Cálculo Aplicado - Aula 04A - Frações Parciais

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Suma´rio
1 Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o 2
1.1 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.1 Decomposic¸a˜o em Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3.2 Me´todo das Frac¸o˜es Parciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Exercı´cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1
Capı´tulo 1
Outras Te´cnicas de Integrac¸a˜o
1.1 Substituic¸o˜es Trigonome´tricas
As identidades trigonome´tricas sen2t+cos2t = 1 e sec2t = 1+tg2t sa˜o particularmente adequadas
para lidar com integrandos com fatores tais como
√
a2 − x2, √a2 + x2 e √x2 − a2.
Exemplo 1 Calcular
∫ √
1 − x2 dx.
Soluc¸a˜o:
(i) Observemos que a escolha x = sen t transforma 1 − x2 em 1 − sen2t = cos2t;
(ii) Essa escolha e´ particularmente feliz, pois x ∈ [−1, 1] se, e somente se, t ∈
[
−pi
2
,
pi
2
]
;
(iii) Nestas condic¸o˜es, cos t > 0 e
√
1 − x2 =
√
1 − sen2t =
√
cos2t = cos t;
(iv) Ale´m disso, a escolha x = sen t acarreta dx = cos t dt. Assim, podemos calcular∫ √
1 − x2 dx = ∫ cos t cos t dt = ∫ cos2t dt
=
t + sen t cos t
2
+ C
Exemplo 2 Calcular
∫ √
x2 + 16 dx
Soluc¸a˜o:
(i) Usando a identidade sec2t = 1 + tg2t e fazendo x = 4 . tg t, temos:
16 + x2 = 16 + (4 tg t)2 = 16 + 16 . tg2t;
(ii) Colocando em evideˆncia, temos:
16 + 16 . tg2t = 16(1 + tg2t);
(iii) Como 1 + tg2t = sec2t, segue que:
16(1 + tg2t) = 16 . sec2t
2
CAPI´TULO 1. OUTRAS TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 3
(iv) Para completar, precisamos calcular dx em termos de dt;
(v) Como x = 4 tg t, dx = 4 sec2t dt, segue que:∫ √
16 + x2 dx =
∫
(4 sec t)(4 sec2t) dt =
∫
16 sec3t dt = 16
∫
sec3t dt
(vi) Por fim, para integrar
∫
sec3t dt, podemos usar a integrac¸a˜o por partes, fazendo u = sec t
e dv = sec2t dt. Isso resulta em du = sec t . tg t dt, v = tg t e temos∫
sec3t dt = sec t . tg t − ∫ tg2t sec t dt∫
sec3t dt = sec t . tg t − ∫ (sec2t − 1) sec t dt∫
sec3t dt = sec t . tg t − ∫ sec3t dt + ∫ sec t dt∫
sec3t dt = sec t . tg t +
∫
sec t dt∫
sec3t dt =
sec t . tg t
2
+
`n|sec t + tg t|
2
+ C
(vii) Retomando a integrac¸a˜o original, temos:∫ √
16 + x2 dx = 16
∫
sec3t dt
= 8 . sec t . tg t + 8`n |sec t + tg t| + C
=
x
√
16 + x2
2
+ 8 `n
∣∣∣∣∣∣
√
16 + x2 + x
4
∣∣∣∣∣∣ + C.
Exemplo 3 Calcular
∫
x2√
16 − x2
dx.
Continua em MA22 - Unidade 20 - Pa´gina 05
Soluc¸a˜o:
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v)
1.2 Exercı´cios
1) Calcule as integrais:
(A)
∫ √
4 − x2dx
(B)
∫ 5
0
√
x2 + 25dx
(C)
∫ 4
2
√
x2 − 4dx
(D)
∫ x2√
9 − 4x2
dx
CAPI´TULO 1. OUTRAS TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 4
1.3 Frac¸o˜es Parciais
Esta te´cnica permitira´ lidar com integrandos que sa˜o quocientes de polinoˆmios. E´ claro que,
se o grau do numerador e´ maior que o grau do denominador, podemos usar o algoritmo da
divisa˜o de Euclides para escreveˆ-lo como uma soma de um polinoˆmio e um quociente cujo grau
do numerador e´ menor do que o grau do denominador. Assim, vamos nos concentrar nestes
tipos de quocientes de polinoˆmios: o grau do denominador e´ maior do que o grau do numerador.
