Estatística Econômica - Livro-Texto Unidade III

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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Unidade III
5 NÚMEROS‑ÍNDICES SIMPLES
Os números‑índices caracterizam‑se por serem um importante instrumento de medidas Estatísticas, 
são muito utilizados para comparar variáveis econômicas relacionadas entre si e para obter uma análise 
simples e resumida das mudanças ocorridas em áreas relacionadas, tais como preços, quantidades 
e valores ao longo do tempo. Segundo Arkin e Colton, “O número‑índice é um processo estatístico 
destinado a medir as variações em grupo de dados”. Permite apreciar o sentido dos movimentos gerais 
de um complexo econômico, portanto não é senão um instrumento de análise destinado a pôr em 
evidência os fatores de que depende o fenômeno em estudo. São úteis para o acompanhamento de 
Inflação, Índice do Custo de Vida, Índice de Produção Industrial, Índice Geral de Preços etc.
Os números‑índices são expressos em percentuais e se caracterizam pela magnitude e pela evolução 
dos dados da série.
Exemplo 93: suponhamos que o preço de um produto no ano 2000 fosse de R$ 27,00 o quilograma 
e que o preço do mesmo produto no ano 2016 tenha sido R$ 89,00. Um índice da variação dos preços é 
a razão dos preços nos dois momentos diferentes, conforme a seguir:
Solução:
P
P
P
ou P ou2000 2016
2016
2000
2000 2016
89
27
3 30 330 3/ /, %= = = = 330.
Esse valor da razão expresso em forma de porcentagem é considerado um índice particular do preço 
do produto em questão no ano 2016, tomando‑se por base o valor suposto do produto em 2000 igual a 
100. Por conseguinte, 330% do preço do ano‑base com relação ao preço do ano de 2016 são:
27 330
100
8910
100
89
×
= =
Podemos também interpretar o resultado de outra forma: se o preço fictício de 100 no ano‑base se 
transforma no preço 330% no ano de 2016, o aumento obtido é de 330 ‑ 100 = 230%. É evidente que, 
se aumentarmos o preço do ano‑base em seus 330%, obteremos o preço no ano de 2016:
27
27 230
100
89+
×
=
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Unidade III
Convém notar que a porcentagem de aumento de 230% se obtém segundo a fórmula:
( )novovalor valororiginal
valororiginal
−
×100 , ou seja, %
89 27
27
100 230
−



× =
Assim, as porcentagens não são reversíveis, isto é, se diminuirmos o preço do ano 2016 de 230%, não 
se obterá o preço do ano‑base.
Trataremos dos mais utilizados, são os que medem as variações de preços, quantidades e valores ao 
longo do tempo. Portanto, os índices que serão objeto de nosso estudo são os Índices Ponderados de: 
Laspeyres, Paasche e Fisher.
Os principais índices financeiros brasileiros são: Balança Comercial, BTNF, Caderneta de Poupança, 
Dólar, Euro, Risco‑País, FGTS, ICV, IGP‑DI, IGP‑M, INCC‑DI, INPC, IPC‑DI, IPCA, Salário Mínimo, Taxa Selic, 
TJLP, TR, entre outros.
5.1 Números‑índices simples: relativos
Nesse caso, um período é escolhido como referência, ou base, e todos os índices são computados em 
relação aos registros desse período específico. Usualmente no período‑base o índice recebe o valor 100.
Relativos são os mais simples dos números‑índices, relacionam o preço, a quantidade ou ainda o valor 
de um produto numa época atual (t) com uma época‑base (0). Assim, para um determinado produto:
p0 = preço na época‑base
pt = preço na época atual
q0 = quantidade na época‑base
qt = quantidade na época atual
v0 = valor na época‑base
vt = valor na época atual
Teremos:
Relativo de Preço: p
p
pt
t
0
0
, =
Relativo de Quantidade: q
q
qt
t
0
0
, =
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Relativo de Valor: v
p
p
q
qt
t t
0
0 0
, = ×
Exemplo 94: em 2012, uma empresa vendeu 500 unidades de um produto ao preço unitário de 
$ 40,00. Em 2015, vendeu 800 unidades do mesmo produto ao preço unitário de R$ 70,00. Determinar 
os relativos de preço, quantidade e valor para o produto tomando como base 2012.
