Trabalho Lajes Maciças (1)

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REDE DE ENSINO DOCTUM 
CURSO SUPERIOR DE ENGENHARIA CIVIL 
 
 
ALVES ,Sérgio[2] 
ALOÍSIO ,Cosme[1]; COSTA, Dayane Ap. Lucas[1], SALES ,Luiz Fernando S[1], 
CORREA ,Gilmar[1], FREITAS ,Marcelo[1] 
 
 
 
 
 
 
DIMENSIONAMENTO DE VIGAS DE CONCRETO ARMADO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Caratinga 1° de Abril de 2019 
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INTRODUÇÃO 
 
O uso de lajes em construções é algo recorrente quando se trata de 
construção civil. Assim, diversos estudos são realizados com a finalidade de 
alcançar melhores resultados, tanto quanto ao uso de material, à diminuição de peso 
sobre as vigas, melhoria de tempo e qualidade de serviço prestado seja em 
pequenas ou grandes construções. 
As lajes são elementos estruturais laminares planos, requeridos de modo 
dominante por cargas normais ao seu plano médio. Elas formam os pisos dos 
edifícios correntes de concreto armado. Nas estruturas laminares planas, 
predominam duas dimensões, comprimento e largura, sobre a terceira que é a 
espessura. De mesma forma, que as vigas são representadas pelos seus eixos, as 
lajes são constituídas pelo seu plano médio. As lajes são distintas pela sua forma, 
conexão e afinidade entre os lados. Na maioria das vezes, nas estruturas correntes, 
as lajes são retangulares, mas podem ter forma trapezoidal ou em L. 
A classificação das lajes numa conjectura dos planos bidimensionais, 
identificam-se duas dimensões a serem consideras, como comprimento e largura, 
sendo da mesma grandeza e mais elevadas que uma terceira dimensão que são as 
espessuras das lajes. 
Também denominadas de elementos de superfície, ou mesmo conhecidas 
como placas, as lajes têm por destinação o recebimento da grande parcela das 
ações aplicadas nas construções, tais como os contrapisos, o peso das paredes, as 
cargas incidentais como o peso de pessoas que circulam sobre as lajes, dentre 
outros fatores que exercem carga. 
As ações são frequentementeaprumadas ao plano da laje, das quais podem 
ser divididas em distribuídas na área, espalhadas linearmente ou forças 
concentradas. Embora menos comuns, também podem acontecer ações externas na 
forma de momentos fletores, normalmente aplicados nas bordas das lajes. As ações 
são normalmente transmitidas para as vigas de apoio nas bordas da laje, mas de 
modo eventual além disso podem ser transmitidas diretamente aos pilares, quando 
são chamadas lajes lisas 
 As lajes maciças demandam espaço e tendem a ser mais caras visto que são 
armadas utilizando concreto e aço, já as lajes nervuradas demonstram ser menos 
custosas. Importante dizer que existem diferenças consideráveis entre as duas os 
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valores se diferenciam apenas se a laje nervura no momento da execução obedecer 
o cronograma prescrito, ou seja, a obediência ao tempo determinado deve se dar a 
todo tempo, pois não há diferenças expressivas entre as etapas de construção dos 
dois sistemas. 
A laje maciça por sua vez apresenta como vantagem a possibilidade de 
aproveitamento das formas e as escoras usadas de uma obra para outra, ou mesmo 
de um espaço para outro, mas precisa de mão de obra especializada, o que é 
dispensado no uso das lajes nervuradas. A tendência pelo uso das lajes nervuradas 
é considerável principalmente devido ao custo, porém esse estudo irá contribuir para 
o alcance desse entendimento, como demonstrações e cálculos de como e onde 
deve-se usar a laje maciça e a laje nervurada. 
 
