Cálculo I 2

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CÁLCULO I
CAPÍTULO 2 – COMO OBTER A DERIVADA DE 
UMA FUNÇÃO?
Oswaldo Luiz Cobra Guimarães
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Introdução
Quando trabalhamos com a matemática, temos a impressão de que ela se constitui apenas em processos
algébricos, não é mesmo? O fato de fazermos contas em grande parte do processo matemático nos induz a esta
falsa impressão. Entretanto, a matemática permite a tradução do mundo real para o mundo das contas. Nesta
tradução, está presente, em inúmeras situações, a função matemática, seja em termos algébricos, gráficos ou
numéricos.
Mas, ao expressarmos e trabalharmos com funções, estamos preocupados com o que, necessariamente? Com as
grandezas descritas por elas! Além disso, também nos preocupamos com a forma como estas funções variam,
determinando as taxas de variação. Estas, em termos de taxas, podem ser determinadas pela derivada da função.
Ao derivarmos, em relação ao tempo, a função que expressa nosso deslocamento, podemos calcular nossa
velocidade, ou seja, a taxa instantânea pela qual caminhamos ou que nosso carro nos conduz. Você sabia que
todas as taxas de variação podem ser determinadas pela aplicação de derivadas?
Imagine que você deseja estudar como a inflação varia com o tempo. Os economistas utilizam ou podem utilizar,
neste estudo, derivadas, analisando como o custo de vida varia em função do tempo.
Sendo assim, neste capítulo, iremos estudar mais atentamente sobre o assunto. Vamos em frente!
2.1 Regras de derivação
A partir de agora, estudaremos as regras de derivação para funções que envolvem produtos e quocientes. Antes
de iniciarmos, precisamos lembrar que o estudo de operadores do cálculo diferencial e integral envolve uma
sequência de conceitos: funções limites derivadas integrais.
Observe que nada é feito por acaso e que os conceitos são sequenciais e interligados. Além disso, podem ser
utilizados no cotidiano. Por exemplo, você sabia que ao acelerar o carro ou ao calcular a taxa de crescimento de
epidemias (tais como a dengue) estamos usando derivadas? Assim, todo fenômeno que envolve a variação de
alguma grandeza pode ser estudado pelo operador matemático chamado .derivada
Para eliminar um alto grau de dificuldade algébrica na determinação de integrais, utilizamos fórmulas, em
particular, as regras do produto e quociente, como veremos a seguir.
2.1.1 Regras do produto e quociente
Vamos entender melhor como podemos derivar o de duas ou mais funções? Clique na interação a seguir.produto
Se as funções e forem diferenciáveis em , ou seja, admitirem derivadas, então, 
VOCÊ SABIA?
Acredita-se que Isaac Newton estava observando o movimento curvilíneo de corpos celestes.
Ele imaginou que, em vez de estudar as curvas elípticas que apresentavam grau de dificuldade,
poderia estudar pequenos segmentos de retas, ou seja, as curvas poderiam ser representadas
por estes segmentos, facilitando o estudo de inúmeros processos físicos. Para saber um pouco
mais sobre a história deste cientista e sobre o cálculo diferencial e integral, acesse o :link
< >.http://ecalculo.if.usp.br/historia/historia_derivadas.htm
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Vamos entender melhor como podemos derivar o de duas ou mais funções? Clique na interação a seguir.produto
Se as funções e forem diferenciáveis em , ou seja, admitirem derivadas, então, 
.
Para facilitar a aplicação da fórmula, podemos ler da seguinte maneira: primeiro pela derivada do segundo, mais
o segundo pela derivada do primeiro. Isto facilitará nosso trabalho algébrico!
Façamos alguns exemplos de aplicação da fórmula.
Exemplo 1
Qual é a derivada da função dada por ?
Resolução
Você deve estar pensando: posso fazer o produto e, depois, derivar individualmente os fatores e somar as
derivadas? Na verdade, sim! O resultado será o mesmo.
Vamos, então, aplicar a fórmula , em que teremos:
Somando os termos semelhantes, teremos . Precisamos ter em mente que o
processo algébrico é longo e exige muita atenção.
Em muitos livros, para facilitar a escrita e aplicação da regra, temos a mudança de notação para 
, em que se usa a notação para indicar a derivada. Assim, passaremos a usar estalinha
notação em nosso estudo.
Exemplo 2
Determine a derivada de .
Resolução
Aplicando a regra , teremos:
Fazendo os produtos e somando os termos semelhantes, teremos .
Exemplo 3
Agora, vamos calcular a derivada de .
