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Estatística
Prof Paulo Renato A. Firmino
praf62@gmail.com
Aulas 13-14
EstatEstatíísticastica -- Paulo Renato A. FirminoPaulo Renato A. Firmino 2
VACs – Função Densidade de Probabilidade (FDP)
• ΩX é um conjunto contido nos reais
• Tem-se agora uma função contínua cujo argumento é um 
elemento de ΩX: f(x)
ƒ f(x) pode ser visualizada através de histogramas
ƒ A partir de f(x), calcula-se as probabilidades de interesse
• Devido aos axiomas nos quais f(x) se baseia:
1. f(x) ≥ 0, x real
§ f(x) não tem um limite superior
2. Para quaisquer a < b : P(a ≤ X ≤ b)=
§ A função probabilidade é uma integral definida
3. . ( )∫+∞∞− =⋅ 1dxxf
( )∫ ⋅ba dxxf
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VACs – Exercício 1
1. A função é uma função densidade de probabilidades?
• Se sim, 
a) Qual é a probabilidade de X assumir valores entre 1 e 2?
b) Qual é a probabilidade de X=½?
c) Qual é a probabilidade de X pertencer ao intervalo [0, ½)?
d) Qual é a probabilidade de X pertencer ao intervalo (0, 1)?
e) Qual é a moda e mediana de X?
2. Se é uma função de densidade de probabilidade,
a) Qual é o valor de c?
b) Calcule P(X<x), para qualquer valor real x
c) Calcule P(X>x)
d) Calcule P(X=x) 
e) Qual é a moda e mediana de X?
⎩⎨
⎧ ∈=
contrário caso 0,
1] [0, x,1
)x(f
⎩⎨
⎧ ∈⋅=
contrário caso 0,
2] [0, x,xc)x(f
2
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
• Quando a variável em questão caracteriza-se como contínua
ƒ É em geral provinda de um processo de mensuração
ƒ Pode-se trabalhar com a média
• Média de X = E(X) = E(X1)
ƒ Pode-se trabalhar com a variância
• Variância de X = V(X) = E(X2) – [E(X)]2
• E(Xr) = 
• Exercício 2: Retorne ao Exercício 1 e calcule o coeficiente de 
variação das variáveis estudadas. Qual apresenta maior 
dispersão?
( )∫+∞∞− ⋅⋅ dxxfxr
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
• Distribuição Uniforme
ƒ Emerge quando os resultados de um experimento aleatório (ε) são totalmente 
aleatórios, não apresentando qualquer tendência
ƒ A distribuição Uniforme pode expressar o total desconhecimento sobre o 
fenômeno ou a sua total aleatoriedade
• Ela expressa equiprobabilidade entre quaisquer eventos compostos por intervalos 
de mesma amplitude em ΩX
ƒ ΩX = {x, a, b reais | a ≤ x ≤ b}
ƒ .
ƒ E(X) = (a+b)/2
ƒ V(X) = (b-a)2/12
⎪⎩
⎪⎨
⎧ ∈−=
contrário Caso ,0
]b,a[x ,
ab
1
)x(f
dunif() # density
punif() # probability
qunif() # quantile
runif() # random
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VACs – Exercício 2
1. Após inúmeras tentativas para modelar o melhor momento do dia para 
comprar ações (das 11:00h às 18:00h), um analista financeiro conclui não 
haver qualquer padrão; isto é, o melhor momento para investir se distribui 
de maneira totalmente aleatória ao longo do dia.
a) Qual é a probabilidade de o melhor momento ser às 11h?
b) Qual é a probabilidade de o melhor momento ocorrer entre meio-dia e 14h?
c) Em geral, qual é o melhor momento?
d) Em média, qual é o melhor momento?
e) Qual é a probabilidade de o melhor momento não ser 11h?
f) Qual é a probabilidade de o melhor momento não ocorrer entre meio-dia e 
14h?
