Matemática para Computação 4

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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Unidade IV
7 TRIGONOMETRIA E NÚMEROS COMPLEXOS 
Nesta última unidade, descreveremos os tópicos referentes à Trigonometria e aos Números Complexos. 
Em Trigonometria, veremos os conceitos de ângulos, Teorema de Pitágoras, medidas de ângulos, Lei dos 
Senos e Cossenos e resolução de triângulos, bem como suas aplicações no cotidiano. Depois, falaremos 
dos números complexos, de sua importância e de suas aplicações.
7.1 Trigonometria
 Quando se fala em Trigonometria, o aluno fica com o “cabelo em pé”, já começa a pensar nas 
inúmeras fórmulas que um dia viu na vida e a se perguntar por que está aprendendo tudo isso. A 
tradicional pergunta é sempre feita: Em que usarei isso em minha vida?
A resposta para esse aluno vem da demonstração de que a Trigonometria está presente, mesmo que 
não vejamos, em várias situações, facilitando o entendimento e a interpretação de diversos fenômenos.
 A palavra trigonometria vem do grego (tri + gonos + metron, que significa três + ângulos + 
medida) e nos remete ao estudo das medidas dos lados, ângulos e outros elementos dos triângulos.
 O estudo da Trigonometria teve origens na Astronomia 2 mil anos atrás, o que demonstra quão 
antiga é essa ciência. Naquela época, as estrelas eram consideradas fixas na superfície de uma esfera 
de diâmetro muito grande, e, para entender esse posicionamento e o movimento dessas estrelas, foram 
usadas as tábuas trigonométricas. Como a Terra é uma esfera, a Trigonometria foi utilizada também na 
navegação e na Geografia. 
Essa ciência também foi utilizada para calcular a altura de pirâmides, e isso foi feito pelo matemático 
grego Tales (624 a 548 a.C.). Por meio da observação das sombras e da análise dos raios solares, ele 
descobriu que a sombra de uma estaca qualquer era proporcional à de uma pirâmide, no caso, a de 
Quéops, no Egito.
Para fazer os cálculos, usou‑se a propriedade da semelhança dos triângulos para calcular a altura 
da pirâmide. Além de Tales, outros gregos se destacaram e fazendo medições, calendários e prevendo 
eclipses.
Nos dias de hoje, a Trigonometria é aplicada em sistemas de satélites, aviação, levantamento 
topográfico e muitas outras áreas, como a Arquitetura, que utiliza superfícies curvas em materiais de 
construção, como aço e vidro, e determina a altura de prédios.
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Unidade IV
7.2 A circunferência trigonométrica 
Para começarmos a descrever a Trigonometria, partiremos da circunferência trigonométrica, que é 
de extrema importância para seu estudo. Dentro dela, todos os conceitos serão desenvolvidos.
A circunferência trigonométrica é uma circunferência com centro na origem do sistema de 
coordenadas e tem raio igual a 1, como descrito na figura a seguir:
2º quadrante
3º quadrante
1º quadrante
r
∅
0
4º quadrante
Sentido anti‑horário
Figura 77 – Representação de uma circunferência trigonométrica de raio 1 e sua divisão em quadrantes
 Observação
A divisão da circunferência trigonométrica em quadrantes facilita o 
cálculo dos valores das entidades, como seno, cosseno e tangente, bem 
como das grandezas derivadas dessas.
Cada um dos quadrantes divide a circunferência em quatro partes iguais. Por convenção, considera‑se 
o anti‑horário como sentido positivo da circunferência.
Definimos como ângulo central qualquer ângulo cujo vértice é o centro da circunferência. Na figura, 
o ângulo central é (AÔB).
7.3 Medida e comprimento de arcos
A medida de um arco é igual à medida do ângulo central correspondente. Vejamos estes exemplos:
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A
M(A0B) = 120º
B
0
Figura 78
C
M(C0D) = 45º
D
0
Figura 78 – Representação dos arcos de 120º e 45 º na circunferência trigonométrica
Dizemos que o arco AB mede 120º e que o arco CD mede 45º.
7.4 Ângulos e suas unidades
A medida mais conhecida para medir um ângulo é a que chamamos de grau, porém um ângulo pode 
ser caracterizado por outras unidades de medidas que definiremos aqui.
• Grau: a circunferência é dividida em 360 partes iguais, e o centro é ligado a cada um desses 
pontos marcados nessa circunferência; assim, 360 ângulos centrais são determinados. Cada um 
desses ângulos é chamado de 1 grau.
• Grado: a mesma análise do conceito de grau é feita para determinar essa unidade; no entanto, 
em invés de dividir a circunferência em 360 partes, dividimos em 400.
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• Radiano: essa unidade é uma das mais usadas no estudo da Trigonometria. Um radiano (1 rad) é 
um arco cujo comprimento é igual ao raio da circunferência que o contém.
As unidades grau e radiano são as mais utilizadas, e é importante saber calcular o valor de seus 
ângulos e transformar uma unidade na outra; por exemplo, considere a circunferência, sabemos que ela 
mede 360º, qual será sua medida em radianos?
r
0
Figura 79 – Representação de uma circunferência de raio r
Podemos obter esse valor a partir de uma regra de três. Sabemos que o comprimento de uma 
circunferência de raio r é dado por 2πr. Se x for a medida da circunferência em radianos, temos:
rad u
rad
x
x
r
r
ra
_________
_________
1
2
2
pi
pi
∴ = dd
Assim, a medida de uma circunferência é 2π rad. Portanto, como 2π rad é equivalente a 360º, temos 
que π rad é igual a 180º.
Fazendo isso, podemos transformar graus em radianos e radianos em graus, ou seja, converter uma 
unidade na outra; por exemplo, vamos determinar, em radianos, a medida equivalente a 60º: 
rad grau
x
x
________
_________
pi
pi
180
60
60
18
∴ =
00 3
rad rad=
pi
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Ou calcular em graus a medida equivalente a pi
6
:
rad grau
____________
_____________
pi
pi
180
6
xx
x∴ = =
180
6 30
pi
pi
º
7.5 Trigonometria no triângulo retângulo 
O triângulo retângulo é construído a partir de dois lados perpendiculares entre si, que são chamados 
de catetos, e outro lado chamado hipotenusa. A partir dessa definição, conceitos importantíssimos 
foram definidos, e um dos mais importantes é o chamado Teorema de Pitágoras.
Hipotenusa a
Cateto c
Cateto b
C
B
a
b
A
Figura 80 – Triângulo retângulo, seus catetos b e c e a hipotenusa 
Podemos definir as seguintes grandezas, seno (sin), cosseno (cos) e tangente (tan), a partir desta figura:
s ne
medida do lado oposto a
medida dahipotenusa
catetoβ β= = ooposto
hipotenusa
b
a
medida do lado adjacente a
medid
=
=cos β α
aa dahipotenusa
cateto adjacente
hipotenusa
c
a
g
cateto o
t
= =
=β pposto
cateto adjacente
b
c
=
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s ne
medida do lado oposto a
medida dahipotenusa
cateto
α
β
= =
ooposto
hipotenusa
c
a
medida do lado adjacente a
medid
=
=cos α
α
aa dahipotenusacateto adjacente
hipotenusa
b
a
g
cateto o
t
= =
=α
pposto
cateto adjacente
c
b
=
Assim, podemos definir:
• seno: o seno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a hipotenusa;
• cosseno: o cosseno de um ângulo é a razão entre a medida do cateto adjacente ao ângulo e a 
medida da hipotenusa,
• tangente: a tangente de um ângulo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do 
cateto adjacente ao ângulo.
 Lembrete
 Em um triângulo retângulo, a soma dos ângulos referentes aos catetos é 
sempre 90º.
Usando essas relações, vamos calcular o valor de x na figura a seguir, sabendo que seno 36º = 0,58, 
cos 36º = 0,80 e tg 36º = 0,72. 
x
20 cm
C
B
36º
b
A
cos ”
,
36
20 20
0 80
25= → = =
x
x cm
Figura 81
cos ”
,
36
20 20
0 80
25= → = =
x
x cm
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Para estudar os conceitos que seguem, convém conhecer o seno, o cosseno e a tangente de alguns 
ângulos importantes. Escolheremos aqui os ângulos de 30º, 45º e 60º, que são chamados de ângulos 
notáveis. Na tabela a seguir, mostramos esses valores:
Tabela 9
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º
Seno 0
1
2
2
2
3
2
1
Cosseno 1
3
2
2
2
1
2
0
Tangente 0
3
3
1 3 
Como esses valores são obtidos? Vamos mostrar como alguns deles foram gerados.
Para o ângulo de 45º, por exemplo, partiremos do fato de que a medida da diagonal de um quadrado 
de lado a é a√2; cada ângulo interno do quadrado é dividido em dois de 45º por uma diagonal. Na figura 
a seguir, mostramos como os valores de seno, cosseno e tangente de 45º foram calculados: 
x
x
d
C
B
45º
A
Figura 82 – Triângulo retângulo de lados x e hipotenusa d
Como d = a√2, temos:
s n ”e
a
a
45
2
1
2
2
2
= = =
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cos ”
t ”
s n ”
cos ”
45
2
1
2
2
2
45
45
45
2
2
2
2
1
= = =
= = =
a
a
g
e
Para o ângulo de 60º, vale lembrar que a medida de cada altura de um triângulo equilátero (ou seja, 
aquele que tem todos os lados iguais) de lado a é a 3
2
. A altura desse triângulo divide‑o em duas 
metades. Como cada ângulo interno do triângulo equilátero vale 60º, e sabendo que x a ey
a
= =
3
2 2
, 
temos, conforme a figura a seguir:
60º
30º
y
x
Figura 83 – Triângulo equilátero de altura x
s n ”
cos ”
t ”
s n ”
cos ”
e
a
a
a
a
g
e
60 2
1
2
60
3
2 3
2
60
60
60
1
2
3
2
3
3
= =
= =
= = =
7.6 Teorema de Pitágoras e outras relações métricas
Em um triângulo retângulo (com um ângulo de 90º), a soma dos quadrados dos catetos é igual ao 
quadrado da hipotenusa, ou seja:
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a2 + b2 = h2
Onde a e b são os catetos e h é a hipotenusa. 
Outras relações métricas no triângulo retângulo
Além do Teorema de Pitágoras, existem outras relações métricas dentro do triângulo retângulo. 
Sejam:
• BC: hipotenusa de medida a
• AC: cateto de medida b
• AB: cateto de medida c
• AH: altura relativa à hipotenusa de medida b
• BH: projeção ortogonal de AB sobre a hipotenusa de medida n
• BC: projeção ortogonal de AC sobre a hipotenusa de medida m
H
b
B
c
C
A
n
a
m
Figura 84 – Triângulo retângulo ABC de lados c e b e altura h
A partir da figura anterior, podemos observar que:
• Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da 
medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considerado sobre a hipotenusa. 
b2 = a . m
c2 = a . n
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• Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à hipotenusa é igual ao 
produto das medidas dos segmentos que ela determina sobre a hipotenusa. 
h2 = m . n
• Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao produto da medida 
da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
b . c = a . h
Exemplo: dado o triângulo retângulo, calcule as medidas de a, b, c e h.
H
b
B
c
C
A
1,8cm
a
3,2cm
Figura 85
Solução:
a cm
b a m
b
b
b cm
= + =
=
=
=
=
18 3 2 5 0
5 3 2
16
4
2
2
2
, , ,
.
. ,
c a n
c
c
c cm
2
2
2
5 18
9
3
=
=
=
=
.
. ,
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h m n
h
h
h cm
2
2
2
3 2 18
5 76
2 4
=
=
=
=
.
, . ,
,
,
Vamos colocar tudo isso em prática resolvendo mais alguns exercícios:
1) Determine a hipotenusa do triângulo retângulo a seguir:
h
12
9
Figura 86
Solução:
a b h
h
h
h
h
2 2 2
2 2 2
2
2
12 9
144 81
225
15
+ =
+ =
+ =
=
=
( ) ( )
2) Calcule o valor de x. 
x+1
x
x‑1
Figura 87
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Solução:
Os catetos são x‑1 e x, e a hipotenusa, x+1. Portanto:
x x x
x x x x x
x x x
x x
−( ) + = +( )
− + + = + +
− − =
− =
1 1
2 1 2 1
2 2 0
4 0
2 2 2
2 2 2
2
2
Resolvendo a equação do 2º grau, temos:
f x x x
b ac
x
b
a
x
( ) = − =
= − = − ⋅ ⋅ =
=
− ±
=
±
=
±
→ =
2
2 2
1
4 0
4 4 4 1 0 16
2
4 16
2
4 4
2
0
∆
∆
eex2 4=
Os valores de x, portanto, são 0 e 1, mas, como o lado de um triângulo não pode ser zero, a única 
solução possível para x é 4. Assim, os lados do triângulo valem 4 e 3. Esses números são obtidos 
atribuindo‑se o valor x = 4 aos lados do triângulo.
3) Calcule o valor da expressão:
E
sen g
=
+( )
( ) + ( )
cos ” cos ”
” t ”
60 30
30 45
2
3 2
 
