Matemática - Slides de Aula - Unidade II

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Profa. Isabel Espinosa
UNIDADE II
Matemática
 Função do 1º grau
Função do 1º grau
Coeficiente 
angular
Coeficiente 
linear
f : A  B
f(x) = a x + b
Gráfico = reta 
Crescimento: a > 0 função crescente
a < 0 função decrescente
Sinais: sinal contrário de a mesmo sinal de a
Função do 1º grau
xo
xo zero da função
Exemplos:
1. f(x) = 2x – 4 (função afim)
a = 2, b = - 4 
Dom f = IR
Im f = IR 
a = 2 > 0, função crescente
Função do 1º grau
f(x) = 2x – 4
zero da função: 2x – 4 = 0
x = 
Função do 1º grau
y
x
- 4
1
- 2
1
zero da função
x y
0 - 4
1 - 2
2) y = f(x) = - x + 1 (função afim)
a = -1; b = 1
Dom f =
Im f =
a = -1 < 0 decrescente
Função do 1º grau
 y = - x + 1
Raiz: 
Função do 1º grau
y
x
1
b = 1
raiz
3. f(x) = 3 x (função linear)
a = 3; b = 0
Dom f = 
Im f = 
a = 3 > 0 crescente
Função do 1º grau
 f(x) = 3 x
Função do 1º grau
x y
0 0
1 3
y
x0 1
3
 Reta definida por dois pontos A (xA, yA) e B (xB, yB) 
Equação da reta: y = a x + b
Reta definida por dois pontos
 Exemplo:
Determinar a equação da reta pelos pontos A (1,-2) e B (2, 3) 
Resolvendo
Reta definida por dois pontos
O gráfico da função y = - 4x + 8 corta o eixo x e o eixo y, respectivamente, em:
a) x = 2 e y = 4.
b) x = 2 e y = 8.
c) x = - 2 e y = 8.
d) x = 8 e y = 2.
e) x = -2 e y = -8.
Interatividade
1) Certo produto tem custo por unidade de R$ 20,00 e custo fixo de R$ 350,00. 
Escrever a função que dá o custo total desse produto.
Custo fixo = Cf
Custo total = Ct
Quantidade produzida = q
Função do 1º grau – aplicações 
Custo fixo = Cf = 350
Custo por unidade = 20
Quantidade produzida = q 
Ct =
Função do 1º grau – aplicações 
2) Um tanque de 500 litros está vazio inicialmente e após 2 horas está com 250 
litros. Determine a expressão do volume em função do tempo. Após quanto 
tempo o tanque estará cheio?
Resolvendo
Função do 1º grau – aplicações 
t V
0 0
2 250
3) Um vendedor recebe por mês R$ 1.000,00 fixo e mais comissão de R$ 2,50 por 
produto vendido. 
a) Escreva a expressão para o salário do vendedor dependendo da quantidade de 
produtos vendidos no mês.
b) Se num mês ele recebeu R$ 1.500,00, quantas unidades ele vendeu?
Função do 1º grau – aplicações 
a) Fixo: R$ 1.000,00 
Comissão: R$ 2,50 por unidade vendida 
Quantidade vendida: q 
Salário: S(q) 
S(q) =
Função do 1º grau – aplicações 
b) Recebeu R$ 1.500,00 
S(q) = 1000 + 2,50 * q 
Função do 1º grau – aplicações 
4) Um tanque de 2000 litros está cheio inicialmente e deve ser esvaziado. A vazão 
com que será esvaziado é de 250 litros por hora.
a) Escreva a expressão do volume no tanque em função do tempo. 
b) Esboce o gráfico do volume em função do tempo.
Função do 1º grau – aplicações 
t (h) V (L)
0
1
a) Expressão para V(t) 
V(t) = 
Função do 1º grau – aplicações 
t(h) V (litros)
0 2000
1 1750
b) V(t) = -250 t + 2000
Função do 1º grau – aplicações 
t V 
0
0
V (L)
t (h)
8
2000
Analisando o gráfico da função é correto afirmar que:
a) 0 < q < 90 terá lucro.
b) 0 < q < 90 terá prejuízo.
c) q > 50 terá lucro.
d) 0 < q < 100 terá lucro.
e) 10 < q < 90 terá lucro.
