CÁLCULO NUMÉRICO - EX AVALIATIVO 6-10

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1. 
 
 
Durante a coleta de dados estatísticos referente ao número médio de filhos das famílias de uma comunidade em 
função do tempo, verificamos a obtenção dos seguintes pontos (x,y), nos quais "x" representa o tempo e "y" 
representa o número de filhos: (1, 2), (2, 4), (3,5) e (4,6). Caso desejemos representar estes pontos através de 
uma função, que ramo do Cálculo Numérico deveremos utilizar? Assina a opção CORRETA. 
 
 
Interpolação polinomial. 
 
Derivação. 
 
Determinação de raízes. 
 
Integração. 
 
Verificação de erros. 
 
 
 
2. 
 
 
Para analisar um fenômeno um engenheiro fez o levantamento experimental em um laboratório. Nesta análise 
concluiu que que as duas variáveis envolvidas x e y se relacionam linearmente, ou seja, através de um polinômio 
P(x) do primeiro grau. Qual o número mínimo de pontos que teve que obter no ensaio para gerar o polinômio P9x) 
por interpolação polinomial? 
 
 
4 
 
1 
 
5 
 
2 
 
3 
 
 
 
3. 
 
 
Você, como engenheiro, efetuou a coleta de dados em laboratório referentes a um experimento tecnológico de sua 
empresa. Assim, você obteve os pontos (0,3), (1,5) e (2,6). Com base no material apresentado acerca do Método de 
Lagrange, tem-se que a função M1 gerada é igual a: 
 
 
-3x2 + 2x 
 
-x2 + 2x 
 
x2 + 2x 
 
-x2 + 4x 
 
-2x2 + 3x 
 
 
4. 
 
 
Em experimentos empíricos, é comum a coleta de informações relacionando a variáveis "x" e "y", tais como o tempo 
(variável x) e a quantidade produzida de um bem (variável y) ou o tempo (variável x) e o valor de um determinado 
índice inflacionário (variável y), entre outros exemplos. Neste contexto, geralmente os pesquisadores desejam 
interpolar uma função que passe pelos pontos obtidos e os represente algebricamente, o que pode ser feito através 
do Método de Lagrange. Com relação a este método, NÃO podemos afirmar: 
 
 
Na interpolação quadrática, que representa um caso particular do polinômio de Lagrange, precisamos de dois 
pontos (x,y). 
 
Na interpolação linear, que pode ser obtida através do polinômio de Lagrange, precisamos de dois pontos (x,y). 
 
As interpolações linear (obtenção de reta) e quadrática (obtenção de parábola) podem ser consideradas casos 
particulares da interpolação de Lagrange. 
 
Na interpolação para obtenção de um polinômio de grau "n", precisamos de "n+1" pontos. 
 
A interpolação de polinômios de grau "n+10" só é possível quando temos "n+11" pontos. 
 
 
5. 
 
Considere a situação em que você disponha de 20 pares ((x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x19,f(x19)) ) de dados distintos 
no plano cartesiano. Suponha que você utilize o método de Newton para a determinação do polinômio interpolador. 
 
Qual dos polinômios abaixo pode representar este polinômio? 
 
 
X20 + 2X + 9 
 
X19 + 5X + 9 
 
X21 + 3X + 4 
 
X30 + 8X + 9 
 
X20 + 7X - 9 
 
 
6. 
 
 
Em um experimento, foram obtidos os seguintes pontos (0,1), (4,9), (2,5), (1,3) e (3,7) que devem fornecer uma 
função através dos métodos de interpolação de Cálculo Numérico. Das funções descritas a seguir, qual é a mais 
adequada? 
 
 
Função quadrática. 
 
Função exponencial. 
 
Função cúbica. 
 
Função linear. 
 
Função logarítmica. 
 
 
1. 
 
 
Dados ¨31¨ pontos distintos ( (x0,f(x0)), (x1,f(x1)),..., (x31,f(x31)). Suponha que se deseje 
encontrar o polinômio P(x) interpolador desses pontos por algum método conhecido - método 
de Newton ou método de Lagrange. Qual o maior grau possível para este polinômio 
interpolador? 
 
 
grau 20 
 
grau 31 
 
grau 32 
 
grau 30 
 
grau 15 
 
 
2. 
 
 
Muitas situações de engenharia necessitam do cálculo de integrais definas. Por vezes devemos utilizar métodos 
numéricos para esta resolução. Considere o método numérico de integração conhecido como regra dos trapézios. A 
aplicação deste método consiste em dividir o intervalo de integração (de a a b) em trapézios com mesma altura h = 
(b ¿ a)/n. Quando se aumenta n, ou seja, o número de trapézios, o valor da integral definida: 
 
 
Varia, aumentando a precisão 
 
Nunca se altera 
 
Nada pode ser afirmado. 
 
