Apostila Matemática Financeira

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Curso de Administração 
 
 
 
 
 
 
AAPPOOSSTTIILLAA DDEE 
MMAATTEEMMÁÁTTIICCAA FFIINNAANNCCEEIIRRAA 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Braulino Mattos 
( Qualquer dúvida ou sugestão: bmreis2@yahoo.com.br ) 
 
 
Apostila de MATEMÁTICA FINANCEIRA Prof. Braulino Mattos 
 
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Capítulo 1 
Matemática Financeira: 
Conceituação e Campo de Aplicação 
 
 
“A prosperidade de uma nação está intimamente ligada ao progresso e 
desenvolvimento dos estudos matemáticos.” 
 
( Napoleão Bonaparte ) 
1.1 O que é Matemática Financeira? 
De uma forma simplificada, podemos dizer que a Matemática Financeira é o ramo da Matemática 
Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro no tempo. Mais precisamente, ela estabelece expressões 
matemáticas que quantificam a remuneração das transações que ocorrem no universo financeiro levando em 
conta a variável tempo, ou o valor monetário no tempo (time value money). 
Do ponto de vista da Matemática Financeira, R$ 1.000,00 hoje não são iguais a R$ 1.000,00 em 
qualquer outra data, pois o dinheiro cresce no tempo ao longo dos períodos, devido à taxa de juros por 
período. Assim, a Matemática Financeira está diretamente ligada ao valor do dinheiro no tempo, que por sua 
vez, está interligado à existência da taxa de juros. 
Para melhor compreensão do conceito de valor do dinheiro no tempo, suponha que se pergunte a 
uma pessoa se ela prefere receber R$ 1.000,00 hoje ou os mesmos R$ 1.000,00 no final de um ano. A resposta 
certamente seria R$ 1.000,00 hoje. No entanto, se a pergunta fosse receber R$ 1.000,00 hoje ou R$ 1.480,00 
no fim de um ano, a resposta poderia ser “depende”. Para responder a pergunta, a pessoa analisaria se vale 
a pena deixar de usar os R$ 1.000,00 para atender uma necessidade ou desejo (trocar de carro, fazer uma 
viagem, etc), ou se seria mais vantajoso privar-se desse desejo ou necessidade atual para receber R$1.480,00 
no fim de um ano, ou ainda se existe algum tipo de investimento que ela poderia fazer com esses R$ 1.000,00 
que lhe rendessem ao final de um ano mais do que R$ 480,00. 
Caso esta pessoa concorde com a proposta, na prática ela estará fixando valores para seu dinheiro no 
tempo, ou seja, R$ 1.000,00 para ela hoje vale R$ 1.480,00 ao fim de um ano, evidenciando que uma mesma 
quantia tem valores diferentes em diferentes instantes de tempo. 
Pode-se imaginar, também, uma situação na qual uma pessoa pretenda vender um terreno por 
R$1.000,00 à vista. Após a publicação do anúncio, recebe várias propostas de compra, mas todas elas 
incluindo uma parte à vista e o saldo financiado em diversas parcelas, sendo que cada proposta apresenta 
diferentes planos de financiamento. Como escolher a proposta mais interessante? Isso é o que veremos nesse 
curso. 
 
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1.2 Conceitos - Chave da Matemática Financeira 
As principais variáveis envolvidas no processo de quantificação financeira são: a taxa de juros, o 
capital e o tempo. 
Por juros devemos entender como a remuneração de um capital aplicado a certa taxa e durante um 
determinado período. É o dinheiro pago pelo uso de dinheiro emprestado. Portanto, Juros (J) = preço do 
crédito. 
A existência de juros decorre de vários fatores, entre os quais se destacam: 
1 - Inflação: a diminuição do poder aquisitivo da moeda num determinado período de tempo. 
2 - Risco: os juros produzidos de uma certa forma, compensam os possíveis riscos do investimento. 
3 – Aspectos intrínsecos da natureza humana: os seres humanos adoram ganhar dinheiro! 
Em geral, temos que: 
 o valor do capital é conhecido como principal e é denotado por P ou C; 
 a taxa de juro (i), é a relação entre os Juros e o Principal, expressa em relação a uma unidade de 
tempo. 
 Assim, por exemplo, se os juros anuais correspondentes a uma dívida de R$ 2.000,00 (Principal = P) 
forem R$ 200,00 (Juros = J), a taxa de juros anual ( i ) será 200/2000 = 0,10 = 10% ao ano. Indica-se: 
i = 10% a.a. 
Costuma-se especificar as taxas de juros anuais, trimestrais, semestrais, mensais, etc., motivo pelo 
qual se deve especificar sempre o período de tempo considerado. 
Quando a taxa de juros incide no decorrer do tempo, sempre sobre o capital inicial, dizemos que 
temos um sistema de capitalização simples (Juros simples). Quando a taxa de juros incide sobre o capital 
atualizado com os juros do período (montante), dizemos que temos um sistema de capitalização composta 
(Juros compostos). 
Na prática, o mercado financeiro utiliza apenas os juros compostos, de crescimento mais rápido. De 
fato, veremos que enquanto os juros simples crescem segundo uma função do 1º grau (crescimento linear), os 
juros compostos crescem muito mais rapidamente segundo uma função exponencial. 
1.3 Fluxo de Caixa 
É o conjunto de entradas e saídas de dinheiro (caixa) ao longo do tempo. 
Podemos montar o fluxo de caixa de empresas, de investimentos, de projetos, de operações 
financeiras, etc. 
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A elaboração de fluxo de caixa é indispensável na análise de rentabilidade e custos de operações 
financeiras, e no estudo de viabilidade econômica de projetos e investimentos. 
Sua representação é feita por meio de tabelas, quadros ou esquematicamente. 
 
 
Representação esquemática (ou Diagrama de Fluxo de Caixa) 
 
Entrada 
Seta voltada para cima representando 
Entrada de Caixa, ou seja, um Fluxo de 
Caixa positivo 
 
Eixo onde é representado o prazo (ou número 
de períodos) da operação financeira 
 
Saída 
 
Seta voltada para baixo representando Saída de Caixa, 
ou seja, um Fluxo de Caixa negativo 
 $400 
 $300 $300 $350 
A título de exemplo temos o Diagrama de Fluxo $250 
de Caixa (DFC) ao lado que ilustra uma aplicação 
ou investimento inicial de R$ 1.000,00, 0 1 2 3 4 5 períodos 
que proporciona receitas de R$ 300,00 no 1° período, 
de R$ 250,00 no 2° período, de R$ 300,00 no 3º período, $1.000 
de R$ 400,00 no 4° período e de R$ 350,00 no 5° período. 
 
As flechas voltadas para cima correspondem às entradas de caixa ou receitas. As flechas voltadas 
para baixo representam as saídas de caixa ou despesas. 
 
No esboço do diagrama adotam-se as seguintes convenções: 
 
(a) o investimento inicial é sempre feito no instante zero; 
(b) as entradas e saídas de caixa são consideradas como se ocorressem ao fim de cada um dos períodos da 
operação financeira. 
 
Simbologia adotada em nosso Curso de Matemática Financeira: 
 
P Principal ou Capital Inicial, Valor Atual, Valor Presente 
n Prazo ou número de períodos da operação financeira. Nº de períodos de capitalização 
i Taxa de juros 
M Montante ou Capital Acumulado, Valor de Resgate, Valor Futuro 
R Valor dos termos de uma Série de Pagamentos 
VN Valor Nominal de um título de crédito (valor do título na data de seu vencimento) 
VA 
Valor Atual de um título de crédito (valor do título numa data anterior àquela do seu 
vencimento) 
 
d 
Taxa de desconto (taxa de juros praticada numa operação de desconto de títulos de 
crédito) 
D Valor dos juros praticadosnuma operação de desconto de títulos de crédito 
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1.4 Capitalização e Regimes de Capitalização 
Capitalizar juros é incorporar (agregar, somar) juros ao capital a cada período da operação 
financeira, seja ela de aplicação ou de captação de recursos. 
O capital inicialmente empregado ou tomado emprestado numa operação financeira, denominado 
principal, evolui ao longo do prazo de tempo da operação financeira, devido ao acréscimo de juros 
(capitalização de juros). 
Dependendo da forma pela qual os juros são calculados, temos os chamados de Regimes de 
Capitalização. 
 
 
Juros Simples: Os juros são simples quando somente o principal produz juros ao longo do prazo da 
operação. 
 
Juros Compostos: Os juros são compostos quando, após cada período da operação financeira, os juros 
são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a produzir juros. Também 
conhecido como “juros sobre juros”. 
 
Observe, no exemplo ilustrativo mostrado no quadro abaixo, a evolução de um capital de R$100,00 
aplicados tanto a juros simples como a juros compostos, à taxa de juros de 10% aa. 
 
 
Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR, enquanto que o crescimento 
segundo juros compostos é EXPONENCIAL e, portanto, tem um crescimento muito mais "rápido". 
Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma: 
 
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Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na 
Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
 
Obs.: O período de tempo compreendido entre sucessivas incorporações de juros chama-se período de 
capitalização. 
 
1.5 Definição de Alguns Termos Comuns em Matemática Financeira 
Vejamos as definições de alguns termos muito usados em Matemática Financeira. 
 
 
Nota Promissória: o É uma promessa de pagamento por escrito feita pelo devedor, numa só via. 
o O devedor, chamado emitente, declara, nessa via, que deve pagar uma 
determinada quantia a certa pessoa, numa data estipulada entre as partes. 
 