Solução:
Relativo de Preço: , %,p
pre o em
pre o em
ou12 15
2015
2012
70
40
175 175= = =
ç
ç
Relativo de Quantidade: ,,q
quantidade em
quantidade em
o12 15
2015
2012
800
500
16= = = uu %160
Relativo de Valor: ,,v
valor em
valor em
ou12 15
2015
2012
70
40
800
500
2 80 2= = × = 880%
Os resultados indicam que em 2015 houve um aumento de 75% no preço, que a quantidade 
aumentou 60% e que o valor das vendas foi 180% superior ao de 2012.
Exemplo 95: obtenha o número‑índice (aritmético) simples de 2015 para os dados na tabela a seguir:
Tabela 33 
Itens
Preços
2010 2015
1 100 70
2 100 130
3 100 200
Totais 300 400
Solução:
I
p
as
i i
_
, ( )
,2010
1
3
2010
3
70 130 200
3
133 33= =
+ +
==
∑
Isso significa que houve um acréscimo de 33,3% em relação a 2010.
Os preços de 2010 foram transformados na base = 100, e os de 2015 relacionados com 2010 = 100.
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Unidade III
Exemplo 96: determinar o índice (aritmético) ponderado de 2015 para os dados na tabela a seguir:
Tabela 34 
Itens
2010 2015
Preço Quantidade Preço Quantidade
1 100 3 70 5
2 100 5 130 8
3 100 7 200 6
Totais 300 15 400 19
Solução:
I
p q
q
ap
i i i
i i
_
, ,
,
(
2015
1
3
2015 2015
1
3
2015
70 5 130 8 20
= =
× + × +=
=
∑
∑
00 6
19
136 32
×
=
)
,
Exemplo 97: determinar o índice relativo de quantidade para 2015 tomando‑se como básico o 
ano 2000 para a quantidade vendida de 35 e 40 quilogramas de um certo produto em 2000 e 2015, 
respectivamente.
Solução:
Relativo de Quantidade: q
q
q
qt
t
0
0
2000 2015
40
35
114, , ,= = = = ou 114% ou 114
Isso significa que houve um aumento de 14%. Se invertermos os períodos, teremos:
q
q
q
qt
t
, , ,0
0
2015 2000
35
40
0 875= = = = ou 87,50% ou 87,50
Isso significa que diminui 12,5%.
 Observação
Variação percentual da variável X no momento t em relação ao momento 
anterior (t ‑ 1).
 
Exemplo: aumento de 40 para 50 metros.
%Var. X =
X - X
X
100 =
50- 40
40
100 = 25%t/(t-1)
t t-1
t-1
× ×
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
 Observação
Toda vez que o índice for maior que 100, a variação percentual será 
positiva. No entanto, quando o índice for menor que 100, a variação será 
negativa.
Exemplo 98: suponha que o preço de um produto tenha aumentado de R$ 3.700,00 para R$ 
73.000,00 entre dois períodos. Calcule a variação percentual, o número‑índice e o multiplicador 
que representam essa variação.
Solução:
∆ = = =P
P
P
1
0
73 000
3 700
19 73
.
.
,
Multiplicador: 
P
P
1
0
73 000
3 700
19 73= =
.
.
,
Variação percentual: 
73 000
3 700
1 100 19 73 1 100 1 873
.
.
, . %



−





 × = −( ) × =
Número‑índice: .
.
.
73 000
3 700
100 1 973× =
Exemplo 99: sabendo que um produto teve aumento de 565% entre dois períodos e que seu preço 
no período inicial era R$ 930,00, calcule o preço desse produto no período final.