Interatividade
L
q0 90
-270
Função do 2º grau: 
y = a x2 + b x + c
a, b, c coeficientes reais, a  0
Gráfico é sempre uma parábola
a > 0: concavidade para cima
a < 0: concavidade para baixo
Vértice :
Função do 2º grau
V =
-b 
2a
-
4a
,
Exemplos: 
Esboçar o gráfico das funções:
a) y = - x2 + 16
a = -1 < 0, concavidade para baixo
b = 0 
c = 16 
Função do 2º grau
Corte em x
- x2 + 16 = 0   =
Corte em y : x = 0  y =
Função do 2º grau
0  8 
-2
x = =
x1 =
x2 =
V = = (0, 16) 
-b 
2a
-
4a
,
 Gráfico
Função do 2º grau
- 4 0 4
y 
x
16
b) y = 2 x2 – 4 x
a = 2 > 0, concavidade para cima
b = - 4 
c = 0 
Função do 2º grau
Corte em x
2 x2 – 4x = 0   =
Corte em y : x = 0  y =
Função do 2º grau
4  4 
4
x = =
x1 = 2
x2 = 0
V = =
-b 
2a
-
4a
,
 Gráfico
Função do 2º grau
0 1 2
y 
x
-2
c) y = - x2 – 1
a = -1 < 0, concavidade para baixo
b = 0 
c = - 1
Função do 2º grau
Corte em x 
- x2 – 1 = 0   = 
Não tem raiz real.
Corte em y: 
x = 0  y = - 1
Função do 2º grau
V = = (0, -1) 
-b 
2a
-
4a
,
 Gráfico
Função do 2º grau
0
y 
x
-1
d) y = x2 – 4x + 4
a = 1 > 0, concavidade para cima
b = - 4 
c = 4
Função do 2º grau
Corte em x
x2 – 4x + 4 = 0   =
Corte em y: x = 0  y =
Função do 2º grau
4  0
2
x = = 2
V = =
-b 
2a
-
4a
,
 Gráfico
Função do 2º grau
y 
x
4
2
As raízes da função y = x2 – x – 6 são:
a)  6.
b) 2 e 3.
c) -2 e 3.
d) 2 e -3.
e) -2 e -3.
Interatividade
1) Uma bola é lançada para cima a partir do solo. 
A sua trajetória é dada por H(t) = - t2 + 10 t. 
a) Determine a altura máxima atingida pela bola, em metros.
Função do 2º grau – aplicações 
b) Após quantos segundos retornará ao solo?
No solo, temos H(t) = 0, assim, - t2 + 10 t = 0 
Raízes da função:
 =
Retorno ao solo após 10 segundos.
Função do 2º grau – aplicações 
t = =
t1 =
t2 =
2) Uma empresa produz mesas de 2 modelos, A e B, em quantidades x e y, 
respectivamente. A expressão que relaciona as quantidades produzidas é dada 
por y = - x2 – 10 x + 600. Os recursos são limitados. Baseado no gráfico da 
função, determine as quantidades máximas produzidas.
Função do 2º grau – aplicações 
Gráfico: y = - x2 – 10 x + 600 
Função do 2º grau – aplicações 
Corte em x
- x2 – 10x + 600 = 0   =
Corte em y: x = 0  y =
V = =
-b 
2a
-
4a
,
Raízes: -30 e 20 
Corte em y: y = 600 
V = (-5, 625)
mesa A – 20 unidades mesa B – 600 unidades
Função do 2º grau – aplicações 
600
- 30 -5 0 20
y 
x
625
3) Dadas as funções oferta p = q2 + 1 e demanda p = = - q2 + 9, determine o ponto 
de equilíbrio 
(PE oferta = demanda) 
Função do 2º grau – aplicações 
4) Um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade inicial de 15 m/s, 
desprezando a resistência do ar e considerando a aceleração da gravidade
g = 10 m/s2, determine o tempo para que o objeto retorne ao solo.
Sendo
Função do 2º grau – aplicações 
g = -10 m/s2
+
 v0 = 15 m/s 
 g = - 10 m/s2
 S0 = 0 m 
Função do 2º grau – aplicações 
5) Uma pedra é atirada do alto de um prédio. A equação que relaciona a altura (h) 
da pedra, em relação ao solo, em função do tempo (t) é h(t) = 81 – 9 t2, sendo a 
altura em metros e o tempo em segundos. 
Determine:
a) Altura do prédio.
b) Tempo que a pedra levará para chegar ao solo. 
Resolvendo
Função do 2º grau – aplicações 
6) Se a função lucro de uma pequena indústria é dada pela expressão 
L(q) = q2 – 100, esboce o gráfico da função e determine a quantidade mínima 
para que se tenha lucro efetivo (L > 0).
Corte em x:
Corte em y: x = 0 → y = 
Função do 2º grau – aplicações 
Gráfico da função L(q) = q2 – 100 
Raízes: 10 e - 10 
Corte em y:x = 0 → y = 100
Função do 2º grau – aplicações 
y 
x
-100
-10 10
Função do 2º grau – aplicações 
y 
x
-100
-10 10
Um vaso cai de uma janela e sua trajetória até chegar ao solo é dada pela expressão 
h(t) = - t2 + 25. A altura da janela (m) e o tempo (s) que levará para chegar ao solo 
são, respectivamente:
a) 25 m e 5s.
b) 5 m e 25s.
c) 5 m e 5s.
d) 25 m e 25s.
e) 25 m e 10s.
Interatividade
ATÉ A PRÓXIMA!