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REFERENCIAL TEÓRICO 
 
AS LAGES MACIÇAS E CLASSIFICAÇÃO QUANTO A DIREÇÃO 
 
Conforme definição dada por Bastos (2015) Laje maciça é aquela onde toda a 
espessura é composta por concreto, contendo armaduras longitudinais de flexão e 
eventualmente armaduras transversais, e apoiada em vigas ou paredes ao longo 
das bordas. Laje com borda ou bordas livres é um caso particular de laje apoiada 
nas bordas. A laje lisa e a laje cogumelo são também lajes maciças de concreto, 
porém, nessas lajes as cargas e outras ações são transferidas diretamente aos 
pilares, sem intermédio de apoios nas bordas. Por uma questão de tradição no Brasil 
é costume chamar a laje apoiada nas bordas como “laje maciça”. 
As lajes retangulares são classificadas como: 
a) lajes armadas em uma só direção: são aquelas em que a relação entre o 
maior e o menor vão é maior que 2. 
 b) lajes armadas em duas direções ou armadas em cruz: em caso contrário 
A figura retrata a laje armada em uma só direção, onde, a é o vão menor e b é o vão 
maior 
 
 
 
Fonte:Filho 2014 
 
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Diante do fato de existir uma vinculação das bordas da laje, a classificação 
demostrada admite a existência de exceções. Assim, se a laje for 
aguentadaconsecutivamenteapenas ao longo de duas bordas paralelas (as outras 
duas forem livres) ou quando tiver três bordas livres (laje em balanço), ela será além 
disso armada em uma só direção, independentemente da relação entre os lados. 
As bordas das lajes podem apresentar os seguintes tipos de vinculação, 
conforme expressa Filho, 2014. 
 apoiada: quando a borda da laje é continuamente suportada por vigas, 
paredes de alvenaria de tijolos cerâmicos, de blocos de concreto ou de pedras. 
 livre: quando a borda da laje não tiver nenhuma vinculação ao longo 
daquele lado.  engastada: quando a borda da laje tem continuidade além do apoio 
correspondente daquele lado (laje adjacente). 
Importante dizer que quando em um lado da laje acontecerem duas situações 
de conexão (apoiado e engastado), a favor da segurança é indispensável considerar 
todo o lado apoiado; se o engaste for maior que 85% do comprimento do lado é 
possível avaliar como engastado. 
Ainda, é comum ocorrer no momento que dá início ao cálculo das lajes, não 
serem manifestas as espessuras; fazendo com que seja necessário, desse modo, 
avaliar de forma inicial como engastados todos os lados que são adjacentes a outras 
lajes não rebaixadas. Tão-somentedepois a primeira hipótese de vinculação é que 
será admissível fazer a determinação das espessuras das lajes e recompor a 
vinculação, quando a espessura for maior que 2 cm. 
Sobre o vão efetivo das lajes NBR6118:2014, a partir do momento que os 
apoios das lajes foram avaliados de maneira satisfatória rígidos quanto à translação 
vertical, o vão efetivo deve ser calculado pela seguinte expressão 
 
ef = 0 + a1 + a2 
 
com a1 igual ao menor valor entre (t1/2 e 0,3h) e a2 igual ao menor valor 
entre (t2/2 e 0,3h), como pode ser identificado pela figura abaixo colacionada. 
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Junior, 2017, p.67 
 
Em lajes o carregamento, em geral, é considerado como uniformemente 
distribuído: p (kN/m2 ), onde: p = g + q 
onde: g – é a parcela permanente das cargas que atuam sobre a laje (peso 
próprio, revestimento, reboco, etc.); 
q – é a parcela variável das cargas que atuam sobre a laje (peso das 
pessoas, móveis, equipamentos, etc.). 
Os valores das cargas a serem considerados no cálculo de estruturas de 
edificações são indicados na NBR6120:1980. 
Para edifícios residenciais, os valores mais usuais de cargas são: - peso 
específico do concreto armado = 25 kN/m3 - peso específico do concreto simples = 
24 kN/m3 – 
enchimento de lajes rebaixadas = 14 kN/m3 – 
reboco (1cm) = 0,2 kN/m2 
revestimento de tacos ou tabuões de madeira = 0,7 kN/m2 
revestimento de material cerâmico = 0,85 kN/m2 – 
forro falso = 0,5 kN/m2 – 
carga variável em salas, dormitórios, cozinhas, banheiros = 1,5 kN/m2 – 
carga variável em despensa, lavanderia, área de serviço = 2,0 kN/m2 – 
carga variável em corredores, escadasem edifícios: não residenciais = 3,0 
kN/m2 residenciais = 2,5 kN/m2 – 
 sacada: mesma carga da peça com a qual se comunica. – 
 carga variável linear nas bordas livres das lajes de 2 kN/m (vertical) e 0,8 
kN/m na altura do corrimão (horizontal) 
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AÇÕES A CONSIDERAR SOBRE AS LAGES 
 