Solução:
E E
E
=
+




  + ( )
∴ =
+
+ ( )
∴ = =
1
2
3
2
1
2
1
1
2
3
4
1
8
1
5
4
9
8
10
9
2
3
2 2
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
 Saiba mais
As aplicações do Teorema de Pitágoras são inúmeras. Para saber mais 
sobre esse assunto, consulte o livro Descobrindo o Teorema de Pitágoras, de 
Imenes e Lellis (Scipione, 1997). 
7.7 Extensões dos conceitos de seno e cosseno
Considere a circunferência trigonométrica e seu arco AM de medida Ø, sabendo que esse ângulo 
varia de 0º a 90º.
2º quadrante
3º quadrante
1º quadrante
r
∅
0
4º quadrante
Sentido anti‑horário
Figura 88 – Circunferência trigonométrica dividida em quadrantes e seu arco AM
Considerando o triângulo retângulo, temos:
cos
s n
∅ = =
∅ = =
OP
OP
e
MP
MP
1
1 
Observamos que podemos escrever o cosseno e o seno como a abscissae a ordenada do ponto M, 
respectivamente.
Como o raio da circunferência é unitário, podemos escrever os pontos A, B, C e D como:
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Unidade IV
B(0,1)
C(‑1,0) A(1,0)
D(0,1)
Figura 89
Assim, podemos construir a tabela relacionando os valores dos senos e dos cossenos e suas abscissas 
e ordenadas. 
Tabela 10
Ângulo 0º 90º 180º 270º
Seno yA = 0 yB = 1 yC = 0 yD = ‑1 
Cosseno xA = 1 xB = 0 xC = ‑1 xD = 0
7.8 Variação dos sinais do seno e do cosseno
Como o seno de um arco está relacionada à ordenada y da extremidade do arco, podemos verificar, 
por meio da figura, como varia seu sinal. Na figura a seguir, mostramos que, como os valores da 
ordenada são positivos, no 1º e no 2º quadrante os valores do seno também são positivos. Já no 3º e no 
4º quadrante, a ordenada y é negativa, portanto os valores do seno também são negativos.
seno
+
-
+
-
Figura 90 – Variação do sinal do seno em função de sua posição no quadrante da circunferência trigonométrica
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No caso do cosseno que corresponde à abscissa x da extremidade do arco, os pontos das abscissas são os 
do 1º e do 4º quadrante, e os pontos de abscissas negativas são os do 2º e do 3º quadrante. Na figura, vemos a 
variação de sinal: 
cosseno
+
+
-
-
Figura 91 – Variação do sinal do cosseno em função de sua posição na circunferência trigonométrica
Agora, sabendo disso, como podemos calcular os valores do seno e do cosseno quando os ângulos 
estão, por exemplo, no 2º, 3º e 4º quadrantes? Se quisermos calcular, por exemplo, o valor do sen 120º, 
como deveremos proceder?
Para responder a essa questão, vamos voltar ao conceito de simetria. No ciclo trigonométrico, são 
interessantes três tipos de simetria: em relação ao eixo vertical, ao eixo horizontal e em relação ao 
centro. Neste estudo, vamos considerar um arco de medida r radianos e que pertença ao 1º quadrante 
correspondendo ao número real r.
Em relação ao eixo vertical, temos:
Seja P a imagem do número real r. O ponto simétrico em relação ao eixo principal será chamado de P”, 
imagem do número real π ‑ r, uma vez que os ângulos centrais assinalados na figura a seguir são congruentes.
r
P’’
π
r
P
(π ‑ r)
0
Figura 92 – Simetria de um ponto P em relação a um eixo vertical na circunferência trigonométrica
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Unidade IV
Por exemplo, considere a figura:
P’’
A
π r
P
0
3
4
pi pi
4
Figura 93
Os pontos P e P”, imagens dos números reais 
pi
4
 e pi
pi pi
− =
4
3
4
, respectivamente, apresentam 
simetria em relação ao eixo vertical. O mesmo ocorre com os pontos A e A’’.
Se a simetria ocorrer no eixo horizontal, poderemos afirmar que o número real que possui imagem 
simétrica à imagem de r é 2π ‑ a.
P’’ (2π‑r)
P ( r)
0
Figura 94 – Simetria em relação a um eixo horizontal de um ponto P na circunferência trigonométrica
Para exemplificar essa simetria, vamos analisar a figura:
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
P’’
P
0 60º
60º
Π
3
5
3
Π
Figura 95
Quando a simetria for em relação ao centro do eixo, ou seja, quando dois pontos são extremidades 
opostas de um diâmetro P e P”, a diferença entre os números correspondentes valerá π.
P (r)
0
P’’
(r+π)
Figura 96 – Simetria de um ponto P em relação ao centro do eixo O
Os pontos correspondentes aos números reais 
pi
6
 e 
7
6
pi
 são simétricos em relação ao centro O.
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Unidade IV
P’’
P
0
30º
pi
6
7
6
pi
Figura 97
Agora, tendo em mente esses conceitos de simetria, vamos voltar à nossa tabela de ângulos notáveis 
com seus valores de seno e cosseno.
Tabela 11
Ângulo 0º 30º 45º 60º 90º
Seno 0
1
2
2
2
3
2
1
Cosseno 1
3
2
2
2
1
2
0
Por exemplo, vamos calcular sen 150º e cos 150º.
O ângulo de 150º está no segundo quadrante; assim, já sabemos que o cosseno tem valor 
negativo, e o seno, positivo. Conforme podemos ver pela figura, os pontos P e M têm ordenadas 
iguais e abscissas opostas. 
163
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
(150º) M P (180º ‑ 150º = 30º)
cosseno
seno
A
Figura 98
Assim, temos que: 
s n ” s n ”
cos ” cos ”
e e150 30
1
2
150 30
3
2
= =
= − =
−
Vamos calcular o seno e o cosseno de 240º:
Traçando por M a reta que passa pelo centro da circunferência, obtemos o ponto P correspondente 
de M no 1º quadrante, conforme a figura:
(240º) M
P (240º ‑ 180º = 360º)
0
30º
cosseno
seno
Figura 99
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Unidade IV
Os pontos M e P têm abscissas e ordenadas opostas. 
Assim:
s n ” s n ”
cos ” cos ”
e e240 60
3
2
240 60
1
2
= − =
−
= − =
−
Determine o cosseno e o seno de 330º.
Solução: 
O ângulo de 330º pertence ao IV quadrante, portanto, tem ordenadas opostas e abscissas iguais.
M (330º)
A
P
cosseno
seno
Figura 100
Assim:
s n ” s n ”
cos ” cos ”
e e330 30
1
2
150 30
3
2
= − =
= =
 
