Gabarito - prova 2 - Tarde

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Escola de Ciências e Tecnologia
ECT 1301 - Probabilidade e Estatística
Prof. Sandro Bruno do Nascimento Lopes
Prova 2 - Tarde 2015.1
GABARITO
1. (2, 0 pontos) A massa X, em gramas, de um determinado tipo de laranja varia de
acordo com a seguinte função f(x):
f(x) =

x− 4
k
, 35 ≤ x ≤ 45
0, caso contrário
(a) (1, 0 ponto) Determine o valor de k para que f(x) seja considerada um função
densidade de probabilidade;
Para que a função f(x) seja, de fato, uma função densidade de probabilidade, é preciso
garantir que:
1. f(x) ≥ 0, para qualquer valor de x;
2.
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1.
Para a primeira condição, é necessário avaliar o comportamento de f(x) quando 35 ≤
x ≤ 45, já que é a única parcela que pode sofrer alteração (para os outros valores de x,
f(x) = 0, valor este que satisfaz a primeira primeira condição).
No intervalo 35 ≤ x ≤ 45, f(x) = x− 4
k
= (x − 4) ∗ 1
k
. Para saber qual valor k pode
assumir, precisa-se verificar o comportamento de x − 4. Como x − 4 ≥ 0 implica que
x ≥ 4, e esta condição obedecida para todos os valores dentro do intervalo 35 ≤ x ≤ 45,
então sempre se terá x−4 ≥ 0. Logo, para que f(x) ≤ 0, bastaria que k ≥ 0. No entanto,
k é um denominador, de forma k 6= 0. Logo, para a primeira condição ser satisfeita, é
necessário que k > 0.
Para a segunda condição, é necessário que
∫ ∞
−∞
f(x)dx = 1:
∫ ∞
−∞
f(x) dx = 1→
∫ 45
35
x− 4
k
dx = 1→ 1
k
∫ 45
35
x− 4 dx = 1→
∣∣∣∣∣x22 − 4x
∣∣∣∣∣
45
35
= 1 ∗ k
→ k =
[(
452
2 − 4 ∗ 45
)
−
(
352
2 − 4 ∗ 35
)]
→ k = [(832, 5)− (472, 5)]→ k = 360
Como k = 360 > 0, então este é o real valor da constante. Logo, k = 360.
(b) (1, 0 ponto) Estabeleça a função de distribuição acumulada F (x) e calcule a
probabilidade de uma laranja deste tipo ter massa maior que 42 gramas.
Determinado o valor de k, é possível reescrever a função densidade de probabilidade f(x)
como segue:
f(x) =

x− 4
360 , 35 ≤ x ≤ 45
0, caso contrário
1
Expandindo a função f(x) no intervalo (−∞;∞), tem-se que:
f(x) =

0, x < 35;
x− 4
360 , 35 ≤ x ≤ 45
0, x > 45.
Sabe-se que a função de distribuição acumulada F (x) pode ser definida a partir da função
densidade de probabilidade f(x) a partir da expressão:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du
Como f(x) é dividida em três intervalos contínuos (x < 35, 35 ≤ x ≤ 45 e x > 45) , é
necessário avaliar cada parte separadamente:
• Para x < 35:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ x
−∞
0 du = 0
• Para 35 ≤ x ≤ 45:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ 35
−∞
0 du+
∫ x
35
u− 4
360 du = 0 +
1
360
∫ x
35
u− 4 du
= 1360
[
u2
2 − 4u
]∣∣∣∣∣
x
35
= 1360
[(
x2
2 − 4x
)
−
(
352
2 − 4 ∗ 35
)]
= 1360
[(
x2
2 − 4x
)
− (472, 5)
]
= 1360
[
x2
2 − 4x− 472, 5
]
= 1360
[
x2 − 8x− 945
2
]
= x
2 − 8x− 945
720
• Para x > 45:
F (x) =
∫ x
−∞
f(u)du =
∫ 45
−∞
f(u)du+
∫ x
45
0 du
= F (45) + 0 = 45
2 − 8 ∗ 45− 945
720 =
2.025− 360− 945
720
= 2.025− 1.305720 =
720
720 = 1
Portanto, a função de distribuição acumulada F (x) é dada por:
F (x) =

