EXEMPLO DE RESOLUÇÃO PONTE PASSO A PASSO 04-09-2020 - Pontes

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EXEMPLO DE PONTE DE CONCRETO ARMADO, COM DUAS VIGAS PRINCIPAIS 
 
ROTEIRO DE CÁLCULO 
 
I - DADOS 
 
Ponte rodoviária. classe 45 (NBR-7188) 
Planta, corte e vista longitudinal (Anexo) 
Fôrma da superestrutura e da infra-estrutura 
Concreto : fck = 35 MPa 
Aço : CA-50 
Pesos específicos : concreto simples : 24 kN/m3 
 concreto armado : 25 kN/m3 
 pavimentação : 24 kN/m3 
 recapeamento : 2 kN/m2 
 
Viga principal - pré-dimensionamento: 
 
 valores do índice de esbeltez l / h = vão / altura ( Martinelli - 1971) 
tipo de ponte concreto armado concreto protendido 
pedestres 15 a 20 20 a 25 
rodoviária 10 a 15 15 a 20 
ferroviária 8 a 10 10 a 15 
 
II - CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 
 
1 - Cálculo dos esforços devidos à carga permanente (g) 
1.1 - Cálculo da carga permanente g 
1.2 - Cálculo do momento fletor devido a g 
1.3 - Cálculo do esforço cortante devido a g 
1.4 - Cálculo das reações de apoio devidas a g 
 
2 - Cálculo dos esforços devidos à carga móvel (q) 
2.1 - Determinação do trem-tipo para a viga principal 
2.2 - Momentos fletores máximo e mínimo devido a q 
2.3 - Cálculo dos esforços cortantes máximo e mínimo devidos a q 
2.4 - Reações de apoio máxima e mínima devidas a q 
 
3- Esforços totais 
3.1 - Momentos fletores extremos 
3.2 - Esforços cortantes extremos 
3.3 - Reações de apoio extremas 
 
4- Dimensionamento das armaduras 
4.1 - Verificação do pré-dimensionamento da seção 
4.2 - Cálculo da armadura de flexão 
4.3 - Cálculo da armadura de cisalhamento 
4.4 - Verificação da fadiga da armadura de flexão 
4.5 - Verificação da fadiga da armadura de cisalhamento 
 
 
 
 
Corte e Vista longitudinal da ponte 
 
 
 
 
 
 
Seção Transversal no apoio e no meio do vão 
 
 
 
 
Vista inferior e Locação da Fundação 
 
 
 
 
 
6) CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 
6.1) REPARTIÇÃO DAS CARGAS TRANSVERSALMENTE 
 
 
 
 No caso de pontes sobre duas vigas principais, há basicamente, três esquemas estáticos 
de cálculo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: NBR-6118 - seções transversais com três ou mais vigas principais devem ser calculadas 
como grelha. 
 
6.2 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS 
 
 
 
6.2.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE 
 
 A carga permanente pode ser considerada uniformemente distribuída, igualmente para cada 
viga, inclusive o peso próprio das transversinas. 
 
 Somente o peso próprio da cortina será considerado como concentrado na extremidade da viga, 
porém, sem o momento fletor correspondente. 
 
 
 
6.2.2 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 
 
 
 Os esforços serão obtidos através de cálculo como vigas independentes. 
 
 
 
 
 Fig. 6.2 - Esquema de cálculo - como vigas independentes 
 
 
 
As cargas P e p' atuando sobre o tabuleiro, correspondem às cargas Pη + p'A sobre um 
determinado ponto da viga 1 . 
 
 Considerando-se todas as seções transversais, ao longo da ponte, obtêm-se todas as 
cargas sobre a viga 1, correspondentes àquelas atuantes sobre o tabuleiro. Esse 
carregamento obtido sobre a viga 1 é denominado TREM-TIPO da viga principal. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P P p' 
p' 
1 2 
η 
1 
A LI de R 
1 ( reação da viga ) 
1 1 
R P = + p' η 
1 
R = P . + p' . A η 
( parcelas das cargas P e p' 
suportadas pela viga 1 ) 
 
6.2.3 ESQUEMA PARA A DETERMINAÇÃO DO TREM-TIPO DAS VIGAS 
PRINCIPAIS 
 
Fig. 6.3 - Esquema para a determinação do trem-tipo das vigas 
principais 
 
OBS. Para se obterem os máximos valores de 
Q1, q1 e q
2 , observando a LI, deve-se colocar o 
veículo-tipo tão próximo quanto possível da viga 1 . 
 