Solução:
Multiplicador 
565
100
1 6 65



+ = ,
Preço no período final: 930,00 x 6,65 = 6.184,50
Propriedades
a) Identidade: pa,a = qa,a =va,a =1
b) Reversibilidade: pa,b pb,a = qa,b qb,a = va,b vb,a = 1
c) Cíclica ou circular: pa,b pb,c pc,a = qa,b qb,c qc,a = va,b vb,c vc,a = 1
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d) Cíclica ou circular modificada: pa,b pb,c = pa,c; qa,b qb,c = qa,c e va,b vb,c = va,c. Essa propriedade é 
denominada elos e cadeias relativas.
Exemplo: elos de relativos em intervalos sucessivos de tempo.
Tabela 35
Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Preço 200 250 300 500 550
Relativos de preço
250/200 300/250 500/300 550/500
p2010, 2011 p2011,2012 p2012,2013 p2013,2014
1,25 1,20 1,667 1,10
Calcular o relativo de preço de 2014 em relação a 2010 (p2010,2014) aplicando a propriedade cíclica 
modificada. O relativo assim construído é denominado índice em cadeia:
p2010,2014 = p2010, 2011 x p2011,2012 x p2012,2013 x p2013,2014 = 1,25 x 1,20 x 1,667 x 1,10 = 2,75
Relativos em cadeia: quando tivermos uma sequência de relativos de preço no qual o período 
básico é fixo:
p2010, 2011 = 250/200 = 1,25
p2010, 2012 = 300/200 = 1,50
p2010, 2013 = 500/200 = 2,50
p2010, 2014 = 550/200 = 2,75
Os relativos de preços, quantidade ou valor são, normalmente, apresentados em sequências que 
podem ser de:
a) Base fixa: P0,1; P0,2; P0,3; P0,4; ...
b) Base móvel: P0,1; P1,2; P2,3; P3,4; ...
a) Base fixa: P0,1; P0,2; P0,3; P0,4; ...
Considerem‑se os valores:
X0, X1, X2, ... ... ... ..., Xn como os preços (ou quantidades) de um artigo “A” nas épocas t = 0, 1, 2,..., n.
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
As razões (quocientes):
Tabela 36
Ano 0 1 2 3 n
Preço X0 X1 X2 X3 ... Xn
Relativos de preço
(base t = 0)
X0 / X0 X1 / X0 X2 / X0 X3 / X0 ... Xn / X0
‑ p 0,1 p 0,2 p 0,3 p 0,n
Exemplo: relativos de preços, de base fixa (base = 2011), expressos em valores unitários.
Tabela 37
Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Preço 200 250 300 500 550
Relativos de preço
(base t = 2011)
200/250 250/250 300/250 500/250 550/250
p2011,2010 p2011,2011 p2011,2012 p2011,2013 p2011,2014
0,80 1,00 1,20 2,00 2,20
Observando a tabela, podemos constatar que o preço do produto em 2012 era 20% maior do que o 
de 2011. O preço do mesmo artigo em 2010 era 20% menor do que em 2011 (base), pois 0,80 = 1 – 0,20.
Exemplo: relativos de quantidade, de base fixa (base = 2010), expressos em percentagem (%).
Tabela 38
Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Quantidade 500 750 800 900 1500
Relativos de quantidade
(base t = 2010)
(500/500).100 (750/500).100 (800/500).100 (900/500).100 (1500/500).100
q 2010,2010 q 2010,2011 q 2010,2012 q 2010,2013 q 2010,2014
100 150 160 180 300
Observando a tabela podemos constatar que aquantidade do produto em 2012 era 60% maior do 
que o de 2010. 
b) Base móvel: P0,1; P1,2; P2,3; P3,4;
A sequência dos relativos de base móvel (também chamados de relativos em cadeia ou elos) é obtida 
de modo semelhante à aplicada aos relativos de base fixa. Só que a base, nesse caso, coressponde 
sucessivamente aos valores X0, X1, X3, ... ... ... ..., Xn nas épocas t = 0, 1, 2, ..., n.
Exemplo: relativos de preços, de base móvel, expressos em valores unitários.
