Curso Basico de Raciocinio Logico-matematico - Aula 10 - Negacao Quantificadores - 2016103109241852

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Equivalências Lógicas 
Quando escrevemos uma sentença, escolhemos as palavras e a melhor maneira de transmitir aquilo que desejamos. 
Contudo, a forma que escolhemos não é única a maneira de fazer isso. Por exemplo, se desejamos dizer que Franco 
está vivo, podemos dizer: “Franco está vivo”, mas poderíamos ter escrito “Franco não está morto”, pois as duas 
sentenças teriam o mesmo sentido, o mesmo significado, ou em outras palavras, seriam equivalentes. Veja o 
conceito no quadro abaixo. 
Duas sentenças serão equivalentes quando forem escritas de forma diferente, mas tiverem ao final exatamente o 
mesmo significado. 
Em lógica proposicional são comuns as questões sobre sentenças equivalentes, que em regra, pedem que você 
identifique uma frase com mesmo significado a uma proposição dada. Embora, possa parecer fácil, quando 
colocamos conectivos essa tarefa pode dar trabalho e por esse motivo, precisamos aprender três regras de 
equivalência. 
Regra 1 
Nesta regra, a frase original terá o conectivo “Se...então” e ele será mantido. Mudaremos no entanto, a ordem das 
sentenças e ainda negaremos cada uma delas, veja o esquema: 
Exemplo 
Dada a sentença “Se estudo, então passo” escreve uma sentença logicamente equivalente. 
Resolução 
Componente 1: estudo 
Componente 2: passo 
1) Mudaremos a ordem:
Se passo, então estudo.
2) Negaremos tudo
Se não passo, então não estudo.
Resposta correta: “Se não passo, então não estudo”
É importante destacar que os dois passos são obrigatórios, ou seja, se apenas for feita a inversão, não será
equivalente, e se apenas forem negadas as sentenças, também não teremos uma equivalência.
Regra 2 
Nesta segunda regra, a frase original terá o conectivo “Se então” e trocaremos esse conectivo pelo conectivo “Ou”. 
Para poder fazer essa troca sem perder o sentido original, deveremos negar a primeira componente e repetir a 
segunda, veja no esquema a seguir: 
SE...ENTÃO 
SE...ENTÃO 
INVERTE 
NEGA 
TUDO 
1
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Exemplo 
Dada a sentença “Se estudo, então passo” escreve uma sentença logicamente equivalente. 
Resolução 
Componente 1: estudo 
Componente 2: passo 
1) negaremos a primeira
Não estudo
2) repetiremos a 2ª
Passo
Resposta correta:
“Não estudo OU passo”
Regra 3
Esta última regra é exatamente o oposto da anterior, pois trocaremos o “OU” pelo “Se...então” e os passos serão os
mesmos:
1) negaremos a primeira
2) repetiremos a 2ª
OU 
Se...então 
REPETE 
A 2ª 
NEGA 
A 1ª 
SE...ENTÃO 
OU 
REPETE 
A 2ª 
NEGA 
A 1ª 
2
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Exemplo 
Dada a sentença “a inflação cai OU o dólar aumenta” escreve uma sentença logicamente equivalente. 
Resolução 
Componente 1: a inflação cai 
Componente 2: o dólar aumenta 
1) negaremos a primeira
A inflação não cai.
2) repetiremos a 2ª
O dólar aumenta
Resposta correta:
“Se a inflação não cai, então o dólar aumenta”
Exercícios comentados 
1) Escreva as equivalências de P: “Se estudo e faço simulado, então sou aprovado”.
Ao observar com calma a sentença, observamos dois conectivos: “e” e “se...então”. Quando estivermos diante
dessa situação devemos ter em mente que o mais importante deles é o conectivo “se ...então” e tratamos o outro
conectivo como complemento.
Sempre que falamos em equivalências, quando é dado o conectivo Condicional, devemos ter clareza de que são duas
possibilidades: deixar a condicional ou ainda, trocar pelo conectivo “ou”.