 
6.2.4 VALORES EXTREMOS DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 
 
Determinado o TREM-TIPO da viga principal, pode-se obter, através das linhas de 
influências, os valores máximos e mínimos dos esforços solicitantes (M e V) 
 
 Exemplo: Extremos de Mc 
 
 
Fig.6.4 - Linha de influência do momento fletor na seção C e as posições 
do trem- 
 
 
6.3 ENVOLTÓRIA DE ESFORÇOS 
 
 São os valores máximos e mínimos dos esforços em cada seção transversal da viga. Esses 
valores são determinados pela combinação das cargas permanentes e móveis. 
 
 O número de seções adotadas em cada tramo varia com o vão do mesmo, podendo adotar-
se: 
 
 vão dividido em 10 partes 
 
Recomenda-se : 5 seções para vão L entre 5 e 10 m 
10 seções para vão L entre 20 
e 30 m 
 Fig. 6.5 - Número de seções para cada tramo da viga 
 
 
 
6.4 CÁLCULO DAS VIGAS PRINCIPAIS - RESOLUÇÃO DO PROJETO 
 
 
 
6.4.1 CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO À CARGA PERMANENTE 
 
6.4.1.1 Cálculo das cargas permanentes 
L = 26 m 
 
 - Peso próprio de meia seção transversal 
 
 
 Fig. 6.6 - Seção transversal da ponte 
 
 
 
 
- Peso próprio das transversinas (considerando unif. distrib. ao longo da viga, l = 30m) 
2 
1 
6 
3 
4 
5 
40 
40 
15 
5 15 5 15 
40 260 cm 40 80 230 cm cm 
12 
25 
 cm 200 
10 cm 
 cm 5 
 
 
 
 Fig. 6.8 - Desconto nos apoios 
 
- Peso próprio das cortinas 
 
 
50 30 50 cm 
200 
10 
25 cm 
cm 
laje já considerada 
Fig.6.7 - Seção transversal da transversina 
cm 
 
,0 m 5 
, 4 0 0 
0 , 60 
2 ,0 m transversina 
viga principal 
25 , 0 
, 10 0 
,0 m 2 
, 25 2 25 , 0 
0 25 , 
,50 m 0 
,65 m 1 
, 25 0 
0 ,50 m 
25 , 0 
,50 m 12 
5 2 , 0 
0 ,25 m 
laje já considerada 
Ala 
cortina Ala 
cortina 
 
 Fig. 6.9 Dimensões das cortinas e alas 
 
- CARGA PERMANENTE TOTAL - Vigas principais 
 
 
 Fig. 6.10 - Cargas permanentes da viga principal 
 
- Seções para cálculo dos esforços solicitantes 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 
 
Fig. 6.11 - Fixação das seções ao longo da viga principal 6.4.1.2 - 
REAÇÕES DE APOIO 
 
 
 Rg2 = Rg12 = 1707,42 kN 
 
 
 
6.4.1.3 - DIAGRAMA DE Mg : (convenção: tração embaixo: positivo) 
 
 
 Fig. 6.12 - Diagrama de M devido às cargas permanentes 
 
 
6.4.1.4 - DIAGRAMA DE Vg (convenção: horário positivo) 
G = 118,17 kN G = 118,17 kN g = 105,95 kN/m 
5 ,0 m 20 ,0 m 5 ,0 m 
2 ,5 m 2 ,5 m 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 , 0 2 ,5 m 2 ,5 m 
- - 
+ 
627 
1915 
8 
1475 
2535 
3170 
3382 
Mg [ kN . m ] 
 
 
 
 Fig. 6.13 - Diagrama de V devido às cargas permanentes 
 
 
 
6.4.2 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS DEVIDO ÀS CARGAS MÓVEIS 
 
 6.4.2.1 - Obtenção do TREM-TIPO das vigas principais (ver Fig. 6.15) 
 
Esforços devido a carga móvel 
 
Coeficiente de Impacto Vertical (CIV) 
CIV=1+1,06.(20/(LIV+50)) 
 
