A Reta

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A RETA 
 
Ênio Bruce 
Recife/PE, Maio de 2015 
RESUMO 
Introdução 
Equação Vetorial da Reta 
Equação Paramétrica da Reta 
Equação Simétrica da Reta 
Ângulos de Duas Retas 
Equações Reduzidas 
Interseção de Duas Retas 
Resumo 
Exercícios 
Nesta aula, vamos aprofundar nossos estudos sobre as retas. 
 
Vamos definir algumas formas de representá-las no plano e também no espaço. 
 
Em um dos postulados de sua obra "Os Elementos", Euclides nos mostra que 
dados dois pontos distintos, existe uma única reta que os contêm. 
 
Munidos deste pensamento, podemos não apenas confirmar mas também definir 
equações vetoriais de retas no plano e no espaço, além da equação paramétrica 
e reduzida da reta. 
 
Estudaremos as propriedades do paralelismo entre retas, entre retas e eixos 
coordenados e entre retas e planos coordenados, além de ângulos constituídos 
entre retas. 
INTRODUÇÃO 
Consideremos um ponto A = (x1, y1, z1) e um vetor não nulo v = (a, b, c). Seja r a 
reta que passa pelo ponto A e tem a direção de v. 
 
Um ponto P = (x, y, z) pertence à reta r se, e somente se, o vetor AP é paralelo a 
v, isto é: 
 
 
para algum t € R. 
 
 
 
 
 
 
 
Qualquer uma das equações acima é denominada equação vetorial de r, o vetor 
v é chamado vetor diretor da reta r e t é denominado o parâmetro. 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
EXEMPLO 
 
A reta r que passa por A = (1, -1, 4) e tem a direção de v = (2, 3, 2) tem equação 
vetorial: 
 
 
 
em que (x, y, z) representa um ponto de r arbitrário. 
 
Para obtermos a reta, basta-nos fazer o parâmetro t variar sobre os números 
reais. 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
( 3, 2, 6 ) 
OBSERVAÇÃO 
 
A equação que representa a reta r no exemplo anterior NÃO É ÚNICA. 
 
Existem, na verdade, infinitas equações, pois basta tomar outro ponto de r em 
vez do ponto A, ou outro vetor qualquer não nulo que seja múltiplo de v, por 
exemplo: 
 
 
 
é outra equação vetorial de r em que se utilizou o vetor 2v = (4, 6, 4) como vetor 
diretor em vez de v = (2, 3, 2). 
 
EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA 
EXERCÍCIO 
i) Determinar a equação vetorial da reta r, definida pelos pontos A(2,-3,4) e B(1,-1,2). 
 
ii) Verificar se os pontos C(5/2, -4, 5) e D(-1,3,4) pertencem a reta r. 
Resolução: 
 
i)  ABAB
(-1, 2, -2) 
(x, y, z) = (2, -3,4) + t (-1, 2, -2) Eq. Vetorial da reta 
ii) De acodo com a eq. vetorial, temos: 
 
 X = 2 – t 
Y = -3 + 2t 
Z= 4 – 2t 
Testando o ponto C (5/2, -4, 5) 
5/2 = 2 – t  t = -1/2 
-4 = -3 + 2t  t = -1/2 
5 = 4 – 2t  t = -1/2 
Logo, o ponto C pertence a reta r  Já o ponto D não pertence. 
Das equações vetoriais da reta: 
 
 
 
 
Pela condição de igualdade, obtém-se: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As equações acima são chamadas equações paramétricas da reta. 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 
EXEMPLO 
 
A reta r que passa pelo ponto A = (3, -4, 2) e é paralela ao vetor v = (2, 1, -3), 
tem equações paramétricas: 
EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 
A reta definida pelos pontos A e B é a reta que passa por A (ou por B) e tem a 
direção do vetor v = AB. 
 
EXEMPLO 
 
Escrever equações paramétricas da reta r que passa por A = (3,-1,-2) e B =(1,2,4). 
 