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Unidade III
Tabela 39 
Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Preço 200 250 400 500 800
Relativos de preço
(base móvel)
‑ 250/200 400/250 500/400 800/500
‑ p 2010,2011 p 2011,2012 p 2012,2013 p 2013,2014
‑ 1,25 1,60 1,25 1,60
Observando a tabela podemos constatar que o preço do produto em 2011 apresentou um aumento 
de 25% em relação a 2010 e que 2013 apresentou um aumento de 25% em relação a 2012. De forma 
semelhante, conforme a tabela a seguir, pode‑se verificar que o ano de 2012 apresentou uma quantidade 
do produto 12% superior ao ano de 2011 e que o ano de 2014 apresentou uma quantidade de 10% 
(1 ‑ 0,90 = 0,1) menor do que 2013.
Exemplo: relativos de quantidade, de base móvel, expressos em percentagem (%).
Tabela 40 
Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Quantidade 500 750 840 1050 945
Relativos de 
quantidade
(base móvel)
‑ (750/500).100 (840/750).100 (1050/840).100 (945/1050).100
‑ q 2010,2011 q 2011,2012 q 2012,2013 q 2013,2014
‑ 150 112 125 90
Para estudos em que se deseje interpretar crescimentos anuais, usa‑se o número‑índice de 
base móvel.
5.2 Mudança de base de um número‑índice
Muitas vezes, necessita‑se efetuar a mudança de base de um índice de um período para outro, 
basicamente, por duas razões:
• para atualizar a base, tornando‑a mais próxima da realidade atual;
• para permitir a comparação de duas séries de índices que tenham bases diferentes.
É preciso escolher um período relativamente estável, ou seja, quando a atividade econômica estiver 
em menor grau de flutuações.
Para realizar a mudança de base, o procedimento é extremamente simples: basta dividir toda a série 
de números‑índices originais pelo número‑índice do período escolhido como nova base. Isso preservará 
as diferenças relativas entre eles.
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5.2.1 Mudança de relativos de uma base fixa para outra base fixa
Exemplo: relativos de preços, de base fixa (base = 2011), expressos em valores percentuais (%), 
mudando para base fixa (base = 2013).
Tabela 41 
Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Preço 200 250 300 500 550
Relativos de preço
(base t = 2011)
(200/250).100 (250/250).100 (300/250).100 (500/250).100 (550/250).100
p 2011,2011 p 2011,2011 p 2011,2012 p 2011,2013 p 2011,2014
80 100 120 200 220
Relativos de preço
(base t = 2013) 40 50 60 100 110
Para o ano de 2010 teremos: novo índice (base t = 2013) = (80/200).100 = 40
Para o ano de 2011 teremos: novo índice (base t = 2013) = (100/200).100 = 50
Para o ano de 2012 teremos: novo índice (base t = 2013) = (120/200).100 = 60
Para o ano de 2013 teremos: novo índice (base t = 2013) = (200/200).100 = 100
Para o ano de 2014 teremos: novo índice (base t = 2013) = (220/200).100 = 110
5.2.2 Mudança de relativos de base fixa para base móvel
Exemplo: relativos de quantidade, de base fixa (base = 2010), expressos em percentagem (%), 
mudando para base móvel.
Tabela 42
Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Quantidade 500 750 800 900 1500
Relativos de 
quantidade
(base t = 2010)
(500/500).100 (750/500).100 (800/500).100 (900/500).100 (1500/500).100
q 2010,2010 q 2010,2011 q 2010,2012 q 2010,2013 q 2010,2014
100 150 160 180 300
Relativos de 
quantidade
(base móvel)
‑ 150,00 106,67 112,50 166,67
Para o ano de 2011 teremos: novo índice (base móvel) = (150/100).100 = 150,00
Para o ano de 2012 teremos: novo índice (base móvel) = (160/150).100 = 106,67
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Unidade III
Para o ano de 2013 teremos: novo índice (base móvel) = (180/160).100 = 112,50
Para o ano de 2014 teremos: novo índice (base móvel) = (300/180).100 = 166,67
5.2.3 Mudança de relativos de base móvel para base fixa
Exemplo: relativos de quantidade, de base móvel, expressos em percentagem (%), mudando para 
base fixa (base = 2011).