Primeira possibilidade: deixar a condicional
Nesse caso, devemos inverter e negar as duas: 
“Se estudo e faço simulado, então sou aprovado” 
 NEGA E INVERTE NEGA E INVERTE 
Teremos a seguinte resposta: 
“Se não sou aprovado, então não estudo ou não faço simulado” 
Veja que o conectivo “e” que estava na primeira parte (entre o SE e o ENTÃO) foi negado, transformado em “ou”. 
Segunda possibilidade: trocar pelo conectivo OU 
Nessa regra devemos manter a ordem original, negando a primeira parte e mantendo a segunda exatamente como 
estava. 
“Se estudo e faço simulado, então sou aprovado” 
 NEGA OU MANTÉM 
teremos a seguinte resposta: 
“não estudo ou não faço simulado ou sou aprovado.” 
2) Escreva a equivalência de "João não chegou ou Maria está atrasada".
Nessa sentença temos também duas equivalências. Ambas serão escritas com o conectivo “se...então”, mas com a
ordem de diferença. Veja as soluções.
Primeira possibilidade: trocar pela condicional
Devemos nesse caso negar a primeira e repetir a segunda. Veja o esquema.
"João não chegou ou Maria está atrasada"
 NEGA MANTÉM 
3
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Teremos a resposta “Se João chegou, então Maria está atrasada”. 
Segunda possibilidade: inverter a ordem primeiro e depois trocar pela condicional 
Muitos estudantes e até mesmo professores esquecem dessa segunda possibilidade e esse descuido pode custar 
alguns pontos na hora da prova, com isso muita atenção ao saber que podemos usar a mesma regra para a frase 
invertida. 
1) invertemos a frase original: “Maria está atrasada ou João não chegou”
Nessa hora a dúvida que surge é: podemos inverter sempre que quisermos? E a resposta é que com exceção a
condicional, todos os demais conectivos podem ter suas componentes invertidas, sem nenhuma regra adicional.
2) troca o “ou” por “se...então”
“Maria está atrasada ou João não chegou”
 NEGA MANTÉM 
Teremos a seguinte resposta: “Se Maria não está atrasada, então João não chegou”. 
Exercícios gabaritados 
1) Assinale a alternativa que apresenta uma afirmação equivalente à afirmação: “Se Clube A é campeão do torneio,
então Clube B não é”.
a) Se Clube A é campeão do torneio, então Clube B também é.
b) Se Clube A não é campeão do torneio, então Clube B é.
c) Se Clube B é campeão do torneio, então Clube A não é.
d) Se Clube B é campeão do torneio, então Clube A também é.
e) Se Clube B não é campeão do torneio, então Clube A é.
2) Considere a afirmação: “Se passei no exame, então estudei muito e não fiquei nervoso”. Do ponto de vista lógico,
uma afirmação equivalente a essa é:
a) Se estudei muito, então não fiquei nervoso e passei no exame.
b) Se passei no exame, então não estudei muito e fiquei nervoso.
c) Passei no exame porque quem estuda muito só pode passar.
d) Se não fiquei nervoso, então passei no exame ou estudei muito.
e) Se não estudei muito ou fiquei nervoso, então não passei no exame.
3) A frase “Se Carlos trabalha, então ganha dinheiro” equivale logicamente à frase:
a) “Carlos trabalha e ganha dinheiro”
b) “Carlos trabalha ou ganha dinheiro”
c) “Carlos trabalha ou não ganha dinheiro”
d) “Carlos não trabalha ou ganha dinheiro”
4) A frase “A vítima fez boletim de ocorrência ou o acidente foi grave” é logicamente equivalente a:
a) A vítima não fez boletim de ocorrência ou o acidente não foi grave.
b) A vítima não fez boletim de ocorrência e o acidente não foi grave.
c) A vítima fez boletim de ocorrência se, e somente se, o acidente foi grave.
d) Se a vítima não fez boletim de ocorrência, então o acidente foi grave.
5) Considere a afirmação: “Se Antônio é analista de redes, então Sônia não é”.
Uma afirmação equivalente à apresentada está contida na alternativa:
4
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a) Se Antônio não é analista de redes, então Sônia é.
b) Se Sônia é analista de redes, então Antônio não é.
c) Se Sônia não é analista de redes, então Antônio é.
d) Se Sônia é analista de redes, então Antônio também é.
e) Se Antônio é analista de redes, então Sônia também é.
