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UVA
Universidade
Veiga de Almeida
Ca´lculo Nume´rico
Prof. Fernando Marinho
Lista de exerc´ıcios - Revisa˜o
Questa˜o 1 Considerando o Sistema Linear abaixo 5x− y + z = 22x− 5y + 3z = 1
x+ y + 3z = 3
,
qual e´ o nu´mero mı´nimo de iterac¸o˜es necessa´rias para se obter precisa˜o indireta ² = 5.10−5. E para erro
direto ek = E1
βk
1− β < ²?
Questa˜o 2 O polioˆmio p(x) = 3x4 − 5x3 + 2x2 − 7x + 5 tem quantas ra´ızes reais? Note que
limx→±∞ p(x) =∞. Calcule a menor e a maior com quatro casas decimais exatas.
Questa˜o 3 Fac¸a um esboc¸o dos pontos da tabela abaixo, o gra´fico de dispersa˜o , e verifique que o
ajuste quadra´tico f(x) = ax2+ bx+ c e´ mais conveniente que o linear. Utilize Mı´nimos Quadrados para
determinar a, b, e c, isto e´, para δ =
8∑
i=1
[ax2i + bxi + c − yi]2 calcule
∂δ
∂a
,
∂δ
∂b
e
∂δ
∂c
e iguale a zero,
gerando assim um Sistema Linear 3× 3. Fac¸a uma predic¸a˜o para y = f(6).
x 1 1 2 3 4 5 7 8
y −5 1 0 −1 −1 1 3 4
Questa˜o 4 Na tabela seguinte fac¸a uma predic¸a˜o para y quando x = 12. Para isto utilize o ajuste de
v = αln (βu) linearizado, por Mı´nimos Quadrados.
x 1 2 4 7 15
y −1 1 2 3 4
Questa˜o 5 Para cada conjunto de pontos abaixo, fac¸a o gra´fico de dispersa˜o e escolha ajuste linear
f(x) = mx + n, ajuste exponencial f(x) = α.eβ.x ou ajuste quadra´tico f(x) = ax2 + bx + c e calcule a
predic¸ao em x0 pelo ajuste mais indicado:
1. (-6,1), (-2,2), (1,5) e (2,10); x0 = 0
2. (-3,5), (-1,-1), (1,-2), (3,0) e (4,6); x0 = 2
3. (-4,-2), (-1,0), (2,1) e (4,3); x0 = 3
Questa˜o 6 Utilizando os pontos da questa˜o anterior item c, fac¸a a predic¸a˜o para x0 = 3 pelo polinoˆmio
de Lagrange.
Respostas
1) 34, 83
2) 2; 2,4496
3) f(x) = 0, 5289x2 − 3, 8068x+ 4, 1269, y=34,6069
4) y = 1, 7994x− 0, 6232⇒ v = 1, 7994ln (0, 7073u), y = 3, 8481
5) aj.exp.:4,4493; aj.quad.:3,1627; aj.lin.:2,1088
Propriedades de Log
• ln (AB) = ln A+ ln B
• ln (A/B) = ln A− ln B
• ln AB = B ln A
Ajuste Quadra´tico
(∑k
i=1 xi
4
)
a+
(∑k
i=1 xi
3
)
b+
(∑k
i=1 xi
2
)
c =
(∑k
i=1 xiyi
2
)(∑k
i=1 xi
3
)
a+
(∑k
i=1 xi
2
)
b+
(∑k
i=1 xi
)
c =
(∑k
i=1 xi.yi
)(∑k
i=1 xi
2
)
a+
(∑k
i=1 xi
)
b + k.c =
(∑k
i=1 yi
)
2