Resolução
Inicialmente, vamos reescrever a função . Aplicando a fórmula , teremos
que:
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Vejamos, agora, outra importante regra nos processos de derivação: a .regra do quociente ou da divisão
Sendo e duas funções diferenciáveis, temos que a derivada do quociente entre as duas funções é dada
por .
Vejamos alguns exemplos de aplicação da fórmula.
Exemplo 4
Determine a derivada de .
Resolução
Teremos que:
Exemplo 5
Determine a derivada de .
Resolução
Teremos que:
Visto que já conhecemos sobre as regras, podemos entender um pouco mais sobre a aplicação de derivadas na
cinemática.
2.1.2 Aplicação na cinemática
Derivadas representam fisicamente taxas de variação. Quando nos movimentamos, estamos nos deslocando em
relação a um sistema de coordenadas, e fazemos isto com certa velocidade e aceleração.
Observe a figura a seguir.
VOCÊ SABIA?
Edmond Halley foi um dos responsáveis por incentivar Newton a publicar seus trabalhos, visto
que era extremamente introspectivo e avesso a críticas. Além disso, Halley também financiou
muitos dos estudos de Newton. Para conhecer um pouco sobre a vida deste astrônomo e
matemático, acesse o :link
< >.http://ecalculo.if.usp.br/historia/halley.htm
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Figura 1 - Deslocamento de partícula.
Fonte: STEWART, 2013, p. 135.
Na figura, temos que representa o espaço percorrido por uma partícula. A velocidade média desta partícula
em um instante qualquer é determinada e definida por . Clique na interação a seguir para
aprender como calcular a velocidade instantânea.
Quando queremos determinar a velocidade instantânea, devemos usar a noção de que a variação de tempo tende
a zero, ou seja, .
Lembrando que a derivada é dada como sendo o limite da razão, definida pela variação da função, dividida pela
variação da variável independente, temos que . Por extensão análoga, a aceleração instantânea
seria .
Vejamos alguns exemplos de aplicação de derivadas em cinemática.
Exemplo 6
A função espaço do movimento de um carro é dada por , com em metros e em segundos. Nesta 
situação, vamos encontrar a velocidade e a aceleração instantâneas em (segundo).
Resolução
Teremos que .
Para , teremos .
Derivando mais uma vez, teremos a aceleração instantânea:
Exemplo 7
Imagine que temos uma partícula que se move com equação de movimento dada por , em que o
deslocamento é dado em metros e o tempo em segundos.
a) Qual é a posição da partícula no início do trajeto?
No início do movimento da partícula, temos . Portanto, . Assim, a partícula se encontra
na origem do sistema de coordenadas.
b) Qual é a posição da partícula quando ?
Para , teremos que metros.
Da Física, sabemos que, quando a velocidade é negativa, a partícula se move em sentido negativo. Caso a reta que
expressa o movimento esteja sobre ou paralela ao eixo , a partícula se move para a esquerda. Vejamos isto no
item a seguir.
c) Determine os intervalos nos quais a partícula se move em sentido positivo e negativo, caso ambos ocorram.
A equação da velocidade é dada por . Iremos, então, plotar o gráfico da função, conforme vemos a
seguir.
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Figura 2 - Gráfico de .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Perceba que o eixo representa a velocidade, enquanto que o eixo representa o tempo. A velocidade se anula
em :
Observando o gráfico, verificamos que a velocidade é negativa no intervalo , e positiva no intervalo 
.
Na sequência, estudaremos uma das mais importantes regras para a obtenção de derivadas: regra da cadeia.
2.2 Regra da cadeia
A técnica da regra da cadeia nos permite derivar funções compostas. Imagine uma situação comum em seu dia a
dia: você abastece o carro em um posto de gasolina. É claro que a quilometragem alcançada pelo veículo é uma
funçãoda quantidade de litros que você colocou no tanque do carro, no entanto, também sabemos que a
quantidade que você colocou de combustível é uma função da quantia que foi gasta para colocar a gasolina no
tanque. Vamos, então, modelar o processo? Clique na interação a seguir.
Se representar o número de quilômetros percorridos com o combustível que você colocou no tanque e a
quantidade for representada por , temos que .
Contudo, como a quantidade depende da quantia em dinheiro que você gastou, digamos , teremos que .
Logo, temos uma função composta dada por .
Mas e para derivarmos funções compostas? Vamos compreender na sequência!
2.2.1 Aplicação da regra da cadeia no cálculo de derivadas
Em muitas situações algébricas, do cotidiano e das diversas Ciências, deparamo-nos com um fenômeno que
depende de certa variável, mas que, entretanto, a variável é função de outra variável.