1. Balanço = 2.5 = 10 m 
CIV=1+1,06.(20/(10+50))=1,353 
 
2. Vão Central = 20 m 
CIV=1+1,06.(20/(20+50))=1,303 
 
Coeficiente de número de faixas 
CNF = 1 – 0,05.(n-2) = 1– 0,05.(2-2) = 1,00 
 
Coeficiente de impacto adicional (somente para elementos < 5 m) 
 
Balanço = 1,353.1,00.1,00 = 1,353 (Versão Antiga da Norma = 1,33) 
Vão Central = 1,303.1,00.1,00 = 1,303 (Versão Antiga da Norma = 1,26) 
- 
- 
+ 
118 
383 
648 
1060 
848 
636 
424 
212 + 
Vg [kN] 
0 
 
 
 
TREM-TIPO - VIGAPRINCIPAL 
 
 
Fig. 6.16 - TREM-TIPO da viga principal 
 
 
 
 Balanço = 1,35 Vão Central = 1,30 
 
Q1 = 75 . (1,35 + 1,05) . 
coef 
243,00 KN 234,00 KN 
q1 = 5 . (0,97 . 6,4)/2 . coef 20,95 KN/m 20,18 KN/m 
Q2 = 5 . (1,42 . 9,4)/2 . coef 45,05 KN/m 43,38 KN/m 
 
 
 
6.4.2.2 REAÇÕES DE APOIOS 
 
Fig. 6.17 - Reações máxima e mínima da viga principal, causadas pelas cargas móveis 
 
 
 Rq2,mín =−243,00.(0,10 + 0,175 +0,25) – 20,95.((0,025+0,25)/2).4,5-45,05.((0,025+0,5)/2)= -
152,36KN 
 
 Rq2,máx = 243,00.(1,25 +1,175 +1,10) +20,95.((1,025+1,25)/2).4,5+45,05((1,025.20,5)/2)= 
1.437,12KN 
 
 
 
6.4.2.3 MOMENTOS FLETORES 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo: seção 1 - balanço - φ = 1,35 
 
 
 
 
 
Seção Mk max Mk min 
0 / 14 0 0 
1 / 13 0 -915,97 
2/12 0 -2816,39 
3 / 11 1802,27 -2591,06 
4 / 10 3163,37 -2365,74 
5 / 9 4110,71 -2140,41 
6/8 4711,47 -1915,08 
7 4918,45 -1689,76 
 
 
 
 
6.4.2.4 - ESFORÇOS CORTANTES (Vq) 
 
Seção Vk máx Vk min 
0 /- 14 0 -243 
1 /-13 0 -538,5 
2/-12 0 -845,8 
2/-12 1055,38 -140,82 
3 /- 11 909,08 -145,32 
4 / -10 770,44 -158,84 
5 /- 9 640,81 -212,39 
6/-8 520,19 -305,98 
7 408,58 -408,58 
 
6.4.3 - ESFORÇOS TOTAIS (ver combinações de ações) 
 
 O peso próprio da estrutura > 75% do peso próprio total, então, 
γg = 1,3, para efeitos desfavoráveis 
 γg = 1,0, para efeitos favoráveis 
 γq = 1,5, para cargas variáveis 
 
6.4.3.1 - MOMENTOS FLETORES de CÁLCULO (Md) 
 
Md,máx = γ gMg + γ qMq,máx 
 Md,mín = γ gMg + γ qMq,mín 
 
 
 
 
 
 
 
Seção Mg Mk max Mk min γg γq Mdmax γg γq Mdmin 
0 / 14 0 0 0 1,30 1,00 1,5 0 1,30 1,00 1,5 0 
1 / 13 -626,52 0 -915,97 1,30 1,00 1,5 -814,476 1,30 1,00 1,5 -2188,43 
 
2/12 -1925,22 0 -2816,39 1,30 1,00 1,5 -2502,79 1,30 1,00 1,5 -6727,37 
3 / 11 -8,13 1802,27 -2591,06 1,30 1,00 1,5 2692,836 1,30 1,00 1,5 -3894,72 
4 / 10 1475,17 3163,37 -2365,74 1,30 1,00 1,5 6662,776 1,30 1,00 1,5 -3548,61 
5 / 9 2534,67 4110,71 -2140,41 1,30 1,00 1,5 9461,136 1,30 1,00 1,5 -675,945 
6/8 3170,37 4711,47 -1915,08 1,30 1,00 1,5 11188,69 1,30 1,00 0 3170,37 
7 3382,27 4918,45 -1689,76 1,30 1,00 1,5 11774,63 1,30 1,00 0 3382,27 
 