7.9 Relação Fundamental da Trigonometria
Dado um arco trigonométrico de medida ∅, tem‑se:
cos sin∅( ) + ∅( ) =2 2 1 
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Essa é a chamada Relação Fundamental da Trigonometria, a partir da qual obtemos:
cos s n
s n cos
∅( ) = − ∅( )
∅( ) = − ∅( )
2 2
2 2
1
1
e
e
Dados s ne e∅ = < ∅ <3
5 2
pi
pi , calcule o valor de cos ∅.
cos s n
s n cos
cos
co
∅( ) + ∅( ) =
∅( ) = − ∅( )



 = − ∅( )
−
2 2
2 2
2
2
1
1
3
5
1
1
e
e
ss
cos
cos
cos
∅( ) =
∅( ) = −
∅( ) =
∅ = ±
2
2
2
9
25
1
9
25
16
25
4
5
Como 
pi
pi
2
< ∅ < , ∅ é um arco do 2º quadrante. 
Portanto, cos∅ = −4
5
. 
Sendo s n cose e∅ ∅
pi ∅ pi= < <2
2
3
2 , determine sen ∅ e cos ∅.
Usando a relação fundamental:
cos s n
s n cos
∅( ) + ∅( ) =
∅ = ∅
2 2 1
2
e
e
Substituindo a segunda equação na primeira, temos:
cos cos∅( ) + ∅( ) =2 22 1
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Unidade IV
Portanto, 5(cos ∅)2 = 1
cos
cos
∅( ) =
∅ = ±
2 1
5
5
5
Mas, como ∅ pertence ao 3º quadrante, temos que: 
cos∅ = − 5
5
Substituindo cos∅ = − 5
5
 na equação fundamental, resulta em:
cos s n
s n
s n
s n
∅( ) +∅( ) =
+ ∅( ) =
∅( ) = −
∅ = −
2 2
2
2
1
5
25
1
1
1
5
2 5
5
e
e
e
e
Outro exercício, agora envolvendo equação do segundo grau e a Relação Fundamental: 
Resolver a equação x2 ‑ 2x + (cos∅)2 = 1.
Solução:
x2 ‑ 2x + (cos∅)2 = 1
Vamos começar calculando o discriminante ∆.
∆ = − = − ∅( ) = − ∅( )b ac2 2 24 4 4 4 1cos ( cos )
Mas 1 ‑ (cos∅)2 = (sen∅)2
Logo, temos:
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
x
e
=
± ∅( )2 4
2
2s n
 
Portanto,
x
e
=
± ∅( )2 2
2
s n
Assim, a solução é:
S e e= + ∅ − ∅{ s n , s n }1 1
7.10 Lei dos Cossenos
A Lei dos Cossenos é uma importante ferramenta matemática para o cálculo das medidas dos lados 
e dos ângulos de triângulos quaisquer. Para demonstrá‑la, vamos considerar o triângulo ABC na figura 
a seguir.
ab
c
h
Hm
BA
b
δ
a
C
Figura 101 – Triângulo retângulo ABC de lados a, b e c e altura h
Sejam:
CH a altura relativa ao lado AB. 
AH a projeção ortogonal do lado AC sobre o lado AB.
BH a projeção ortogonal do lado BC sobre o lado AB.
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Unidade IV
Aplicando o Teorema de Pitágoras nos triângulos retângulos HBC e HAC, temos:
Triângulo HBC – h2 + (c ‑ m)2 = a2 (I)
Triângulo HAC – h2 + m2 = b2 (II)
Subtraindo (I) de (II), temos:
c m m a b
c cm m m a b
a b c cm
−( ) − = −
∴ − + − = −
∴ = + −
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2
2
2 (III)
Observando a relação no triângulo HAC, temos:
cos cos∝= → = ∝
m
b
m b
 (IV)
Substituindo (IV) em (III), obtém‑se:
a b c cb2 2 2 2= + − ∝cos
Assim, a Lei dos Cossenos pode ser enunciada como: 
Num triângulo qualquer, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos quadrados das 
medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das medidas desses lados pelo cosseno do 
ângulo formado por eles.
Exemplo: 
1) Vamos calcular o valor de x na figura:
x
8
3
Figura 102
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Solução:
Pela Lei dos Cossenos, temos:
x
x
x
Logo x
2 2 2
2
2
3 8 2 3 8 60
9 64 48
1
2
49
7
= + −
∴ = + −
∴ =
=
. . cos ”
.
, .
2) Calcule x na figura.
x
4
2
120o
Figura 103
Solução:
Pela Lei dos Cossenos, temos:
x
x
x
x
2 2 2
2
2
2
2 4 2 2 4 120
4 16 16
1
2
28
2 7
= + −
∴ = + − −




=
=
. . cos ”
O cos 120º foi calculado considerando‑se o fato de os ângulos de 120º e 60º serem suplementares, 
ou seja, acrescentando 60º a 120º, obtemos o valor de 180º. O sinal negativo do cos 120º vem do fato 
de esse ângulo estar no 2º quadrante.
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Unidade IV
3) Determine o valor de cos ∝.
6
4
2
a
Figura 104
Solução:
6 2 4 2 2 4
36 4 16 16
16 16
16
16
1
2 2 2
= + −
∴ = + −
= −
∝=
−
= −
. . cos
cos
cos
cos
α
α
α
7.11 Lei dos Senos
Um triângulo ABC qualquer está representado na figura a seguir e inscrito numa circunferência de 
centro O e raio R.
D
C
bc
O
δ
a
b
B
A
a
Figura 105 – Triângulo ABC inscrito na circunferência de raio R
Pela figura, vemos que AB = c, AC = b e BC = a são as medidas dos lados do triângulo ABC. 
Então, temos:
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a
e A
b
e B
c
e C
R
s n s n s n
= = = 2
Para demonstrar, vamos considerar BD o centro da circunferência e que o ângulo DÂB seja reto, uma 
vez que está inscrito numa semicircunferência. Portanto, temos:
s ne D
c
R
=
2
Os ângulos B e C estão inscritos na mesma circunferência e, portanto, são congruentes, o que 
implica que possuem o mesmo arco; logo, podemos afirmar que:
s n s n
s n
e C e D
c
R
R
c
e C
= = → =
2
2
 