Em termos matemáticos, teríamos a seguinte situação algébrica:
Podemos reescrever as duas funções em termos de uma função composta. Desta forma, teremos , ou
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Podemos reescrever as duas funções em termos de uma função composta. Desta forma, teremos , ou
seja, uma função composta. Assim, para obtermos a derivada de uma função composta, utilizaremos a chamada 
.regra da cadeia
Pela regra, se for diferenciável em um ponto , e se for diferenciável no ponto , então a composição 
será diferenciável em . Portanto, teremos que .
Vamos ver alguns exemplos?
Exemplo 8
Encontre a derivada de .
Resolução
Reescreveremos a função como uma função composta. Para isto, façamos , em que . Assim,
aplicando a regra da cadeia, teremos que : .
Temos que , que iremos substituir em , em que resultará em:
Exemplo 9
Vamos derivar a função dada por .
Resolução
Temos que . Logo, . Aplicando a regra da cadeia, teremos que:
Segundo Stewart (2013), a regra da cadeia pode ser vista como uma operação de fora para dentro. Isto é, na
expressão , seria a função de dentro e a função de fora. Veja a figura a seguir para entender
melhor.
Figura 3 - Esquema de aplicação da regra da cadeia.
Fonte: STEWART, 2014, p. 181.
Vejamos mais alguns exemplos.
Exemplo 10
Seja a função , vamos determinar sua derivada.
Resolução
Reescrevendo a função, teremos a função composta dada por , em que . Aplicando a regra da
cadeia, teremos que:
Exemplo 11 Adaptado de Stewart (2014).
Encontre a derivada da função .
Resolução
Aplicando a regra da cadeia, teremos:
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Aplicando a regra da cadeia, teremos:
Vejamos, agora, sobre a derivação de funções implícitas e a regra da cadeia.
2.2.2 Derivação de funções implícitas
Em muitas situações, não poderemos isolar a função a ser derivada, mas o que queremos dizer com isto? Clique
na interação a seguir para ver.
Quando escrevemos , temos que a função está escrita na forma explícita. Observe um exemplo: a função 
 está explicitada e pode ser derivada usando as regras normais de derivação. Entretanto, algumas vezes,
não conseguiremos isolar a função, mas, mesmo assim, teremos que derivar a expressão.
Seja um exemplo no qual não conseguiremos isolar a função e escreveremos na forma : 
. Neste caso, teremos uma .função implícita
A operação do cálculo que nos permite determinar a derivada é chamada de . No caso de nãodiferenciação
conseguirmos isolar a função, teremos a chamada . Assim, como devemos procederdiferenciação implícita
algebricamente?
Para derivarmos uma função, basta lembrarmos de que é uma função de . Então, derivamos em relação a e
multiplicamos pela derivada de em relação a , ou seja, usaremos a regra da cadeia.
Um exemplo de função implícita é o Fólio de Descartes, dado pela equação , conforme vemos na
figura a seguir.
Figura 4 - Fólio de Descartes.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe como seria a derivação da função do Fólio de Descartes: .
Derivando implicitamente, teríamos . Isolando a derivada, temos que:
Vamos estudar alguns exemplos.
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Vamos estudar alguns exemplos.
Exemplo 12
Qual é a derivada de ?
Resolução
Vamos supor que não podemos escrever na forma , ou seja, que não podemos isolar a função. Assim,
reescrevendo a equação, teremos . Derivando os dois lados da equação em relação a , teremos que:
Isolando , temos .
Nos exemplos que veremos aqui e na prática, por simplicidade e rapidez, não escrevemos no processo de
resolução a notação nos termos que envolvem , mas, sim, apenas .
Voltando ao nosso exemplo, no qual foi obtida a derivada , podemos observar que a suposição que a
função não pode ser isolada não é correta. Então, isolando , teremos:
Coincidindo com o valor encontrado, de forma implícita.
Exemplo 13
Qual é a derivada de ?
Resolução
Derivando os lados da equação, teremos:
Exemplo 14
Seja a equação dada por . Determine a equação da reta tangente a esta equação no ponto (3, 4).
Resolução
Inicialmente, vamos plotar a função e o ponto dado no Geogebra, em que teremos o gráfico a seguir.
Figura 5 - Gráfico do círculo de equação .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Derivando implicitamente, teremos:
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Derivando implicitamente, teremos:
No ponto (3,4), a derivada será igual a . A equação da reta tangente pode ser dada por .
Como a derivada equivale numericamente à inclinação da reta tangente, teremos:
Veja o gráfico a seguir.
Figura 6 - Gráfico de e reta tangente no ponto (3, 4).
