Cálculo I - Derivadas de Funções Compostas, Inversas e Implícitas

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MAT 001 - Ca´lculo I
Aula VII
IMC-Unifei
Nesta aula vamos dar continuidade ao estudo da Derivada. Os itens que
veremos sa˜o :
• Regra da Cadeia;
• Derivadas e Func¸o˜es Inversas;
• Func¸o˜es Impl´ıcitas .
1 A Regra da Cadeia - Derivadas de Func¸o˜es
Compostas
Teorema 1. Sejam u : X → R e g : Y → R tais que u(X) ⊂ Y (ou seja, a
composta g ◦ u : X → R esta´ bem definida). Dado a ∈ X, se u e´ deriva´vel em
a e g e´ deriva´vel em b = u(a) enta˜o a composta g ◦ u e´ deriva´vel em a e sua
derivada e´ dada por :
(g ◦ u)′ (a) = g′(b) · u′(a) = g′ (u(a)) · u′(a).
Demonstrac¸a˜o.
Observac¸a˜o 1. • Note que a func¸a˜o derivada (g ◦ u)′ : x 7→ (g ◦ u)′(x) e´
dada por (g ◦ u)′ (x) = g′ (u(x)) · u′(x).
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• A seguinte notac¸a˜o e´ especialmente u´til quando utilizamos a regra da ca-
deia:
(g ◦ u)′(x) = g′ (u(x)) · u′(x) = dg
du
(u(x)) · du
dx
(x)
Exemplo 1. Obtenha a derivada de cada func¸a˜o abaixo, explicitando o seu
domı´nio:
(a) f(x) = cos
(
x3 + 1
)
.
(b) g(t) =
(
4t3 − t2 + 3t− 2)2.
(c) h(x) =
(
5x2 − 2x+ 1)−3
(d) f(t) = ekt, onde k 6= 0 e´ uma constante.
2
(e) g(x) = sen(2x)
(f) h(w) =
(
2w2 − 3w + 1) (3w + 2)4
(g) f(t) = cos5(3t)
(h) g(w) = e−w
2
(i) h(u) = (eu − sen(u))2
3
(j) f(x) = epi cos(2x
3)
(k) g(x) = tan(6x).
(l) h(x) =
3 + 2x
2 + cos3(x)
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1.1 Exerc´ıcios
1. Obtenha a derivada de cada func¸a˜o abaixo, explicitando o seu domı´nio:
(a) f(x) = (1 + x2)3
(b) g(x) = 3 cos(3x+ 2)− 1
(c) h(x) = 5etan(2x)
(d) f(x) = 32x · cos(4 + 3x2)
(e) g(x) =
tan(2x)
sen(x)
(f) h(x) =
1
cos(3x)
· e−8(x+3)
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2 Derivadas de Func¸o˜es Inversas
Ja´ vimos que se f : X → Y e´ uma func¸a˜o BIJETORA e CONTI´NUA no
intervalo X ⊂ R, enta˜o Im(f) = Y ⊂ R e´ um intervalo (pelo TVI) e a sua
inversa f−1 : Y → X tambe´m e´ uma func¸a˜o cont´ınua. Cabe a no´s enta˜o a
seguinte pergunta: se f e´ deriva´vel em um ponto a ∈ X, podemos dizer que
f−1 e´ deriva´vel no ponto b = f(a)?
O teorema a seguir nos responde esta questa˜o.
Teorema 2 (Teorema da Func¸a˜o Inversa). Seja f : I(Intervalo)→ J(Intervalo)
uma func¸a˜o BIJETORA ( = injetora + sobrejetora) e CONTI´NUA ( em todos
os pontos de seu domı´nio).
Se f e´ deriva´vel no ponto a ∈ I e f ′(a) 6= 0, enta˜o a sua inversa f−1 e´
deriva´vel em b = f(a). Ale´m disso, temos que :(
f−1
)′
(b) =
1
f ′(a)
Demonstrac¸a˜o.
6
Exemplo 2. (A) Derivada de func¸o˜es logar´ıtmicas g(x) = loga(x)
(B) Derivada de u(x)v(x), onde u e v sa˜o func¸o˜es deriva´veis em um intervalo
I e u(x) > 0;∀x ∈ I.
