aula 1 de mat computacional

29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 1/13 Disciplina: Matemática Computacional Aula 1: Teoria dos Conjuntos 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 2/13 Apresentação Seja bem-vindo(a) ao curso de Matemática Computacional! T empo de novidades, desa\ue0a6os, expectativas e tr ansformações em sua vida. Cer tamente, isto não é simples e você já está percebendo o tamanho do desa\ue0a6o\u2026 Ser á que é motivo de pânico? Claro que não, mas é hor a de muito estudo e dedicação par a obtenção, compreensão e aplicação de uma série de nossos fundamentos e conceit os. Nesta primeir a aula, você compreender á a impor tância da T eoria dos Conjuntos par a investigação e modelagem das leis que regem a natureza. Ser ão apresentados diversos conceitos associados a esta teoria, como notação, pr opriedades, tipos especiais, oper ações elementares, conjuntos e intervalos numéricos, princípios da inclusão e da ex clusão e valor absoluto de um número. Cada um destes temas ser á intercalado com exemplos e exer cícios, par a que você possa compreender ainda melhor a impor tância deles na área tecnológica. Objetivos Reconhecer a impor tância da T eoria dos Conjunt os; Reconhecer os tipos e oper ações mais relev antes em conjuntos numéricos; Identi\ue0a6car os conceitos fundamentais e as pr opriedades associadas a intervalos numéricos e ao valor absoluto de um número. 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 3/13 Introdução à Teoria dos Conjuntos - notação e propriedades V amos começar com uma de\ue0a6nição que pode soar muito v aga. A\ue0a6nal: O que é um conjunto? Pode ser de\ue0a6nido como uma coleção não ordenada de entidades relacionadas porque obedecem a uma determinada regr a . O que é uma entidade? Entidade pode ser , liter almente, qualquer coisa: números, pessoas, formas, cidades, pedaços de texto, dentr e outr as \u2014 a lista é bem ampla mesmo. O mais impor tante na de\ue0a6nição apresentada é que a \u201cr egr a\u201d de ve estar bem de\ue0a6nida. Em outr as palavr as, a regra de ve descr ever claramente o que as entidades obedecem. Exemplo 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 4/13 V amos ver alguns exemplos de r egras? Se as entidades sobre as quais estamos falando são espor tes, por exemplo, uma r egra bem de\ue0a6nida é: X é ar te marcial . No entanto, existem também r egras que não são bem de\ue0a6nidas e que, por tanto, não podem ser usada par a de\ue0a6nir um conjunto, como X é difícil de apr ender , onde X é qualquer idioma. Uma entidade que per tence a um determinado conjunto é chamada de element o desse conjunto. Por exemplo, judô é um elemento do conjunt o das ar tes marciais . Como representar os elementos de um conjunto? Conjuntos Ger almente são representados usando letr as maiúsculas : A, B, C etc. Elementos Ger almente são representados por meio de letr as minúsculas : a, b, c etc. Saiba mais Par a listar os elementos de um conjunt o, os colocamos entre cha ves , separ ados por vírgulas: S = {-2, -1, 0, 1, 2} Os elementos de um conjunt o também podem ser descritos explicitamente por meio de uma regr a, como: S = {inteiros entr e -3 e 3} A notação do construtor do conjunt o pode ser usada para descr ever conjuntos que são muito tediosos par a listar explicitamente. Par a denotar qualquer conjunto particular , usamos alguma letr a como variáv el . V eja o caso a seguir: S = {x | x é inteiro e |x| 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 5/13 Diagrama de Venn Outr a maneira de se apr esentar os elementos de um conjunto é por meio do Diagrama de V enn . Segundo Brochi (2016), tr ata-se de uma forma grá\ue0a6ca de repr esentação de conjuntos, facilitando a r esolução de problemas e representações de oper ações entre conjuntos. Desta forma, o conjunto S apr esentado anteriormente pode ser representado da seguinte forma: \ue412 Figura 1 \u2013 R epresentação de conjuntos com o Diagrama de V enn. Conjuntos especiais Par a entender melhor os exemplos que ser ão apresentados, é necessário que você saiba alguns conceitos pr eliminares. Em primeiro lugar , destacamos o conceito de subconjunt o de um conjunt o . Segundo Brochi (2016), tr ata-se do conjunto formado somente por elementos que per tencem ao conjunt o original. Por exemplo, consider e o conjunto D compost o dos dias da semana, de modo que: D = {domingo, segunda, terça, quarta, quinta, sexta, sábado} Assim, um subconjunto Q, compost o pelos dias da semana que começam com a letr a \u201c q\u201d, seria composto da seguinte forma: Q = {quar ta, quinta} T ambém podemos perceber com os exemplos apresentados que existem r elações entre conjunt os, bem como entre element os e conjuntos. 