Duplicata: o Documento originado por uma operação de venda a prazo ou de prestação 
de serviço. 
o A duplicata é emitida por quem vende ou presta serviço e é aceita por 
quem compra ou paga o serviço. 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. A nota promissória e a duplicata são chamados de títulos de crédito e, portanto, possuem uma data 
de vencimento. Em alguns casos, quando estes títulos são resgatados antes de sua data de 
vencimento, pode-se obter um desconto. 
 
2. Entre outros títulos de crédito, temos a letra de câmbio e o cheque. 
 
 
 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
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Capítulo 2 
Elementos de Matemática Básica 
 
 
Antes de estudarmos qualquer conteúdo novo, é primordial conhecer bem seus pré-requisitos. Sendo 
assim, esse capítulo visa fornecer um material sucinto e eficaz para relembrar alguns conceitos de 
Matemática Básica, os quais serão fundamentais para entender a maioria das operações financeiras realizadas 
no Brasil e no exterior. 
Entretanto, é importante salientar que outras fontes podem e devem ser estudadas para um devido 
aprofundamento da matéria, o que garantirá seu sucesso nessa disciplina. 
Esses conceitos, com exceção de Porcentagem, não serão vistos em sala nem serão cobrados em 
avaliações. 
Bom estudo! 
“A morte do homem começa no instante em que ele 
desiste de aprender.” 
 
( Albino Teixeira ) 
 
 
** 2.1 Razão ** 
Sejam com 
0b 
. Chama-se razão entre a e b o quociente (ou a fração) 
a
b
. 
O número a é chamado de numerador (ou antecedente) e o número b é chamado de denominador 
(ou consequente). 
 
Exemplo: Numa classe de 42 alunos há 18 rapazes e 24 moças. 
 A razão entre o número de rapazes e o número de moças é 
18 3
24 4

 , o que significa que para cada 3 
rapazes há 4 moças. Além disso, a razão entre o número de rapazes e o número total de alunos é 
18 3
42 7

, 
o que equivale a dizer que de cada 7 alunos da classe, 3 são rapazes. 
 
 
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** 2.2 Proporção ** 
Proporção é a igualdade entre duas razões. 
Na proporção 
4 8
10 20

 (lê-se: “4 está para 10 assim como 8 está para 20”), os números 4 e 20 são 
chamados de extremos e os números 10 e 8 são chamados meios. 
Note que: 
4 20 10 8  
. Isso caracteriza a propriedade fundamental das proporções: 
 
“ Numa proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos ” . 
 
Exemplo 1: Na proporção 
18 3
24 4

, temos que 
18 4 24 3  
. 
 
Exemplo 2: Qual é o valor de x em 
2 4 30
3 9
x x 

 ? 
 Usando a propriedade fundamental das proporções, tem-se que: 
   9 2 4 3 30
18 36 90 3
18 3 90 36
21 126 6
x x
x x
x x
x x
    
  
  
  
 
 
Exemplo 3: Um automóvel consegue rodar 300 Km com um tanque de 50 litros de gasolina. Se a capacidade 
do tanque fosse aumentada para 60 litros, quantos quilômetros o mesmo conseguiria rodar? 
300
50 300 60
50 60
50 18000
18000
360
50
x
x
x
x x
   

  
 Resp.: O mesmo automóvel conseguiria rodar 360Km. 
 
NOTA: O procedimento usado nesse exemplo é o que chamamos de Regra de Três Simples. 
 Exercícios Propostos 
1) Um aprendiz ganha R$ 240,00 e um profissional da mesma especialidade ganha R$ 1.200,00. Qual é a 
razão entre os salários? 
 
2) A soma de dois números é 84 e a razão entre eles é 
3
/4. Determine esses números. 
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3) Numa cesta de frutas há somente laranjas e bananas. Quantas são as laranjas, se há 15 bananas e a razão 
entre o número de laranjas e o de frutas é 
3/8 ? 
 
4) Determine x em cada caso. 
2 6
a)
3 7
x

 
20
b)
5
x
x

 
4 2
c)
3 5
x x
x x
 

 
 
1 7
d)
5 1
x
x



 
 
5) Numa pequena cidade constatou-se que, de cada cinco crianças, duas possuem olhos azuis. Responda: 
 
a) Qual é a razão entre o número de crianças que não possuem olhos azuis e o número total de crianças? 
 
b) Sabendo que há na comunidade 60 crianças, quantas possuem olhos azuis? 
 
 
2.3 Porcentagem 
Porcentagem é toda razão cujo denominador é 100. 
São exemplos de porcentagens: 
 
35 4 10
; ; .
100 100 100
 
 
Outras formas de representar uma porcentagem são através de números decimais ou, como é mais 
comum, através do símbolo % (por cento). 
35 40 4
0,35 35% ; 0,4 40% ; 0,04 4% .
100 100 100
     
 
 
Exemplo 1: De um grupo de 100 idosos pesquisados, 48 fazem hidroginástica no clube. Isso representa um 
porcentual de 48%. 
 
Exemplo 2: Em cada grupo de 50 jovens de uma comunidade, 32 praticam algum tipo de esporte. Logo, 
podemos concluir que 
320,64 64%
50
 
 desses jovens praticam esporte. 
 
Exemplo 3: Num exame para habilitação de motoristas, sabe-se que participaram 380 candidatos e que a 
taxa de reprovação foi de 15%. Determine o número de candidatos reprovados. 
 Com os dados fornecidos, é possível estabelecer a seguinte proporção: 
15 15
380 57
380 100 100
x
x x     
 
Logo, foram reprovados no exame 57 candidatos. 
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Exemplo 4: Considere que uma bolsa seja vendida pelo valor de R$ 32,00 e responda: 
 
a) Se seu preço sofresse um aumento de 20%, para quanto passaria o valor da mesma? 
 
 Suponhamos que 
x
 seja o preço com aumento. Como o produto sofreu um aumento de 20%, então 
ele passou a valer 120% (= 100% + 20%) do seu valor original, ou de referência. Assim, temos que: 
120 120
32 38,4
32 100 100
x
x x     
 
 
Logo, o preço com aumento seria de R$ 38,40. 
 
b) E se ao invés de um aumento ela sofresse um desconto de 20%, quanto seria o valor da bolsa? 
 
 Suponhamos que 
x
 seja o preço com desconto. Como o produto sofreu um desconto de 20%, então 
ele passou a valer 80% (= 100% - 20%) do seu valor original, ou de referência. 
80 80
32 25,6
32 100 100
x
x x     
 
 
Logo, o preço com desconto seria de R$ 25,60. 
 Exercícios de Fixação 
1) Determine: 
 
a) 40% de 200 b) 12% de 350 c) 65% de 120 d) 8% de 42 e) 2% de 55 
 
 
2) Plantei 5 dúzias de sementes de minha flor favorita e sobreviveram apenas 45 (as demais morreram). Qual 
foi a porcentagem de sementes que não foram aproveitadas? 
 
 
3) Com uma lata de tinta é possível pintar 60m2 de parede. Para pintar uma parede de 72m2, gasta-se uma 
lata e mais uma parte de uma segunda lata. Qual a porcentagem correspondente à parte gasta da segunda 
lata? 
 
4.) Em um concurso havia 15.000 homens e 10.000 mulheres. Sabe-se que 60% dos homens foram aprovados e 
55% das mulheres foram aprovadas. Do total de candidatos foram reprovados: 
 
a) 40,5% b) 41% c) 41,5% d) 42% e) 42,5% 
 
5) Qual é o preço de revenda de um objeto que custou R$ 2.500,00 e foi revendido com um prejuízo de 18%? 
 
6.) Na compra de uma bicicleta, obtive um desconto de 15%. Paguei R$ 76,50 por ela. Qual era o preço 
original da bicicleta? 
 
7) Em uma concessionária de motocicletas, uma moto é anunciada com 22,5% de desconto em relação a seu 
concorrente mais próximo, ao preço de R$ 6.200,00. Qual é o preço do seu concorrente? 
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8) Um funcionário de uma empresa de prestação de serviços recebeu no mês de dezembro um aumento de 
35%, passando a receber R$ 607,50. Assim, qual era seu antigo salário? 
 
 
9.) Mário recebe um salário de R$1.200,00. Se o sindicato que representa a categoria de Mário estabelece um 
valor mínimo para sua função de R$1.368,00, qual deveria ser o percentual de aumento que sua categoria 
precisa receber de modo que seu salário seja igual ao valor mínimo estipulado pelo sindicato? 
 
10) Uma mesma mercadoria é vendida em duas lojas diferentes nas seguintes condições: 
 
Loja 1 - preço de 120 reais, com 20% de desconto; 
Loja 2 - preço de 140 reais, com 30% de desconto. 
 
Em qual das duas lojas a mercadoria pode ser comprada pelo preço mais baixo? 
 
 
11) Comprei mercadorias no valor de R$ 140,00 e quero vendê-las com um lucro de 30%. Por quanto devo 
vendê-las? 
 
a) 182,00 b) 200,00 c) 280,00 d) 180,00 
 
 
12) Um estoquista compra um televisor por R$ 625,00 e vende com prejuízo de 25%. Por quanto o estoquista 
vendeu o televisor? 
 
13) Um terreno foi vendido por R$ 16.800,00, com um lucro de 20%. Qual o valor do custo do terreno? 
 
14) Uma máquina foi comprada por R$280,00 e vendida por R$350,00. Qual foi a taxa de lucro do vendedor 
sobre o preço de venda? 
 