Tabela 43
Ano 2010 2011 2012 2013 2014
Quantidade 500 750 840 1050 945
Relativos de 
quantidade
(base móvel)
‑ (750/500).100 (840/750).100 (1050/840).100 (945/1050).100
‑ q 2010,2011 q 2011,2012 q 2012,2013 q 2013,2014
‑ 150 112 125 90
Relativos de 
quantidade
(base t = 2011)
‑ 10074,67 83,33 60,0
Para o ano de 2011 teremos: novo índice (base t = 2011) = (150/150).100 = 100
Para o ano de 2012 teremos: novo índice (base t = 2011) = (112/150).100 = 74,67
Para o ano de 2013 teremos: novo índice (base t = 2011) = (125/150).100 = 83,33
Para o ano de 2014 teremos: novo índice (base t = 2011) = (90/150).100 = 60,00
Preços correntes versus preços constantes
Diz‑se que os valores de uma série de dados, exemplo, Produto Interno Bruto (PIB), estão calculados 
a preços correntes quando a produção de cada ano está avaliada aos preços do mesmo ano, ou seja, a 
produção de 2010 a preços de 2010, a produção de 2011 a preços de 2011 etc.
Diz‑se que o PIB está calculado a preços constantes quando a produção de cada ano é avaliada aos 
preços de um determinado ano, selecionado como ano‑base.
Tabela 44
Preços correntes P2010 * Q2010 P2011 * Q2011 P2012 * Q2012 P2013 * Q2013 P2014 * Q2014
Preços constantes 
2013 = 100 P2013 * Q2010 P2013 * Q2011 P2013 * Q2012 P2013 * Q2013 P2013 * Q2014
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
2013 = 100 significa que o ano‑base é 2013, porque no ano‑base o índice de preços é igual a 
100. Dividindo a série a preços correntes pela série a preços constantes obtém‑se o índice de preços 
implícitos no PIB.
Exemplo 100: na tabela a seguir apresentamos a informação sobre a evolução da quantidade 
vendida de um determinado produto por um estabelecimento comercial no primeiro semestre do ano 
de 2015 medida em toneladas.
Tabela 45 
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Toneladas 2.356,98 2.476,23 2.898,15 3.298,73 3.465,24 3.575,98
a) Calcule, para cada mês dessa série, a taxa de variação, relativamente ao mês anterior, da quantidade 
vendida do produto.
Tabela 46 
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Taxa mensal (%) ‑ 5,06 17,04 13,82 5,05 3,20
b) Tomando por base os valores calculados no item anterior, construa uma série de índices de base 
móvel relativamente a essa variável para o período considerado.
Tabela 47 
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Índice base móvel ‑ 105,06 117,04 113,82 105,05 103,20
c) Construa, com base nos valores do quadro, uma série de índices de base fixa em janeiro de 2015.
Tabela 48 
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Índice base fixa (jan = 100) 100,00 105,06 122,96 139,96 147,02 151,72
d) Tomando por base a série calculada no item c, calcule a série de índices de base fixa em abril de 2015.
Tabela 49 
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Índice base fixa (abril =100) 71,45 75,06 87,85 100,00 105,04 108,40
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Unidade III
Exemplo 101: considere uma série que representa a evolução das vendas do produto do exemplo 
anterior admitindo que o preço desse bem, em janeiro de 2015, fosse R$ 1.100/tonelada.
a) Calcule uma série do valor das vendas do produto admitindo que o seu preço tenha se mantido 
inalterado ao longo do semestre de 2015. 
Tabela 50
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Valor das vendas 2.592.678,00 2.723.853,00 3.187.965,00 3.628.603,00 3.811.764,00 3.933.578,00
b) Construa uma série de índices de base fixa em janeiro de 2015 relativa ao valor das vendas desse produto.
Tabela 51
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Índice de valor 100,00 105,06 122,96 139,96 147,02 151,72
Comparando, a série construída no item c do exemplo anterior é igual, pois como os preços são 
sempre iguais, a única alteração que ocorreu nos valores das vendas foi a variação das quantidades.
c) Admitamos agora que conheçamos a evolução dos preços desse produto ao longo do semestre, e 
que essa evolução possa ser descrita pela seguinte série de base fixa em janeiro de 2015.