Dentre as ações que devem ser consideradas sobre as lajes num primeiro 
momento o peso próprio que exerce é fundamental para a inexistência de problemas 
estruturais. Assim a NBR 6118 traz a indicação de 25 kN/m3 como peso especifico 
do concreto armado da própria laje. Ressaltando que aqueles com espessura 
constante é de maneira uniformeespalhado na área da laje, e para um metro 
quadrado de laje (Figura 11) pode ser calculado como: 
 
gpp = conc . h = 25 . h 
com: gpp = peso próprio da laje (kN/m2 ); 
h = altura da laje (m). 
 
a camada colocada por cima do concreto das lajes recebe o nome de contrapiso, 
cuja função é nivelar e fazer com que seja diminuída a nervura da laje, com o intuito 
de dar o devido preparo para que o revestimento a ser colocado, como piso final 
seja feito.A espessura do contrapiso deve ser atenciosamentecalculada. O 
recomendado é que não utilize espessura não inferior a 3 cm. A argamassa do 
contrapiso tem comumente o traço 1:3 (em volume), sendo considerado o peso 
específico (contr) de 21 kN/m3 , conforme a NBR 6120. A ação permanente do 
contrapiso é função da espessura (e) do contrapiso 
Revestimento do Teto Na superfície inferior das lajes (teto do pavimento 
inferior) é padrão executar-se uma camada de revestimento de argamassa, 
sobreposta à camada fina de chapisco. Para essa argamassa, menos rica em 
cimento, pode-se considerar o peso específico (rev) de 19 kN/m3 , conforme a NBR 
6120. De modo geral, este revestimento tem pequena espessura, mas recomenda-
se adotar espessura não inferior a 1,5 ou 2 cm. 
Ao contrário do contrapiso o piso é a finalização da laje, cuja quantificação 
deve se dar de forma correta a fim de que não exerça peso excessivo sobre a laje. A 
Tabela 1 da NBR 6120 é quem dá os pesos específicos de diversos materiais, 
valores estes que ajudam no cálculo da carga do piso por metro quadrado de área 
de laje. 
 
 
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ESPESSURAS MÍNIMAS 
 
Conforme expresso pela NBR 6118, no que se refere as espessuras das lajes 
é preciso considerar dentro dos critérios de limites mínimos de espessura. 
 
Quanto as lajes maciças: 
 
a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 7 cm para lajes de piso ou 
de cobertura em balanço; c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total 
menor ou igual a 30 kN; d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total 
maior que 30 kN; e) 15 cm para lajes com protensão apoiadas em vigas, 42 l para 
lajes de piso b 50 l iapoiadas e para lajes de piso contínuas; f) 16 cm para lajes lisas 
e 14 cm para lajes-cogumelo. 
 
Quanto as lajes nervuradas: 
 
É importante para o cálculo da espessura mínima que não haja tubulações 
horizontais embutidas, devendo ser maior ou igual a 1/15 da distância entre nervuras 
e não menor que 3 cm. O valor mínimo absoluto deve ser 4 cm, quando existirem 
tubulações embutidas de diâmetro máxi 12,5 mm. Nervuras com espessura menor 
que 8 cm não devem conter armadura de compressão. 
a) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras menor ou igual a 65 
cm, pode ser dispenção da flexão da mesa, e para a verificação do cisalhamento da 
região das nervuras, permite consideração dos critérios de la 
b) para lajes com espaçamento entre eixos de nervuras entre 65 cm e 110 
cm, exige-se a verificação da flexão da mesa e as nervuras devem ser verificadas ao 
cisalhamento como vigas; permite-se essa verificação como lajes se o espaçamento 
entre eixos de nervuras fo nervuras for maior que 12 cm; 
 c) para lajes nervuradas com espaçamento entre eixos de nervuras maior 
que 110 cm, a mesa deve ser projetada como laje maciça, apoiada na grelha de 
vigas, respeitando-se os seus limites mínimos de espessura. 
 