15) Um refrigerador que custava R$1.500,00 sofreu um aumento de 20% e depois um desconto de 15%. Qual 
foi a taxa de aumento ou de desconto após essas duas alterações de preço? 
 Exercícios Propostos 
1.) (10%)2 é igual a: 
 
a) 100% b) 10% c) 1% d) 1 e) 0 
 
 
2) 
25%
 é igual a: 
 
a) 50% b) 25% c) 5% d) 5 e) 0 
3.) (UFRJ) A comissão de um corretor de imóveis é igual a 5% do valor de cada venda efetuada. 
a) Um apartamento foi vendido por R$62.400,00. Determine a comissão recebida pelo corretor. 
b) Um proprietário recebe, pela venda de uma casa, R$79.800,00, já descontada a comissão do corretor. 
Determine o valor da comissão. 
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4.) Os primeiros resultados do recenseamento informam que a população do Distrito Federal é de 1.200.000 
habitantes, e que o número de mulheres excede o número de homens em cerca de 30.000 pessoas. 
Determine a taxa de mulheres. 
 
a) 50,25% b) 51,25% c) 52,5% d) 53% e) 53,25% 
 
 
5) (Unisinos-RS) Um tanque de combustível contém 240 litros de gasolina com 3% de álcool. Quantos litros de 
álcool puro devem ser adicionados à mistura para que ela tenha 4% de álcool? 
 
 
6) Vendi um automóvel por R$7.000,00, e tive um prejuízo de 30%. Qual era o preço original desse 
automóvel? 
 
7) Um terreno foi vendido por R$16.500,00, com lucro de 10%. Em seguida, foi revendido por R$ 20.700,00. O 
lucro total das duas transações representa sobre o custo inicial do terreno um percentual de: 
 
a) 25% b) 28% c) 38% d) 39,5% e) 41% 
 
8) O salário de uma pessoa era, em janeiro de 1990, CR$120.000,00 e, em abril do mesmo ano, 
CR$138.864,60. Sabe-se que as taxas de reajustes aplicadas ao seu salário em fevereiro e março foram, 
respectivamente, de 5% e 3%. Qual foi a taxa de reajuste relativa ao mês de abril? 
 
9.) (Unicamp-SP) Suponha que todos os preços venham subindo 30% ao mês nos últimos meses e continuem 
assim nos próximos meses. 
 
a) Quanto custará, daqui a 60 dias, um objeto que hoje custa R$273,00? 
b) Quanto custava esse mesmo objeto um mês atrás? 
 
10) (FEI-SP) Das peças produzidas num torno, sabe-se que 60% são perfeitas, 30% possuem pequenos defeitos 
e as restantes não são aproveitadas. O custo de produção de cada peça, em qualquer caso, é de R$10,00. O 
preço de venda de cada peça perfeita é de R$15,00 e com pequenos defeitos é de R$12,00. Qual é o valor do 
lucro esperado pelo fabricante ao programar a produção de 40 peças? 
 
11.) (Fuvest-SP) Uma loja vende seus artigos nas seguintes condições: à vista, com 30% de desconto sobre o 
preço da tabela, ou no cartão de crédito, com 10% de aumento sobre o preço da tabela. Um artigo que, à 
vista, sai por R$700,00, no cartão, sairá por: 
 
a) R$1.100,00 b) R$1.300,00 c) R$1.010,00 d) R$9.800,00 e) R$770,00 
 
12.) Comprou-se certa mercadoria. Sobre o custo, pagou-se 5% de imposto e 3% de frete. Sendo a mercadoria 
vendida por R$ 27,00, dá lucro de 25%. Por quanto foi comprada? 
 
 
 
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Capítulo 3 
Regimes de Capitalização 
 
3.1 Regime de Capitalização Simples 
No regime de capitalização simples somente o capital inicial (também chamado de principal) rende 
juros. 
 
3.1.1 Juros Simples 
Considere um capital (ou principal) P aplicado a juros simples à taxa de i% durante n períodos de 
tempo. O juro J, constante em cada período, é dado por: 
J P i n  
 . 
 
O montante M obtido (ou capital acumulado) durante o período de capitalização é: 
M P J 
 ou 
 1M P i n   
 . 
 
Observações: 
 
1) Na fórmula acima é necessário que n e i sejam expressos numa mesma unidade. Por exemplo, se a taxa i% é ao 
mês, então o período n deverá ser expresso em meses. 
 
2) O montante calcula o valor da dívida para pagamento único no fim do período de capitalização. 
3) Note que o crescimento dos juros segundo o tempo de aplicação forma uma PA de 1º termo 
P i
 e razão 
P i
. 
 
Exemplo 1: Quais são os juros produzidos por R$ 152,00 em 4 meses à taxa de juros de 2% a.m. (ao mês) ? 
 
152
0,02 152 0,02 4
4 12,16
P J P i n
i J
n J
    
    
 
Logo, os juros são de R$ 12,16. 
 
Exemplo 2: Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples durante 1 ano e meio à taxa de 8% a.s. (ao 
semestre). Obtenha os juros e o montante. 
 
 Primeiramente, devemos perceber que 1 ano e meio é igual a 3 semestres. Assim, temos que: 
 
 
7000
0,08 7000 0,08 3 7000 1680
3 1680 8680
P J P i n M P J
i J M
n J M
       
     
  
 . 
 
 
Logo, os juros são de R$ 1.680,00 e o montante é de R$ 8.680,00. 
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Exemplo 3: Quantos meses um capital deve ficar aplicado à taxa de 3% a.m. de modo a propiciar 15% de 
juros? 0,15
0,03 0,15 0,03
? 0,15 0,03
0,15
5
0,03
J P J P i n
i P P n P
n n
n
     
     
   
 
 Logo, o capital deve ficar aplicado durante 5 meses. 
 
Exemplo 4: Um capital de R$ 12.000,00 foi aplicado durante 3 meses gerando um montante de R$12.540,00. 
Qual é a taxa de juros no trimestre? 
 
 Primeiramente, devemos perceber que 3 meses é igual a 1 trimestre. Assim, como P = R$12.000,00 e 
M = R$12.540,00, temos que:    1 12540 12000 1 1
12540 12000 12000
540 12000
540
0,045
12000
M P i n i
i
i
i
      
 
 
 
Logo, a taxa de juros é de 4,5% a.t. 
 
Exemplo 5: Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses e rende juros simples à taxa de 22% a.a. e paga 
I.R. (imposto de renda) igual a 20% do juro; o imposto é pago no resgate. 
 
a) Qual é o montante líquido ( Ml ) de uma aplicação de R$8.000,00? ( Ml = M - IR) 
 
b) Qual o capital que deve ser aplicado para obter um Ml = R$9.500,00? 
 
a) Como P = 8000, i = 22% a.a e n = 
5
/12 , temos que: 
 
 
   
0,2 0,8 0,8
1 0,8
5
1 0,8 0,22 8000
12
5
1 0,8 0,22 8000
12
1,0733 8000 1,0733 8000
8586,4
l
l
l
l
l
l
M M IR P J J P J P P i n
M i n P
M
M
M
M
             
    
 
     
 
 
     
 
   

 
 Logo, o montante líquido é de R$8.586,40. 
b)  
0,2 0,8
0,8
5
9500 0,8 0,22 1,0733
12
9500
8851,21
1,0733
l
l
M M IR P J J P J
M P P i n
P P P
P
        
    
 
        
 
 
Logo, o capital a ser aplicado é de R$8.851,21. 
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Página 15 
Exemplo 6: Um artigo de preço à vista igual a R$700,00 pode ser adquirido com entrada de 20% mais um 
pagamento para 45 dias. Se o vendedor cobra juros simples de 8% a.m., qual é o valor de pagamento devido? 
 
Valor à vista: R$700,00 
Entrada: 20% de 700 = 0,20 . 700 = R$140,00 
Valor a financiar: 700 – 140 = R$560 (diferença entre o valor à vista e a entrada) 
 
Temos R$560,00 financiados por 45 dias a 8% a.m. Como 45 dias é igual a 1,5 meses, segue que: 
 
   1 560 1 0,08 1,5
627,2
M P i n M
M
      
 
Portanto, o valor de pagamento devido é de R$627,20. 
 
 
3.1.2 Equivalência de Taxas de Juros Simples 
Duas taxas de juros ia e ib , referidas respectivamente aos períodos na e nb são ditas equivalentes 
quando aplicadas sobre o mesmo capital durante um mesmo prazo n produzem os mesmos juros. 
Para converter a taxa de juros de uma unidade para outra é necessário usar a seguinte relação: 
 
a a b bn i n i  
. 
 
 
Exemplo 1: Determine as taxas semestral e mensal equivalente à taxa de juros simples de 3,6% a.a. 
 
1 1
2 1 0,036 0,018
2 2
1 1
12 1 0,036 0,003
12 12
s a s a s s
m a m a m m
i i i i i i
i i i i i i
          
          
 
 
 
Logo, a taxa de juros simples de 3,6% a.a é equivalente a taxa de 1,8% a.s e a taxa de 0,3% a.m. 
 
 
 
 
Exemplo 2: Quais são os juros simples, ao fim de 9 meses, pela aplicação do capital de R$10.000,00 à taxa 
de 8% ao ano? 
1 1
12 1 0,08 0,0067
12 12
10000 0,0067 9
603
m a m a m mi i i i i i
J P i n
J
J
          

  
  

 
 
Logo, os juros são de, aproximadamente, R$603,00. 
 
 
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Página 16 
3.1.3 Juro Exato e Juro Comercial 
Juro Exato: Chama-se juro exato aquele que é obtido quando o período n está expresso em dias e quando é 
adotada a convenção de ano civil (365 ou 366 dias). 
Juro Comercial: Chama-se juro comercial o juro que é calculado quando se adota como base o ano 
comercial (360 dias) e o período está expresso em dias. 
 