Tomando o ponto A e o vetor v = AB = B - A = (-2, 3, 6), obtemos: 
RETA DEFINIDA POR DOIS PONTOS 
EQUAÇÃO SIMÉTRICA DA RETA 
EXEMPLO 
 
A reta que passa pelo ponto A = (3, 0, -5) e tem direção do vetor v = (2, 2, -1) 
tem equações simétricas: 
 
 
 
Para obtermos os outros pontos da reta, basta atribuirmos um valor a uma das 
variáveis. 
 
Por exemplo, para x = 5, temos: 
 
 
 
 
 
 
E assim, y = 2 e z = -6. Portanto, o ponto (5, 2, -6) pertence à reta r. 
EQUAÇÃO SIMÉTRICA DA RETA 
EQUAÇÕES REDUZIDAS DA RETA 
Seja a reta r definida pelo ponto A(2, -4, -3) e pelo vetor diretor v = (1,2, -3) e 
expressa pelas equações simétricas 
3
3
2
4
1
2
:





 zyx
r
A partir destas equações pode-se expressar duas variáveis em função da terceira. 
Isolando, primeiramente, as variáveis y e z e expressando-as em função de x, obtém-se: 
Eq. Reduzidas da reta r 
Sejam as retas r1 e r2 com as direções de v1 e v2, respectivamente. 
 
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 
e de um vetor diretor de r2. 
 
Sendo este ângulo, então: 
ÂNGULOS DE DUAS RETAS 
EXEMPLO 
 
Calcular o ângulo entre as retas 
 
 
 
 
 
 
Perceba que os vetores diretores de r1 e r2 são, respectivamente, v1 = (1, 1, -2) e 
v2 = (-2, 1, 1). 
 
ÂNGULOS DE DUAS RETAS 
 
Sejam as retas r1 e r2 com as direções de v1 e v2, respectivamente. Então: 
ÂNGULOS DE DUAS RETAS 
Portanto, as retas r1 e r2 dadas a seguir são ortogonais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pois sendo v1 = (1, -2, 4) e v2 = (-2, 1, 1) vetores diretores de r1 e r2 e 
 
 
 
 
as retas r1 e r2 são ortogonais. 
ÂNGULOS DE DUAS RETAS 
EXEMPLO 
 
Vamos verificar se as retas r1 e r2 são concorrentes (não paralelas) e, em caso 
afirmativo, determinar o ponto de interseção: 
INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS 
a) 
b) 
SOLUÇÃO 
 
Se existir um ponto (x, y, z) comum às duas retas, suas coordenadas obedecem a 
todas as equações de r1 e r2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, a solução é h = t = -1 e, assim, (2, -1, 3) o ponto de interseção entre as 
retas r1 e r2 . 
INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS 
A partir disso, constatamos que t = -7 e t = -2. Portanto, como o 
sistema não tem solução, não existe um ponto de interseção. 
INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS 
Nesta aula, definimos a equação vetorial da reta e, para isso, usamos apenas um 
vetor e um ponto do plano (ou do espaço) para definí-la. 
 
Conhecemos outra forma de representá-la, isto é, através de sua equação 
paramétrica, descrita por algumas equações que dependem de apenas um 
parâmetro. 
 
Com base na definição da equação vetorial da reta, definimos também uma reta 
por dois pontos e um segmento parametrizado. 
 
Conhecemos propriedades importantes das retas, como o paralelismo de retas 
relativo aos planos e eixos coordenados, e ângulos entre duas retas. 
RESUMO 
1. Dada a reta r : (x, y, z) = (-1, 2, 3) + t (2, -3, 0), escreva equações 
paramétricas de r. 
 
2. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelos pontos A e B nos 
seguintes casos: 
 
(a) A = (1, -1, 2) e B = (2, 1, 0) 
(b) A = (0, 0, 0) e B = (0, 1, 0) 
 
3. Determine o ângulo entre as retas: 
EXERCÍCIOS 
EXERCÍCIOS 
EXERCÍCIOS