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 6/13 Por ex emplo, os element os de Q também fazem par te de D , mas o contr ário nem sempre é v erdade. Por sua v ez, percebe-se que o element o \u201c sexta\u201d não faz par te do conjunto Q, mas faz par te do conjunto D . Como descrever tais relações? \ue913 Clique nos botões para ver as informações. A relação entre um element o e um conjunto é a dita relação de per tinência . Deste modo, diz-se que um determinado elemento pertence (Î) ou não per tence (Ï) a determinado conjunto. Aprov eitando o elemento do caso anterior , vemos que \u201c sexta \u201d Î D , mas \u201c sexta \u201d Ï Q. Relação entre um elemento e um conjunto \uf078 A relação entre dois conjunt os é a dita relação de inclusão . Deste modo, diz-se que um determinado conjunto está contido (Ì) ou não está contido (Ë) a outr o conjunto. Relação entre dois conjuntos \uf078 Além das relações de pertinência e inclusão, há outras de\ue0a6nições impor tantes r elacionadas à T eoria dos Conjuntos. A T abela 1 apresentada a seguir descreve algumas destas de\ue0a6nições: Conceito Definição Ex emplo Conjunto universo Conjunto de todos os elementos no contexto atual. Denotado por U U = {\u2026, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Conjunto vazio ou nulo Conjunto que não contém elementos. Denotado por {} ou Æ T = {conjunto de todas as palavras em português com mais de 100 letras} = { } Conjunto unitário Conjunto que possui apenas um elemento A = {redes} Conjunto finito Conjunto que possui uma quantidade limitada de elementos S = {-2, -1, 0, 1, 2} Conjunto infinito Conjunto que possui uma quantidade ilimitada de elementos P = conjunto dos números pares = {0, 2, 4, 6, ...} \ue265 T abela 1 \u2013 Definições importantes da T eoria dos Conjuntos. Por \ue0a6m, é importante destacar a existência do conjunto das par tes de um conjunt o , que é o conjunto de t odos os seus 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 7/13 subconjuntos . Por exemplo, o conjunt o B = {1, 2, 3} apresenta o conjunt o de suas par tes, r epresentado como P(B), dado por: P(B) = { \ue000 , {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} Repare que: 1 O conjunto vazio é um dos elementos do conjunto das partes de B. 2 Os elementos do conjunt o das par tes de B também são conjuntos. 3 O conjunto B é um dos element os do conjunto das partes do próprio conjunt o B. Operações elementares em conjuntos Podemos realizar algumas oper ações com conjuntos. Dica É impor tante que você guar de bem estes conceitos, pois eles ser ão bastante impor tantes na resolução de algumas situações- problema que você v ai encar ar pela frente. A T abela 2 apresenta estas operações, cada uma delas com seu signi\ue0a6cado e uma ilustr ação empregando o Diagrama de V enn: 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 8/13 Operação Definição Ilustração União Dados dois conjuntos A e B, a sua união é um conjunto formado por todo elemento que pertence a A ou a B ou a ambos. É denotada por \u201cA \u222a B\u201d Interseção Dados dois conjuntos A e B, a sua interseção é um conjunto formado por todo elemento de A que também pertence a B. É denotada por \u201cA \u2229 B\u201d Diferença Dados dois conjuntos A e B, a diferença entre eles é um conjunto formado por todo elemento de A que não pertence a B. É denotada por \u201cA \u2013 B\u201d Complementar Dados dois conjuntos A e B que A \u2282 B, definimos o complementar de A em relação a B como o conjunto formado por todo elemento de B que não pertence a A. É denotada por C ou ¯ \ud835\udc34 A \ue265 T abela 2 \u2013 Operações Elementares em Conjuntos. É impor tante notar que a difer ença não apresenta a propriedade comutativ a, diferentemente das oper ações de união e interseção. Ist o signi\ue0a6ca que, se alter armos a ordem dos conjunt os que estão oper ando, temos um nov o resultado. Logo, A - B não é equiv alente a B \u2013 A. Exemplo Estas oper ações são relev antes, mas, ainda assim, há situações que demandam oper ações um pouco mais complexas. V amos vê-las no exemplo a seguir: Um conjunto A tem 25 element os e um conjunto B tem 15 elementos. Sabendo-se que a interseção de ambos tem 10 elementos, qual é a quantidade de element os da união de A com B? Situações como esta são resolvidas com apoio do Princípio da Inclusão e Ex clusão . T rata-se de um princípio bastante simples, indicando que: n(A B) = n(A) + n(B) \u2013 n(A \u2229 B) Desta forma, neste exemplo, temos que n(A B) = 25 + 15 \u2013 10 = 30 element os . 