Exemplo: Um capital de R$5.000,00 foi aplicado por 42 dias à taxa de 30% a.a no regime de juros simples. 
Calcule os Juros Exatos e os Juros Comerciais. 
 
Juro Exatos 
42
5000 0,3 172,6
365
e eJ J    
 
Juro Comercial: 
42
5000 0,3 175
360
c cJ J    
 
 
Atenção: Numa operação financeira quando são fornecidas a sua data inicial e a sua data final, deve-se 
sempre utilizar, nas fórmulas, o número exato de dias compreendido entre as duas datas 
apresentadas. 
 
3.1.4 Valor Nominal, Valor Presente e Valor Futuro 
Considere o seguinte exemplo. 
 
Exemplo 1: Uma pessoa tem uma dívida de R$11.000,00 a ser paga daqui a 5 meses. Se ela aplicar seu 
dinheiro hoje, a juros simples e a taxa de 2% a.m., quanto precisará aplicar para poder pagar a dívida no seu 
vencimento? 
 
 11000 1 0,02 5 11000 1,1
10000
P P
P
      

Logo, essa pessoa deverá aplicar R$10.000,00. 
 
Em situações como nesse exemplo, costuma-se fazer as seguintes denominações: 
 
 Valor nominal ( VN ) : É o valor da dívida na data de seu vencimento. Se após o vencimento o 
compromisso não for saldado, entendemos que o mesmo continuará tendo o seu valor nominal, 
acrescido de juros e de eventuais multas por atraso. 
 
 Valor presente ( VP ) : É o valor aplicado a taxa de juros numa data anterior até a data do 
vencimento (e que proporcione um montante igual ao valor da dívida), também é chamado de valor 
atual. 
 
 Valor futuro ( VF ) : É o valor do resgate de uma dívida numa data posterior a que estamos 
considerando no momento. 
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Portanto, tem-se que: 
 1VN VP i n  
 ou 
 1VF VP i n  
 . 
Voltando ao exemplo anterior, temos que VN = 11000, i = 2% a.m e n = 5 meses. Portanto, 
VN = 1,1 . VP ou ainda VP = 10000. 
 
Exemplo 2: Um título governamental cujo valor de resgate é R$50.000,00 foi adquirido antecipadamente 45 
dias antes de seu vencimento. Sabendo que a taxa de rendimento do papel no período é de 0,08% a.d, 
determine: 
 
a) qual é o valor presente desse título? 
b) qual seria o valor do resgate da dívida se fosse resgatado 15 dias depois do vencimento? 
 
a) 
   1 50000 1 0,0008 45
50000 1,036
48262,55
VN VP i n VP
VP
VP
      
  

 Portanto, o valor presente é de R$48.262,55. 
 
b) 
   1 50000 1 0,0008 15
50000 1,012
50600
VF VP i n VF
VF
VF
      
  

 Logo, o valor futuro é de R$50.600,00. 
Exercícios de Fixação 
1) Transforme para as unidades pedidas. 
 
a) 360 dias  meses = ano = semestres = 
 
b) 60 dias  meses = bimestre = semestre = 
 
c) 3 semestres  dias = meses = ano = 
 
 
2) Transforme as taxas abaixo para as unidades pedidas. 
 
a) 360% ao ano  ao mês = ao dia = 
 
b) 40% ao mês  ao dia = 
 
c) 90% ao ano  ao mês = ao dia = 
 
 
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3) Calcular os juros anuais de R$ 2.100,00 a 12%a.a. 
 
 
4) Qual é o capital que à taxa de 18% ao ano, produz em dois anos R$ 1.845,00 de juros? 
 
 
5) Um capital de R$150,00, aplicado por 1 ano e meio, rendeu R$ 459,00 de juros simples. Encontre a taxa 
correspondente a essa aplicação. 
 
 
6) Qual o montante acumulado por um aplicador que empregou a quantia de R$1.000,00 por 5 meses, 
sabendo-se que a taxa de juros simples contratada foi de 3,24% ao mês? Qual o valor do rendimento dessa 
aplicação? Qual o fator de capitalização simples que permitiu a obtenção do montante da operação? 
 
 
7) Calcular os juros mensais de R$ 1.315,00 à taxa de 15% a.a. 
 
 
8) Calcular os juros de R$ 1.400,00 aplicados durante 8 meses à taxa de 45% a.a. 
 
 
9) Depois de quanto tempo R$ 25.000,00 produzem R$ 12.000,00 de juros, a 24% a.a. ? 
 
 
10) Qual o valor dos juros correspondentes a um empréstimo de R$30.000,00 feito pelo prazo de 3 meses, a 
taxa de juro simples de 24% a.a.? 
 
 
11) Quantos dias um capital de R$400,00, aplicado à taxa de 10% ao bimestre, leva para produzir R$ 840,00 
de juro simples? 
 
 
12) A que taxa mensal de juros simples, o capital de R$2.000,00 foi aplicado, de forma a produzir o montante 
de R$3.600,00, ao fim do prazo de 10 meses? 
 
13) A que taxa mensal devemos aplicar o capital de R$ 4.500,00, no sistema de juros simples, para que, 
depois de 4 meses, o montante seja de R$ 5.040,00? 
 
14) Um capital aplicado a juros simples rende R$ 272,00 em 10 dias, a taxa 12% a.m. Qual é esse capital? 
 
15) Um capital aplicado a juros simples, durante 7 meses, à taxa de 2% a.m., gerou nesse período um 
montante de R$ 592,80. Qual foi o capital aplicado? 
 
 
16) Um título cujo valor de resgate é R$180.000,00 foi adquirido antecipadamente 40 dias antes de seu 
vencimento. Sabendo que a taxa de rendimento do papel no período é de 0,06% a.d, determine: 
 
a) qual é o valor presente desse título? 
b) qual seria o valor do resgate da dívida se fosse resgatado 14 dias depois do vencimento? 
Exercícios Propostos 
1.) Calcular os juros produzidos por R$ 600,00 à taxa de 40% a.a. em um ano e três meses. 
 
 
2.) A que taxa anual um capital de R$ 8.400,00, em dez meses e quinze dias, renderia R$ 4.200,00? 
 
 
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3.) (FMU-SP) O valor do capital, para que os juros simples a uma taxa de 18% ao ano, durante 8 meses, sejam 
de R$576,00 é igual a: 
 
a) R$4.800,00 b) R$7.200,00 c) R$8.400,00 d) R$9.600,00 
 
 
4.) Um poupador dispõe de R$ 24.000,00 para ser aplicado, e resolve que irá aplicar 1/3 no CDB, 2/5 do 
restante em ouro e o restante na poupança. Sabendo que o CDB rende 4,5% de juros mensais, o ouro rende 
8,5% de juros mensais e a poupança rende 2,7% de juros mensais, então qual o seu montante daqui a 1 ano e 
5 meses? 
 
 
5.) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? 
 
6.) Um investidor aplica 
2
5
 de seu capital à taxa de 4% a.m. e o restante à 10,5% a.t. Decorrido 5 meses, 
ele constata ter ganho R$150,00 de juros. Calcule o capital inicial. 
 
 
7.) Dois capitais, um de R$250,00 e o outro de R$650,00 foram colocados a juros simples segundo uma mesma 
taxa. O primeiro rendeu, em três meses, R$4,00 a mais de juros do que o segundo em 30 dias. Calcule a taxa 
anual da operação. 
 
 
8.) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo este 
prazo, o montante recebido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.m. Calcule o valor 
do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final foi de R$1.125,00. 
 
9.) Um cidadão obteve dois empréstimos no valor total de R$2.000,00. O primeiro a juros simples e à taxa de 
200% a.a.; o segundo também a juros simples e à taxa de 220% a.a. Sabendo-se que o prazo de cada 
empréstimo foi de 45 dias, obtenha o valor de cada um, considerando juros comerciais e juro pago total de 
R$520,00. 
 
10.) Um título cujo valor de resgate é R$120.000,00 foi adquirido antecipadamente 36 dias antes de seu 
vencimento. Sabendo que a taxa de rendimento do papel no período é de 0,08% a.d, determine: 
 
a) qual é o valor presente desse título? 
b) qual seria o valor do resgate da dívida se fosse resgatado 20 dias depois do vencimento? 
 
11.) Uma pessoa pode escolher entre ganhar R$8.200,00 daqui a 120 dias ou R$7.800,00 hoje. Sabendo que 
ele tem disponível uma aplicação financeira que rende 2% a.m., qual é a melhor opção? 
 
3.2 Regime de Capitalização Composto 
No regime de capitalização composto os juros são calculados sobre o montante da dívida. É o que 
chamamos de “juros sobre juros”. 
Notemos que o crescimento da dívida segundo juros compostos é muito mais "rápido" do que com 
juros simples. De fato, pode-se observar que quando se aplica juros simples a uma dívida essa cresce 
linearmente com o tempo, enquanto com juros compostos ela cresce exponencialmente. 
Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as 
quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na 
Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos. 
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3.2.1 Juros Compostos 
Consideremos um capital (ou principal) P aplicado a juros compostos à taxa de i% ao período, durante 
n períodos. 
O montante M1 obtido no primeiro período será dado por: 
 1 1M P i  
, no segundo período o 
montante M2 será igual a 
 2 1 1M M i  
 e, portanto, 
 
2
2 1M P i  
. 
É possível observar queo crescimento do montante dos juros forma uma PG cujo 1º termo é 
 1P i 
 e a razão é 
1 i
. 
Assim, deduzimos que o montante no fim de n períodos de tempo será: 
 1
n
M P i  
. 
 