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
• Distribuição Normal
ƒ Emerge quando os resultados de um experimento aleatório (ε) são efeito da 
soma de um nº razoável de fatores
ƒ A distribuição Normal é a mais usada das distribuições de probabilidade
• A média de uma amostra aleatória tende a aderir à distribuição Normal à
medida que o tamanho da amostra cresce: Teorema do Limite Central
– A frequência relativa é uma média, o que permite a associação entre a Lei dos 
Grandes Números e o Teorema do Limite Central
ƒ ΩX = {x| x é real}
ƒ . onde μ é real e σ2 > 0
ƒ E(X) = μ
ƒ V(X) = σ 2
2x
2
1
e
2
1)x(f
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
σ
μ−−
πσ=
dnorm() # density
pnorm() # probability
qnorm() # quantile
rnorm() # random
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
• Distribuição Normal
ƒ Se X ~ N(μ, σ 2), isto é, se X segue uma distribuição Normal 
com média μ e variância σ 2:
Z = (X – μ)/ σ segue uma Normal-padrão: Z ~ N(0, 1)
• Como não é trivial avaliar qualquer probabilidade P(X < x) devido a 
integral de f(x), elaborou-se tabelas para Z: P(X < x)=P[Z < (x – μ)/ σ ]
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VACs – Exercício 3
1. Estudos indicam que o saldo mensal de uma loja segue uma distribuição 
Normal com média de R$20000.00 e desvio-padrão de R$4000.00. Em 
geral, qual é o saldo mensal da loja? Qual é a probabilidade de o saldo 
mensal: 
a) Ser de R$20000.00? b) Ser de, no máximo, R$20000.00? c) Ser algo entre R$15000.00 
e R$22000.00? d) Ser não inferior a R$20000.00? e) Ser não superior a R$15000.00? f) 
Ser de, ao menos, R$15000.00? g) Ultrapassar os R$22000.00? h) Ser negativo? i) Qual é
o valor, v, para o qual a probabilidade de o saldo mensal ser menor que v é de 10%?
2. Seguindo da questão anterior, 
a) Qual é o risco (≡ probabilidade) de que o saldo mensal da loja não ultrapasse os 
R$15000.00 durante todo o ano?
b) Qual é a probabilidade de que nos próximos 4 meses ocorra de, nos primeiros três 
meses, o saldo ser inferior a R$15000.00 e de que, no último mês, o saldo ultrapasse 
os R$15000.00?
c) Qual é o risco de que ao longo do ano, o saldo mensal da loja seja inferior a 
R$15000.00 em apenas 2 meses?
d) Se o gestor não deseja saldos mensais inferiores a R$10000.00 ao longo do ano, qual 
é a sua probabilidade de sucesso?
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
• Distribuição Exponencial
ƒ Emerge quando um experimento aleatório (ε) envolvendo um evento de 
interesse (Ev) de S ocorre sob determinada unidade de medida de maneira 
homogênea (a taxa de ocorrências de Ev, λ, não varia com o tempo)
ƒ Uma VA Exponencial representa a quantidade de unidades de medida entre 
as ocorrências de Ev durante a realização de ε
ƒ ΩX = {x real| x > 0}
ƒ . onde λ > 0
ƒ E(X) = 1/ λ
ƒ V(X) = 1/ λ2
dexp() # density
pexp() # probability
qexp() # quantile
rexp() # random
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VACs - Função Densidade de Probabilidade
• Distribuição Exponencial
ƒ Está diretamente ligada à distribuição de Poisson
• Enquanto a Poisson conta o número de ocorrências por unidade de 
medida a Exponencial mede o “tempo” entre tais ocorrências
ƒ A Exponencial é a única distribuição contínua com a 
característica de “falta de memória”
• P(X > x+Δ | X > Δ) = P(X > x)
• λ não varia com o tempo (decorrer do experimento)
• Ela é a versão contínua da distribuição Geométrica
t1 tempot2 tnt3 ...
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VACs – Exercício 4
1. Uma página de internet recebe em média 30 acessos por semana. Qual é a 
probabilidade de que não haja acessos durante um período de uma semana? Qual 
é a probabilidade de o primeiro acesso ocorrer antes de um dia e meio?
2. Acredita-se que o tempo médio entre ocorrências de Tsunamis em dado local seja 
de 3.2 anos. Qual é a probabilidade de que o próximo Tsunami ocorra após 5 
anos? Qual é a probabilidade de que ocorram 3 Tsunamis em um período de 5 
anos?
3. Acredita-se que o tempo para que uma família assistida pelo governo supere a 
linha da pobreza seja normalmente distribuído, com média de 4.6 anos e desvio-
padrão de 0.9 ano. Qual é a probabilidade de que 10 dentre 12 famílias assistidas 
superem a linha da pobreza durante 4 anos?
4. O fabricante de dado equipamento pensa em fixar sua garantia em 3 anos. Se o 
tempo até a falha do equipamentosegue uma normal, com média de 5 anos e 
desvio-padrão de 1 ano, qual é a probabilidade de o comprador precisar da sua 
manutenção durante a garantia?