e o tamanho da amostra é n = 51:
• n− 1 = 51− 1 = 50;
• (1− α) ∗ 100% = 95%
• 1− α = 0, 95;
• α = 0, 05.
• α2 =
0, 05
2 = 0, 025
• tα
2 ,n−1 = t0,025,50 = 2, 009
É informado no problema que, para um teste realizado com um conjunto de 51 alunos, o
desempenho média foi de 590 pontos e o desvio-padrão de 77 pontos. Portanto, o intervalo
1
de confiança será: [
x− tα
2 ,n−1
(
s√
n
)
;x+ tα
2 ,n−1
(
s√
n
)]
[
590− 2, 009
( 77√
51
)
; 590 + 2, 009
( 77√
51
)]
[590− 2, 009 (10, 7822) ; 590 + 2, 009 (10, 7822)]
[590− 21, 6614; 590 + 21, 6614]
[568, 3386; 611, 6614]
O intervalo de confiança definido para o desempenho médio dos alunos da escola é dado por
[568, 3386; 611, 6614].
2. (2, 0 pontos) O comprimento dos rebites produzidos por uma fábrica possui dis-
tribuição normal com valor médio de 34, 8 centímetros e desvio-padrão de 1, 4
centímetros.
(a) (0, 5 ponto) Determine a probabilidade de um rebite produzido por esta fá-
brica ter comprimento dado entre 32 e 35 centímetros;
De acordo com o problema, existe uma variável aleatóriaX = { Comprimento dos rebites
produzidos por uma fábrica }, que possui distribuição normal, com valor médio mu =
34, 8 centímetros e desvio-padrão σ = 1, 4 centímetros. Ou seja, X ∼ N(34, 8; 1, 42).
Como a distribuição de X é expressa por uma distribuição normal não-padrão, define-se
o escore-Z Z associada a ela da seguinte forma:
Z = X − µ
σ
= X − 34, 81, 4
Neste item, pede-se para calcular a probabilidade de um rebite produzido por esta fábrica
ter comprimento dado entre 32 e 35 centímetros. Matematicamente, esta informação
pode ser expressa como P (32 < X < 35) e é dada por:
P (32 < X < 35) = P
(32− 34, 8
1, 4 < Z <
35− 34, 8
1, 4
)
= P
(−2, 8
1, 4 < Z <
0, 2
1, 4
)
≈ P (−2 < Z < 0, 1429) ≈ P (−2, 00 < Z < 0, 14)
= Φ(0, 14)− Φ(−2, 00) = 0, 5557− 0, 0228 = 0, 5329
Logo, a probabilidade de um rebite produzido por esta fábrica ter comprimento dado
entre 32 e 35 centímetros é de, aproximadamente, 53, 29%.
(b) (0, 75 ponto) Qual é o comprimento mínimo de 75% dos rebites fabricados?
Nesta questão, pede-se para definir o comprimento mínimo de 75% dos rebites fabricados.
Em termos da variável aleatória em questão, o que se deseja é obter um valor de X,
denominado xp, para o qual 75% do rebites tenha comprimento igual ou maior, ou seja,
P (X ≥ xp) = 0, 75.
2
Reescrevendo o problema em função da variável Z, deseja-se estabelecer zp para o qual
P (Z ≥ zp) = 0, 75. Consequentemente:
P (Z ≥ zp) = 0, 75→ 1− Φ(zp) = 0, 75→ Φ(zp) = 1− 0, 75
Φ(zp) = 0, 25→ zp ≈ −0, 67
O valor da resistência xp é expresso através da expressão Z =
X − 33, 5
1, 2 :
zp =
xp − 34, 8
1, 4 → −0, 67 =
xp − 34, 8
1, 4
→ xp − 34, 8 = −0, 67 ∗ 1, 4→ xp − 34, 8 = −0, 938
→ xp = 34, 8− 0, 938→ xp = 33, 862 cm
Portanto, o valor do comprimento mínimo de 75% dos rebites fabricados é de 33, 862
centímetros.