Nestes casos vamos usar um resultado da A´lgebra que nos permitira´ reescrever o quociente
como uma soma de quocientes mais simples, as chamadas frac¸o˜es parciais, cada uma delas
possı´vel de ser integrada.
1.3.1 Decomposic¸a˜o em Frac¸o˜es Parciais
Dado um quociente de polinoˆmios
p(x)
q(x)
, tal que o grau de p e´ menor do que o grau de q, que por
nossa convenieˆncia podemos considerar moˆnico, ele se decompo˜e em uma soma de frac¸o˜es,
correspondentes a` decomposic¸a˜o de q(x) em fatores primos.
Exemplo 4 Veja algumas decomposic¸o˜es em frac¸o˜es parciais:
4x2 − 9x − 1
(x + 1)(x − 2)(x − 3) =
1
x + 1
+
1
x − 2 +
2
x − 3
6x4 + 2x3 − 2x2 − 5x − 22
(x + 1)2(x − 2)(x2 + 4) =
1
(x + 1)2
+
2
x + 1
+
1
(x − 2) +
3x + 1
(x2 + 4)
x5 − x4 + 3x3 − 4x2 + x − 2
(x2 + 1)2x2
=
x − 1
(x2 + 1)2
+
1
x2 + 1
+
1
x
− 2
x2
CAPI´TULO 1. OUTRAS TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 5
1.3.2 Me´todo das Frac¸o˜es Parciais
Para usar o me´todo das frac¸o˜es parciais para integrar
∫ p(x)
q(x)
dx, precisamos:
(a) Decompor o polinoˆmio q(x) em seus fatores primos;
(b) Determinar as constantes da decomposic¸a˜o em frac¸o˜es parciais;
(c) Saber integrar cada uma das frac¸o˜es parciais
Vamos ilustrar esses procedimentos com va´rios exemplos. Comecemos por observar que,
quanto ao item c, ja´ sabemos integrar alguns casos. Veja o exemplo a seguir.
Exemplo 5 Vamos calcular a integral ∫
x − 5
x2 − x − 2 dx
Soluc¸a˜o:
(i) Observe que x2 − x − 2 se decompo˜e como (x + 1)(x − 2).
(ii) Assim, sabemos que o integrando se escreve como uma soma de frac¸o˜es parciais. Isto e´,
existem constantes A e B, tais que
x − 5
x2 − x − 2 =
A
x + 1
+
B
x − 2
(iii) Simplificando a igualdade, obtemos:
x − 5
x2 − x − 2 =
A
x + 1
+
B
x − 2
A(x − 2) + B(x + 1) = x − 5
(iv) Desenvolvendo, obtemos:
A(x − 2) + B(x + 1) = x − 5
Ax − 2A + Bx + B = x − 5
(v) Segue que: {
A + B = 1
−2A + B = −5 =⇒
{
2A + 2B = 2
−2A + B = −5 =⇒ A = 2 e B = −1
(vi) Assim, vale a igualdade∫
x − 5
x2 − x − 2 dx =
∫
2
x + 1
dx −
∫
1
x − 2 dx
Cujo desenvolvimento se obte´m:∫
2
x + 1
dx −
∫
1
x − 2 dx = 2`n|x + 1| − `n|x − 2| + C
Isto e´: ∫
x − 5
x2 − x − 2 dx = 2`n|x + 1| − `n|x − 2| + C
CAPI´TULO 1. OUTRAS TE´CNICAS DE INTEGRAC¸A˜O 6
1.4 Exercı´cios
1) Calcule as integrais a seguir:
(A)
∫ −8x
(x2 − 1)(x − 3) dx
(B)
∫
2x−6x + 1
(x − 1)2(x + 1) dx
2) Calcule as integrais a seguir:
(A)
∫
3x2 − 3x + 2
(x2 + 4)(x − 2) dx
(B)
∫
x − 2
(x2 + 9)3
dx
3) Calcule a integral
∫
1
(1 + x2)3
dx, fazendo a substituic¸a˜o x = tan t.
Na˜o da´ para contratar algue´m para praticar
por voceˆ.
(H. Jackson Brown Jr.)