Se traçarmos um diâmetro AD, teremos, da mesma maneira:
2R
b
e B
=
s n
Portanto, chegaremos a:
a
e A
b
e B
c
e C
R
s n s n s n
= = = 2
Vamos resolver alguns exercícios:
1) Determine o valor de x na figura, sabendo que a = 5√2. 
C
c
x a
BA
45º 30º
Figura 106
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Solução:
Pela Lei dos Senos, temos:
x
e e
x
x
s n ” s n ”30
5 2
45 1
2
5 2
2
2
5= → = → =
2) Calcule a medida do raio da circunferência circunscrita ao triângulo ABC da figura:
C
B
60º
A
8
Figura 107
Solução:
Sendo R o raio da circunferência, temos: 
8
60
2 2
8
3
2
16 3
3s ne
R R R
°
= → = → =
3) No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. 
Quanto vale o seno do ângulo B?
8 cm 6 cm
BA
C
30º
 
Figura 108
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Solução:
Aplicando a Lei dos Senos, temos:
8 6
30
8 30 6
8 30
6
4
6
s n s n ”
. s n ” . s n
s n
. s n ”
s n
e B e
e e B
e B
e
e B
=
=
=
=
4) Calcule x.
75º 45º
60º
x
5
Figura 109
Solução:
x
e e
x
x
s n ” s n ”45
5
60
2
2
5
3
2
5 2
3
5 6
3
=
=
= =
5) Qual é a área de um triângulo ABC em que c = 2 cm, b = 3 cm e  = 60º?
Solução:
Representando geometricamente:
174
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Unidade IV
2 cm
3 cm CA
B
60º
 