Observações: 
1) Na fórmula acima é necessário que n e i sejam expressos numa mesma unidade. Por exemplo, se a taxa i% é ao 
mês, então o período n deverá ser expresso em meses. 
 
2) O termo (1 + i)n é denominado fator de acumulação de capital para pagamento único. 
 
Exemplo 1: Aplicar R$ 500,00 à 4% a.m. no regime de juros compostos durante 4 meses. 
   
4
1 500 1 0,04
584,93
n
M P i M
M
      

 
 
Exemplo 2: Aplicou-se certa quantia em uma caderneta durante 4 meses à taxa de 8% a.m. Calcule o fator 
de acumulação de capital. 
   
4
1 1 0,08 1,36
n
i   
 
 
Exemplo 3: Um capital de R$ 2.500,00 aplicado a juros compostos durante 4 meses produziu um montante 
de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros? 
 
   
 
4
4 4
1 3500 2500 1
3500
1 1,4 1 1,4 1,088
2500
1 1,088 0,088
n
M P i i
i i
i i
      
      
   
  Resp.: A taxa de mensal de juros é 
8,8% . .a m
. 
 
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3.2.2 Valor Nominal, Valor Presente e Valor Futuro 
Estes conceitos são iguais aos vistos em juros simples. 
O valor da dívida na data de seu vencimento é denominado de valor nominal (VN). 
Ao valor aplicado a juros compostos numa data anterior até a data do vencimento (e que proporcione 
um montante igual ao valor da dívida) denomina-se de valor atual ou valor presente (VP). 
Valor futuro é o valor do resgate de uma dívida numa data posterior a que estamos considerando no 
momento. 
Portanto, em juros compostos, tempos que: 
 1
n
VN VP i  
 ou 
 1
n
VN
VP
i


 . 
Exemplo 1: Uma pessoa tem uma dívida de R$10.000,00 que vence em 3 meses. Qual seu valor atual (ou 
presente), considerando uma taxa de juros de 1,5% a.m.? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Logo, seu valor atual é de R$9.560,23. 
 
Usando a HP12C: 
10000 [FV] 3 [n] 1,5 [i] 
 [PV]  9.563,17 
 
 
Exemplo 2: O que é preferível para um comprador: pagar um terreno à vista com 3% de desconto ou pagar 
R$50.000,00 em 60 dias? Suponha que o comprador possa aplicar seu dinheiro à taxa de 2% a.m. 
 
Pagamento à vista: 
 50000 0,03 50000 48500  
 
Pagamento em 60 dias: 
   
2
50000 50000
1,04041 1 0,02
48058,44
n
VN
VP VP
i
VP
   
 

 
 
Conclui-se então que se o comprador aplicar R$48.058,44 à taxa de 2% a.m. por 60 dias, ele terá 
R$50.000,00 para comprar o terreno. Portanto, a melhor opção é aplicar essa quantia e comprar o terreno 
daqui a 60 dias. 
 
Como poderíamos fazer o mesmo cálculo na HP12C? 
 
50000 [FV] 2 [n] 2 [i] 
 [PV]  48.058,44 
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Página 22 
Exemplo 3: (UFMG) Por um empréstimo de R$ 8.000,00, paga-se, de uma única vez, após dois meses, o 
montante de R$11.520,00. Por terem sidos aplicados juros compostos, a taxa mensal foi de: 
 a) 15% b) 20% c) 22% d) 24% e) 26% 
 
Usando a HP12C: 
8000 [PV] 11520 [CHS][FV] 2 [n] 
 [i]  20 
 
Resp.: Letra B, 20% a.m. 
 
3.2.3 Períodos Não-Inteiros 
Na fórmula do montante em juros compostos, podemos considerar o prazo num número não-inteiro. 
Neste caso, existem duas maneiras de se calcular o montante: pela convenção exponencial ou pela 
convenção linear. 
 
 Convenção Exponencial: o montante é calculado por todo prazo em juros compostos, conforme 
exemplo abaixo. 
 Convenção Linear: calculamos o montante a juros compostos durante a parte inteira do prazo e 
sobre o montante obtido aplicamos juros simples durante a parte não-inteira do período. 
 
Obs.: Usaremos a convenção exponencial durante o curso. 
 
Na HP12C: 
 
Convenção Exponencial  Deve-se usar um C no canto inferior direito da tela da HP 
Convenção Linear  Não deve-se usar um C no canto inferior direito da tela da HP 
 
[STO][EEX]  Acrescenta/retira o C do canto inferior da tela 
 
 
Exemplo 1: Uma empresa fez um empréstimo de R$1.000,00 para pagamento em 3,5 meses. O banco cobrou 
juros compostos a uma taxa de 8% a.m. Qual foi o montante obtido pelo banco? 
 
a) Pela convenção exponencial; 
b) Pela convenção linear. 
a) 
 Na HP12C: ( Importante: Convenção Exponencial  Deve ter um C no canto inferior direito da tela da HP ) 
1000 [PV] 3,5 [n] 8 [i] 
 [FV]  1.309,13 
Resp.: O montante obtido será de R$ 1.309,13. 
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Página 23 
b) Parte exponencial: 
 
 
Parte linear: 
 
Na HP12C: ( Importante: Convenção Linear  Não deve ter um C no canto inferior direito da tela da HP ) 
1º) Parte exponencial: 
1000 [PV] 3 [n] 8 [i] 
 [FV]  1259,71 
 
2º) Parte linear: 
 
 
 
Resp.: O montante obtido será de R$ 1.310,10. 
 
 
3.2.4 Taxas Equivalentes em Juros Compostos 
Duas taxas de juros ia e ib , referidas respectivamente aos períodos na e nb são ditas equivalentes 
quando aplicadas sobre o mesmo capital durante um mesmo prazo n produzem os mesmos juros. 
Para converter uma taxa de juros composta em outra é necessário utilizar a relação abaixo. 
 
   1 1a b
n n
a bi i  
 . 
 
Exemplo 1: Qual a taxa anual, em juros compostos, que corresponde a 2% a.m.? 
 
     
12 12 12
1 1 1 1 0,02 1 1,02
1 1,268 0,268 26,8% . .
a m a a
a a a
i i i i
i i i a a
         
     
 
Usando a HP12C: 
100 [PV] 12 [n] 2 [i] 
 [FV]  126,8 
 
 Observe que um valor de $100 aumentou 26,8% durante 1 ano (ou 12 meses). Ou seja, a taxa de juros 
correspondente é 26,8% a.a. 
 
 
Exemplo 2: Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15%a.a.? 
 
     
4 4 4
4
1 1 1 0,15 1 1,15 1
1 1,15 1,0356 0,0356 3,56% . .
a t t t
t t t
i i i i
i i i a t
         
      
 
 
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Página 24 
Usando a HP12C: 
100 [PV] 115 [CHS][FV] 4 [n] 
 [i]  3,56 
 
 Observe que a taxa trimestral encontrada que transforma $100 em $115 após 4 trimestres (ou 1 ano) 
é de 3,56%. Ou seja, a taxa de juros é 3,56% a.t. 
 
Exercícios de Fixação 
1) Uma aplicação de R$5.000,00 é feita pelo prazo de 2 meses a juros compostos de 5% ao mês. Qual é o 
montante proporcionado pela aplicação? Qual é o rendimento auferido pelo aplicador? 
 
2) Um capital de $200.000,00 é aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Determine o montante após 4 anos 
de aplicação. 
 
3) Uma pessoa aplica hoje R$4.000,00 e aplicará R$12.000,00 daqui a 3 meses num fundo querende juros 
compostos à taxa de 2,6% a.m. Qual é o seu montante daqui a 6 meses? 
 
4) Calcule o valor de resgate de uma aplicação, feita a juros compostos pelo prazo 4 de trimestres, à taxa de 
juros compostos de 5% ao mês, a partir de um capital de R$10.000,00. 
 
5) Um empréstimo de R$3.600,00 foi contratado pelo prazo de 270 dias, a juros compostos de 5% a.m. 
capitalizados mensalmente. Por quanto foi quitada a obrigação no seu vencimento? 
 
6) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um montante igual ao triplo do 
capital aplicado. Qual é a taxa trimestral da aplicação? (Sugestão: Atribua qualquer valor, diferente de zero, para 
PV e o seu triplo para FV.) 
 
 
7) Um investidor pode aplicar seu capital por 3 meses a juros compostos à taxa de 33% a.a. ou à taxa de 2,5% 
a.m. Qual é a melhor alternativa? 
 
8) Uma pessoa aplica hoje, no Banco ABC S/A, a quantia de R$10.000,00 à taxa de juros compostos de 5% a.t. 
Ao fim de 9 meses o montante resgatado é reaplicado no Banco DEF S/A por 4 meses à taxa de juros 
compostos de 5% a.m. Qual o montante obtido ao fim do prazo da aplicação no Banco DEF S/A? 
 
9) a) Dada a taxa de juros compostos de 4% a.s., qual é a taxa anual equivalente? 
b) Qual é a taxa trimestral, no regime de juros compostos, equivalente à taxa anual de 8%? 
c) Qual é a taxa mensal de juros compostos equivalente à taxa de 4% ao bimestre? 
 
10) Um título de crédito que vence daqui a 60 dias está sendo adquirido hoje, garantindo ao investidor, sr. 
Paulo, a taxa de juros compostos de 5% ao mês. O título tem valor de face de R$10.000,00. Calcule o preço 
de aquisição do papel. 
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Página 25 
Exercícios Propostos 
1.) Guilherme aplicou R$3.000,00 a juros compostos de 7% ao mês. Então, após 5 meses de aplicação, ele 
terá uma quantia: 
 
 a) entre R$3.000,00 e R$3.500,00 b) entre R$3.500,00 e R$4.000,00 
 c) entre R$4.000,00 e R$4.500,00 d) entre R$4.500,00 e R$5.000,00 
 
2.) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de 2,2% a.m., para que 
duplique? (Sugestão: Atribua qualquer valor, diferente de zero, para PV e o seu dobro para FV.) 
 