6) De acordo com raciocínio lógico matemático a frase “O Brasil não foi campeão ou o presidente foi ao comício” é
equivalente a frase:
a) O Brasil foi campeão ou o presidente não foi ao comício.
b) O Brasil não foi campeão e o presidente foi ao comício.
c) Se o Brasil foi campeão, então o presidente foi ao comício.
d) O Brasil foi campeão se, e somente se o presidente não foi ao comício.
7) Uma proposição logicamente equivalente a “João não recebeu seu salário ou Maria gastou todo o dinheiro” está
corretamente indicada na seguinte alternativa opção:
a) Se João recebeu seu salário, então Maria não gastou todo o dinheiro.
b) Se Maria gastou todo o dinheiro, então João recebeu seu salário.
c) Se Maria não gastou todo o dinheiro, então João recebeu seu salário.
d) Se João recebeu seu salário, então Maria gastou todo o dinheiro.
8) Se o sino da igreja toca e minha avó o escuta, então minha avó vai para a igreja. 
Uma afirmação equivalente a essa, do ponto de vista lógico, é:
a) Se minha avó não vai para a igreja, então o sino da igreja não toca ou minha avó não o escuta.
b) Se minha avó não o escuta, então o sino da igreja não toca e minha avó não vai para a igreja.
c) Minha avó não o escuta ou o sino da igreja toca ou minha avó vai para a igreja.
d) Se o sino da igreja toca e minha avó vai para a igreja, então minha avó o escuta.
e) Se o sino da igreja não toca ou minha avó não o escuta, então minha avó não vai para a igreja.
9) Marcos é juiz de direito ou André ganhou o processo equivale logicamente a dizer que:
a) Se Marcos não é juiz de direito, então André ganhou o processo.
b) Marcos é juiz de direito e André não ganhou o processo.
c) Marcos é juiz de direito se , e somente se, André ganhou o processo.
d) Se Marcos não é juiz de direito, então André não ganhou o processo.
e) Marcos não é juiz de direito ou André não ganhou o processo.
10) A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é logicamente equivalente a:
a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico.
b) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico.
c) Paulo é médico ou Ana trabalha.
d) Ana trabalha e Paulo não é médico.
e) Se Paulo é médico, então Ana trabalha.
11)Considerando que P seja a proposição “Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos 
entre os povos”, julgue os itens seguintes.
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Se houvesse menos conflitos entre os povos, os seres 
humanos saberiam se comportar”. 
5
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( ) certo ( ) errado 
12) Considerando que P seja a proposição “Se os seres humanos soubessem se comportar, haveria menos conflitos 
entre os povos”, julgue os itens seguintes.
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Os seres humanos não sabem se comportar ou haveria 
menos conflitos entre os povos”.
( ) certo ( ) errado
13) Considere a proposição P a seguir.
P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por corroer a legitimidade da democracia, 
a condenaremos por motivos econômicos.
Tendo como referência a proposição apresentada, julgue os itens seguintes.
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Se não condenarmos a corrupção por motivos econômicos, 
a condenaremos por ser imoral e por corroer a legitimidade da democracia”. 
 ( ) certo ( ) errado 
14) Considere a proposição P a seguir.
P: Se não condenarmos a corrupção por ser imoral ou não a condenarmos por corroer a legitimidade da democracia, 
a condenaremos por motivos econômicos.
Tendo como referência a proposição apresentada, julgue os itens seguintes.
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “Condenaremos a corrupção por ser imoral ou por corroer a 
legitimidade da democracia ou por motivos econômicos”.
( ) certo ( ) errado
15) Considere as proposições P1, P2, P3 e P4, apresentadas a seguir. 
P1: Se as ações de um empresário contribuírem para a manutenção de certos empregos da estrutura social, então tal 
empresário merece receber a gratidão da sociedade.
P2: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, então ocorre um escândalo no mundo empresarial. 
P3: Se ocorre um escândalo no mundo empresarial, as ações do empresário contribuíram para a manutenção de 
certos empregos da estrutura social.