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Aqui, vimos que uma função pode se apresentar sob a forma explícita ou isolada e sob a forma implícita. As duas
formas podem ser derivadas, respeitando o fato que, na derivação implícita, devemos lembrar que e
derivarmos sempre os termos de em relação a . Assim, em todo termo da expressão que contiver , teremos .
A seguir, estudaremos como podemos derivar sucessivamente uma função obtendo as chamadas derivadas de
. Também serão estudadas aplicações de derivadas como taxas relacionadas.ordem superior
2.3 Taxas relacionadas e derivadas sucessivas
Vamos começar estudando a variação de uma função em relação a sua variável independente (problema de taxa
de variação).
Em muitos livros, veremos a sigla TDV indicando a taxa de variação. Sempre devemos nos lembrar de que a
derivada possui sentido geométrico e físico. Aqui, especificamente, estaremos seu sentido físico, ou seja, uma
taxa de variação de algum processo real em relação a uma variável independente.
Outra situação são as variações de funções compostas. Neste caso, temos uma função que varia em relação a
variável, sendo que esta varia em função do tempo ou outra grandeza (problema de taxa relacionada).
2.3.1 Problemas de taxas de variação
Iniciemos nossa análise com o estudo de taxa de variação (TDV), de acordo com os exemplos a seguir.
Exemplo 15
Determine a taxa de variação (TDV) do volume de um cubo em relação ao seu comprimento, quando seu lado é
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Determine a taxa de variação (TDV) do volume de um cubo em relação ao seu comprimento, quando seu lado é
igual a seis unidades de comprimento.
Resolução
Da Geometria, o volume do cubo é dado pela fórmula , em que representa a aresta do cubo. Observe a
figura a seguir.
Figura 7 - Cubo de aresta.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Iremos derivar a função . Observe que a função volume depende da variável independente . A taxa de
variação instantânea será dada por .
Quando , teremos:
Logo, a taxa de variação instantânea é igual a 108.
Exemplo 16
Encontre a taxa de variação da função em relação à variável , quando .
Resolução
Reescrevendo a função, temos que . A derivada desta função corresponderá à taxa de variação
instantânea. Então, teremos que .
Aplicando o valor , a taxa de variação instantânea será .
Exemplo 17
Qual é a taxa de variação de quando ?
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Qual é a taxa de variação de quando ?
Resolução
A função é dada por . Iremos reescrevê-la sob a forma de potência, em que teremos . Ao derivarmos
a função, obteremos a taxa de variação da função: .
Para , a taxa será dada por:
Exemplo 18
Apenas para fins ilustrativos, observe a figura a seguir.
Figura 8 - Esfera de diâmetro .
Fonte: Elaborada pelo autor,2018.
Nosso objetivo é determinar a taxa de variação dada por , em que representa a superfície de uma esfera de
diâmetro com valor .
Resolução
Da Geometria, a área da superfície da esfera é dada por . Sabemos, também, que o diâmetro equivale a
duas vezes o valor do raio da esfera.
Vamos, então, reescrever a área da esfera da seguinte forma:
A taxa de variação instantânea será dada por , portanto, a taxa de variação é dada por .
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A taxa de variação instantânea será dada por , portanto, a taxa de variação é dada por .
Exemplo 19
Qual seria a taxa de variação do volume de uma esfera em relação ao raio da esfera do exemplo anterior?
Resolução
Sabemos que o volume da esfera é dado por . Já a taxa de variação do volume em função do raio será
dada por . Derivando a função, teremos:
Portanto, a taxa de variação é dada por .
2.3.2 Taxas relacionadas
Neste item, estaremos interessados em estudar a variação de uma função em relação a uma variável, que
também varia com o tempo. A este tipo de problema, damos o nome de . Clique naestudo de taxas relacionadas
interação a seguir para entender melhor este conceito.
Supondo que uma função varie com , e que varie com a variável , teremos uma expressão do tipo 
.
Empregamos taxas relacionadas quando temos duas variáveis independentes, relacionando-se entre si.
Faremos alguns exemplos e veremos que os procedimentos executados para determinarmos taxas relacionadas
são bem intuitivos. Vamos lá?
Exemplo 20
Imagine um tanque de bebedouro para animais em uma fazenda. Observe a figura a seguir com a representação
do item.
Figura 9 - Vista lateral do bebedouro em formato de cone invertido.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Sabe-se que a taxa pela qual a água decresce, quando o gado bebe a água do bebedouro, é igual a .
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Sabe-se que a taxa pela qual a água decresce, quando o gado bebe a água do bebedouro, é igual a .