3.) O gerente de um banco oferece a um cliente a possibilidade de aplicar seu dinheiro num título de 90 dias, 
cujo valor de resgate é de R$1.157,63. Quanto deverá ser aplicado pelo cliente na aquisição do papel para 
que a taxa de juros compostos auferida na operação seja de 5% a.m.? 
 
4.) Um banco emprestou a um cliente, em 03.04.2003, a quantia de R$2.000,00 à taxa de juros compostos de 
4% ao mês. Foi emitida pelo tomador, na ocasião, uma nota promissória (NP) com vencimento em 17.06.2003. 
Qual é o valor nominal da NP? (Nota: Como estão estabelecidas as datas da tomada do empréstimo e do vencimento, é 
necessário trabalhar com a taxa de juros e o tempo em dias.) 
 
5.) O que é preferível: aplicar R$6.000,00 a juros compostos à taxa de 36% a.a. capitalizados mensalmente 
ou aplicar o mesmo valor a juros simples à taxa de 3,5% a.m., sabendo-se que o prazo da aplicação é de 1 
ano e meio? 
 
6.) Uma dívida de R$50.000,00 vence daqui a 2 meses e outra de R$60.000,00 vence daqui a 4 meses. Quanto 
devo aplicar hoje a juros compostos e à taxa de 1,8% a.m. para fazer frente a esses compromissos? 
 
7.) Uma pessoa deverá pagar à outra, em função de um compromisso já definido alguns meses atrás, a 
quantia de R$1.157,63. O devedor propõe ao credor, já no dia de hoje, em substituição a aquele pagamento 
vencível em 3 meses, o pagamento da quantia de R$1.407,10 a ser efetuado somente daqui a 7 meses. 
Considerando a taxa de juros de compostos de 5% a.m., verifique se o pagamento proposto de R$1.407,10 
equivale, financeiramente, ao pagamento de R$1.157,63, vencível daqui a 3 meses. 
 
Exercícios Complementares 
1.) Um investidor aplicou R$15.000,00 num CDB, pré-fixado de 30 dias. A taxa bruta da operação foi de 
21%a.a. Pede-se: 
a) O montante bruto do resgate; 
b) O montante líquido, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 20% do juro obtido; 
c) A taxa líquida da operação considerada. 
 
 
 
 
CDB = Certificados de Depósito Bancário 
Os CDBs são títulos emitidos por bancos comerciais e pelas Caixas Econômicas, destinados 
geralmente a arrecadar recursos para financiamento de empresas. São títulos nominativos 
endossáveis. 
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Página 26 
2) Um investidor aplicou R$12.000,00 em RDB pós-fixado de 120 dias, cuja remuneração era dada por 
correção monetária mais 15 %a.a. Pede-se: 
a) O montante bruto, sabendo que a taxa de correção monetária foi de 4% ao período; 
b) O montante líquido, sabendo-se que o imposto de renda é igual a 20% do juro obtido; 
c) A taxa líquida da operação considerada. 
 
 
 
** 3.2.5 Operações com Taxa de Juros ** 
A inflação é bem conhecida como o aumento dos preços de bens e serviços. Como conseqüência, 
temos a perda do valor aquisitivo, o qual depende fortemente da taxa de inflação. 
De uma maneira simples, uma inflação de 100% em um ano significa que teremos, em média, os 
preços dos produtos e dos serviços dobrando. Portanto se no início do ano P reais compravam uma cesta de 
produtos alimentícios, no final do ano comprarão apenas a metade destes. 
Em virtude da taxa de inflação corroer o poder aquisitivo, é necessária a análise do relacionamento 
das taxas de juros de algum rendimento com a taxa de inflação. Nesta seção estudaremos a taxa real de 
juros, a perda do poder aquisitivo (taxa de inflação) e a relação entre essas taxas. 
Se um capital P é aplicado durante certo período de tempo à taxa de i% a.p., obtemos um montante 
 1 1M P i  
. Se a taxa de inflação for de j%, o capital P, corrigido pela inflação será: 
 2 1M P j  
. 
Assim, podemos concluir que: 
 
1. Se M1 = M2 , a taxa i recompôs a inflação. 
2. Se M1 > M2 , houve ganho real. 
3. Se M1 < M2 , houve perda real. 
 
Define-se a taxa real de juros r como: 
1
2
1
M
r
M
 
 . 
Observe o sentido desta definição; o montante M1 funciona como Montante M e o montante M2 como o 
capital P na fórmula da taxa de juros efetivos já vistos. 
Pode-se então deduzir que: 
1. 
0r 
, se e somente se, 
1 2M M
. 
2. 
0r 
, se e somente se, 
1 2M M
. 
3. 
0r 
, se e somente se, 
1 2M M
. 
RDB = Recibos de Depósito Bancário 
São idênticos aos CDBs, só que geralmente são títulos nominativos e intransferíveis. 
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Página 27 
Se observarmos as expressões de M1, M2 e r, podemos reescrever a taxa real de juros da seguinte 
maneira: 
1
i j
r
j



 . 
 
Exemplo 1: Um capital foi aplicado, por um ano à taxa de juros de 22% a.a. No mesmo período a taxa de 
inflação foi de 12%. Qual foi a taxa real de juros? 
0,22 0,12 0,1
1 1 0,12 1,12
0,0893 8,93% . .
i j
r r
j
r r a a
 
   
 
  
 
 
Exemplo 2: Suponha uma inflação anual de 12% e admita que o salário foi corrigido em 8 %. Qual é a 
variação real do poder de compra de um assalariado? 
0,08 0,12 0,04
1 1 0,12 1,12
0,0357 3,57% . .
i j
r r
j
r r a a
  
   
 
    
 
 
Isso significa uma perda de 3,57% no ano. 
 
Exercícios Propostos 
1) Um investidor aplicou R$70.000,00 numacarteira de ações que passou a valer R$35.000,00, seis meses 
depois. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 8%. Qual foi sua taxa real de perda? 
 
2) Suponha agora que outro investidor tenha aplicado R$12.000,00 numa carteira de ações que depois de um 
tempo passa a valer R$15.000,00. Se esse dinheiro ficou aplicado durante 18 meses e a taxa de inflação nesse 
período foi de 9%. Determine a taxa real de juros. 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
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Página 28 
Capítulo 4 
Descontos 
 
O desconto é um evento que está relacionado com o abatimento dado em situações de compra e 
venda. No comércio é comum o vendedor oferecer desconto por pagamento à vista ou se a compra é feita em 
grande quantidade. Nestas condições, o desconto costuma ser expresso por um percentual aplicado sobre o 
preço. 
Por exemplo, consideremos que o preço cobrado por unidade de um produto seja de R$150,00 e que, 
caso ele compre mais de 100 unidades, haja um desconto de 20%. Assim, o desconto em cada unidade será de 
R$30,00 (20% de R$150,00) e o novo preço cobrado será de R$120,00. 
Outra situação envolvendo desconto ocorre quando uma empresa vende um produto a prazo; neste 
caso, o vendedor emite uma duplicata que lhe dará o direito de receber do comprador, em data estipulada, o 
valor combinado. É comum o vendedor ir a um banco e efetuar o desconto da duplicata. Isto é, o vendedor 
cede ao banco o direito de receber a duplicata e em troca recebe antecipadamente o valor desta, 
descontados, naturalmente, as taxas e juros bancários. 
De modo semelhante, uma empresa pode descontar notas promissórias num banco. As notas 
promissórias podem ser usadas entre pessoas físicas ou entre instituições financeiras. Consiste num título de 
crédito que corresponde a uma promessa de pagamento do devedor para o credor, nela vão especificados o 
valor nominal, a data de vencimento do título e a assinatura do devedor. 
 
Em resumo: o desconto é o abatimento que o devedor tem direito quando antecipa o pagamento de 
um título. Por outro lado, podemos considerá-lo como o juro cobrado pelo credor por antecipar determinada 
quantia de vencimento futuro. 
 
O desconto D, propriamente falando, é a diferença entre o valor nominal (VN) e o valor presente (VP) 
de um título de crédito que foi resgatado antecipadamente, ou seja: 
D VN VP 
 . 
 
 
 
 Valor Nominal de um título de crédito é a importância declarada no título ou a importância a ser 
paga por um devedor na data do vencimento do título. 
 Valor Presente de um título de crédito é o valor do título numa data anterior a aquela do seu efetivo 
vencimento. É o valor antecipado do Valor Nominal do título. 
 
 
 
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Página 29 
4.1 Descontos Simples 
 
4.1.1 Desconto Comercial ( Bancário ou “Por Fora” ) 
As operações com desconto (de duplicatas e notas promissórias), possuem um sistema de cálculo bem 
caracterizado, denominado: desconto comercial ou bancário, também conhecido como desconto por fora. 
O desconto comercial é aquele onde a referência para o cálculo percentual do desconto é o valor 
nominal. 
D VN d n  
 , 
 
onde D é o valor do desconto comercial, VN é o valor nominal do título, d é a taxa de desconto e n é o prazo 
de antecipação (prazo até o vencimento do título). 
 
Chamamos de valor descontado, valor líquido ou ainda de valor presente comercial ao seguinte: 
 
dV VN D 
 . 
 
Exemplo 1: Uma duplicata cujo valor de face (valor nominal) é R$500,00 foi resgatada 3 meses antes do 
vencimento através do desconto bancário, à taxa de 28% a.a. Qual é o valor do desconto? 
 