Varia, diminuindo a precisão 
 
Varia, podendo aumentar ou diminuir a precisão 
 
3. 
 
 
O cálculo de área sob curvas mereceu especial atenção nos métodos criados em Cálculo Numérico, originando dentre 
outros a Regra de Simpson, que, se considerada a função f(x) e a área sob a curva no intervalo [a,b], tem-se que 
esta última é dada por h/3 [f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)], onde "h" é o tamanho de cada 
subintervalo e x1, x2, x3....xn são os valores obtidos com a divisão do intervalo [a,b] em "n" partes. Considerando o 
exposto, obtenha a integral da função f(x)=3x no intervalo [0,4], considerando-o dividido em 4 partes. Assinale a 
opção CORRETA. 
 
 
220 
 
73,3 
 
293,2 
 
20,0 
 
146,6 
 
 
4. 
 
 
Em Cinemática Física, temos funções matemáticas que nos fornecem informações da posição, velocidade e 
aceleração em função do tempo e que se relacionam entre si através de operações matemáticas denominas de 
derivação e integração. Entre os diversos métodos numéricos para se obter a integral definida de uma função, 
podemos citar, com EXCEÇÃO de: 
 
 
Método do Trapézio. 
 
Regra de Simpson. 
 
Extrapolação de Richardson. 
 
Método da Bisseção. 
 
Método de Romberg. 
 
 
5. 
 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] 
em n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver a integral definida I = Integral de 0 a 5 de 
f(x),com n = 200, cada base h terá que valor? 
 
 
0,250 
 
0,500 
 
0,100 
 
0,025 
 
0,050 
 
6. 
 
 
Integrais definidas de uma função podem ser interpretadas como a área sob a curva limitada a um determinado 
intervalo, porém a execução do cálculo desta área nem sempre é simples através de métodos analíticos, 
necessitando-se de método numéricos, como a Regra do Retângulo. Considerando o exposto, determine a área 
sob a função f(x)=x2+1 no intervalo [0; 1,2], considerando este intervalo dividido em três partes e o resultado com 
três casas decimais. 
 
 
Integral = 2,000 
 
Integral = 1,000 
 
Integral = 1,700 
 
Integral = 1,760 
 
Integral = 3,400 
 
 
1. 
 
 
O Método de Romberg é uma excelente opção para a obtenção de integrais definidas, exigindo menos esforço 
computacional e oferecendo resultados mais precisos que outros métodos através de cálculos sequenciais. As duas 
primeiras etapas são obtidas através R1,1=(a-b)/2 [f(a)+f(b)] e R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)], e fornecem aproximações 
para a integral definida da função f(x) sobre o intervalo [a,b]. Considerando o exposto, obtenha R2,1 para a função 
f(x)=x2, no intervalo [0,1]. Assinale a opção CORRETA com três casas decimais. 
 
 
1,567 
 
0,725 
 
1,053 
 
0,382 
 
0,351 
 
 
2. 
 
 
Existem alguns métodos numéricos que permitem a determinação de integrais definidas. Sobre o método de 
Romberg são feitas as alternativas abaixo. Julgue como certo (C) ou errado (E). 
 
 
C - C - C - C 
 
C - E - C - C 
 
C - C - C - E 
 
E - C - C - E 
 
E - E - E - E 
 
 
 
3. 
 
 
Seja o método numérico de integração conhecido como regra dos retângulos, isto é, a divisão do intervalo [a,b] em 
n retângulos congruentes. Aplicando este método para resolver uma integral definida com limites inferior e superior 
iguais a zero e cinco e tomando-se n = 200, cada base h terá que valor?0,250 
 
0,050 
 
0,100 
 
0,025 
 
0,500 
 
 
 
4. 
 
 
O erro no cálculo de integrais utilizando o método do trapézío deve-se ao fato de que: 
 
 
O melhor é utilizar uma calculadora para o calculo 
 
Esta regra não leva a erro. 
 
Os trapézíos se ajustarem a curva da função 
 
Os trapézios nunca se ajustarem perfeitamente à curva da função 
 
Os trapézios não terem uma boa aplicação de calculo de integrais 
 
 
 
5. 
 
 
O Método de Romberg nos permite obter o resultado de integrais definidas por técnicas numéricas. Este método 
representa um refinamento de métodos anteriores, possuindo diversas especificidades apontadas nos a seguir, 
comEXCEÇÃO de: 
 
 
Utiliza a extrapolação de Richardson. 
 