Tabela 52
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Índice de valor 100,00 101,06 102,96 106,96 110,02 113,72
d) Construa uma nova série do valor das vendas do produto.
Tabela 53
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Valor das vendas 2.592.678,00 2.752.725,84 3.282.328,76 3.881.153,77 4.193.702,75 4.473.264,90
e) Construa uma nova série de índices de base fixa em janeiro de 2015, relativa ao valor das vendas 
desse produto, tendo em conta a evolução verificada nos preços.
Tabela 54
Mês jan. fev. mar. abr. maio jun.
Índice de valor 100,00 106,17 126,60 149,70 161,75 172,53
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Exemplo 102: em 2012, as vendas da empresa Terra Seca atingiram o valor de R$ 257.347. Sabe‑se 
que o índice de preços com base fixa em 2012 e o crescimento das vendas a preços constantes tiveram 
os seguintes valores:
Tabela 55
2012 2013 2014 2015
Índice de preços (base: 2012 = 100) 100,00 103,2 109,3 112,5
Crescimento das vendas a preços constantes 0,46% ‑0,74% 0,89%
a) Determine o crescimento dos preços em 2013, 2014 e 2015.
O crescimento dos preços em cada um dos anos pode ser obtido a partir do índice móvel:
Tabela 56
2012 2013 2014 2015
Índice de preços 1,00 1,032
109 3
103 2
1 0591
,
,
,=
112 5
109 3
1 0293
,
,
,=
Variação (%) 3,2% 5,91% 2,93%
b) Determine o valor das vendas a preços constantes de 2015.
Tabela 57
2012 2013 2014 2015
Valores das vendas a preços 
constantes de 2012 257.347 257.347 × 1,0046 = 258.530,80
258.530,80 × 
(1 ‑ 0,0074) = 
256.617,67
256.617,67 
× 1,0089 = 
258.901,57
Índice de preços de 2015 
(base 2012) 1,125 1,125 1,125 1,125
Valores das vendas a preços 
constantes de 2015 289.515,38 290.847,15 288.694,88 291.264,27
c) Determine o valor das vendas em 2013, 2014 e 2015 a preços correntes de 2015.
Tabela 58
2012 2013 2014 2015
Valores das vendas a 
preços correntes 257.347
258.530,80 × 1,032 = 
266.803,79
256.617,67 × 1,093 = 
280.483,11
258.901,57 × 1,125 
= 291.264,27
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Unidade III
Observe que os valores das vendas de 2015 são idênticos, pois os preços de referência são os mesmos.
d) Determine a taxa média de crescimento dos preços entre 2012 e 2015.
TMCp , , , , %2015 2012
3 1125 1 0 0400 4 0= − = =
Exemplo 103: uma empresa exportadora, no período de 2012 a 2015, obteve os seguintes resultados:
Tabela 59
2010 2011 2012 2013 2014 2015
Exportações a preços correntes 
(milhares de dólares) 47.068 54.445 62.098 64.322 68.156 75.567
Exportação (taxa de variação anual 
dos preços) – % 3,0 3,2 2,6 2,1 1,4
a) Construir o índice de base fixa em 2010 das exportações a preços correntes.
O índice de base fixa em 2010 (2010 = 100) das exportações a preços correntes obtém‑se dividindo 
todos os valores da Exportação a preços correntes pelo valor de 2010. Para 2011, o valor é dado por 
(54.445 / 47.068)*100 = 115,67.
Tabela 60
2010 2011 2012 2013 2014 2015
Índice de base fixa das exportações a 
preços correntes (2010 = 100) 100,00 115,67 131,93 136,66 144,80 160,55
b) Construa o índice de base fixa em 2013 da evolução dos preços das exportações.
Para calcular o índice, podemos seguir estes passos:
1) Construir o índice de base móvel (1 + taxa de variação anual).
