04 - Equação de Bernoulli

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Máquinas de Fluxo e Deslocamento
• Escoamento em regime permanente
• Escoamento incompressível
• Escoamento de um fluido considerado ideal, ou seja, aquele onde a
viscosidade é considerada nula, ou aquele que não apresenta dissipação
de energia ao longo do escoamento
• Escoamento apresentando distribuição uniforme das propriedades
nas seções
• Escoamento sem presença de máquina hidráulica, ou seja, sem a
presença de um dispositivo que forneça, ou retira energia do fluido
• Escoamento sem troca de calor
Equação de Bernoulli - EQUAÇÃO DA ENERGIA 
PARA REGIME PERMANENTE
Máquinas de Fluxo e Deslocamento
• A energia presente em um fluido em escoamento sem troca de calor 
pode ser separada em três parcelas:
- Energia de pressão;
- Energia cinética;
- Energia de posição;
Equação de Bernoulli
Máquinas de Fluxo e Deslocamento
• Uma linha de corrente é a trajetória de um elemento de 
volume do fluido.
• O vetor velocidade será sempre tangente á linha de corrente.
Linhas de corrente I, II e III.
Linhas de corrente
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EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Bernoulli, mediante considerações de energia aplicada
ao escoamento de fluidos, conseguiu estabelecer a
equação fundamental da Hidrodinâmica. Uma relação
entre a pressão, a velocidade e a altura em pontos de
uma linha de corrente.
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• Relembrando os conceitos de energia:
– Energia Cinética: K = 1/2 mv2
– Energia Potencial de posição: U(y) = m g y
– Trabalho: W = F . d
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
• A equação de Bernoulli é uma simplificação da Equação da Energia, baseada em
algumas hipóteses simplificadoras, que são aplicadas para aplicações específicas. Para
efeitos didáticos, a equação de Bernoulli é um modo mais simples para o estudo da
equação da energia.
• As hipóteses simplificadoras são:
a) Regime permanente;
b) Sem máquina no trecho em estudo
c) Sem perdas por atrito no escoamento do fluido ou fluido ideal;
d) Propriedades uniformes nas seções;
e) Fluido incompressível;
f) Sem trocas de calor.
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA REGIME PERMANENTE
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Máquinas de Fluxo e Deslocamento
v1 > v2 ou v1 < v2 ?
P1 > P2 ou P1 < P2 ? ?
Aplicações da Equação de Bernoulli
Máquinas de Fluxo e Deslocamento
O medidor de Venturi é usado para medir a velocidade de escoamento de um 
fluido de densidade F em um cano.
A área A da seção transversal da entrada e da saída são iguais a área da seção
transversal do cano. Entre a entrada e a saída, o fluido passa por uma região 
estreita de área a . Um manômetro que contém um líquido de densidade L conecta 
a parte mais larga à parte mais estreita.
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V1 = A2 2 (P1 - P2)
F (A12 - A22)
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R = S + F onde, R é a força resultante, S : força de sustentação e 
F =força de resistência
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CINEMÁTICA DOS FLUIDOS
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
Exercício 1 – Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório de 
grandes dimensões mostrado na figura.
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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
Exercício 1 – Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório de 
grandes dimensões mostrado na figura.
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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
Exercício 1 – Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório de 
grandes dimensões mostrado na figura.
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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
Exercício 2 – Água escoa em regime permanente através do tubo de Venturi mostrado.
Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. A área da seção (1) é 20
cm² e a da seção (2) é 10 cm². Um manômetro de mercúrio é instalado entre as seções (1)
e (2) e indica o desnível mostrado. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo.
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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
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EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE PARA REGIME PERMANENTE
A1 = 20 cm²
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Exercício – A figura abaixo apresenta um sifão. Sabendo que a
pressão no ponto S do sifão deve ser maior que – 60 kPa em pressão
relativa e desprezando as perdas de carga determine a velocidade
do fluido no sifão e a máxima altura que o ponto S pode ter em
relação ao ponto A.
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Exercício – Calcule a vazão de escoamento no conduto apresentado
na figura abaixo.
Dados:
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Exercício – A água escoa pelo tubo indicado na figura ao lado, cuja
secção varia do ponto 1 para o ponto 2, de 100cm 2 para 50cm 2 .
Em 1, a pressão é de 0,5kgf/cm 2 e a elevação 100m, ao passo que,
no ponto 2 a pressão é de 3,38kgf/cm 2 na elevação 70m.
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Exercício – De uma pequena barragem parte uma canalização de
250mm de diâmetro interno, com poucos metros de extensão,
havendo depois uma redução para 125mm; do tubo de 125mm, a
água passa para a atmosfera sob a forma de um jato.A vazão foi
medida, encontrando-se 105 L/s. Desprezando as perdas de carga,
calcule a pressão na parte inicial do tubo de 250mm, a altura H de
água na barragem e a potência bruta do jato (assuma γ=1000 kgf/m
3 e 1cv= 75kgf m/s).
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Exercício – Em um canal de concreto, a profundidade é de 1,2m e as
águas escoam com velocidade de 2,4m/s, até certo ponto, onde,
devido a uma pequena queda, a velocidade se eleva para 12m/s,
reduzindo-se a profundidade a 0,6m. Desprezando as possíveis
perdas por atrito, determine a diferença de cota entre os pontos.
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DEFINIÇÕES
Com base no fato que a energia não pode ser criada nem
destruída, mas apenas transformada, é possível construir uma
equação que permitirá fazer o balanço das energias.
 Equação da energia
1. Tipos de Energia
 Energia potencial;
 Energia Cinética;
 Energia de pressão, ou:
 Energia mecânica total do sistema.
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p V 2 p V 21
 2g  2g
A equação mais simples
 Equação de BernoulliH1  H2
1  z1 
2 2  z2
Mas e se tiver uma máquina entre os trechos??
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EQUAÇÃO DA ENERGIA E PRESENÇA DE UMA MÁQUINA
 Máquina, qualquer dispositivo que introduzido no escoamento, retire ou 
fornece energia para o sistema, na forma de trabalho.
 Bombas (fornece energia), ou turbinas (retira energia).
 Hipóteses: fluído incompressível, temos:
Se não houvesse máquina:
H1  H2
Se a máquina for uma bomba
o fluído receberá um acréscimo
De energia.
H2  H1
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EQUAÇÃO DA ENERGIA E PRESENÇA DE UMA MÁQUINA
Para restabelecer a igualdade, devemos somar ao primeiro membro a
energia fornecia à unidade de peso do fluído da máquina.
HB – a carga ou altura manométrica da bomba. Representa a energia
fornecida à unidade de peso do fluído que passa pela bomba.
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Se a máquina for uma turbina, H1 > H2 , pois por definição, a turbina 
retira energia do fluído. Para restabelecer a igualdade:
H1  HT  H2
HT – a carga ou altura manométrica da turbina. Representa a 
energia retirada da unidade de peso do fluído pela turbina.
Para uma máquina HM, temos:
H1  HM  H2
Lembrando os tipos de energias,
p pV 2 V 2
 2g  2g
1 1  z1 HM 
2 2 z2
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POTÊNCIA DA MÁQUINA E NOÇÃO DE RENDIMENTOS
 Potência: é o trabalho por unidade de tempo.
Como o trabalho é uma energia mecânica, podemos generalizar 
definindo para o Fluído:
Potência: é qualquer energia mecânica por unidade de tempo.
equivalente
tempo peso tempo
N 
Energia mecânica
 N 
Energia mecânica