Permite a obtenção de diversos pontos que originam uma função passível de integração definida. 
 
As expressões obtidas para a iteração se relacionam ao método do trapézio. 
 
Pode se utilizar de critérios de parada para se evitar cálculos excessivos. 
 
A precisão dos resultados é superior a obtida no método dos retângulos. 
 
 
6. 
 
 
Métodos numéricos para a resolução de problemas que envolvam integrais definidas nos fornecem boas 
aproximações, especialmente se for utilizado o Método de Romberg. Entre as opções oferecidas a seguir, 
determine aquela que apresenta expressão relacionada a este método. 
 
 
Ax=B, com A, x e B representando matrizes 
 
R2,1=1/2 [R1,1+h1.f(a+h2)] 
 
xn+1=xn- f(x) / f'(x) 
 
[f(x1)+ 4.f(x2)+ 2.f(x3)+ 4.f(x4)....+ 4.f(xn-1)+f(xn)] 
 
xk=Cx(k-1)+G 
 
 
1. 
 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 3x + 2y + 2 com a condição de 
valor inicialy (3) = 4. Dividindo o intervalo [3;4] em apenas uma parte, ou seja, fazendo h =1 e, 
aplicando o método de Euler, determine o valor aproximado de y (4) para a equação dada. 
 
 
22 
 
21 
 
24 
 
23 
 
25 
 
 
 
2. 
 
 
Encontrar a solução da equação diferencial ordinária y' = f ( x, y ) = 2x + y + 1 com a condição de valor 
inicial y ( 1) = 3. Dividindo o intervalo [ 1; 2 ] em 2 partes, ou seja, fazendo h =0,5 e, aplicando o 
método de Euler, determine o valor aproximado de y ( 1,5 ) para a equação dada. 
 
 
2 
 
6 
 
4 
 
5 
 
1 
 
 
 
4. 
 
 
O Método de Euler nos fornece pontos de curvas que servem como soluções de equações diferenciais. Sabendo-se 
que um dos pontos da curva gerada por este método é igual a (4; 53,26) e que a solução exata é dada por y=ex, 
determine o erro absoluto associado. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
2,50 
 
1,34 
 
1,00 
 
2,54 
 
3,00 
 
 
 
5. 
 
 
O Método de Euler é um dos métodos mais simples para a obtenção de pontos de uma curva que serve como 
solução de equações diferenciais. Neste contexto, geramos os pontos, utilizando a relação yk+1=yk+h.f(xk,yk), onde 
"h" representa o passo adotado. Considerando a equação diferencial y'=y com y(0)=2, gere o ponto da curva para 
k=1 e passo igual a 0,5. Assinale a opção CORRETA. 
 
 
3 
 
-2 
 
1 
 
0 
 
-3 
 
 
 
1. 
 
 
Considere a equação diferencial y´= y, sendo y uma função de x. Sua solução geral é y(x) = a.ex, onde a é um 
numero real e eum número irracional cujo valor aproximado é 2,718. Se a condição inicial é tal que y(0) = 2, 
determine o valor de a para esta condição. 
 
 
2 
 
0,5 
 
0,25 
 
1 
 
0 
 
 
 
3. 
 
 
Seja a função f(x) = x2 - 5x + 4. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [0, 3] o 
escolhido para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no 
intervalo: 
 
 
[1,3] 
 
[0,3] 
 
[0,3/2] 
 
[1,2] 
 
[3/2,3] 
 
 
 
4. 
 
 
Seja a função f(x) = x3 - 8x. Considere o Método da Bisseção para cálculo da raiz, e o intervalo [-8, 10] o escolhido 
para a busca. Assim, empregando o método, na iteração seguinte, a raiz deverá ser pesquisada no intervalo: 
 
 
[0,1] 
 
[-8,1] 
 
[-4,5] 
 
[-4,1] 
 
[1,10] 
 
 
 
5. 
 
 
Considere a equação x3 - x2 + 3 = 0. É correto afirmar que existe uma raiz real no intervalo: 
 
 
(1,0; 2,0) 
 
(-2,0; -1,5) 
 
(-1,0; 0,0) 
 
(0,0; 1,0) 
 
(-1,5; - 1,0) 
 
 
 
6. 
 
 
Considere a equação ex - 3x = 0, onde e é um número irracional com valor aproximado de 2,718. É correto 
afirmar que existe uma raiz real no intervalo: 
 
 
(0,5; 0,9)