P4: Se um empresário tem atuação antieconômica ou antiética, ele merece receber a gratidão da sociedade. 
Tendo como referência essas proposições, julgue os itens seguintes.
A proposição P1 é logicamente equivalente à proposição “Se um empresário não mereceu receber a gratidão da 
sociedade, então as ações de tal empresário não contribuíram para a manutenção de certos empregos da estrutura 
social”.
( ) certo ( ) errado
16) A proposição “O candidato não apresenta deficiências em língua portuguesa ou essas deficiências são toleradas” 
é logicamente equivalente a “Se o candidato apresenta deficiências em língua portuguesa, então essas deficiências 
são toleradas”. 
( ) certo ( ) errado
17) Considerando que P seja a proposição “Se o bem é público, então não é de ninguém”, julgue os itens 
subsequentes. 
A proposição P é equivalente à proposição “Se o bem é de alguém, então não é público”.
( ) certo ( ) errado
6
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18) Considerando que P seja a proposição “Se o bem é público, então não é de ninguém”, julgue os itens
subsequentes.
A proposição P é equivalente à proposição “Se o bem é de todos, então é público”.
( ) certo ( ) errado
19) Considerando que P seja a proposição “O atual dirigente da empresa X não apenas não foi capaz de resolver os
antigos problemas da empresa como também não conseguiu ser inovador nas soluções para os novos problemas”,
julgue o item a seguir a respeito de lógica sentencial.
A proposição P é logicamente equivalente à proposição “O atual dirigente da empresa X não foi capaz de resolver os
antigos problemas da empresa ou não conseguiu ser inovador nas soluções para os novos problemas”.
( ) certo ( ) errado
20) Pedro, um jovem empregado de uma empresa, ao receber a proposta de novo emprego, fez diversas reflexões
que estão traduzidas nas proposições abaixo.
• P1: Se eu aceitar o novo emprego, ganharei menos, mas ficarei menos tempo no trânsito.
• P2: Se eu ganhar menos, consumirei menos.
• P3: Se eu consumir menos, não serei feliz.
• P4: Se eu ficar menos tempo no trânsito, ficarei menos estressado.
• P5: Se eu ficar menos estressado, serei feliz.
A partir dessas proposições, julgue o item a seguir.
A proposição P1 é logicamente equivalente à proposição “Eu não aceito o novo emprego, ou ganharei menos e
ficarei menos tempo no trânsito”.
( ) certo ( ) errado
21) Considerando a proposição P: “Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei”, julgue os itens seguintes,
acerca da lógica sentencial.
A proposição P é equivalente a “Se há jogada fora da lei, então nesse jogo há juiz”.
( ) certo ( ) errado
22) Considerando a proposição P: “Se nesse jogo não há juiz, não há jogada fora da lei”, julgue os itens seguintes,
acerca da lógica sentencial.
A proposição P é equivalente a “Nesse jogo há juiz ou não há jogada fora da lei”.
( ) certo ( ) errado23) Ao comentar a respeito da instabilidade cambial de determinado país, um jornalista fez a seguinte colocação:
“Ou cai o ministro da Fazenda, ou cai o dólar”. Acerca desse comentário, que constitui uma disjunção exclusiva,
julgue os itens seguintes.
A proposição do jornalista é equivalente a “Se não cai o ministro da Fazenda, então cai o dólar”.
( ) certo ( ) errado
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24)
A afirmação de Deise é equivalente a “Bernardo ou Carla é inocente”. 
( ) certo ( ) errado 
25) A afirmação: "João não chegou ou Maria está atrasada" equivale logicamente a:
a) Se João não chegou, Maria está atrasada.
b) João chegou e Maria não está atrasada.
c) Se João chegou, Maria não está atrasada.
d) Se João chegou, Maria está atrasada.
e) João chegou ou Maria não está atrasada.
26) Considere a seguinte proposição: "Se chove ou neva, então o chão fica molhado". Sendo assim, pode-se afirmar
que:
a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou.
b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou.
c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou.
d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou.
e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou.