peso
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POTÊNCIA DA MÁQUINA E NOÇÃO DE RENDIMENTOS
A energia por peso é denominada de “carga”.
N  cargaQG
N   Q  carga
A equação da potência para um fluídoserá:
N   QH
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Bombas: Potência
Na transferência de energia sempre existem perdas e, portanto, nem toda potência
recebida ou cedida pelo fluído coincidirá coma potência da máquina.
Rendimento:
B
B
B
N Potência que a bomba cedeu
N
B B
 
N

Potência que o fluído recebeu

N 

 QH
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Na turbina:
T
N Potência que o fluído cedeu
  NT 
Potência que a turbina recebeu
NT  NT QHTT
Unidades de potência:
SI: N.m/s = J/s = W (watt)  1kgm/s = 9,8 W 
MKS: kgf.m/s = kgm/s
Outras unidades:
1 CV = 75 kgm/s = 735 W
1 HP = 1,014 CV
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EQUAÇÃO DA ENERGIA PARA FLUÍDO REAL
Sabemos, que ocorre atrito no transporte do fluído e portanto não podemos tratar o 
fenômeno em estudo como um fluído ideal.
Na verdade, temos que considerar como um fluído real, com atrito e perdas de energia 
no transporte. Com isso,
Durante o transporte, H1 > H2 , querendo restabelecer a igualdade:
H1  H2  H p1,2
Hp1,2 – energia perdida entre (1) e (2) por unidade de peso dofluído.
“Perda de carga”
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Se for considerada a presença de uma máquina no trecho entre (1) e 
(2), a equação será:
M
H1 HM  H2  H p1,2
p V 2 p V 2
 2g  2g
1  1  z1 HM 
2 2 z2  H p1,2
Potência referente 
ao atrito:
Ndiss.  QHp1,2