0, x < 35;
x2 − 8x− 945
720 , 35 ≤ x ≤ 45;
1, x > 45
O problema pede, ainda, para determinar a probabilidade de uma laranja deste tipo ter
massa maior que 42 gramas. Com relação a variável aleatória em questão, este problema
pode ser reescrito como P (X > 42). Através da função de distribuição acumulada,
tem-se que:
P (X > 42) = 1− F (42) = 1− 42
2 − 8 ∗ 42− 945
720 = 1−
1.764− 336− 945
720
= 1− 1.764− 1.281720 = 1−
483
720 = 1− 0, 6708 = 0, 3292
2
Portanto, a probabilidade de uma laranja deste tipo ter massa maior que 42 gramas é
de 32, 92%.
2. (2, 0 pontos) Uma grande universidade resolveu fazer um levantamento sobre a
proporção de alunos que falam inglês de maneira fluente. Para tanto, um grupo
de 279 alunos foi selecionado de maneira aleatória. Destes, 83 afirmaram que
falam inglês fluentemente. A partir destes dados, estabeleça um Intervalo de
Confiança, com nível de confiança de 98%, para a proporção em questão.
Primeiramente, o problema pede para determinar um Intervalo de Confiança de 98% para a
proporção p de alunos que falam inglês fluentemente. Este intervalo é definido como:pˆ− z1−α2
√ pˆ(1− pˆ)
n
 ; pˆ+ z1−α2
√ pˆ(1− pˆ)
n

Para, de fato, utilizar esta expressão para definir o Intervalo de Confiança, é preciso vericar
se a proporção amostral pode ser aproximada por uma distribuição normal. Isto é feito
verificando as condições npˆ ≥ 5 e n(1− pˆ) ≥ 5.
De uma amostra de 279 alunos, verificou-se que 83 alunos falam inglês fluente, logo a propor-
ção amostral é dada como pˆ = 83279 ≈ 0, 2975. Consequentemente:
• npˆ = 279 ∗ 0, 2975 = 83, 0025 ≥ 5;
• n(1− pˆ) = 279 ∗ (1− 0, 2975) = 283 ∗ 0, 7025 = 195, 9975 ≥ 5;
Logo, o intervalo de Confiança pode ser definido pela expressão dada anteriormente.
Como o nível de confiança estabelecido foi de 98%, tem-se que:
• (1− α) ∗ 100% = 98%;
• 1− α = 0, 98;
• α = 0, 02;
• 1− α2 = 1−
0, 02
2 = 1− 0, 01 = 0, 99;
• Valor crítico: z
1−
α
2
= z0,99(Φ(z0,99) = 0, 99) ≈ 2, 33.
Portanto, o intervalo de confiança será:pˆ− z1−α2
√ pˆ(1− pˆ)
n
 ; pˆ+ z1−α2
√ pˆ(1− pˆ)
n

0, 2975− 2, 33
√0, 2975(1− 0, 2975)
279
 ; 0, 2975 + 2, 33
√0, 2975(1− 0, 2975)
279

[0, 2975− 2, 33 (0, 0274) ; 0, 2975 + 2, 33 (0, 0274)]
[0, 2975− 0, 0638; 0, 2975 + 0, 0638]
[0, 2337; 0, 3613]
3
O Intervalo de Confiança para a proporção populacional definido para este problema é
[0, 2337; 0, 3613].
3. (2, 0 pontos) A frequência real de sintonia de uma rádio comunitária varia unifor-
memente entre 26 e 28 kHz.
(a) (0, 5 ponto) Qual a probabilidade da frequência de sintonia ser maior que 27, 3
kHZ;
Pelo problema, é informado que a variável aleatória associada X = { Frequência real
de sintonia de uma rádio comunitária } possui distribuição uniforme, cujos valores estão
entre a = 26 e b = 28 kHz. Isto significa que X ∼ U(26; 28).
Para a distribuição uniforme, a função de distribuição acumulada F (x) é dada por:
F (x) =

0, x < a;
x− a
b− a , a ≤ x ≤ b;
1, x > b
No problema, ela pode ser escrita por:
F (x) =