27) Um renomado economista afirma que "A inflação não baixa ou a taxa de juros aumenta". Do ponto de vista
lógico, a afirmação do renomado economista equivale a dizer que:
a) se a inflação baixa, então a taxa de juros não aumenta.
b) se a taxa de juros aumenta, então a inflação baixa.
c) se a inflação não baixa, então a taxa de juros aumenta.
d) se a inflação baixa, então a taxa de juros aumenta.
e) se a inflação não baixa, então a taxa de juros não aumenta.
28) Qual das proposições abaixo tem a mesma tabela verdade que a proposição: " Se | | < 3, então b ≤ 4 ", onde a e
b são números reais?
a) b ≤ 4 e | | < 3.
b) b > 4 ou | | < 3.
c) b > 4 e | | < 3.
d) b ≤ 4 ou | | < 3.
e) b ≤ 4 ou | | ≥ 3.
29) Dizer que "Pedro não é pedreiro ou Paulo é paulista" é, do ponto de vista lógico, o mesmo que dizer que:
a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulista
b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiro
c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulista
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d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulista
e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista
30) X e Y são números tais que: Se X ≤ 4, então Y>7. Sendo assim:
a) Se Y ≤ 7, então X > 4.
b) Se Y > 7, então X ≥ 4.
c) Se X ≥ 4, então Y < 7.
d) Se Y < 7, então X ≥ 4.
e) Se X < 4, então Y ≥ 7.
31) A afirmação "A menina tem olhos azuis ou o menino é loiro" tem como sentença logicamente equivalente:
a) se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.
b) se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
c) se a menina não tem olhos azuis, então o menino é loiro.
d) não é verdade que se a menina tem olhos azuis, então o menino é loiro.
e) não é verdade que se o menino é loiro, então a menina tem olhos azuis.
32) A proposição “Paulo é médico ou Ana não trabalha” é logicamente equivalente a:
a) Se Ana trabalha, então Paulo é médico.
b) Se Ana trabalha, então Paulo não é médico.
c) Paulo é médico ou Ana trabalha.
d) Ana trabalha e Paulo não é médico.
e) Se Paulo é médico, então Ana trabalha.
Questões de equivalências com Expressões 
1) A proposição ¬[( P∧Q) ∨(¬ R )] é equivalente à proposição.(¬P)∨(¬Q)∧R
2) A proposição [(¬P) ∨Q+ → (R∧S) é logicamente equivalente a *P→Q+ → *R∧S].
3) Considerando os símbolos lógicos ¬ (negação), ∧ (conjunção), ∨ (disjunção), → (condicional) e as proposições
S:(p∧¬q)∨(¬p∧r)→q∨r
e
T:((p∧¬q)∨(¬p∧r))∧(¬q∧¬r)
As proposições compostas ¬ S e T são equivalentes, ou seja, têm a mesma tabela-verdade, independentemente dos
valores lógicos das proposições simples p, q, e r que as constituem.
4) Dadas duas proposições lógicas, p e q, tem-se que a expressão (~p v q) ^ (~q v p) é logicamente equivalente à
expressão
a)
b)
c)
d)
e)
5) As proposições são equivalentes. 
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6) A proposição (P∨Q)∧(¬R) é equivalente à proposição (P∧Q)∨(¬R).
7) A Proposição ≦*(P → Q) ∨ Q] é equivalente à proposição P ∧ (¬Q), em que ¬P é a negação de P.
8) Considerando a proposição ,julgue os itens a seguir. 
Essa proposição é logicamente equivalente à proposição 
9) A proposição é logicamente equivalente à proposição 
10) As proposições são logicamente equivalentes. 
11) As proposições ~[(P→Q)∧(Q→P)] e (~P∧Q)∨(~Q∧P) possuem tabelas-verdade distintas.
10
Gabarito: 
1-C
2-E
3-D
4-D
5-B
6-C
7-D
8-A
9-A
10-A
11-Certo
12-Certo
13-C
14-C
15-Certo
16-Certo
17-Certo
18-Errado
19-Errado
20-Certo
21-Certo
22-Certo
23-Certo
24-Errado
25-D
26-E
27-D
28-E
29-A
30-A
31-C
32-A