Como 3 meses equivalem a ¼ de um ano, então 
1
500 0,28
4
35
D VN d n D
D
       

 O valor do desconto é de R$ 35,00. 
 
Exemplo 2: Uma duplicata de R$18.000,00 foi descontada 2 meses antes do vencimento a uma taxa de 2,5% 
a.m., obtenha: 
a) o desconto D ; 
b) o valor líquido recebido Vd . 
 
a) 
18000 0,025 2
900
D VN d n D
D
       

 O valor do desconto é de R$ 900,00. 
 
b) 
18000 900
17100
d d
d
V VN D V
V
     

 O valor líquido é de R$ 17.100,00. 
 
 Notemos que ao aplicar o valor descontado (valor líquido) Vd, a juros simples, nas condições do 
desconto temos: 
 17100 1 0,025 2 17955  
, o qual é diferente do valor nominal do título. 
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Página 30 
 Para obter o valor nominal deveríamos aplicar o valor líquido a uma taxa maior que a taxa de 
desconto. A tal taxa denominamos de taxa efetiva da operação de desconto comercial. Ela pode ser 
calculada da seguinte forma: 
 
 
18000
18000 17100 1 2 1 2
17100
18000
2 1 0,026
17100
i i
i i
       
    
 Logo, a taxa efetiva é de 2,6% a.m. 
 
Exemplo 3: Uma promissória de R$12.000,00 foi descontada num banco 42 dias antes do vencimento, a uma 
taxa de desconto comercial de 2% a.m. 
 
a) Qual foi o desconto? 
 
b) Qual foi o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço de 
0,5% do valor da promissória, pago no dia que a empresa a descontou? 
 
c) Qual foi a taxa efetiva de juros da operação no período? 
 
a) 
42
12000 0,02
30
336
D VN d n D
D
       

 O valor do desconto foi de R$336,00. 
 
b) Taxa de serviço: 
12000 0,005 60 
. 
 
12000 336 60
11604
d d
d
V VN D Taxa V
V
       

 O valor líquido é de R$11.604,00. 
 
c) 
12000
1 0,034
11604
i i   
 Portanto, a taxa efetiva de juros é de 3,4% a.p. (ao período). 
 
Observações: 
1) A taxa efetiva de uma operação comercial com desconto é dada por: 
1
d
VN
n i
V
  
 . 
2) A relação entre a taxa de desconto comercial e a taxa efetiva de juros é dada por: 
1
i
d
i n

 
 . 
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Página 31 
Exemplo 4: Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo para serem descontadas num banco à 
taxa comercial de 2% a.m. Qual é o valor líquido recebido pela empresa? 
 
 
 
4.1.2 Desconto Racional (ou “Por Dentro” ) 
O desconto racional, também denominado de desconto “por dentro”, se enquadra nos conceitos e 
relações básicas de juros simples. Neste caso, a taxa de juros simples incide sobre o valor presente liberado 
na data do desconto. Assim, temos um processo de capitalização em regime de juros simples e, portanto, 
temos que: 
1
VN
VP
i n

 
, onde i representa a taxa de juros simples e n o prazo até o vencimento do título 
de valor VN. 
O desconto racional DR é dado por 
RD VN VP 
 . 
Logo, pode-se provar que: 
RD VP i n  
 , 
 
onde DR é o valor do desconto racional, VP é o valor presente do título, i é a taxa de juros simples e n é o 
prazo de antecipação (prazo até o vencimento do título). 
 
 
Obs.: Note que a referência para o cálculo percentual do desconto racional é o valor líquido ou valor 
presente. 
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Página 32 
Exemplo1: Uma nota promissória com valor nominal igual a R$7.200,00 e com vencimento programado para 
daqui a oito meses e meio foi descontada hoje no banco. Sabendo que o desconto sofrido foi igual a 
R$480,00, calcule a taxa mensal efetiva da operação. 
 
Se o valor nominal VN da promissória é de R$7.200,00 e o desconto sofrido DR foi de R$480,00, então 
temos que: 
7200 480
6720
RVP VN D
VP
   

 . 
Assim, segue que: 
   1 7200 6720 1 8,5
7200 7200
1 8,5 8,5 1
6720 6720
7200
1
6720 0,0084 0,84% . .
8,5
VN VP i n i
i i
i i i a m
        
      

    
 . 
 
Exemplo 2: Determine o valor do desconto simples de um título de R$1.000,00, com vencimento para 60 
dias, sabendo-se que a taxa de desconto (por dentro) é de 1,2% a.m. 
 
 Precisamos primeiro calcular o valor presente do título. Para isso, note que o período de 60 dias 
equivalem a 2 meses. Logo, temos que: 
1000 1000
1 1 0,012 2 1,024
976,56
VN
VP VP
i n
VP
   
   

 . 
 
Portanto, o desconto por dentro é: 
1000 976,56
23,44
R
R
D VN VP
D
   

 . 
 
DICAS: Para resolvermos um problema de desconto simples, tudo que temos de fazer é: 
 
 
1) Identificar qual o tipo de desconto no problema; 
 
2) Procurar preencher o “esquema” correspondente de acordo com os dados do problema; 
 
3) Calcular o valor que precisamos, no esquema, usando as fórmulas. 
 
Dica da garrafa: 
 
Pense numa garrafa: 
 
O que há dentro dela? O líquido! 
(por dentro = 100% é o líquido) 
 
O que há fora dela? O nome! 
(por fora = 100% é o nominal) 
 
 
 Se um problema pedir desconto por dentro, o 100% será o valor líquido. 
 Se um problema pedir desconto por fora, o 100% será o valor nominal. 
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Página 33 
Exercícios Propostos 
1.) Qual é o desconto comercial simples de uma duplicata de valor nominal R$45.000,00 descontada à taxa 
de 5% a.m., três meses antes do vencimento? 
 
 
2.) Uma empresa descontou uma duplicata de R$12.000,00, 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela 
recebeu um valor líquido de R$11.720,00, calcule a taxa mensal de desconto da operação. 
 
 
3) Uma empresa necessitada de capital de giro recorre ao Banco Comercial ABC S/A, com o qual 
normalmente faz suas operações financeiras, e apresenta para desconto uma duplicata de R$25.000,00 que 
vence em 27 dias. Qual é o valor a ser creditado na conta da empresa, referente a tal operação, 
considerando que a taxa de desconto praticada pelo Banco é de 4,5% ao mês? 
 
 
4) Deseja-se substituir um título de valor nominal R$7.500,00 vencível em 3 meses por outro com vencimento 
em 5 meses. Sabendo-se que esses títulos podem ser descontados à taxa simples de 5% a.m., qual é o valor 
nominal comercial do novo título? 
 
 
5.) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de R$18.000,00, dois meses antes do vencimento, à 
taxa de desconto comercial de 2,3% a.m. 
 
a) Qual foi o valor líquido recebido pela empresa? 
 
b) Qual foi a taxa mensal de juros simples da operação? 
 
 
6) Uma duplicata de valor nominal igual a R$9.000,00 foi descontada num banco, 2 meses antes de seu 
vencimento, a uma taxa de desconto comercial igual a 2% a.m. Obtenha: 
 
a) o desconto comercial; 
 
b) o valor descontado do título; 
 
c) a taxa efetiva de juros no período; 
 
d) a taxa efetiva mensal de juros simples da operação. 
 
 
7.) Se um determinado banco informa a taxa de desconto comercial de 2,8% a.m. em operações de descontos 
de duplicatas com prazo de 30 dias, qual a taxa efetiva anual de juros da operação? 
 
 
8) Uma financeira deseja obter uma taxa efetiva de 40% a.a. numa operação de 3 meses. Nestas condições, 
qual deverá ser a taxa anual de desconto comercial simples cobrada pela empresa? 
 
 
9) Uma duplicata de R$6.500,00 foi descontada em um banco quando faltavam 75 dias para vencer, a uma 
taxa de desconto composto (por fora) de 1,5% ao mês. Determine: 
 
a) o valor líquido da duplicata; 
 
b) a efetiva taxa de juros mensais cobrada nesta operação. 
 
 
10.) Numa operação financeira uma duplicata de R$10.000,00, vencível em 45 dias, foi resgatada com 
desconto por dentro antecipadamente à taxa de 6% ao mês. Qual é o valor presente da duplicata? 
 
 
11) Um título foi resgatado por dentro à taxa de 10% a.m. Determine o prazo de antecipação, sabendo-se 
que o valor atual representa 
5
8
 do valor nominal. 
 
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12) Uma título no valor nominal de R$500,00, com vencimento programado daqui a três meses, foi 
descontado hoje. Sabendo que foi aplicado desconto racional no regime de capitalização simples, a uma taxa 
de 4,5% a.m., calcule o desconto e o valor líquido recebido. 
 
Exercícios Complementares 
1) Você descontou um título de valor nominal de $1.000,00 com prazo de 90 dias. A taxa de desconto simples 
praticada pela instituição financeira foi de 10% ao mês. Qual foi o valor líquido recebido por você? 
 
 
2) Qual é o prazo de antecipação de um título no valor nominal de R$1.200,00 que descontado 
comercialmente a 9% a.m. gera um valor de R$ 1.056,00? Obs.: Considere o regime de capitalização simples. 
 
 
3) Uma nota promissória de valor nominal (face) R$800,00 foi descontada comercialmente 60 dias antes do 
vencimento à uma taxa simples de 8% a.m. Calcular a taxa de juros efetiva da operação. 
 