0, x < 26;
x− 26
28− 26 , 26 ≤ x < 28;
1, x ≥ 28
=

0, x < 26;
x− 26
2 , 26 ≤ x < 28;
1, x ≥ 28
Pede-se para calcular a probabilidade da frequência de sintonia ser maior que 27, 3 kHz,
matematicamente expressa por P (X > 27, 3). Logo:
P (X > 27, 3) = 1− F (27, 3) = 1− 27, 3− 262
= 1− 1, 32 = 1− 0, 65 = 0, 35
Portanto, a probabilidade da frequência real de sintonia ser maior que 27, 3 kHz é de
35%.
(b) (0, 75 ponto) Qual a frequência de sintonia máxima mantida pela rádio em
75% do seu tempo de funcionamento?
A questão pede para estabelecer a frequência real de sintonia máxima que é mantida
pela rádio em 75% do seu tempo de funcionamento. Em termos da variável aleatória, é
o valor de xp para o qual, em 75% do tempo, a rádio esteja operando em uma frequência
igual ou menor do que ele. P (X ≤ xp) = 0, 75. Consequentemente:
P (X ≤ xp) = 0, 75→ F (xp) = 0, 75→ xp − 262 = 0, 75
→ xp − 26 = 0, 75 ∗ 2→ xp − 26 = 1, 5→ xp = 26 + 1, 5
→ xp = 27, 5
4
Portanto, a a frequência real de sintonia máxima mantida pela rádio em 75% do seu
tempo de funcionamento é de 27, 5 kHz.
(c) (0, 75 ponto) A rádio entrou com um pedido de cadastramento junto a pre-
feitura para uso exclusivo de uma faixa de frequência para ser sintonizada
por toda a cidade. A prefeitura cedeu à ela uma faixa referente a todas as
frequências que estão a até 0, 35 kHz da média da distribuição da frequência
real de sintonia da rádio. Determine, então, a faixa de frequência cedida
pela prefeitura e qual a probabilidade da rádio mantersua frequência real
de sintonia nesta faixa.
O item pede para estabelecer a faixa de frequência cedida pela prefeitura para que a rádio
possa ser sintonizada em toda a cidade. Esta faixa é referente a todas as frequências que
estão a até 0, 35 kHz da média da distribuição da frequência real de sintonia da rádio,
ou seja, o conjunto de valores entre E(X)−0, 35 e E(X) + 0, 35. Como a frequência real
de sintonia da rádio é uma variável uniforme, o seu valor médio E(X) é expresso como:
E(X) = a+ b2 =
26 + 28
2 =
54
2 = 27 kHz
Neste caso, a faixa de frequência é dada por [E(X) − 0, 35;E(X) + 0, 35] = [27 −
0, 35; 27 + 0, 35] = [26, 65; 27, 35]. A probabilidade da rádio ficar dentro desta faixa
pode ser expressa, matematicamente, como P (26, 65 ≤ X ≤ 27, 35), dado por:
P (26, 65 ≤ X ≤ 27, 35) = F (27, 35)− F (26, 65) = 27, 35− 262 −
25, 75− 26
2
= 1, 352 −
0, 65
2 =
1, 35− 0, 65
2 =
0, 7
2 = 0, 35
Portanto, a faixa cedida pela prefeitura é [26, 65; 27, 35], e a probabilidade da rádio
manter sua frequência real de sintonia na faixa cedida pela prefeitura é de 35%.
4. (2, 0 pontos) A velocidade dos carros em um trecho de uma via é aproximadamente
normal com média de 80, 2 km/h e desvio-padrão de 5, 1 km/h.
(a) (0, 5 ponto) Calcule a probabilidade do próximo carro a cruzar este trecho
passar com velocidade entre 74 e 84 km/h;
De acordo com o problema, existe uma variável aleatória X = { Velocidade dos carros
em um trecho de uma via }, que possui distribuição normal, com valor médio mu = 80, 2
km/h e desvio-padrão σ = 5, 1 km/h. Ou seja, X ∼ N(80, 2; 5, 12).
Como a distribuição de X é expressa por uma distribuição normal não-padrão, define-se
o escore-Z Z associada a ela da seguinte forma:
Z = X − µ
σ
= X − 80, 25, 1
Neste item, pede-se para calcular a probabilidade do próximo carro a cruzar este trecho
passar com velocidade entre 74 e 84 km/h. Matematicamente, esta informação pode ser
5
expressa como P (74 < X < 84) e é dada por:
P (74 < X < 84) = P
(74− 80, 2
5, 1 < Z <
84− 80, 2
5, 1
)
= P
(−6, 2
5, 1 < Z <
3, 8
5, 1
)
≈ P (−1, 2157 < Z < 0, 7451) ≈ P (−1, 22 < Z < 0, 75)
= Φ(0, 75)− Φ(−1, 22) = 0, 7734− 0, 1112 = 0, 6622
Logo, a probabilidade do próximo carro a cruzar este trecho passar com velocidade entre
74 e 84 km/h é de, aproximadamente, 66, 22%.
(b) (0, 75 ponto) Qual a probabilidade de um carro ser multado neste trecho,
sabendo que a velocidade máxima permitida é de 85 km/h?
Sabe-se que, para que um carro seja multado neste trecho, ele precisa superar a veloci-