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(C) Derivada das ra´ızes g(x) = n
√
x
(D) Derivada de f(x) = x
m
n , onde m,n ∈ Z e n 6= 0.
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(E) Derivadas das func¸o˜es trigonome´tricas inversas g1(x) = arcsen(x),
g2(x) = arctan(x) e g3(x) = arcsec(x):
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2.1 Exerc´ıcios
1. Obtenha a derivada de cada func¸a˜o abaixo, explicitando o seu domı´nio:
(a) f(x) = ln(1 + x2)
(b) g(x) = 3 arctan(3x+ 2)− 1
(c) h(x) = 5earcsec(2x)
(d) f(x) = xx
(e) g(x) =
5
√
x2
(f) h(x) = arccos(x)
(g) f(x) = arccsc(x)
(h) g(x) = arccot(x)
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3 Func¸o˜es Impl´ıcitas
Ja´ vimos que a curva definida pela equac¸a˜o x2 +y2 = 1 no plano cartesiano na˜o
define y como func¸a˜o de x (ou vice versa).
-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
Figura 1: Curva de Equaca˜o x2 + y2 = 1
Por outro lado, se fizermos a restric¸a˜o y ≥ 0 obtemos y como func¸a˜o de x,
isto e´, y = f(x).
-1.0 -0.5 0.5 1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 2: x2 + y2 = 1 , y ≥ 0
Substituindo na equac¸a˜o da curva obtemos:
x2 + f(x)2 = 1.
Podemos, portanto, pensar em derivar em relac¸a˜o a` x.
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Observac¸a˜o 2. Vamos fazer isto assumindo que y = f(x) e´ deriva´vel e tomando
o cuidado de lembrar que y = f(x), ou seja, y2 e´ uma composic¸a˜o de func¸o˜es
e para derivar precisamos utilizar a Regra da Cadeia. Este processo e´ chamado
de derivac¸a˜o impl´ıcita.
Sendo assim, temos que :
x2 + y2 = 1
⇓
2x+ (2y) · y′ = 0
⇓
y′ = −x
y
= − x
f(x)
(y 6= 0)
Perceba que no nosso exemplo (que e´ bem simples) e´ fa´cil obter
y = f(x) =
√
1− x2.
De maneira geral, dada uma equac¸a˜o do tipo f(x, y) = 0 na˜o e´ fa´cil (e nem e´
poss´ıvel) isolar y como func¸a˜o de x. Nestes casos a derivac¸a˜o impl´ıcita se torna
bastante u´til pois na˜o e´ necessa´rio obter a expressa˜o expl´ıcita de y como func¸a˜o
de x para calcular y′.
Poss´ıveis Vantagens da Derivac¸a˜o Impl´ıcita
(i) Derivar a equac¸a˜o que define implicitamente y como func¸a˜o de x pode ser
mais simples do que tentar obter a derivada atrave´s da expressa˜o explicita
(caso exista alguma!).
(ii) Uma equac¸a˜o nas varia´veis x e y pode definir va´rias func¸o˜es impl´ıcitas.
Neste caso, a derivac¸a˜o impl´ıcita serve para todas elas.
Exemplo 3. (A) Admitindo que f : (0,+∞) dada por f(x) = ln(x) e´ deriva´vel,
obtenha f ′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
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(B) Fixado α ∈ R e admitindo que f : (0,+∞) → R dada por f(x) = xα seja
deriva´vel, use logaritmos para obter f ′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
(C) Obtenha a equac¸a˜o da reta tangente a` curva x2 + 4xy + y2 = 1 no ponto
(0, 1).
-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5
-1.5
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
1.5
Figura 3: x2 + 4xy + y2 = 1
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(D) Se y = 3
√
x
x3 + 1
, obtenha y′(x) por derivac¸a˜o impl´ıcita.
Observac¸a˜o 3.
• Utilizaremos bastante a derivac¸a˜o impl´ıcita na pro´xima parte do nosso
curso em que abordaremos Aplicac¸o˜es de Derivadas.
• Existe um teorema (a saber, o Teorema da Func¸a˜o Impl´ıcita que sera´ visto
no Ca´lculo II), que estabelece as condic¸o˜es sobre a equac¸a˜o f(x, y) = 0 para
que y seja func¸a˜o de x.
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