Álgebra Linear lista_01

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UEL - CCE - MAT
A´lgebra Linear
Docente: Neuza Teramon
1a Lista de Exerc´ıcios
1. Determine a matriz [aij] de ordem 4 cujas entradas satisfazem a condic¸a˜o dada:
a) aij = i+ j b) aij = i
j−1
c)
 1 se |i− j| > 1−1 se |i− j| ≤ 1
2. Uma matriz A, invers´ıvel, diz-se ortogonal quando A−1 = AT .
Verifique que a matriz A =
 cos θ − sin θ
sin θ cos θ
 e´ ortogonal.
3. Se
∣∣∣∣∣∣ x 34 2
∣∣∣∣∣∣ = 8 , calcule D =
∣∣∣∣∣∣ x+ 1 −15 6
∣∣∣∣∣∣ .
4. Se A =

1 0 1
2 3 4
−1 0 −2
 , verifique que A−1 = −13 · (A2 − 2 · A− 4 · I).
5. Seja a matriz A =
 1 2
0 4
 . Determine x, x ∈ IR, para que det(A− x · I) = 0.
6. Resolva a equac¸a˜o
∣∣∣∣∣∣∣∣∣
x 1 −1
2 x −2
0 1 1
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 8 .
7. (a) Encontre uma matriz na˜o-nula A de ordem 3×3 tal que AT = A. Neste caso, dizemos
que A e´ uma matriz sime´trica.
(b) Encontre uma matriz na˜o-nula A de ordem 3 × 3 tal que AT = −A. Neste caso,
dizemos que A e´ uma matriz anti-sime´trica.
8. Resolva os sistemas de equac¸o˜es lineares determinando as matrizes ampliadas reduzidas
por linhas. Determine o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e,
se o sistema for poss´ıvel, calcule o nu´mero de varia´veis livres e determine-as.
a)
 x+ y + z = 42x+ 5y − 2z = 3 b)
 x− 2y + 3z = 02x+ 5y + 6z = 0
c)

x+ y + z = 4
2x+ 5y − 2z = 3
x+ 7y − 7z = 5
d)

x+ 2y + 3z = 0
2x+ y + 3z = 0
3x+ 2y + z = 0
e)

x+ y + z + w = 0
x+ y + z − w = 4
x+ y − z + w = −4
x− y + z + w = 2
f)

3x+ 2y − 4z = 1
x− y + z = 3
x− y − 3z = −3
3x+ 3y − 5z = 0
−x+ y + z = 1
9. Resolva os sistemas de equac¸o˜es lineares pelo me´todo de eliminac¸a˜o de Gauss. Determine
o posto da matriz ampliada, o posto da matriz dos coeficientes e, se o sistema for poss´ıvel,
calcule o nu´mero de varia´veis livres e determine-as.
a)

x+ 2y − z + 3t = 3
2x+ 4y + 4z + 3t = 9
3x+ 6y − z + 8t = 10
b)

x+ 5y + 4z − 13t = 3
3x− y + 2z + 5t = 2
2x+ 2y + 3z − 4t = 1
10. Considere o sistema de equac¸o˜es

x+ y + 2z = a
x+ z = b
2x+ y + 3z = c
Mostre que para este sistema ser poss´ıvel, as constantes a, b e c devem satisfazer c = a+b.
11. Chamamos de sistema homogeˆneo de n equac¸o˜es e m inco´gnitas aquele sistema cujos
termos independentes bi sa˜o todos nulos.
a) Um sistema homogeˆneo admite pelo menos uma soluc¸a˜o. Qual e´ ela?
b) Encontre os valores de k ∈ IR, tais que o sistema homogeˆneo
2x− 5y + 2z = 0
x+ y + z = 0
2x+ kz = 0
tenha uma soluc¸a˜o distinta da trivial (x = y = z = 0).
12. Reduza a matriz
A =

2 1 3
0 −2 −29
3 4 5

a` forma escalonada reduzida por linhas sem introduzir quaisquer frac¸o˜es .
13. Para que valor(es) de λ o sistema de equac¸o˜es (λ− 3)x+ y = 0x+ (λ− 3)y = 0
tem soluc¸o˜es na˜o triviais?
14. Resolva o seguinte sistema para x, y e z.

1
x
+
2
y
− 4
z
= 1
2
x
+
3
y
+
8
z
= 0
−1
x
+
9
y
+
10
z
= 5
15. Dada a matriz A =

2 0 −1
3 0 2
4 −3 7

a) calcule seu determinante.
b) calcule o determinante de A em relac¸a˜o a` segunda coluna, usando o desenvolvimento
de Laplace.
16. Dada a matriz A =

2 3 1 −2
5 3 1 4
0 1 2 2
3 −1 −2 4
 calcule
a)A23 b)|A23|
c)∆23 d) detA
17. Dada a matriz A =

2 1 −3
0 2 1
5 1 3
 calcule
a)adjA b) detA
c)A−1
18. Determine a inversa de A atrave´s da relac¸a˜o A−1 =
1
detA
adjA, onde
A =

4 −1 2 −2
3 −1 0 0
2 3 1 0
0 7 1 1

Fac¸o mesmo, ou seja, calcule a inversa de A utilizando operac¸o˜es elementares sobre as
linhas de uma matriz.
19. Determine a inversa das matrizes A =
 cos θ sin θ
− sin θ cos θ
, B =
 cos θ sin θ
− sin θ cos θ

20. Calcule todos os valores de a e b para os quais A e B sa˜o ambas na˜o invers´ıveis:
A =
 a+ b− 1 0
0 3
, B =
 5 0
0 2a− 3b− 7
.
21. Calcule o determinante de A usando o desenvolvimento de Laplace ao longo de uma linha
ou coluna de sua prefereˆncia:
a) A =

1 k k2
1 k k2
1 k k2
 b) B =

3 3 0 5
2 2 0 −2
4 1 −3 0
2 10 3 2
.
22. Verifique que det(AB) = det(A) det(B) para
a) A =

2 1 0
3 4 0
0 0 2
 b) B =

1 −1 3
7 1 2
5 0 1
.
23. Mostre que a matriz
A =

cos θ sin θ 0
− sin θ cos θ 0
0 0 1

e´ invers´ıvel para todos os valores de θ, em seguida determine A−1 utilizando
A−1 =
1
detA
adj A.
24. Mostre que a seguinte matriz e´ na˜o invers´ıvel para quaisquer valores de α, β e γ:
A =

sin2 α sin2 β sin2 γ
cos2 α cos2 β cos2 γ
1 1 1