(c) (0, 75 ponto) O emprego de um rebite é determinado de acordo com o com-
primento deste. Estabeleceu-se que os rebites com mais de 36 centímetros
são destinados exclusivamente a construção civil, rebites com menos de 33
centímetros são empregados exclusivamente na indústria automobilística, e
rebites fora deste dois intervalos são empregados em outras áreas que não
sejam construção civil ou indústria automobilística. Determine, então, a
probabilidade de um rebite selecionado aleatoriamente ser empregado para
a construção civil ou para a indústria automobilística.
Nesta questão, pede-se para estabelecer a probabilidade de um rebite selecionado alea-
toriamente servir para a construção civil ou para a indústria automobilística. De acordo
com as informações do problema, é possível afirmar que:
• Para um rebite ser aplicado na construção civil, ele precisa ter um comprimento
maior do que 36 centímetros. Matematicamente, isto significa que X > 36;
• Para um rebite ser aplicado na indústria automotiva, ele precisa ter um comprimento
menor do que 33 centímetros. Matematicamente, isto significa que X < 33;
• Os dois conjuntos definidos (X > 36 e X < 33) não possuem intersecção, pois não
possuem intervalo de valores em comum. Logo, estes dois conjuntos são considerados
disjuntos.
Como a probabilidade de interesse é por um rebite que seja empregado na construção
civil ou na indústria automotiva, deseja-se avaliar P (X > 36 ∪X < 33). Como os dois
conjuntos são disjuntos, tem-se que:
P (X > 36 ∪X < 33) = P (X > 36) + P (X < 33)
= P
(
Z >
36− 34, 8
1, 4
)
+ P
(
Z <
33− 34, 8
1, 4
)
= P
(
Z >
1, 2
1, 4
)
+ P
(
Z <
−1, 8
1, 4
)
= P (Z > 0, 8571) + P (Z < −1, 2857)
= [1− Φ(0, 86)] + Φ(−1, 29) = [1− 0, 8051] + 0, 0985
= 0, 1949 + 0, 0985 = 0, 2934
3
Portanto, a probabilidade de um rebite selecionado aleatoriamente ser empregado para
a construção civil ou para a indústria automobilística é de, aproximadamente, 29, 34%.
3. (2, 0 pontos) De acordo com o departamento de polícia de uma região, menos
de 20% dos moradores da região sofreram algum assalto. Para constatar esta
afirmação, um grupo de com 152 moradores foi selecionado de maneira aleatória,
e destes 27 afirmaram que já sofreram assalto. Teste a afirmação da polícia com
nível de significância de 10%.
No problema, pede-se para estabelecer e concluir sobre a afirmativa de que menos de 20% dos
moradores da região sofreram algum assalto. Neste caso, estabelece-se um teste de hipóteses
sobre o valor da proporção populacional (que é o parâmetro mais adequado para descrever o
valor de percentagem tratado no problema).
Inicialmente, são definidas hipóteses do teste. Como a afirmativa de referência de que menos
de 20% dos moradores da região sofreram algum assalto, tem-se que:{
H0 : p = 0, 2;
H1 : p > 0, 2.
De forma que se trata de um teste de proporção unicaudal superior. Neste caso, é utilizada
como estatística de teste o teste Z para proporções, dado por:
z = pˆ− p√
p(1− p)
n
Para tanto, é preciso verificar se o teste pode ser utilizado. Isto é feito conferindo se np ≥ 5
e n(1− p) ≥ 5. Para o teste, uma amostra com 152 moradores da região foi estabelecida, de
forma que:
•n = 152 moradores;
• p = 0, 2;
• np = 152 ∗ 0, 2 = 30, 4 ≥ 5;
• n(1− p) = 152 ∗ (1− 0, 2) = 147 ∗ 0, 8 = 121, 6 ≥ 5
Sendo possível o uso do teste Z neste caso, a abordagem utilizada será por valor crítico,
Sendo necessário estabelecer a região de rejeição. Para o teste Z unicaudal superior, a região
de rejeição é dada por (−∞;−z1−α]. Desta maneira, é necessário estabelecer o valor crítico
z1−α. Como o nível de significância estabelecido é α = 10% = 0, 10, tem-se que:
• 1− α = 1− 0, 1 = 0, 9;
• z1−α = z0,9 ≈ 1, 28;
• Região de rejeição: (−∞;−1, 28].