Figura 110
A área de um triângulo é dada por:
A
e
A
=
=
2 3 60
2
3
3
2
. s n ”
8 NÚMEROS COMPLEXOS 
Quando esse assunto aparece, os alunos se assustam com o nome e pensam que deve ser muito 
difícil, muito complexo mesmo, conforme o próprio nome diz. Quando falamos que esses números 
apresentam partes imaginárias, então confunde mesmo a cabeça de quem está aprendendo, ou seja, 
o estudante faz a seguinte pergunta: se vivo em um mundo real, por que tenho de estudar números 
imaginários?
O que você pode não saber é que os números complexos são utilizados em muitos campos da 
ciência, e sua origem começa na Europa, nos tempos do Renascimento, época de muitas descobertas e 
muito conhecimento.
Os números complexos e seu estudo desenvolveram‑se pela necessidade da solução da equação 
do segundo grau x2 + 1. Até o século XVI, não havia solução para essa equação, que apresenta raiz 
negativa. Conforme os anos foram passando, foi verificado que as equações do terceiro grau também 
não apresentavam soluções reais, então houve a necessidade de sanar esse problema usando números 
complexos.
Na época do Renascimento, na Europa, matemáticos e cientistas disputavam entre si quem fazia 
mais descobertas, quem desenvolviamais teorias, era um querendo ser melhor que o outro e se destacar, 
daí a razão de haver tantos estudos envolvendo um assunto.
O primeiro matemático a se aventurar no estudo das soluções da equação que apresentam raízes 
negativas foi o italiano Tartaglia (1500‑1557), que descobriu uma solução geral para a equação do 
tipo x3 + px = q, na qual p e q são números reais. Infelizmente, não publicou seus estudos. No entanto, 
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
ele tinha um amigo chamado Cardano (1501‑1576), que dividia com ele suas descobertas e quebrou o 
juramento feito a ele. Em sua obra, Ars Magna, publicou a fórmula de Tartaglia, o que gerou o impasse 
da raiz quadrada de um número negativo.
Bombelli (1526‑1573) observou os trabalhos dos dois matemáticos. Não se dando por vencido, 
continuou os estudos em busca de uma solução e considerou a raiz quadrada de ‑1 como número 
imaginário, desenvolvendo regras para sua utilização.
Tendo as regras estabelecidas, Euller (1707‑1783) usou pela primeira vez o símbolo i para representar 
a raiz quadrada de ‑1.
Por fim, Gauss (1777‑1855) fez um estudo mais profundo desses números e, com isso, introduziu a 
representação geométrica dos números complexos. Em 1832, utilizou a expressão números complexos 
que conhecemos hoje.
Os números complexos apresentam inúmeras aplicações no mundo moderno, como em Física, 
Matemática, Engenharia Elétrica, Computação Gráfica, entre outras ciências. Vale destacar aqui 
sua utilização em:
• Engenharia de Controle: existe um sistema de controle da quantidade de água e da taxa de 
saída em reservatórios que é feito de um modelo matemático que possibilita que se abram 
e fechem as válvulas por meio de um sistema elétrico regido por um modelo matemático 
envolvendo números complexos. Esse modelo pode ser aplicado também para controlar 
temperaturas de fornos, tanques etc.
• Física: o estudo dos buracos negros, regiões do espaço que possuem uma quantidade de massa 
tão grande que nada consegue escapar, nem mesmo a luz, desenvolvido brilhantemente pelo 
físico da universidade de Cambridge, Stephen Hawking, utiliza números complexos para definir o 
tempo imaginário, que é um dos aspectos centrais de sua teoria.
• Engenharia Elétrica: análise de circuitos de corrente alternada utilizados em instalações elétricas 
residenciais.
• Geometria Fractal: um fractal é uma forma cujas partes se assemelham a seu todo sob alguns 
aspectos, na qual é permitido desenhar ou modelar qualquer coisa ou fenômeno da natureza na 
tela de um computador (Computação Gráfica).
• Aerodinâmica: os números complexos são utilizados na elaboração de um modelo matemático 
que permite calcular a força de levantamento que torna possível a sustentação do voo de um 
avião (SMOLE, DINIZ, 2010).
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Unidade IV
8.1 Formulação matemática dos números complexos 
Quando começamos este livro‑texto, estudando os conjuntos, dissemos que o conjunto mais básico que 
tínhamos era dos números naturais. No entanto, como a matemática é uma ciência que evolui, novos conceitos 
são introduzidos para que problemas sejam solucionados. Assim, para resolver o problema da subtração entre 
números, foi criado o conjunto dos números inteiros, que possui números negativos e positivos. 
No entanto, foi observado que a divisão tinha de ser possível também, então um novo conjunto 
foi criado: o conjunto dos números racionais. Entretanto, dentro desse conjunto, equações do tipo 
x2 ‑ 2 = 0 não podem ser resolvidas, já que as soluções x = √2 e x = ‑√2 não satisfazem as propriedades 
do conjunto dos números racionais, ou seja, não podem ser representadas por uma fração. Para resolver 
essa questão, foi criado o conjunto dos números irracionais.
 A partir da união entre os conjuntos dos números irracionais e racionais, surgiu o conjunto dos 
números reais. Porém, se tivermos a condição x2 ≥ 0 e a equação x2 + 1 = 0, não existirá solução dentro 
do conjunto dos números reais, pois não existem raízes negativas. Assim, o conjunto dos números reais 
foi estendido para um conjunto maior, chamado números complexos.
O conjunto dos números complexos é formado por elementos que possuem as propriedades de soma, 
multiplicação e divisão, e também para que a raiz quadrada de um número negativo seja calculada.
Para que a radiciação seja sempre possível, foi definido o número i, não real, denominado número 
imaginário, que satisfaz a seguinte condição:
i2 = ‑1
Os números complexos podem ser definidos como um par ordenado de números reais ou escritos 
numa notação algébrica.
8.2 Forma algébrica dos números complexos
Todo número complexo pode ser escrito na forma z = a + ib, onde a e b são números reais e i é 
número imaginário.
A expressão z = a + ib é chamada forma algébrica do número complexo.
O número a é chamado parte real, e o número b, parte imaginária do número complexo.
Se a parte real for igual a zero, diremos que o número complexo é imaginário puro. Se a parte 
complexa for nula, diremos que o número complexo é real. Se ambas as partes forem diferentes de zero, 
diremos que é um número imaginário.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Exemplificando:
a) 2 ‑ 2i, a = 2 b= ‑2 é um número imaginário, pois tanto a parte real quanto a imaginária são 
diferentes de zero.
b) ‑2i, a = 0 b = ‑2 é um número imaginário puro, pois a parte real é igual a zero.
c) 2, a = 2 b = 0 é um número real, pois a parte imaginária é nula.
Assim, denota‑se por C o conjunto dos números complexos definido por:
C a ib a b R= +{ } { }{ }| ,
Exemplos: 
1) Determine o valor de x, x∈ R, de maneira que o número complexo seja real:
3 162+ −( )x i 
Solução:
Para que o número complexo seja real, a parte imaginária deve ser 0, ou seja:
(x2 ‑ 16) = 0
Resolvendo essa equação, temos x1 = 4 e x2 = ‑4. Portanto, para que o número complexo seja real, 
x assume os valores 4 e ‑4.
2) Determine x, x∈ R, tal que o complexo (x2 ‑ 16) + (‑x ‑ 4) i seja imaginário puro.
Solução:
Para que o número complexo seja um imaginário puro, devemos ter:
x2 ‑ 16 = 0 e ‑x ‑4 ≠ 0
Resolvendo x2 ‑ 16 = 0, obtemos duas soluções: x1 = 4 e x2 = ‑4. Como x ≠ 4, a única solução possível 
é ‑4. Portanto, para que o número complexo seja imaginário puro, x é igual a ‑4.
8.2.1 Igualdade entre dois números complexos
Dados os números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di, diremos que eles são iguais se, e somente se, 
a = c e b = d.
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Unidade IV
Por exemplo, calcule x e y de maneira que:
x ‑ 2y ‑ 2i = 10 + (4x ‑ y) i
Igualando a parte real e a imaginária, temos:
x y
x y
− =
− = −
2 10
4 2
Vamos resolver esse sistema pelo método da substituição. Para tanto, vamos isolar y na segunda 
equação e substituir na primeira:
4 2
2 4 2 10
8 4 10
2
6
x y
x x
x x
x
y
+ =
− +( ) =
− − =
= −
∴ = −
Logo, os números reais são ‑2 e ‑6.
8.2.2 Conjugado e propriedades de um número complexo
O conjugado de um número complexo z = a + bi, com a e b números reais, é o número z (lê‑se 
conjugado de z), tal que:
z = a ‑ bi
Assim:
• O conjugado de z = 3 + 2i é z = 3 ‑ 2i.
• O conjugado de z = 2i é z = ‑2i.
• O conjugado de z = 3é z = 3.
Adicionar dois números complexos significa somar as componentes reais dos números complexos e 
as partes imaginárias separadamente.
Sendo z1 = a + bi z2 = c + di, então Z1 + Z2 é igual a:
z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i 
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14
MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Somar z1 = 1 + 2i e z2 = 3 ‑ 4i
z1 + z2 = 4 ‑ 2i
 Efetue a soma:
z iez i
z z i
1 2
1 2
1 2 2
3 3
= + = +
+ = +
Propriedades da adição
• Associativa: z z z z z z z z z R1 2 3 1 2 3 1 2 3+( ) + = + +( )∀ ∈, ,
• Comutativa: z z z z z z z R1 2 2 1 1 2 3+( ) = +( )∀ ∈, ,
• Elemento neutro: existe um número x, x ∈ C, tal que z e e z z z C1 1 1 1+( ) = +( ) = ∀ ∈
• Elemento oposto: para cada número complexo, existe um número w, tal que (z1 + w) = (w + z1 ) 
= 0 . Os números z1 = a + bi e z1 = ‑a ‑bi são chamados elementos opostos. Exemplo: z1 = 2 + i e 
z1 = ‑2 ‑ i são opostos.
Subtração de números complexos
A diferença de dois números complexos z1 e z2 é dada por:
z z a c b d i
Subtrair z i e z i
z z i
1 2
1 2
1 2
1 2 3 4
2 2
− = −( ) + −( )
= − = −
− = − +
 Multiplicação de dois números complexos
A multiplicação de dois números complexos z1 e z2 é dada por:
z z ac bd cd bc i1 2. = −( ) + +( )
Por exemplo, efetuar o produto entre z1 = 1 ‑ 2i e z2 = 3 ‑ 4i
z z i1 2 5 10. = − −
As propriedades da multiplicação são as mesmas da adição, ou seja, associação, comutação e 
elemento neutro; no caso deste último, que difere da adição, o elemento neutro é 1.
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Unidade IV
Divisão de dois números complexos
A divisão de um número complexo z por um complexo não nulo w é o complexo k, ou seja:
kw = z
Vamos efetuar a divisão entre z1 = 2 e z2 = 3 + 5i
2
3 5
2
3 5
3 5 3 5
6 10
9 25
6 10
34
3 5
17+
=
−
+( ) −( ) =
−
+
=
−
=
−
i
i
i i
i i i
Devemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.
Outro exemplo:
2
1
2 1
1 1
2 2 1
2
1 3
2
+
−
=
+( ) +( ) =
−( ) +( )
+ + −
=
+i
i
i i
i i
i i i
 Saiba mais
Você conhece a Computação Quântica? Saiba que ela é uma nova e 
revolucionária ciência que utiliza números complexos em sua teoria. Quer 
saber mais? Consulte o livro Computational Complexity, de Papadimitriou, 
C., que descreve essa nova ferramenta.
Vejamos alguns exemplos.
1) Dados os números complexos z1 = 1 + 3i e z2 = ‑2 + i, calcule:
a) z1 + z2
b) (z1)2
c) z1 . z2
d) z1 + (z2)
2
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Solução:
a) z1 + z2 = 1 + 3i + ‑2 + i = ‑1 + 4i
b) (z1)
2 = (1 + 3i) (1 + 3i) = 1 ‑6i ‑ 9 = ‑8 ‑6i
c) z1 . z2 = (1 + 3i) (‑2 + i) = ‑2 + i ‑ 6i ‑ 3 = ‑5 ‑ 5i
d) z1 + (z2)
2 == 1 + 3i + (‑2 +i)2 = 1 + 3i + 4 ‑ 4i ‑ 1 = 4 ‑ i
2) Dado z = 1 + 2i, calcule o inverso multiplicativo de z.
Solução:
Calcular o inverso multiplicativo significa calcular z‑1, ou seja:
1 1
1 2
1 2
1 2 1 2
1 2
1 4
1 2
5z i
i
i i
i i
=
+
=
−
+( ) − =
−
+
=
−
( )
Logo,
1 1
5
2
5z
i
= −
3) Efetue as divisões:
a) 
( )
( )
1 1 1
1
1
+
=
+( ) −
−
=
−
= −
i
i
i i
i i
i
i 
b) ( )
( )
1
3 2
13 2
3 2 3 2
3 2
13+
=
−
−( ) + =
−
i
i
i i
i
c) 
( )
1
1
1 1
1 1
1
2+
=
−( )
+( ) − =
−
i
i
i i
i
4) Seja z = (3 ‑ x) + (x ‑ 2)i, determine os valores de x para que:
a) a parte real de z seja igual a 2;
b) a parte imaginária de z seja igual a ‑4.
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Unidade IV
Solução:
a) Para que a parte real seja igual a 2, devemos obter os valores de x, tais que:
(3 ‑ x) = 2 → x = 1
b) Para que a parte imaginária seja igual a ‑4, devemos obter os valores de x, tais que:
(x ‑ 2) =‑4 → x = ‑2
5) Determine x ∈ R, tal que z
i
xi
=
+
−
1 2
1
 seja imaginário puro.
Solução: 
Vamos escrever z na forma algébrica; para tanto:
z
i
xi
xi
xi
xi i xi
x
z
x x i
=
+
−
+
+
=
+ + +
+
=
−( ) + +( )
( )
( )
( )
( )
1 2
1
1
1
1 2 2
1
1 2 2
2
2
11
1 2
1
2
1
2
2 2
+
=
−
+
+
+
+
x
z
x
x
i x
x
( )
Para que seja imaginário puro, a parte real deve se anular. Portanto:
1 2
1
0
1
22
−
+
= → =
x
x
x
Assim, o valor de x que torna o número complexo z imaginário puro é 3.
8.2.3 Representação geométrica e forma cartesiana dos números complexos
Os números complexos podem ser representados de várias formas. Vimos a forma algébrica, em que 
os complexos podem ser representados por z = a + ib. Outra maneira de representá‑los é por meio de 
um par ordenado (x, y) de números reais. Assim, z = a + ib pode ser representado por z = (a, b).
No início do século XIX, Gauss observou que cada ponto de uma reta corresponde a um número real, 
e cada ponto do plano pode ser associado a um número complexo. No eixo das abscissas, representamos 
a parte real de z, e, no eixo das ordenadas, a parte imaginária de z.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
y
b
a
P (a, b)
x 
Figura 111 – Número complexo com parte real a e parte imaginária b representados pelo ponto P num plano cartesiano
O plano XOY é chamado Plano de Argand‑Gauss.
Dados os complexos, localize no plano complexo os pontos correspondentes:
a) z = 4 + 2i
y
4
2
P (4, 2)
x 
Figura 112
b) ) z = ‑3i
y
‑ 3
x
 
Figura 113
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Unidade IV
c) z = 4
y
4
x 
Figura 114
d) z = 2 ‑ 2i
‑2
y
2
P (2, ‑2)
x
 
Figura 115
e) z = ‑2 + 2i
‑ 2
2
x
y
P (‑2, 2)
 
Figura 116
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Exemplo:
1) Localize os pontos do plano correspondentes aos números complexos:
a) a = 3
b) a ≥ 0 e b ≤ 0
c) a < 0 e b = 0
Solução:
a) Para a = 3, temos:
0 1
y
2 3 x
 