dade máxima permitida, que é de 85 km/h. Neste caso, a probabilidade de um carro ser
multado neste trecho pode ser reescrita como a probabilidade de um carro ultrapassar
o limite de 80 km/h que, matematicamente, pode ser expressa como P (X > 85). O
cálculo desta probabilidade é dado como:
P (X > 85) = P
(
Z >
85− 80, 2
5, 1
)
= P
(
Z >
4, 8
5, 1
)
≈ P (Z < 0, 9412) ≈ P (Z > 0, 94)
= 1− Φ(0, 94) = 1− 0, 8264 = 0, 1736
Portanto, a probabilidade de um carro ser multado neste trecho é de, aproximadamente,
17, 36%.
(c) (0, 75 ponto) Qual deve ser o limite de velocidade máximo neste trecho para
garantir que será respeitado por 80% dos veículos?
Nesta questão, pede-se para definir o valor de velocidade que é respeitado por 80% dos
veículos. Em termos da variável aleatória em questão, o que se deseja é obter um valor
de X, denominado xp, para o qual P (X ≤ xp) = 0, 8. Isto porque, já que se trata de
um limite máximo a ser respeitado, espera-se que a porcentagem de veículos definida no
problema tenha velocidade igual ou menor que o valor de xp.
Reescrevendo o problema em função da variável Z, deseja-se estabelecer zp para o qual
P (Z ≤ zp) = 0, 8. Consequentemente:
P (Z ≤ zp) = 0, 8→ Φ(zp) = 0, 8→ zp ≈ 0, 84
O valor de velocidade xp desejado é definido através da expressão Z =
X − 80, 2
5, 1 :
zp =
xp − 80, 2
5, 1 → 0, 84 =
xp − 80, 2
5, 1
→ xp − 80, 2 = 0, 84 ∗ 5, 1→ xp − 80, 2 = 4, 284
→ xp = 80, 2 + 4, 284→ xp = 84, 484 km/h
Portanto, o valor do limite de velocidade máximo neste trecho que será respeitado por
80% dos veículos é de 84, 484 km/h.
6
5. (2, 0 pontos) Uma suspeita de envenenamento foi levantada a todos os operários
de uma grande fábrica de tecidos. A substância em questão é um corante, de-
nominado de Y , cuja concentração no sangue de uma pessoa possui distribuição
normal. Exames de sangue realizados com amostras de um grupo de 25 operá-
rios escolhidos aleatoriamente apresentaram concentração média do corante Y de
1, 54 mg/L, e desvio-padrão de 0, 8 mg/L. Sabendo que, para que seja constatado
envenenamento, é preciso que que a concentração média do corante Y no sangue
dos operários da fábrica seja maior que 1, 5 mg/L, teste esta hipótese com nível
de significância de 5%.
O problema pede para estabelecer e concluir sobre a afirmativa que os operários de uma grande
fábrica foram envenenados pelo corante Y . Isto implica que de a concentração média do
corante Y no sangue dos operários da fábrica é maior que 1, 5 mg/L. Tomada a concentração
média como um valor de média populacional, as hipóteses do teste são:{
H0 : µ = 1, 5 mg/L;
H1 : µ > 1, 5 mg/L.
De forma que se trata de um teste de média unicaudal superior, com nível de significância
α = 5% = 0, 05. Como é fornecido o desvio-padrão amostral, referente a uma amostra 25
operários, s = 0, 8 mg/L, então o teste utilizado é o teste T para média, dada por:
t = x¯− µs√
n
Para tanto, é preciso verificar se o teste pode ser utilizado. Isto é feito conferindo se a
população é distribuída normalmente ou se o tamanho da amostra é elevado o suficiente
(maior ou igual a 30) para valer o Teorema do Limite Central. Neste caso, é informado que a
concentração do corante no sangue de uma pessoa - variável aleatória associada a população
de operários da fábrica - possui distribuição normal.
Neste teste, será utilizada a abordagem por valor crítico. Para o caso unicaudal superior, a
região de rejeição é dada por [tα,n−1;∞). Portanto:
• n− 1 = 25− 1 = 24;
• α = 0, 05;
• tα,n−1 = t0,05,24 ≈ 1, 711;
• Região de rejeição: [1, 711;∞)
Da amostra com n = 25 operários, constatou-se uma concentração média do corante de
x¯ = 1, 56 mg/L. Logo, a estatística de teste z é dada por:
z = x¯− µs√
n
= 1, 54− 1, 50, 8√
25
= 0, 040, 8
5
= 0, 040, 16 ≈ 0, 25
Como a estatística de teste z0 = 0, 25 não pertence a região de rejeição [1, 711;∞), então não
rejeita-se a hipótese H0 em favor de H1. Isto significa que não existem evidências fortes o
7
suficiente para afirmar que a concentração do corante Y no sangue dos operários é maior que
1, 5 mg/L, constatando envenenamento.
8