Definida, a região de rejeição, calcula-se a estatística de teste z, sabendo que, de uma grupo
selecionado de 152 moradores, 27 disseram já ter sofrido assalto.
• Proporção amostral: pˆ = 27152 ≈ 0, 1776
4
• Estatística de teste:
z0 =
pˆ− p√
p(1− p)
n
= 0, 1776− 0, 2√
0, 2(1− 0, 2)
152
= −0, 0224√0, 2 ∗ 0, 8
152
= −0, 0224√0, 16
152
≈ −0, 02240, 0324 ≈ −0, 6913
Como o valor da estatística de teste z = −0, 6913 pertence a região de rejeição (−∞;−1, 28],
então não rejeita-se a hipótese H0 em favor de H1. Isto significa que não existem evidências
fortes o suficiente para afirmar que menos de 20% dos moradores da região sofreram algum
assalto.
4. (2, 0 pontos) O tempo de espera de um metrô em uma estação pode ser modelado
com tendo distribuição exponencial com tempo médio de 20 minutos.
(a) (0, 5 ponto) Qual a probabilidade de um metrô chegar nos próximos 10 mi-
nutos?
É dito no problema que a variável aleatória em questão X = { O tempo de espera de
um metrô em uma estação } possui distribuição exponencial com valor médio dado por
E(X) = 20 minutos. Como o valor médio é o inverso do parâmetro λ da distribuição,
tem-se que:
E(X) = 1
λ
→ 20 = 1
λ
→ λ = 120 → λ ≈ 0, 05
Portanto, é possível afirmar que X ∼ Exp
( 1
20
)
. Sabe-se que, para uma distribuição
exponencial, a função densidade de probabilidade f(x) é dada por:
F (x) =
{
1− e−λx, x ≥ 0;
0, caso contrário
Para este problema, portanto, tem-se que:
F (x) =
{
1− e− 120x, x ≥ 0;
0, caso contrário
Pede-se para calcular a probabilidade de um metrô chegar nos próximos 10 minutos.
Este valor pode ser expresso como P (X ≤ 10) e é dado por:
P (X ≤ 10) = F (10) = 1− e− 120∗10 = 1− e− 1020
≈ 1− e−0,5 ≈ 1− 0, 6065 = 0, 3935
Portanto, a probabilidade de um de um metrô chegar nos próximos 10 minutos é de,
aproximadamente, 39, 35%
5
(b) (0, 75 ponto) Qual é o tempo de espera máximo para 80% dos passageiros?
O que se pede neste problema é o valor do tempo de espera xp máximo para 80% dos
passageiros. Isto significa que o valor de xp deve ser tal que 80% dos tempos de espera
sejam iguais ou menores do que ele, ou P (X ≤ xp) = 0, 80. Consequentemente:
P (X ≤ xp) = 0, 80→ F (xp) = 0, 80→ 1− e− 120∗xp = 0, 80
→ e−xp20 = 1− 0, 80→ e−xp20 = 0, 2→ −xp20 = ln 0, 2→
− xp20 ≈ −1, 6094→ xp = −1, 6094 ∗ (−20)→ xp = 32, 188
Logo, o tempo de espera máximo para 80% dos passageiros e de, aproximadamente,
32, 188 minutos ou 32 minutos e 12 segundos.
(c) (0, 75 ponto) Sabendo que já se passaram 1 hora sem que nenhum metrô
tenha passado nesta estação, qual a probabilidade de ter que se esperar, no
máximo, mais 25 minutos para a chegada de um metrô?
Pede-se, neste caso, para determinar a probabilidade de se esperar, no máximo, mais 25
minutos para a chegada de um metrô, sabendo já se passaram 1 hora (60 minutos) sem
que nenhum metrô tenha passado nesta estação. Esta probabilidade pode ser expressa
como P (X < 60 + 20|X > 60) e, de acordo com o princípio da falta de memória da
distribuição exponencial, pode ser calculada como:
P (X < 60 + 25|X > 60) = P (X < 25) = F (25) = 1− e− 120∗25
1− e− 2520 ≈ 1− e−1,25 ≈ 1− 0, 2865 = 0, 7135
Portanto, a probabilidade de se esperar, no máximo, mais 25 minutos para a chegada de
um metrô, sabendo já se passaram 1 hora sem que nenhum metrô tenha passado nesta
estação, é de, aproximadamente, 71, 35%.