Figura 117
b) a ≥ 0 e b ≤ 0
y
x
Figura 118
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Unidade IV
c) a < 0 e b = 0
x
y
Figura 119
8.2.4 Módulo de um número complexo
Dado um número complexo z = a + ib, a distância do ponto (a, b) ao ponto (0, 0) do plano de 
Argand‑Gauss é chamada módulo.
y (a, b)
b
(0, 0) a x
ρ
 
Figura 120 – Representação do módulo de um número complexo no Plano de Argand‑Gauss
O módulo de um número complexo é dado por:
ρ = = +z a b2 2
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
1) Vamos calcular o módulo dos seguintes números complexos:
a z i
z
b z i
z
)
)
= − +
= = −( ) + ( ) = + = =
=
= = ( ) = =
5 12
5 12 25 144 169 13
4
4 16
2 2
2
ρ
ρ 44
1 2
1 2 1 4 5
3 2
3 2 3 2
2 2
2 2
c z i
z
d z i
z
)
)
= − −
= = −( ) + −( ) = + =
= +
= = ( ) + ( ) = + =
ρ
ρ 55
2) Determine a distância do ponto A (1, 2) ao ponto B (5, ‑1).
Solução:
Podemos escrever esses pontos na forma complexa como:
z i
w i
z w i
D A B z w i
= +
= −
− = − +
( ) = − = − + = + =
1 2
5
4 3
4 3 16 9 5,
8.2.5 Argumento de um número complexo
Denomina‑se argumento de um número complexo z não nulo a medida do ângulo formado por OP 
com o semieixo real OX, medido no sentido anti‑horário, conforme mostra a figura a seguir:
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Unidade IV
y (a, b)
b
P
∅
(0, 0) a x
ρ
 
Figura 121 – Argumento do número complexo z no plano de Argand‑Gauss
 Lembrete
Todo número complexo não nulo apresenta uma infinidade de 
argumentos, e quaisquer deles diferem de 2π.
Chamamos de argumento principal o argumento pertencente ao intervalo [0,2π] sendo representado 
por ∅ =arg (z).
 Observação
Devemos observar que cos s n∅ = ∅ =
a
P
e e
b
P
.
Vejamos alguns exemplos.
1) Determinar o módulo, o argumento e fazer a representação geométrica do complexo 
z = √3 + i 
Primeiro, vamos determinar as partes real e imaginária:
Parte real: a = √3.
Parte imaginária: b = 1.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Calculando o módulo, temos:
ρ = = ( ) + ( ) = =z 3 1 4 22 2
Vamos calcular os senos e os cossenos de ∅:
cos
sin
∅ = = =
∅ = =
a
P
b
P
3
2
3
2
1
2 
Assim, encontrados os valores dos senos e dos cossenos, resta‑nos encontrar qual é o ângulo 
associado a eles:
∅ = ∅ =pi
6
30ou º
A representação geométrica é:
y
1
0 x
30º
ρ
√3 
Figura 122
2) Vamos calcular o número complexo z, de modo que |z| = 2 e |z ‑ i| = 1.
Primeiramente, escrevemos o número complexo como z = a + ib.
Sabemos que:
a ib a b
a ib i a ib i a i b a b
+ = + =
+ − = + − = + − = + − =
2 2
2 2
2
1 1 1( ) ( )
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Unidade IV
Temos duas equações:
a b
a b
2 2
2 2
2
1 1
+ =
+ − =( )
Elevando‑se ao quadrado ambas as equações, temos:
a b
a b
2 2
2 2
4
1 1
+ =
+ − =( )
Reescrevendo as equações, temos:
a b
a b b
2 2
2 2
4
2 1 1
+ =
+ − + =
Calculando a diferença entre as equações, temos:
2 1 3 2
0
b b
a
− = → =
∴ =
Lembrando que z = a + ib → z = 2i.
8.2.6 Forma trigonométrica dos números complexos 
Vimos que um número complexo z = a + ib pode ser representado por um ponto no plano de coordenadas 
(a, b). Quando o número complexo é representado dessa forma, dizemos que está em sua forma cartesiana. 
Esse mesmo ponto pode ser representado também por suas coordenadas polares, que são:
• o módulo do vetor indicado por |z| ou P, que representa a distância do ponto p à origem do plano;
• o ângulo ∅, em que 0 ≤ ∅ ≤ 2π que o vetor oz forma com o eixo x, ou seja, o argumento de z.
y
b
0 x
∅
ρ = |z|
Z = a + ib ou P (a,b)
a 
Figura 123
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Quando estudamos Trigonometria, vimos que:
cos s n∅ = ∅ =a
z
e e
b
z
Isso nos leva a:
cos cos
s n s n
∅ = → = ∅
∅ = → = ∅
a
z
a z
e
b
z
b z e
Se z = a + ib, temos:
z z i z e= ∅ + ∅cos s n , 
que é a forma trigonométrica ou a forma polar de z.
Como exemplo, vamos resolver alguns exercícios:
1) z = 1 + i
a = 1 e b = 1
Então:
z i
a z
e
= + = + =
∅ = = → ∅ = ∴ =
∅ = = → ∅ =
1 1 1 2
1
2
2
2
45 45
1
2
2
2
45
2 2
cos ” cos ”
s n ”” s n ”∴ =b z e 45
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Unidade IV
0
|z|
Z = 1 + i
∅ = 45º
1
y
1 x
Figura 124
Assim, a forma trigonométrica de z é dada por:
z z i z e
z i e
= ∅ + ∅
= +
cos s n
cos ” s n ”2 45 2 45
Em radianos:
z i e
z i e
= +
= +
2 45 45
2
4 4
(cos ” s n ”)
(cos s n )
pi pi
2) z = 1 + √3 i
a = 1 e b = √3
Então:
z i
a z
e
= + = + ( ) =
∅ = → ∅ = ∴ =
∅ = → ∅ = ∴
1 1 3 2
1
2
60 60
3
2
60
2 2
cos º cos º
s n º bb z e= s n º60
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
0
|z|
Z = 1 + √3i
∅ = 60º
√3
y
1 x 
Figura 125
Assim, a forma trigonométrica de z é dada por:
z z i z e
z i e
= ∅ + ∅
= +
cos s n
cos ” s n ”2 60 2 60
Em radianos:
z i e
z i e
= +
= +
2 60 60
2
3 3
(cos ” s n ”)
(cos s n )
pi pi
Vamos fazer o contrário: agora, vamos escrever na forma algébrica os seguintes números complexos:
a) z i e= +



2 4 4cos s n
pi pi
b) z i e= +



3 2 2cos s n
pi pi
c) z i e= +



8 7 4 7 4cos s n
pi pi
194
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Unidade IV
Solução:
a z i e
z i e i
z
) cos s n
cos s n
co
= +




= +



 = +
=
2
4 4
2
4 4
2
2
2
2 2
2
2
pi pi
pi pi
ss s n
pi pi
4 4
2 2+

 = +i e i
b z i e
z i e
z i e
) cos s n
cos s n
cos s n
= +




= +




= +
3
2 2
3
2 2
3
2
pi pi
pi pi
pi pi
22
3 0
3




= +( )
=
z i
z i
c z i e
z i e
) cos s n
cos s n
= +




= +




8 7
4
7
4
8 7
4
7
4
pi pi
pi pi
8.2.7 Multiplicação, divisão e potenciação de dois números complexos na forma 
trigonométrica
Dados os números completos z1 e z2, escritos na forma trigonométrica:
z z i z e
z z i z e
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
= ∅ + ∅
= ∅ + ∅
cos s n
cos s n
 
O produto é:
z z z z i e1 2 1 2 1 2 1 2= ∅ + ∅ + ∅ + ∅[ ]cos( ) s n( 
Sejam z1 e z2 os números complexos: z1 = 3cos 30º + 3i sen 30º e z2 = 5cos 45º + 5i sen 45º, que 
número complexo representa o produto de z1 por z2?
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
O produto é dado por:
z z z z i e
z z i e
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 3 5 35 45
= ∅ + ∅ + ∅ + ∅[ ]
= + +
cos( ) s n(
. cos( ” ”) s n(335 45º º+[ ]
Logo, o produto pedido será:
z z i e1 2 3 5 75 75= +[ ]. cos( ”) s n( ”) 
Sejam os complexos z1 = 4cos 60º + 4i sen 60ºe z2 = cos 90º + i sen 90º, qual a forma algébrica do 
complexo formado pelo produto de z1 por z2?
O produto é:
z z i e
z z i e
1 2
1 2
4 60 90 60 90
4 150 150
= + + +[ ]
= +
cos( ” ”) s n( ” ”
cos( ”) s n( ”))[ ]
Como 30º = (180º ‑ 150º), temos que sen (150º) = sen (30º) e cos (150º) = ‑cos (30º), pois 150º está 
no terceiro quadrante.
Substituindo, temos:
z z i
z z i
1 2
1 2
4
3
2
1
2
2 3
=
−
+




