Distribuição de Poisson

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2.5 – Distribuição de Poisson
	É uma distribuição discreta de probabilidade aplicável a ocorrências de um evento em um intervalo de tempo especificado. Esta distribuição representa a probabilidade de que o evento ocorra em um número especificado de vezes, em um intervalo de tempo, quando a taxa de ocorrência é fixa.
	A Distribuição de Poisson exige que: 
 A variável X seja o nº de ocorrências em um intervalo;
 as ocorrências sejam aleatórias;
 as ocorrências sejam independentes umas das outras;
 as ocorrências tenham a mesma probabilidade sobre o intervalo considerado.
 Sua expressão é da forma p(X) = (x.e-( (X = 0, 1, 2, 3,....).
 X!
Onde: X é o nº de ocorrências do intervalo.
 ( é a taxa de ocorrências do evento X (nº esperado de eventos ou a média).
 e ( 2,71828 (constante natural).
Observações importantes: 
	A Distribuição de Poisson difere da Distribuição Binomial em dois aspectos:
A Binomial é afetada pelo tamanho da amostra “n” e pela probabilidade “p”, enquanto a Poisson é afetada apenas pela taxa de ocorrência (média) (. 
 b) Em uma Binomial, os valores possíveis da variável aleatória X são 0,1, 2, 3,..., n (limite máximo), enquanto que na Poisson os valores possíveis de X são 0, 1, 2, 3,.... (sem limite superior).
Podemos utilizar a Distribuição de Poisson como uma aproximação da Distribuição Binomial quando “n” é grande e “p”, muito pequeno:
 n( 100 e n.p ( 10 (regra empírica).
Ao utilizarmos a Distribuição de Poisson como aproximação da Distribuição Binomial, podemos achar o valor de ( pela fórmula: ( = n.p. 
 
 Algumas propriedades da Distribuição de Poisson:
 Média aritmética ( = (
 Variância (2 = (
 Desvio Padrão ( = ((
 Coeficiente de momento de assimetria (3 = 1/((
 Coeficiente de momento de curtose (4 = 3 + 1/((
Exercícios:
1)Uma central telefônica tipo PABX recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Qual a probabilidade deste PABX não receber nenhuma chamada durante o intervalo de 1 minuto?
X = 0 (v.a. nº de chamadas no intervalo de tempo).
( = 5 (taxa de ocorrência de chamadas ou nº esperado de chamadas = média)
p(X=0) = p(0) ?
p(X) = (x.e-( p(X=0)= p(0) = 50.e-5 =1.1.e-5 = 1.(0,0067) = 0,006738 ou 0,67%.
 X! 0! 1
e5 = (2,71828)5= 148,4127
e-5 =1/148,4127 = 0,006738
	
2) Dez por cento das ferramentas produzidas por certo processo de fabricação revelaram-se defeituosas. Determinar a probabilidade de em uma amostra de 10 ferramentas escolhidas, ao acaso, exatamente 2 delas serem defeituosas. 
X = 2 p= 10% = 0,1 n = 10 ( = n.p = 10.(0,1) = 1 p(2) =?
p(X) = (x.e-( p(X=2)= p(2) = 12.e-1 =1.1.e-1 = 1.(0,36788) = 0,1839 ou 18,39%
 X! 2! 2x1 2
e1 = 2,71828
e-1=1/2,71828 =0,36788
3) Se a probabilidade de um indivíduo sofrer uma reação nociva, resultante da injeção de um determinado soro é 0,001, determinar a probabilidade de, entre 2.000 indivíduos: 
 a) exatamente 3 sofreram a reação; b) mais do que dois sofreram a reação.
 
 p= 0,001 n = 2.000 ( = n.p = 2.000.(0,001) = 2
exatamente 3 sofreram a reação X = 3 p(3)?
p(X) = (x.e-( p(X=3)= p(3) = 23.e-2 = 8.1.e-2 = 8.(0,13534) = 0,1805 ou 18,05%
 X! 3! 3x2x1 6
e2 = (2,71828)2 =7,38905
e-2 = 1/7,38905 =0,13534 
mais do que dois sofreram a reação X> 2 (só não podem 0 ou 1 ou 2) 
 logo p(>2) = 1 – p(0) – p(1) – p(2)?
p(X = 0) = p(0) = 20.e-2 = 1.e-2 = e-2 
 0! 1 
p(X =1) = p(1) = 21.e-2 = 2.e-2 = 2.e-2 
 1! 1 
p(X=2) = p(2) = 22.e-2 = 4.e-2 = 2.e-2 
 2! 2 
p(X>2) = 1 – [e-2 + 2e-2 + 2e-2] = 1 – 5e-2 = 1 – 5.(0,13534) = 1- 0,6767 = 0,3233 ou 32,33%
4)Uma distribuição é dada por : p(k) = (0,72)k.e-0,72, determinar: 
 K!
p(0); b) p(1); c) p(2); d) p(3). 
 e0,72 = (2,71828)0,72 = 2,05443
 e-0,72 = 1/2,05443 =0,4868
k = 0 p(0) = (0,72)0.e-0,72 = 1.e-0,72 = e-0,72 = 0,4868 ou 48,68%
 0! 1
k = 1 p(1) = (0,72)1.e-0,72 = (0,72).e-0,72= (0,72).(0,4868) = 0,3505 ou 35,05%
 1! 1 
k = 2 p(2) = (0,72)2.e-0,72 = (0,5184).e-0,72 = (0,5184).(0,4868)= 0,1262 ou 12,62%
 2! 2x1 2
k = 3 p(3) = (0,72)3.e-0,72 = (0,373248).e-0,72 = (0,37248).(0,4868) =0,0303 ou 3,03%
 3! 3x2x1 6
5) Se 0,5% das lâmpadas elétricas fabricadas por uma companhia são defeituosas, determine a probabilidade de, em uma amostra de 1.000 lâmpadas, serem defeituosas:
0 lâmpadas ; b) 1 lâmpada; c) 2 lâmpadas; d) 3 lâmpadas. 
 p = 0,5% =0,5/100 = 0,005 n =1.000 lâmpadas ( = n.p = 1.000.(0,005) = 5 (média)
e5 = (2,71828)5= 148,4127 p(X) = (x.e-(
e-5 =1/148,4127 = 0,006738 X!
X = 0 p(0) = 50.e-5 = 1.e-5 = e-5 = 0,006738 ou 0,67%
 0! 1
X = 1 p(1) = 51.e-5 = 5.e-5 =5.(0,006738) = 0,3369 ou 3,37%
 1! 1
X = 2 p(2) = 52.e-5 = 25.e-5 = 25.(0,006738) = 0,084225 ou 8,42%
 2! 2x1 2
X = 3 p(3) = 53.e-5 = 125.e-5 = 125.(0,006738) = 0,140375 ou 15,04%
 3! 3x2x1 6