Sendo assim, qual é a taxa de variação da altura da água do bebedouro, exatamente quando a altura é igual a 
?
Resolução
Usando semelhança de triângulos, teremos que:
O volume do cone, sabe-se da Geometria, é dado por . Substituindo em , teremos que 
.
Derivando em relação ao tempo, teremos:
Exemplo 21
Um exemplo bem clássico de taxa de variação é o problema da escada encostada em uma parede. A escada possui
cinco metros de comprimento.
VOCÊ SABIA?
Newton foi um aluno medíocre até que, em certo momento, uma briga com outro estudante o
transformou em primeiro da classe. Era uma figura excêntrica e muito vingativa. Uma
curiosidade sobre Newton era que ele era um alquimista e tentou, durante anos, transformar
metal em ouro. Saiba mais sobre Isaac Newton em:
< >.https://super.abril.com.br/historia/newton-genio-dificil/
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Figura 10 - Escada vista de perfil.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Sabe-se que a base da escada se afasta da parede a uma . Sendo assim, com que velocidade o topo da escada
desce pela parede quando a base se encontra a três metros da parede?
Resolução
Temos que . Aplicando o Teorema de Pitágoras, teremos que .
Derivando em relação ao tempo, temos .
Isolando , obtemos .
Para :
Sendo assim, . Portanto, temos que a escada desce a uma taxa igual a 
Agora, vamos passar para o estudo das derivadas sucessivas. Acompanhe!
2.3.3 Derivadas sucessivas
Neste item, vamos conhecer um pouco mais sobre as derivadas de ordem superior, já que, em muitas situações, 
teremos que derivar a função mais de uma vez. Clique na interação para ver as notações que podemos utilizar.
Podemos usar a notação:
, derivada de primeira ordem;
, derivada de segunda ordem;
, derivada de terceira ordem;
, derivada de ordem .
Ou, então, usar a notação linha. Assim, teremos:
, derivada de primeira ordem;
, derivada de segunda ordem;
, derivada de terceira ordem;
, derivada de ordem .
A seguir, vejamos alguns exemplos de derivada de ordem superior.
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A seguir, vejamos alguns exemplos de derivada de ordem superior.
Exemplo 22
Determine a derivada de segunda ordem de .
Resolução
A primeira derivada é dada por Derivando mais uma vez, teremos que .
Exemplo 23
Determine a terceira derivada da função .
Resolução
Iremos reescrever a função .
A primeira derivada é dada por e a segunda derivada é dada por: Assim, finalmente, a
terceira derivada será .
Considerando que já aprendemos sobre as taxas relacionadas e as derivadas sucessivas, podemos passar para as
derivadas de funções transcendentes e a aplicação de diferenciais.
2.4 Derivadas de funções transcendentes e aplicação de 
diferenciais
A função natural exponencial e sua inversa (logaritmo natural) são muito importantes no Cálculo, aparecendo no
modelamento matemático de inúmeros fenômenos. A análise do modo como elas variam também é de
fundamental importância.
As funções transcendentes são definidas como aquelas que envolvem nos seus termos funções exponenciais,
logarítmicas e ou trigonométricas. Vamos, então, entender melhor sobre o assunto? Começaremos analisando as
derivadas de funções exponenciais e o logaritmo natural. Acompanhe!
2.4.1 Derivadas de função exponencial e logaritmo natural
Sejam as funções:
Suas derivadas são dadas por:
Observe que a derivada da função exponencial é a própria função . Ela é a única função
matemática que apresenta essa característica.
Vejamos alguns exemplos na sequência.
Exemplo 24
Vamos encontrar a derivada de .
Resolução
Reescreveremos a função como uma função composta. Para isto, façamos:
Assim, teremos que .
Como temos , .
Podemos generalizar a derivada da função como .
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Exemplo 25
Determine a derivada de .
Resolução
Reescreveremos a função fazendo uma troca de variável: .
Teremos: .
Portanto, nossa derivada ficará:
Visto que , temos que . Portanto, a derivada de é igual a .
Podemos generalizar a derivada da função como .
Exemplo 26
Vejamos um exemplo em que aplicaremos a diferenciação implícita: seja a equação dada por .
Resolução
Observe que não conseguiremos escrever algo do tipo . Se pudéssemos isolar a função, certamente seria
uma função de . Então, vamos pensar como uma função composta. Vamos derivar a expressão como sendo uma
função de e multiplicar as derivadas que irão aparecer pela derivada de cada uma em relação a :
Isolando a derivada, teremos:
VOCÊ O CONHECE?
