IC 241 - T64 Professor Edivaldo + Gabarito 2019-1

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Universidade Federal Rural do Rio de Janeiro
Instituto de Ciências Exatas/DEMAT
Prova 1 de Cálculo I - IC241 Turma: T64
Aluno: Data: 26/04/2019
Questão 1: (4 pontos)
Calcule algebricamente, os seguintes Limites:
(a) lim
x→4
√
x− 2
x− 4 (b) limx→−∞
√
x2 − 2x+ 4 + 2x
(c) lim
x→4
sen(2−√x)
x− 4 (d) limx→0
x
|x|
Solução:(a) = lim
x→4
√
x− 2
(
√
x− 2)(√x+ 2) =
√
x− 2√
x+ 2
=
1
4
(b) = lim
x→−∞
√
(x− 1)2 + 3+2x = lim
x→−∞
√
(x− 1)2
(
1 +
3
(x− 1)2
)
+2x = lim
x→−∞ |(x−1)|
√
1 +
3
(x− 1)2+
2x = lim
x→−∞ −x+ 1 + 2x = −∞
(c) Faça u = 2−√x então x = (2− u)2, assim quando x 7→ 4 temos que u 7→ 0. Portanto substituindo
lim
x→4
sen(2−√x)
x− 4 = limu→0
sen(u)
((2− u)2)− 4 = limu→0
sen(u)
u(u− 4) = limu→0
sen(u)
u
lim
u→0
1
u− 4 = −
1
4
(d) O limite nao existe.
Questão 2: (2
1/2 pontos)
Encontre o valor da constante � A � para que a função
f(x) =

√
1 + x− 1
x
, se x ∈ [−1,0) ∪ (0,+∞)
A , se x = 0
, seja contínua no ponto x = 0.
Justifique com todos os detalhes.
Solução:A = 0.5
Questão 3: (3 pontos)
Esboce o gráfico para a função f(x) =
x− 5
x2 − 2x+ 1 , analisando seus pontos de descon-
tinuidade, fazendo um estudo do sinal da função (onde ela é zero, positiva e negativa) e
determine, se existirem, as assíntotas horizontais e verticais.
Pág. 1 de 2 Continua . . .
Solução:O domínio da função f é todos os números reais menos os números onde seu denominador
x2 − 2x+ 1 = 0, ou seja, Dom{f} = R− 1 = (−∞,1) ∪ (1,+∞).
Para x = 0 temos que f(0) = −5, ou seja, o ponto (0, − 5) é o ponto de interseção do gráfico da função
f com o eixo y. E o gráfico da função f cruza o eixo x quando x− 5 = 0, ou seja, x = 5.
Assintotas Verticais:
Temos uma assíntota vertical em x = 1, pois displaystyle limx→1+ f(x) = displaystyle limx→1− f(x) =
−∞ Assintotas Horizontais:
Temos uma assintota horizontal em y = 0, pois displaystyle limx→−∞ f(x) = displaystyle limx→+∞ f(x) =
0
Questão 4: (1
1/2 pontos)
Justifique a afirmação a seguir se for verdadeira ou apresente um contra-exemplo se for falsa.
(a) (0,75 pontos) [ ] Se f(x) não é contínua no ponto x = a então o lim
x→a
f(x) não existe.
(b) (0,75 pontos) [ ] Se lim
x→3
f(x) = 7 e f é definida em R então f(3) = 7.
Solução:(a) Falso , Exemplo:
f(x) =
{
4 + x, se x ∈ [−5,3) ∪ (3,5]
5, se x = 3
(b) Falso, Exemplo:
f(x) =
{
4 + x, se x ∈ [−5,3) ∪ (3,5]
5, se x = 3
Identidades Identidades Continuidade em x = a Identidades
sen2(θ) + cos2(θ) = 1 lim
x→∞
sen(x)
x
= 0 (i) f(a) existe.
√
x2 = |x|
sen2(θ) = 1−cos(2θ)2 (ii) limx→a f(x) existe.
cos2(θ) = 1+cos(2θ)2 limx→0
sen(x)
x
= 1 (ii) lim
x→a f(x) = f(a).
Boa Prova!