Problemas de Geometria e Trigonometria

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Usando uma equação, determine a medida de cada ângulo do triângulo:
 
Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo é 180°.
Então, 6x + 4x + 2x = 180°
12x = 180°
x = 180°/12
x = 15°
Os ângulos são: 30°, 60° e 90°.
Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é:
Reta r e s paralelas e interceptadas por retas t e u transversais
a) 100°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
Para analisar as duas retas paralelas r e s cortadas pela duas retas transversais t e u, faremos as marcações coloridas de ângulos que podem ser identificados na figura:
Análise dos ângulos da questão 3
Observe que o ângulo de 20° e o ângulo y, destacados em vermelho, podem ser classificados como alternos externos, pois estão em lados “alternados” à reta ue são “externos” às retas r e s, portanto, podemos afirmar que esses ângulos possuem a mesma medida, isto é, y = 20°.
Podemos ainda afirmar que o ângulo x', destacado em verde, é correspondenteao ângulo x, sendo então de mesma medida (x = x'). Temos ainda também que os ângulos x' e 70° são suplementares, logo:
x' + 70° = 180°
x' = 180° – 70°
x' = 110°
x = 110°
A soma x + y resulta em 130°, e a alternativa correta é a letra c.
Questão 2 (Petrobrás 2017 – Cesgranrio). Um arame de extremidades C e D e 8 cm de comprimento é dobrado de modo a formar um triângulo equilátero ABC mantendo os pontos B, C e D alinhados, conforme a Figura a seguir.
Qual a distância, em centímetros, entre os pontos A e D?
(A) √3
(B) 2√3
(C) 4√3
(D) 2
(E) 4
 
Resolução
Podemos resolver a questão traçando a reta AD e “brincando” com os ângulos dos triângulos.
Como o arame mede 8 cm, AC = AB = BC = CD = 2 cm.
Como ABC é um triângulo equilátero, cada ângulo interno mede 60º, de onde podemos concluir que o ângulo externo mede 120º.
No retângulo abaixo, determine as medidas de x e y indicadas:
12 x + 2° + 5 x + 3° = 90°
17 x + 5° = 90°
17 x = 90° - 5°
17 x = 85°
x = 85° / 17° = 5°
y = 5x + 3°
y = 5 (5°) + 3°
y = 28°
Sabendo que as retas a, b e c são paralelas, utilize o Teorema de Tales e determine o valor de x na figura a seguir:
Pelo Teorema de Tales temos que:  . Aplicando a propriedade das proporções, na igualdade entre as razões, determinaremos o valor de x, veja:
     
Como o valor de x'' = - 1,5 não é interessante para nós, o único valor possível de x que satisfaz a proporção é x' = 6.
Qual é a medida do segmento AB?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
O caminho mais fácil para descobrir a medida do segmento AB é calcular o segmento DE por meio do teorema de Pitágoras e usar proporcionalidade para encontrar o segmento AB ou, então, usar proporcionalidade para encontrar a medida de BC e o teorema de Pitágoras para encontrar AB.
Para tanto, é preciso mostrar que os triângulos são semelhantes. Isso é verdade, pois possuem dois ângulos congruentes, o que configura o caso de semelhança AA. Assim sendo, calcularemos BC:
BC = 4
10     8
8BC = 10·4
8BC = 40
BC = 40
         8
BC = 5
Agora, usando o teorema de Pitágoras, teremos:
52 = AB2 + 42
25 = AB2 + 16
– AB2 = 16 – 25
– AB2 = – 9
AB2 = 9
AB = √9
AB = 3
Gabarito: Letra C.
Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião.
2º) Um terreno tem formato quadrado e a medida de sua diagonal é de 24 centímetros. Determine a medida de seus lados.
Usando a mesma fórmula, podemos fazer o seguinte:
d = l√2
24 = l√2
24 = l
√2     
l = 24
    √2
Pelo processo de racionalização, teremos:
l = 24√2
     2
l = 12√2
l = 12·1,41
l = 16,92 centímetros, aproximadamente. 
Na figura a seguir, a distância d vale:
Parte superior do formulário
 (A) 5/2  
 (B)  /2  
 (C) 3/2  
 (D) 2  
 (E) (3 )/4
Parte inferior do formulário
Letra d
Um avião decola, percorrendo uma trajetória retilínea, formando com o solo, um ângulo de 30º (suponha que a região sobrevoada pelo avião seja plana). Depois de percorrer 1 000 metros, qual a altura atingida pelo avião?
A altura será de 500 metros