= − + 
Divisão de dois números complexos na fórmula trigonométrica
Dados os números completos z1 e z2, escritos na forma trigonométrica:
z z i z e
z z i z e
1 1 1 1 1
2 2 2 2 2
= ∅ + ∅
= ∅ + ∅
cos s n
cos s n
A divisão é:
z z z z i e1 2 1 2 1 2 1 2: : cos( ) s n(= ∅ − ∅ + ∅ − ∅[ ] 
Dados os complexos z1 = 10 cos 90º + 10i sen 90º e z2 = 2 cos 30º + 2i sen 30º, qual a forma algébrica 
do complexo formado pela divisão de z1 por z2?
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Unidade IV
O quociente será:
z z z z i e
z z i e
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 5 90 30
: : cos( ) s n(
: cos( ” ”) s n
= ∅ − ∅ + ∅ − ∅[ ]
= − + (( ” ”90 30−[ ]
Potenciação de números complexos
Dado o número complexo: 
z z i z e1 1 1 1 1= ∅ + ∅cos s n
Temos que:
z z z i e
z z z i e
1
2
1 1 1 1 1 1
1
2
1 1 12 2
( ) = ∅ + ∅ + ∅ + ∅[ ]
( ) = ∅ +
cos( ) s n(
cos( ) s n( ∅∅[ ]
( ) = ( ) ∅ + ∅[ ]
1
1
2
1
2
1 12 2
)
cos( ) s n( )z z i e
z z z z i e
z z z z
1
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1
3
1 1 1 3
( ) = ∅ + ∅ + ∅ + ∅ + ∅ + ∅[ ]
( ) =
cos( ) s n(
cos( ∅∅ + ∅[ ]
( ) = ( ) ∅ + ∅[ ]
( ) = ( )
1 1
1
3
1
3
1 1
1
4
1
4
3
3 3
) s n( )
cos( ) s n( )
i e
z z i e
z z ccos( ) s n( )
cos( ) s n( )
4 4
5 5
1 1
1
5
1
5
1 1
∅ + ∅[ ]
( ) = ( ) ∅ + ∅[ ]
i e
z z i e
Observamos que cada resultado apresenta o módulo elevado ao expoente de z1 e o argumento 
multiplicado por esse expoente. Tais resultados podem ser generalizados pelo teorema fundamentado 
pelo francês Abraham de Moivre (1667‑1754), que diz:
Se z1 = |z1 |cos ∅1 + i|z1 | sen ∅1, então a forma trigonométrica do número complexo z1 e sua 
potência n é:
z z n i e n
n n
1 1 1 1( ) = ( ) ∅ + ∅[ ]cos( ) s n( )
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Sendo z1 = 2cos 30º + i2 sen 30º, calcule (z1)
10.
Solução:
z i e
z i
1
10 10
1
10
2 300 300
1024
1
2
3
2
( ) = ( ) +[ ]
∴ ( ) = −


cos( ”) s n( ”)

Calcule o módulo do número complexo (1 + 3i)4.
Solução:
O desenvolvimento binomial da potência é possível, mas escrever o complexo na forma trigonométrica 
facilita os cálculos. Assim: 
z i z
z i
= +( ) → = ( ) + ( ) =
= +( ) = ( ) =
1 3 1 3 10
1 3 10 100
2 2
4 4 4
 
Dado o número complexo z i e= +cos s n
pi pi
6 6
, qual o valor de z12?
Solução:
Usando a fórmula de Moivre, temos:
z z n i e n
z
n n
1 1 1 1
1
12 121 12
6
( ) = ( ) ∅ + ∅[ ]
( ) = ( ) 

 +
cos( ) s n( )
cos .
pi
ii e
z i e
s n( . )
cos . s n( . )
12
6
1 12
6
12
61
12 12
pi
pi pi




( ) = ( ) 

 +




( ) = ( ) + z i e1 12 1 2 2cos s n( )pi pi
Se um número complexo tem módulo igual a √2 e argumento igual a 
pi
4
, calcule as partes real e 
imaginária do número complexo (z1)
7.
Solução:
A forma trigonométrica do complexo é dada por:
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Unidade IV
z i e1 2 4 4
=



 +



cos s n( )
pi pi
Logo:
z i e
z
1
7 7
1
7
2
7
4
7
4
8 2
7
4
( ) = ( )   +


( ) =
cos s n( )
cos
pi pi
pi


 +




( ) = −



= −
i e
z i i
s n( )
7
4
8 2
2
2
2
2
8 81
7
pi
A parte real, portanto, é 8, e a imaginária, ‑8.
Calcule o valor de (1 + i)10 + (1 ‑ i)10.
Solução:
Escrevendo cada um dos complexos em sua forma trigonométrica, temos:
1 2
4 4
1 2
1010 10
+ =



 +




→ +( ) = ( )
i i e
i
cos s n( )
cos
pi pi
pi
44
10
4
32
5
2
5
2
32

 +



 =



 + =i e i es n( ) cos s n( )
pi pi pi
11 2
3
4
3
4
1 2
3010 10
− =



 +




→ −( ) = ( )
i i e
i
cos s n( )
cos
pi pi
s n( ) cos s n(
pi pi pi pi
4
30
4
32
15
2
15


 +



 =



 +i e i e 22 32
1 1 32 32 010 10
)
,
= −
+( ) + −( ) = − =Logo i i
Mais alguns exercícios para fixação:
1) Sendo z i e e z i e1 26 20 20 5 40 40= +( ) = +( )cos ” s n ” cos ” s n ” , calcule z1 . z2.
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Solução:
z z i e
z z i e
1 2
1 2
6 5 20 40 20 40
30 60
. .
.
cos ” ” s n( ” ” )
cos ” s n
= +( ) + +( )
= ( ) + (( ” )
n , .
.
.
60
30
1
2
3
2
30
1
2
3
2
1 2
1 2
( )
= +




= +




z z i
Porta to z z i
 2) Sendo z i e e z i e1 210 80 80 5 35 35= +( ) = +( )cos ” s n ” cos ” s n ” , calcule z
z
1
2
.
Solução:
z i e
z i e
z
z
1
2
1
2
10 80 80
5 35 35
10
2
80
= +( )
= +( )
= −
cos ” s n ”
cos ” s n ”
cos( ” 335 80 35
5 45 45
5
2
2
1
2
1
2
º s n( º ))
cos( º s n( º ))
(
( ) + −
= ( ) +
= +
i e
z
z
i e
z
z
ii
2
2
)
3) Qual o conjugado de z
i
i
=
+
−
2
7 3
?
Solução:
Primeiro, vamos escrever o polinômio na forma algébrica, ou seja:
z
i
i
i
i
z
i i
z
i
=
+
−
+( )
+( )
=
+ + −
+
=
+
2
7 3
7 3
7 3
14 6 7 3
49 9
11 13
58
.
O conjugado é obtido mudando‑se o sinal da parte imaginária do número complexo.
Portanto, o conjugado de z
i
=
+11 13
58
 é z
i
=
−11 13
58
.
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Unidade IV
4) No período da Revolução Científica, a humanidade assistiu a uma das maiores invenções da 
Matemática que irá revolucionar o conceito de número: o número complexo. Rafael Bombelli 
(1526/1572), matemático italiano, foi o primeiro a escrever as regras de adição e multiplicação 
para os números complexos.
Dentre as alternativas a seguir, assinale aquela que indica uma afirmação incorreta.
A) O conjugado de (1 + i) é (1 ‑ i).
B) |1 + i| = √2.
C) (1 + i) é raiz da equação z2 ‑ 2z + 2.
D) (1 + i)–1 = (1 ‑ i).
E) (1 + i)2 = 2i.
Solução:
A alternativa A está correta, pois o conjugado de um número complexo é obtido trocando‑se o sinal 
da parte imaginária. 
1 1 22 2+ = + =i i , portanto a alternativa B está correta.
Se (1 + i) é raiz da equação z2 ‑ 2z + 2, então:
( ) ( )1 2 1 2 0
1 2 1 2 2 2 0
2+ − + + =
+ − − − + =
i i
i i
Portanto, a alternativa C está correta.
(1 + i)–1 = (1 ‑ i)
Analisando a opção D, temos que: 
1
1
1
1+( ) =
+
−i
i
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
Na forma algébrica, pode ser escrito como:
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
+( ) =
+
−
−
+( ) = −
−
−
i
i
i
i
i
i
( )
( )
Portanto, a alternativa D é a incorreta. 
 Resumo
Nesta unidade, vimos dois dos principais tópicos da Matemática: 
Trigonometria e Números Complexos. 
A Trigonometria apresenta diversas aplicações, em vários ramos da 
ciência, como na eletricidade, na mecânica, na acústica, na música, entre 
outros, e não se limita ao estudo de triângulos, mas se estende a situações 
em que se deseja estudar objetos que não são diretamente acessíveis, como 
a distância entre a Lua e a Terra. 
Aprendemos o que é um ângulo e como ele pode ser medido, o Teorema 
de Pitágoras, fundamental para a solução dos problemas em Trigonometria, 
as principais medidas em Trigonometria, as Leis dos Senos e dos Cossenos 
e como tudo isso pode ser utilizado para resolver problemas envolvendo 
triângulos.
Quando falamos de Números Complexos, começamos com um 
breve histórico de seu surgimento e da necessidade de se obter uma 
solução para equações que não apresentavam raízes reais. Vimos que 
diversas são as aplicações dos números complexos no mundo moderno, 
principalmente, em Física, em estudos de eletromagnetismo, buracos 
negros, e também em Engenharia e na descrição de objetos denominados 
fractais.
Vimos as principais propriedades dos números complexos e que 
eles podem ser escritos nas formas cartesiana e polar (trigonométrica). 
Aprendemos a somar, multiplicar, dividir e calcular potências envolvendo 
esses números.
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Unidade IV
 Exercícios
Leia o texto a seguir para responder à questão 1.
Desenha‑se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos correspondentes aos números 
complexos z1, z2 e z3, que são raízes cúbicas da unidade. Desenha‑se também o triângulo S, com vértices 
nos pontos correspondentes aos números complexos, w1 w2 e w3, que são raízes cúbicas complexas de 8.
Questão 1. (Enade 2005) Com base no texto anterior, assinale a opção correta.
A) z i= − +
3
2
1
2
 é um dos vértices do triângulo T.
B) 
w e
i
= 2 3
pi
 é um dos vértices do triângulo S.
C) w1z1 é raiz da equação x
6 – 1 = 0.
D) Se w1 = 2, então w w2
2
3= .
E) Se z1 = 1, então z2 é o conjugado complexo de z3.
Resposta correta: alternativa E.
Justificativa geral
De acordo com o enunciado, para o triângulo T, temos:
· 1
3
, módulo 1 e argumento 0º.
· 1 1
360 0
3
360 0
3
3
=
+