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 9/13 Conjuntos e intervalos numéricos Nesta aula, já estudamos alguns tipos de conjuntos, bem como os principais tipos de oper ações. No entanto, há alguns conjuntos que recebem nomes especiais, em função de sua utilidade e emprego em div ersas situações do dia a dia. \ue913 Clique nos botões para ver as informações. Em primeiro lugar , destacamos o conjunto dos númer os naturais , muito útil par a efetuar contagens. O conjunto dos númer os naturais é r epresentado como \u2115 , de tal maneira que \u2115 ={0,1,2,3,4,5,...}. conjunto dos números naturais \uf078 Já par a situações como a representação de temper aturas muit o baixas ou do saldo devedor em uma conta corr ente, utiliza- se o conjunto dos númer os inteiros , repr esentado por \u2124 , de tal maneir a que \u2124 ={...,\u22123,\u22122,\u22121,0,1,2,3,...}. conjunto dos números inteiros \uf078 Por sua vez, há casos em que há a necessidade de r epresentação de quantidades não inteir as como resultado da divisão entre dois inteir os (por exemplo, 3 e 5). T ais casos acabam por descrever element os do conjunt o dos números r acionais . Este conjunto é r epresentado por \u211a , de maneir a que \u211a ={ \ud835\udc4e / \ud835\udc4f }, onde a per tence ao conjunto dos números inteir os e b per tence ao conjunto dos númer os inteiros não nulos. conjunto dos números racionais \uf078 No entanto, há númer os que não podem ser descritos como a fr ação entre dois números inteiros - \ud835\udf0b , \u221a 2, \u221a 5, dentr e outros. T ais números compõem o conjunto dos númer os irracionais , sendo representados por Q\u2019 (ou seja, o conjunt o complementar dos números r acionais ). conjunto dos números irracionais \uf078 Por \ue0a6m, o conjunto dos númer os racionais e irr acionais compõe o denominado conjunto dos númer os reais , denotado por \u211d . conjunto dos números reais \uf078 A Figur a 2, mostrada a seguir , ilustr a a relação entre os conjuntos dos númer os natur ais, inteiros, r acionais, irracionais e reais. Podemos dizer que: 1 O conjunto dos números inteiros contém o dos números naturais. 2 O conjunto dos númer os r acionais contém o dos números inteir os. 3 T odo número que não é r acional per tence ao conjunto dos númer os irr acionais. 4 A união dos conjuntos dos números r acionais e irr acionais forma o conjunto dos números r eais. 29/04/2019 Estácio - Disciplina on-line estacio.webaula.com.br/Classroom/index.html?id=2427937&classId=1 132544&topicId=2653874&p0=03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034&enableForum=S&enableMessage=S&enableClassMate=S 10/13 \ue412 Figura 2 \u2013 Conjunto dos números reais (BROCHI, 2016). Além disso, temos os intervalos numéricos . Este conceit o é impor tante, pois permite uma repr esentação alternativa à notação de conjuntos, tant o de forma numérica como gr á\ue0a6ca. Esses intervalos podem ser aber tos, f echados ou semiaber tos. A T abela 3 apresenta uma ilustração destes tipos de intervalos: Tipo Notação Conceito Intervalo aberto ]a, b[ = { \ud835\udc65\u2208\u211d \u2044 \ud835\udc4e \ud835\udc65 \ud835\udc4f } T odo número real maior do que a e menor do que b Intervalo fechado [a, b] = { \ud835\udc65\u2208\u211d \u2044 \ud835\udc4e\u2a7d\ud835\udc65\u2a7d\ud835\udc4f } T odo número real maior ou igual a a e menor ou igual a b Intervalo semiaberto [a, b[ = { \ud835\udc65\u2208\u211d \u2044 \ud835\udc4e\u2a7d\ud835\udc65 \ud835\udc4f } T odo número real maior ou igual a a e menor do que b ]a, b] = { \ud835\udc65\u2208\u211d \u2044 \ud835\udc4e \ud835\udc65\u2a7d\ud835\udc4f } T odo número real maior do que a e menor ou igual a b Intervalo infinito [a, +\u221e[ = { \ud835\udc65\u2208\u211d \u2044 \ud835\udc65\u2a7e\ud835\udc4e } ]-\u221e, a[ = { \ud835\udc65\u2208\u211d \u2044 \ud835\udc65 \ud835\udc4e } Um intervalo pode ser fechado de um lado e ilimitado do outro ou, ainda, aberto de um lado e ilimitado do outro \ue265 T abela 3 \u2013 Intervalos numéricos. Por \ue0a6m, par a Brochi (2016), v ale destacar que, em algumas aplicações, nos interessa apenas a distância de cada um deles até o zero (que é a origem da r eta numérica real). Isto quer dizer que podemos não estar inter essados no \u201c sinal\u201d do número, mas apenas na magnitude que ele r epresenta. Essa distância de cada número até o zer o, na reta numérica, é denominada módulo ou valor absoluto desse númer o. A Figur a 3 mostra que o módulo de -5 é igual a 5, e que o de +3 é igual a 3:

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