5. (2, 0 pontos) A espessura X de um modelo de cano de PVC, em milímetros,
fabricado por um empresa pode ser expressa através da seguinte função densidade
de probabilidade f(x):
f(x) =

x3
960 , 4 ≤ x ≤ 8
0, caso contrário
(a) (1, 0 ponto) Determine a função de distribuição acumulada F (x) e calcule a
probabilidade da espessura de um cano selecionado ser menor que 7 milíme-
tros;
A variável do problema em questão é X = { A espessura de um modelo de cano de PVC
} é a função densidade de probabilidade f(x) é dada como:
f(x) =

x3
960 , 4 ≤ x ≤ 8
0, caso contrário
6
Expandindo a função f(x) no intervalo (−∞;∞), tem-se que:
f(x) =

0, x < 4;
x3
960 , 4 ≤ x ≤ 8
0, x > 8.
Sabe-se que a função de distribuição acumulada F (x) pode ser definida a partir da função
densidade de probabilidade f(x) a partir da expressão:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du
Como f(x) é dividida em três intervalos contínuos (x < 4, 4 ≤ x ≤ 8 e x > 8), é
necessário avaliar cada parte separadamente:
• Para x < 4:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ x
−∞
0 du = 0
• Para 4 ≤ x ≤ 8:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ 4
−∞
0 du+
∫ x
4
u3
960 du = 0 +
1
960
∫ x
4
u3 du
= 1960
[
u4
4
]∣∣∣∣∣
x
4
= 1960
[(
x4
4
)
−
(
44
4
)]
= 1960
[(
x4
4
)
−
(256
4
)]
= 1960
[
x4 − 256
4
]
= x
4 − 256
3.840
• Para x > 8:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ 8
−∞
f(u)du+
∫ x
8
0 du
= F (8) + 0 = 8
4 − 256
3.840 =
4.096− 256
3.840
= 3.8403.840 = 1
Portanto, a função de distribuição acumulada F (x) é dada por:
F (x) =

0, x < 4;
x4 − 256
3.840 , 4 ≤ x ≤ 8;
1, x > 8
O problema pede, ainda, para determinar a probabilidade da espessura de um cano
selecionado ser menor que 7 milímetros. Com relação a variável aleatória em questão,
este problema pode ser reescrito como P (X < 7). Através da função de distribuição
acumulada, tem-se que:
P (X < 7) = F (7) = 7
4 − 256
3.840 =
2.401− 256
3.840
= 2.1453.840 = 0, 5586
7
Portanto, a probabilidade de da espessura de um cano selecionado ser menor que 7
milímetros é de 55, 86%.
(b) (1, 0 ponto) Sabendo que a vazão V , em litros, de água suportada por canos
deste modelo pode ser expressa por V = 9.600X2, determine a vazão média
suportada pelos canos produzidos por esta empresa.
Nesta questão, deseja-se calcular a vazão média suportada pelos canos produzidos por
esta empresa. Esta vazão média pode ser expressa matematicamente como E(V ), onde
V é a vazão suportada pelos canos, e que está relacionada com a espessura X dos
canos através da expressão V = 9.600X2. Logo, é correto afirmar que V = h(X) e,
consequentemente:
E(V ) =
∫ ∞
−∞
h(x)f(x) dx =
∫ ∞
−∞
9.600x2f(x) dx =
=
∫ 8
4
9.600x2
(
x3
960
)
dx =
∫ 8
4
(9.600
960
)
x5 dx
= 10
∫ 8
4
x5 dx = 10
[
x6
6
]∣∣∣∣∣
8
4
= 10
[
86
6 −
46
6
]
= 10
[262.144
6 −
4.096
6
]
= 10
[258.048
6
]
≈ 10 ∗ 43.008 = 430.080
Logo, a vazão média suportada pelos canos produzidos por esta empresa é de 430.080
litros.
8