Leonard Euler, foi um matemático, físico e engenheiro com uma vasta produção em muitos
campos das ciências. Ele foi o criador do número . Também é atribuído a Euler a
introdução do símbolo para , em 1777. Para saber mais sobre Euler e suas contribuições
para a área, acesse o :link
<http://www.rbhm.org.br/issues/RBHM%20-%20vol.9,%20no17,%20abril%20(2009)/3%
>.20-%20DAmbrosio%20280409.pdf
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Exemplo 27
Vejamos mais uma situação em que não conseguiremos isolar a função: . Qual é a derivada?
Resolução
Visto que não conseguiremos escrever algo do tipo , vamos fazer a diferenciação implícita 
, em que aplicamos a regra do produto no segundo termo da expressão.
Isolaremos a derivada:
Na sequência, iremos estudar as derivadas de funções trigonométricas e de suas inversas. Também
enunciaremos algumas identidades trigonométricas que poderão ser usadas em processos de derivação mais
tarde neste curso e, eventualmente, em algumas simplificações algébricas durante alguns exercícios. Vamos lá!
2.4.2 Derivadas de funções trigonométricas
Vamos estabelecer algumas derivadas de funções trigonométricas e funções trigonométricas inversas.
Seja uma função da forma . As derivadas serão dadas por:
Já as derivadas das funções trigonométricas inversas serão:
Vejamos alguns exemplos. Nosso objetivo será a aplicação das fórmulas de derivadas. Daremos a função e você
acompanhará o algebrismo.
Exemplo 23
Seja a função . Qual é a derivada?
Resolução
Vamos fazer . Teremos .
Aplicaremos, portanto, a fórmula .
VOCÊ QUER LER?
No artigo “Os desafios da escola pública paranaense na perspectiva do professor PDE”, de
Edisio Alves dos Anjos e Félix Pedro Quispe Gómez, você terá acesso a fatos sobre a vida de
Euler e muitos outros matemáticos, comoLaplace, Labrange e Newton. Para leitura completa
acesse o :link
<http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde
>./2014/2014_utfpr_mat_artigo_edisio_alves_dos_anjos.pdf
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Vamos fazer . Teremos .
Aplicaremos, portanto, a fórmula .
Exemplo 24
Seja a função . Qual é a derivada?
Resolução
Vamos, incialmente, aplicar a regra da cadeia, em que teremos . Agora, aplicaremos
a regra , em que teremos:
Com a prática, as derivadas são efetuadas diretamente, sem usar as trocas de variáveis, conforme podemos ver
com este exemplo.
Exemplo 25
Seja a função . Determine a derivada da função.
Resolução
Vamos utilizar as fórmulas:
A derivada será dada por:
Exemplo 26
Vamos determinar a derivada de .
Resolução
Vamos reescrever a função: .
Usaremos a fórmula: .
Vamos reescrever a função: .
Também usaremos a regra da cadeia para o primeiro termo da função.
Derivando, obteremos:
Exemplo 27
Agora, vamos deduzir a equação da reta tangente à curva dada pela função no ponto .
Resolução
A equação de uma reta qualquer pode ser determinada por .
Para , teremos . A derivada equivale numericamente à inclinação da reta tangente e, portanto,
em temos:
Logo, a equação da reta tangente em será dada por , .
Vamos plotar a função e a reta tangente de equação no mesmo gráfico, conforme vemos a seguir.
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Figura 11 - Gráfico de com a tangente .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Exemplo 28
Vamos determinar a derivada de .
Resolução
Teremos que aplicar a fórmula dada por .
Vamos proceder uma troca de variáveis e calcular a derivada da nova variável:
A derivada será dada por:
Agora, que já dominamos as regras básicas de derivação, vejamos algumas aplicações. Inicialmente, veremos
como podemos aproximar uma função usando a primeira derivada, a chamada aproximação linear.
2.4.3 Aproximação linear local-diferenciais
Você sabia que funções não lineares podem ter o comportamento aproximado por funções lineares? Isto facilita
muitos cálculos matemáticos.
Essas aproximações são realizadas com a utilização de derivadas e, portanto, temos mais uma importante
aplicação deste operador matemático.
Vamos analisar o gráfico a seguir.
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Figura 12 - Gráfico para dedução inicial da derivada.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que a variação da função é dada por . Esta seria o que poderíamos chamar de 
, a que realmente ocorreu. Contudo, vamos “retirar” uma tangente no ponto .variação real da função
Veja a figura a seguir.
Figura 13 - Gráfico para dedução da derivada com a retirada de uma tangente.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Perceba que fizemos tender a zero (demos um na região).zoom
No Cálculo, dizemos que quando tende a zero denominamos a variação pelo símbolo . Mais ainda: 
representa um acréscimo, enquanto que é um acréscimo infinitesimal. Também chamamos de diferencial.