 +
+









cos .
o o o oK
i sen
K
· K i seno o= → + =0 1 0 0 1(cos . )
· K i sen io o= → + = − +1 1 120 120
1
2
3
2
(cos . )
· K i sen io o= → + = − −2 1 240 240
1
2
3
2
(cos . )
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MATEMÁTICA PARA COMPUTAÇÃO
De acordo com o enunciado, para o triângulo S, temos:
· 83 , módulo 2 e argumento 0º
· 8 2
360 0
3
360 0
3
3
=
+


 +
+









cos .
o o o oK
i sen
K
· K i seno o= → + =0 2 0 0 2(cos . )
· K i sen io o= → + = − +1 2 120 120 1 3(cos . )
· K i sen io o= → + = − −2 2 240 240 1 3(cos . )
Análise das alternativas
A) Alternativa incorreta.
Jusficativa: os vértices do triângulo T são 1, − +
1
2
3
2
i e − −
1
2
3
2
i .
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: 2 2
3 3
2
1
2
3
2
1 33e isen i i
i.
cos
pi
pi pi
= +



 = +



 = + . Os vértices do triângulo S são 2, 
− + − −1 3 1 3i e .
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: o produto de w1z1 tem módulo dado pelo produto do módulo de w1, pelo módulo de z1, 
isto é, módulo 2. Veja que 16 tem módulo 1.
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: w2
2 não pode ser w3, pois w2
2 tem módulo 4 e w3 tem módulo 2.
E) Alternativa correta.
Justificativa: Z1=1, Z i2
1
2
3
2
= − + e Z i2
1
2
3
2
= − + e Z i3
1
2
3
2
= − − . Z2 é o conjugado de Z3.
Questão 2. (Enade 2007) No plano complexo, a área do triângulo de vértices é 2i, e
i
pi
4 , e
i
3
4
pi
 é:
A) 
1
2
204
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Unidade IV
B) 2
C) 2
1
2
−
D) 2 2 2−
E) 1
2
2
1
2
−




Resolução desta questão na plataforma.
205
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FIGURAS E ILUSTRAÇÕES
Figura 10
Q=BUTTERFLY&SORT=POP&PHOTO_LIB.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/archive#/?q
=butterfly&sort=pop&photo_lib=morgueFile>. Acesso em: 1 abr. 2014.
Figura 11
Q=LEAF&SORT=POP&PHOTO_LIB.JPG. Disponível em: <http://www.morguefile.com/
archive#/?q=leaf&sort=pop&photo_lib=morgueFile>. Acesso em: 1 abr. 2014.
REFERÊNCIAS
Audiovisuais
2012. Direção: Roland Emmerich. Estados Unidos: Columbia Pictures, 2012. VHS (158 min).
O HOMEM bicentenário. Direção: Chris Columbus. Estados Unidos: Columbia Pictures, 1999. VHS (130 
min).
TERREMOTO. Direção: Mark Robson. Estados Unidos: Universal Pictures, 1974. VHS (123 min). 
WALL‑E. Direção: Andrew Stanton. Estados Unidos: Walt Disney Pictures, 2008. VHS (98 min).
REFERÊNCIAS 
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ÁVILA, G. Cálculo 1: funções de uma variável. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1982.
BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matemática, 
1985.
BARUFFI, M. C. B.; LAURO, M. M. Funções elementares, equações e inequações: uma abordagem usando 
microcomputador. São Paulo: CAEM‑IME‑USP, 2011.
BOMBELLI, R. L ‘Algebra. Milão: Feltrinelli, 1966.
BONJORNO, J. R.; GIOVANNI, J. R. Matemática fundamental: ensino médio. São Paulo: FTD, 2011.
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BOYER, C. B. História da matemática. São Paulo: Edgard Blucher, 1991.
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CERRI, C.; MONTEIRO, M. História dos números complexos. São Paulo: USP, 2011.
DANTE, L. R. Didática da resolução de problemas da matemática. São Paulo: Ática, 1997.
DANTE, L. R. Matemática aula por aula. São Paulo: FTD, 2005.
DUARTE, O. Futebol, regras e comentários. São Paulo: Senac, 1993.
EULER, L. Elementos d’algebra. Rio de Janeiro: Impressão Régia, 1809.
GARBI, G. G. O romance das equações algébricas. São Paulo: Livraria da Física, 2007.
HIERTZ, J. G. L. A popularização da computação gráfica e os atores digitais. Disponível em: <http://
www.ufscar.br/~cinemais/artcomputacao.html>. Acesso em: 1 abr. 2014.
IEZZI, D.; DOLCE, O.; DEGEMSZAJN, R. Matemática. 5. ed. São Paulo: Atual, 2011.
IMENES, L. M. P.; LELLIS, M. C. Descobrindo o teorema de Pitágoras. 12. ed. São Paulo: Scipione, 1997.
PAIVA, M. R. Matemática: conceitos, linguagem e aplicações. Ensino Médio. São Paulo:Moderna, 
2009. v. 3.
PAPADIMITRIOU, C. Computational complexity. Inglaterra: Addison Wesley/Longman, 1994.
 SIMMONS, G. F. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: McGraw‑Hill, 1925.
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Janeiro: Universidade Federal Fluminense, Instituto de Matemática, 1999.
SOUZA, J. Um novo olhar: matemática. São Paulo: FTD, 2010.
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Sites 
<http://www.profezequias.net>.
Exercícios
Unidade I – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Computação. Questão 
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13. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/COMPUTACAO.pdf>. 
Acesso em: 18 abr. 2014.
Unidade I – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
20. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 18 abr. 2014.
Unidade II – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
11. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 18 abr. 2014.
Unidade II – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
31. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 18 abr. 2014.
Unidade III – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
23. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 18 abr. 2014.
Unidade III – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Matemática. Questão 
11. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2005_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 18 abr. 2014.
Unidade IV – Questão 1: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2005: Matemática. Questão 
20. Disponível em: < http://download.inep.gov.br/download/enade/2005/provas/MATEMATICA.pdf >. 
Acesso em: 18 abr. 2014.
Unidade IV – Questão 2: INSTITUTO NACIONAL DE ESTUDOS E PESQUISAS EDUCACIONAIS ANÍSIO 
TEIXEIRA (INEP). Exame Nacional de Desempenho dos Estudantes (Enade) 2008: Matemática. Questão 
17. Disponível em: <http://download.inep.gov.br/download/Enade2008_RNP/MATEMATICA.pdf>. 
Acesso em: 18 abr. 2014.
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