 
6.4.3.2 - ESFORÇOS CORTANTES (Vd) 
Vd,máx = γ gVg + γ qVq,máx 
 Vd,mín = γ gVg + γ qVq,mín 
 
 
Seção Vg Vk máx Vk min γg γq Vdmax γg γq Vdmin 
0 /- 14 -118,2 0 -243 1,30 1,00 1,5 -153,66 1,30 1,00 1,5 -518,16 
1 /-13 -383,04 0 -538,5 1,30 1,00 1,5 -497,952 1,30 1,00 1,5 -1305,7 
2/-12 -647,92 0 -845,8 1,30 1,00 1,5 -842,296 1,30 1,00 1,5 -2111 
2/-12 1059,5 1055,38 -140,82 1,30 1,00 1,5 2960,42 1,30 1,00 0 1377,35 
3 /- 11 847,6 909,08 -145,32 1,30 1,00 1,5 2465,5 1,30 1,00 0 1101,88 
4 / -10 635,7 770,44 -158,84 1,30 1,00 1,5 1982,07 1,30 1,00 0 826,41 
5 /- 9 423,8 640,81 -212,39 1,30 1,00 1,5 1512,155 1,30 1,00 0 550,94 
6/-8 211,9 520,19 -305,98 1,30 1,00 1,5 1055,755 1,30 1,00 1,5 -247,07 
7 0 408,58 -408,58 1,30 1,00 1,5 612,87 1,30 1,00 1,5 -612,87 
 
 
6.4.3.3 - REAÇÕES DE APOIO (Rd) 
 Rd2,máx = Rd12,máx =1,3x1707,42 +1,4x1.437,12= 4.357,33kN 
 
 Rd2,mín = Rd12,mín =1,0x1707,42 +1,4(−152,36) = 1.494,12kN 
 
 
6.4.4 - DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS 
 
 
 
 
 Fig. 6.21 - Largura colaborante das lajes 
 
 
6.4.4.1 - VERIFICAÇÃO DO PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO 
 
 Verificam-se as seções onde ocorrem os máximos esforços solicitantes. No projeto, essas 
seções são as seguintes: 
 
momento máximo positivo: seção 7 ; Md,máx = 11774,63kN.m 
momento máximo negativo: seção 2 ou 12; Md,máx = - 2502,79kNm 
cortante máxima : seção 2d ou 12e: Vd,máx = 2960,42kN 
 
a) Seção 7 Md,máx = 11774,63kN.m ; tração embaixo → T 
 
 
 
 
h = 225 cm 
h f = 25 
 cm 10 
40 cm 
10 cm 10 cm 
 cm 120 120 cm 60 cm 
b 2 620 - 20 = 600 cm = 
h f 25 cm = 
10 cm 
10 cm 10 cm 
40 cm 
 cm 120 60 cm 120 cm 
Fig. 6.22 - Cálculo da largura coraborante 
viga V 1 viga V 2 
 
 
 
 
Supondo-se d = 0,9h = 202,5 cm, tem-se: 
 
𝑘𝑐 = 
𝑏. 𝑑²
𝑀𝑑
= 
300. (202,5)²
1.177.463,00
= 10,44 
 
Fck = 35 MPa → βc = 0,06 → x = 0,06.202,5 = 12,15 < hf = 25 cm 
∴ L.N.na laje 
 
b) Seção 2: Md,máx = - 2502,79kNm 
 
tração em cima ∴seção retangular 
 
verificação inicial : bw = 40 cm (sem alargamento no apoio) 
 
𝑀𝑑𝑙𝑖𝑚 = 
𝑏. 𝑑²
𝑘𝑐
= 
40. (202,5)²
1,3
= 1261730,77 𝐾𝑁𝑐𝑚 = 12.617,31 𝐾𝑁𝑚 
Ou seja, não é necessário alargar a base em virtude do momento fletor 
 
 
 
c) cortante máxima: Vd,máx = 2960,42kN 
 
 
 
𝛼𝑣2 = (1 −
35
250
) = 0,86 
 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27.0,86. (
3,5
1,4
) . 40.202,5 = 4.702,05𝐾𝑁 
A dimensão resiste!