Portanto temos que, nessas condições, .
Lembre-se de que a derivada é definida como .
Vamos isolar a chamada diferencial de dada por , em que teremos . Veja que interessante: a
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Vamos isolar a chamada diferencial de dada por , em que teremos . Veja que interessante: a
diferencial da função é igual ao produto da derivada da função pela diferencial da variável independente .
Observe novamente o gráfico e verifique que pode ser considerado uma aproximação da variação real da
função dada por . Logo, teremos . Portanto:
Contudo, sabemos que . Logo:
Então, vamos fazer:
Assim, teremos . Esta fórmula é denominada da função noaproximação linear local
ponto .
Observe, ainda, que a derivada é dada por . Interessante, não é mesmo?
A derivada é uma taxa, uma relação entre duas diferenciais: a diferencial da função e a diferencial da variável
independente . Isto é, a derivada é uma relação entre duas aproximações: a aproximação da variação da função,
dividida pela aproximação da variação da variável independente.
Vamos a alguns exemplos.
Exemplo 29
Vamos encontrar a aproximação linear local da função em . Depois, vamos calcular um valor
aproximado para a função quando .
Resolução
Temos que a aproximação linear local é dada por . A derivada da função é dada por 
, e no ponto teremos . Portanto, substituindo em ,
teremos:
Ou seja, aproximamos a parábola pela função linear .
Observe o gráfico a seguir.
VOCÊ QUER LER?
No artigo “Aproximações Lineares-Diferenciais”, da professora Maria Helena S. S. Bizelli, você
poderá ler sobre aproximações lineares. O texto apresenta exemplos e exercícios para que
você complemente seus estudos sobre o assunto. Acesse no :link
< >.http://www.calculo.iq.unesp.br/Calculo1/AproxLineares-Diferenciais.htm
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Figura 14 - Aproximação linear local.
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Agora, podemos aproximar a função pela aproximação linear, em que teremos .
Claro que, ao aproximar a função por sua aproximação linear , cometemos um erro. Vamos, então,
determinar este erro.
Erro absoluto = valor real – valor aproximado. Em módulo, teremos que .
Percentualmente, teremos 1% de erro absoluto cometido.
Podemos, também, calcular o erro relativo:
Realçamos que alguns autores definem o erro relativo como:
Percentualmente, teremos .
Observe que não erramos por muito ao aproximar por sua aproximação linear .
Exemplo 30
Devemos encontrar a aproximação linear local da função em . Depois, vamos calcular um valor
aproximado para a função quando .
Resolução
Temos que a aproximação linear local é dada por . A função pode ser reescrita, em que
VOCÊ QUER VER?
Uma dica muito legal é assistir ao filme , de Renny Bartlett. É umIsaac Newton: o último mágico
filme realizado pela BBC que apresenta aspectos da vida desse fantástico cientista, sugerindo
como ele fez descobertas importantes, como a Lei da Gravitação Universal, e como ele projetou
um telescópio, cujos princípios de operação são usados até nos atuais microscópios. Vale a
pena assistir!
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Temos que a aproximação linear local é dada por . A função pode ser reescrita, em que
teremos .
Vamos encontrar a derivada da função usando a regra da potência: . No ponto , teremos 
. Portanto, substituindo em , teremos:
Ou seja, aproximamos a parábola pela função linear .
Observe o gráfico a seguir.
Figura 15 - Gráfico de e sua aproximação linear local .
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Agora, podemos aproximar a função em pela aproximação linear, em que teremos 
. Ao aproximar a função por sua aproximação linear cometemos um erro.
Vamos, então, determinar o erro.
Erro absoluto = valor real – valor aproximado. Em módulo, teremos que .
Percentualmente, teremos 1,68% de erro absoluto cometido.
Podemos, também, calcular o erro relativo:
Realçamos que alguns autores definem o erro relativo como:
Percentualmente, teremos .
Observe que não erramos por muito ao aproximar por sua aproximação linear . Este erro foi
obtido em função de uma aproximação linear no ponto . Quanto maior for a distância do ponto de interesse 
, maior será o erro cometido. Isto é, é uma aproximação linear local, sendo que os cálculos devem ser feitos nas
vizinhanças de .
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2.4.4 Polinômios de Taylor
Antes, estudamos que podemos aproximar uma função por , ou seja, por uma
aproximação linear. Assim, aproximamos a função por uma reta tangente no ponto de interesse. O teorema que
se segue estabelece outros polinômios, com grau maior ou igual a 1.