4) Uma Nota Promissória de R$5.000,00, que vence daqui a 90 dias, está sendo descontada hoje à taxa de 4% 
ao mês. Qual é o valor líquido pago pela NP? De quanto é o desconto obtido? Considere, para o cálculo do 
referido desconto, as formas: 
 
a) Comercial Simples; 
b) Racional Simples. 
 
5) Três duplicatas foram descontadas num banco conforme quadro abaixo: 
 
 
 
 
 
 
a) Qual é o valor líquido? 
 
b) Qual é o prazo médio do borderô? 
 
c) Qual é a taxa (constante) que deveríamos descontar o total do borderô, no seu prazo médio, para 
obtermos o valor líquido do item a)? 
 
 
OBS.: Denomina-se prazo médio de um conjunto de títulos (borderô) a média ponderada dos prazos dos títulos, sendo os 
pesos iguais aos valores de cada título. 
 
 
 
** 4.2 Descontos Compostos ** 
O conceito de Descontos Compostos é semelhante ao de Descontos Simples apresentado 
anteriormente. 
Indicamos por VN o valor nominal (ou valor de face) do título a ser descontado. Tomamos como n o 
prazo de antecipação (prazo até o vencimento do título) e d a taxa de desconto composto, utilizada na 
operação e expresso em porcentagem por período. 
 
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** 4.2.1 Desconto Comercial ( Bancário ou “Por Fora” ) ** 
O desconto comercial (ou bancário composto), também conhecido como desconto “por fora” 
composto se caracteriza pela incidência de sucessivos descontos sobre o Valor Nominal (VN). 
O Valor Líquido, ou Valor Presente ou ainda Valor Descontado, é dado por: 
 1
n
lV VN d  
 . 
 
 Lembramos que o desconto é dado por: 
lD VN V 
 . 
 
Exemplo 1: Uma duplicata no valor de R$8.000,00 foi descontada quatro meses antes do vencimento a uma 
taxa de desconto comercial composto igual a 3% a.m. Calcule o valor líquido da operação e o desconto 
sofrido pelo título. 
   
4
4
1 8000 1 0,03
8000 0,97
7082,34
n
l l
l
l
V VN d VV
V
      
 

 
8000 7082,34
917,66
lD VN V D
D
    

 
 
Exemplo 2: Um título com o valor de R$10.000,00, com 60 dias para seu vencimento, é descontado no 
regime de juros compostos com uma taxa de desconto “por fora” igual a 1,2% a.m. Determine o valor 
presente do título e o valor do desconto composto. 
 
   
2
2
1 10000 1 0,012
10000 0,988
9761,44
n
l l
l
l
V VN d V
V
V
      
 

 
10000 9761,44
238,56
lD VN V D
D
    

 
 
** 4.2.2 Desconto Racional ( “Por Dentro” ) ** 
O desconto racional (ou "por dentro") se caracteriza pela aplicação sucessiva de uma taxa i sobre o 
valor presente durante um prazo de antecipação n. 
Portanto, o valor nominal VN é o montante e o valor líquido é o capital inicial. Ou seja, 
 1
l n
VN
V
i


 . 
 
 
O desconto racional é: 
lD VN V 
. 
 
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Exemplo 1: Calcule o desconto de um título de valor nominal igual a R$600,00 descontado cinco meses antes 
do vencimento com uma taxa de desconto racional de 4% a.m. 
 
   
5 5
600 600
1,041 1 0,04
493,16
l ln
l
VN
V V
i
V
   
 

 
 
600 493,16
106,84
lD VN V D
D
    

 
 Exemplo 2: Uma empresa possui uma nota promissória em “contas a receber” com vencimento programado 
para 90 dias e valor nominal igual a R$34.000,00. Se a empresa descontasse “por dentro” este título a uma 
taxa de juros compostos de 5% a.m., qual seria o valor líquido recebido? 
 
   
3 3
34000 34000
1,051 1 0,05
29370,48
l ln
l
VN
V V
i
V
   
 

 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. O Desconto Comercial Composto incide sempre sobre o valor nominal enquanto que o Desconto 
Racional Composto incide sempre sobre o valor líquido. 
 
2. Na prática, o Desconto Comercial Composto ou “por fora” é muito pouco usado. As operações de 
desconto comercial são quase sempre realizadas no regime de Capitalização Simples. 
Exercícios Propostos 
1.) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de R$18.000,00, dois meses antes do vencimento, à 
taxa de desconto comercial composto de 2% a.m. Qual é o valor líquido recebido pela empresa? 
 
 
2.) Uma Nota Promissória de R$5.000,00, que vence daqui a 90 dias, está sendo descontada hoje à taxa de 4% 
ao mês. Qual é o valor presente da NP? Considere, para o cálculo do referido desconto, a forma Comercial 
Composto e Racional Composto. 
 
 
 
3) Qual é o Valor Presente de um título de crédito cujo valor de face é de R$5.600,00 e que vence daqui a 2 
meses, sabendo que ele foi descontado no modo comercial (também chamado de desconto "por fora") à taxa 
composta de 5% ao mês? 
 
4) Qual é o valor presente de um cheque de valor nominal R$ 6.250,00 descontado racionalmente à taxa 
composta de 4,5% a.m., seis meses antes do vencimento? 
 
5.) Uma empresa necessitada de capital de giro optou por obter recursos de curto prazo através do desconto 
de duplicatas mantidas em carteira. Qual é a efetiva taxa mensal de juros compostos desta modalidade de 
captação de recursos (custo efetivo da operação), sabendo que a companhia descontou no Banco ABC S/A um 
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lote de 25 duplicatas, no valor total de R$12.000,00, todas de vencimento em 45 dias a taxa de desconto 
mensal praticada pelo Banco foi de 6%? Obs: O Banco cobra, na operação, uma tarifa de serviço de R$3,00 
por duplicata descontada. 
 
 
6) Uma duplicata de R$6.500,00 foi descontada em um banco quando faltavam 75 dias para vencer, a uma 
taxa de desconto composto (por fora) de 1,5% ao mês. A efetiva taxa de juros mensais cobrada nesta 
operação é: 
a) 1,52% b) 2,51% c) 3,75% d) 3,89% 
 
7) Uma empresa possui uma nota promissória em “contas a receber” com vencimento programado para 120 
dias e valor nominal igual a R$48.000,00. Se a empresa descontasse este título a uma taxa composta de 5% 
a.m., qual seria o valor líquido recebido: 
 
a) “por fora” ? 
b) “por dentro” ? 
 
8) Uma empresa necessitada de capital de giro optou por obter recursos de curto prazo através do desconto 
de duplicatas mantidas em carteira. Qual é a efetiva taxa mensal de juros compostos desta modalidade de 
captação de recursos (custo efetivo da operação), sabendo que a companhia descontou no Banco ABC S/A um 
lote de 18 duplicatas, no valor total de R$15.000,00, todas de vencimento em 60 dias a taxa de desconto 
mensal praticada pelo Banco foi de 8%? Obs.: O Banco cobra, na operação, uma tarifa de serviço de R$4,50 por 
duplicata descontada. 
 
 
Anotações 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Capítulo 5 
Séries de Pagamentos 
 
5.1 Equivalência de Fluxos de Caixa 
Dois ou mais fluxos de caixa (capitais) são equivalentes, a uma determinada taxa de juros, quando 
seus valores presentes (VP), calculados com essa mesma taxa de juros, forem iguais. A equivalência de 
fluxos de caixa é sempre analisada no regime de juros compostos. 
O conceito de equivalência de fluxos de caixa é que nos permite transformar certas formas de 
pagamento em outras equivalentes e assim efetuar comparações entre várias alternativas. 
 
OBSERVAÇÕES: 
 
1. É importante ressaltar que a equivalência de fluxos de caixa depende, necessariamente, da taxa de 
juros usada para descontar os fluxos a fim de se obter seus valores presentes. Assim, se dois ou mais 
fluxos de caixa são equivalentes a uma determinada taxa de juros, essa equivalência deixará de existir se 
a taxa de juros for alterada. 
 
2. Se os fluxos de caixa tiverem o mesmo valor presente, a uma determinada taxa de juros, então seus 
valores futuros (VF) após n períodos, obtidos com essa mesma taxa de juros, são necessariamente iguais. 
Dessa forma, a equivalência de fluxos de caixa não precisa obrigatoriamente ser verificada no ponto zero 
da escala de tempo. Ela pode ser verificada no final de qualquer período n, desde que o período 
escolhido seja o mesmo para todos os fluxos de caixa. 
 
 
Considere um conjunto de valores nominais (ou capitais) VN1, VN2, VN3, ... com suas respectivas datas 
de vencimento 1, 2, 3, ... . Podemos representar estes valores no tempo através do seguinte fluxo de caixa: 
0 1 2 3 ...
VN1 VN2 VN3
 
 
Adotando uma taxa de juros i estes valores são equivalentes na data focal 0 (zero) se: 
 
     
1 2 3
1 2 3
1 1 1
VN VN VN
VP
i i i
   
  
 . 
 
Exemplo 1: Considere os valores nominais: VN 1 = R$ 2.200,00, VN 2 = R$ 2.420,00, VN 3 = R$ 2.662,00 e 
VN4 = R$2.928,20 e suas respectivas datas de vencimento (em anos): 1, 2, 3 e 4. Admitindo-se uma taxa de 
juros compostos de 10% a.a., verifique que estes valores são equivalente na data focal 0. 
 
1
1 1
2200
2000
1,11
VN
VP
i
  

 
   
2
2 2 2
2420 2420
2000
1,211 1,1
VN
VP
i
   

 
 
   
3
3 3 3
2662 2662
2000
1,3311 1,1
VN
VP
i
   

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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