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MOMENTOS FLETORES DAS LAGES 
 
As lajes são demonstradas basicamente por momentos fletores e forças 
cortantes. O cálculo das lajes pode ser feito por dois métodos: o elástico, que será 
aqui utilizado, e o plástico, que poderá ser apresentado em fase posterior. a) Cálculo 
elástico O cálculo dos esforços solicitantes pode ser feito pela teoria clássica de 
placas delgadas (Teoria de Kirchhoff), supondo material homogêneo, isótropo, 
elástico e linear. SANTOS (2018) 
 A partir das equações de equilíbrio, das leis constitutivas do material (Lei de 
Hooke) e das relações entre deslocamentos e deformações, fazendo-se as 
operações matemáticas necessárias, obtém-se a equação fundamental que rege o 
problema de placas: também podem ser calculadas usando tabelas, por meio das 
seguintes formulas: 
 
�� = ��.
�. ���
���
 
�′� = �′�.
�. ���
���
 
 
�� = ��.
�. ���
���
 
�′� = �′�.
�. ���
���
 
 
mx , m x' → momentos fletores na direção do vão l x my , 
m y' → momentos fletores na direção do vão l y 
 
Ao considerar os momentos fletores nos vãos e nos apoios das lajes de igual 
maneira são denominados de momento positivo e negativos, de modo respectivo, 
devem no momento do cálculo dos momentos fletores, fazer a avalição dos apoios 
internos das lajes continuas que estão de modo perfeito engastados. 
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Em verdade, isto pode não acontecer, geralmente em um pavimento, as lajes 
adjacentes se destacam nas condições de apoio, nos vãos teóricos ou nos 
carregamentos, derivando, no apoio comum, dois valores desiguais para o momento 
negativo. Com isso surge a necessidade de haver a compatibilização dos 
momentos fletores, especialmente nos momentos negativos, usando como critério 
usual consiste em adotar o maior valor entre a média dos dois momentos e 80% do 
maior (SANTOS, 2018) 
Esse critério apresenta razoável aproximação quando os dois momentos são 
da mesma ordem de grandeza. Em decorrência da compatibilização dos momentos 
negativos, os momentos positivos na mesma direção devem ser analisados. Se essa 
correção tende a diminuir o valor do momento positivo, como ocorre nas lajes L1 e 
L4 da Figura 6, ignora-se a redução (a favor da segurança). 
 
 
REAÇÕES DE APOIO DAS LAGES 
 
As ações atuantes nas lajes são transferidas para as vigas de apoio. Embora 
essa transferência aconteça com as lajes em comportamento elástico, o 
procedimento de cálculo proposto pela NBR 6118 (2001) baseia-se no 
comportamento em regime plástico, a partir da posição aproximada das linhas de 
plastificação, também denominadas charneiras plásticas. 
Conforme o item 14.7.6.1 da NBR 6118 (2001), permite-se calcular as 
reações de apoio de lajes retangulares sob carregamento uniformemente distribuído 
considerando-se, para cada apoio, carga correspondente aos triângulos ou trapézios 
obtidos, traçando-se, a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de: • 
45° entre dois apoios do mesmo tipo; • 60° a partir do apoio engastado, se o outro 
for simplesmente apoiado; • 90° a partir do apoio vinculado (apoiado ou engastado), 
quando a borda vizinha for livre. 
 
 
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REFERÊNCIAS 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT NBR 6118:2003, 
Disponível em https://docente.ifrn.edu.br/valtencirgomes/disciplinas/construcao-de-
edificios/abnt-6118-projeto-de-estruturas-de-concreto-procedimento. Acesso em 
31/03/2019 
 
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS ABNT NBR 6120:1980, 
Disponível em https://docente.ifrn.edu.br/valtencirgomes/disciplinas/construcao-de-edificios/abnt-6118-projeto-de-estruturas-de-concreto-procedimento. Acesso em 
31/03/2019 
 
BASTOS, Paulo Sergio dos Santos Lajes de concreto, UNESP(Bauru/SP) – Lajes 
de Concreto.wwwp.feb.unesp.br/pbastos 
 
FILHO, Américo Campos Projeto de lajes maciças de concreto armado, 
disponível em https://chasqueweb.ufrgs.br/~americo/eng01112/lajes.pdf. Acesso em 
01/04/2018. 
 
Junior, Fernando Musso, Laje-definiçoes, Estrutura de concreto armado. Disponivel 
em https://ecivilufes.files.wordpress.com/2013/06/7-laje.pdf Acesso em 01/04/2019 
 
 SANTOS, Sandro p. Santos. Lajes maciças, USP – EESC – Departamento de 
Engenharia de Estruturas, 2018.