Por exemplo, seja uma função diferenciável vezes, com derivadas contínuas em certo intervalo aberto 
 e com pertencente a este intervalo.
Podemos representar a função por uma soma de termos, uma série chamada , que nos fornecesérie de Taylor
polinômios para a representação ou expansão de uma função, além da forma linear, portanto: 
Observe que temos uma soma infinita de termos. Caso queiramos representar uma determinada função por uma
soma finita, teremos que truncar a série, desprezando termos e cometendo o chamado .erro de truncamento
Desta forma, teremos que ,
em que é conhecido como .resto de Lagrange
O resto de Lagrande pode ser calculado pela fórmula, em que .
Na fórmula de Taylor, temos que representa o ponto de interesse, no qual é calculada alguma aproximação da
função pelo polinômio. Temos, também, que representa o ponto de expansão ou desenvolvimento, em que são
calculadas as derivadas.
Vejamos mais um exemplo na sequência.
Exemplo 31
Desenvolva a função , obtendo os polinômios de Taylor.
Resolução
S a b e m o s q u e a s é r i e d e T a y l o r é d a d a p o r 
Quando , temos um caso particular da série de Taylor, chamada .série de McLaurin
VOCÊ O CONHECE?
Taylor foi um brilhante matemático conhecido pelo processo de expandir funções em séries
infinitas, sendo, talvez, sua mais importante contribuição matemática. Para conhecer mais
sobre o matemático, sugerimos acessar o :link
< >.http://www.fem.unicamp.br/~em313/paginas/person/taylor.htm
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CASO
Vamos expandir a função , obtendo um polinômio de grau .
Temos que:
Voltando à série, teremos:
Agora, iremos analisar graficamente o comportamento da série. Para isto, usaremos
inicialmente o Geogebra. Represente no gráfico a função e a série com 1, 2 e 3 termos:
Fonte: Elaborada pelo autor, 2018.
Observe que, quanto mais termos adicionamos em nosso polinômio, mais nos aproximamos da
função original.
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Temos, portanto, que a fórmula de Taylor nos permite representar uma função por polinômios.
Síntese
As regras de derivação facilitam um longo processo algébrico para obtermos as derivadas de uma função, caso
usássemos a definição formal de derivadas por limites. Aqui, pudemos verificar que este importante operador do
Cálculo, além de ser um significado geométrico (numericamente equivale à inclinação de retas tangentes)
também possui aplicações ligadas à diversas Ciências, no sentido de calcular taxas de variações de grandezas.
Neste capítulo, você teve a oportunidade de:
• entender como se aplicam as diferentes regras de derivação, em particular as regras do produto e 
quociente;
• aplicar regras de derivação em funções compostas;
• aplicar as regras de derivação para obter derivadas de ordem superior;
• resolver problemas que envolvem taxas de variação e relacionadas;
• expandir uma função em um polinômio de Taylor;
• derivar funções transcendentes.
Bibliografia
AMBROSIO, U. D. Euler, um matemático multifacetado. , v. 9, n.Revista Brasileira de História da Matemática
17, abr./set. 2009, p. 13-31. Disponível em: . Acesso em: 27/12/2018.
ANJOS, E. A. dos; GÓMEZ, F. P. Q. .Os desafios da escola pública paranaense na perspectiva do professor PDE
Paraná: Governo do Estado do Paraná, 2014. Vol. 1. (Série Cadernos PDE). Disponível em: . Acesso em: 27/12
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ANTON, H. . 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. Vol. 1.Cálculo
ARANTES, J. T. Newton: gênio difícil. , 31 out. 2016. Disponível em: . Acesso em: 27Revista Super Interessante
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BIZELLI, M. H. S. S. . São Paulo: UNESP, s/d. Disponível em: . Acesso em: 27Aproximações Lineares-Diferenciais
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DIEDERICHSEN, J. , Brook (1685-1731). São Paulo: Universidade Estadual de Campinas, s/d. DisponívelTaylor
em: . Acesso em: 27/12/2018.
ECALCULO. , (1656-1742). São Paulo: Universidade de São Paulo, s/d. Disponível em: . AcessoEdmond Halley
em>: 27/12/2018.
______. . São Paulo: Universidade de São Paulo, s/d. Disponível em: . Acesso em: 27/12O nascimento do Cálculo
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FLEMMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. : funções, limite, derivação e integração. São Paulo: EditoraCálculo A
Pearson, 2006.
ISAAC Newton: o último mágico. Direção de: Renny Bartlett. Reino Unido: 2013. 59 min. Color. [Documentário].
STEWART, J. . 3. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2013. Vol. 1.Cálculo
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