2) Construir o índice de base fixa em 2010.
3) Mudar a base do índice para 2013, dividindo todos os valores obtidos no item 2 pelo valor de 2013.
Tabela 61
2010 2011 2012 2013 2014 2015
Índice de base móvel 103,00 103,20 102,60 102,10 101,14
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃOÀ ECONOMETRIA
Índice de base fixa em 2010 100,00 103,00 106,30 109,06 111,35 112,91
Índice de base fixa em 2013 73,18 84,64 96,54 100,00 105,96 117,48
c) Calcule a taxa anual média de crescimento dos preços das exportações entre 2010 e 2015.
TMCp , , , , %2015 2010
5 11291 1 0 0246 2 46= − = =
Ou obtida como a média geométrica das taxas anuais de crescimento dos preços dadas no enunciado:
TMCp , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2015 2010 1 0 03 1 0 032 1 0 026 1 0 021= + × + × + × + × 11 0 0145 + =, ) 0,0246 = 2,46%
 Observação
É fundamental a escolha de uma época‑base que influa o mínimo 
possível na variação do índice, ou seja, deve ser um período normal (sem 
variações excepcionais).
6 NÚMEROS‑ÍNDICES COMPOSTOS
Dividem‑se em: números‑índices simples, quando um só produto está em jogo; e números‑índices 
compostos, quando envolve um grupo de artigos.
Devido às desvantagens dos índices simples, especialmente pelo fato da não existência de diferentes 
pesos para cada um dos componentes, examinaremos os principais índices ponderados.
6.1 Índices de Laspeyres ou método do ano‑base
Esse índice é uma média aritmética ponderada feita em função dos preços e quantidades do 
período‑base. Por causa disso ele tende a exagerar a alta, por considerar as quantidades (ou preços) 
iguais às do período‑base. As equações:
L
p q
p q
tp
i
n
t i i
i
n
i i
0
1 0
1 0 0
100,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
A ponderação = as quantidades 
(ou preços) do ano‑base
Os denominadores = soma dos produtos dos preços 
e quantidades de cada item no período‑base
Figura 81 
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Unidade III
Então os denominadores dos índices serão o resultado da soma dos produtos dos preços e 
quantidades de cada item no período‑base (0). A ponderação utiliza‑se das quantidades (ou 
preços) do ano‑base (0).
Índice de preços L
p q
p q
tp
i
n
t i i
i
n
i i
0
1 0
1 0 0
100,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
Índice de quantidades L
q p
q p
tq
i
n
t i i
i
n
i i
0
1 0
1 0 0
100,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
Em que:
n: é o número de itens;
pt,i: é o preço de um item qualquer no período “atual”;
po,i: é o preço de um item qualquer no período‑base;
qt,i: é a quantidade de um item qualquer no período “atual”; 
qo,i: é a quantidade de um item qualquer no período‑base.
Exemplo 104: determinar o índice agregativo de Laspeyres de preço para 2015 com relação aos 
dados da tabela:
Tabela 62
Produtos
2014 2015
P2014 P2015 P2015 q2014 P2014 q2014
Q2014 Q2015
A 13 17 10 12 156 130
B 16 28 17 27 432 272
C 28 34 22 28 784 616
∑ 1372 1018
L
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2014 2015
1 2015 2014
1 2014 2014
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
1372
1018
100 134 77= × = , %
Em média, os preços dos três produtos aumentaram 34,77% em 2015 comparativamente a 2014.
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Exemplo 105: determinar o índice agregativo de Laspeyres de quantidade para 2014 e 2015 com 
relação aos dados da tabela:
Tabela 63
Produtos
2013 2014 2015 2013
q2013 p2013 q2014 p2013 q2015 p2013q2013 q2014 q2015 p2013
A 10 20 30 5 50 100 150
B 20 30 20 6 120 180 120
C 30 40 50 10 300 400 500
∑ 470 680 770
L
q p
q p
q
i
n
i i
i
n
i i
2013 2014
1 2014 2013
1 2013 2013
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
680
470
100 144 68= × = , %
Em média, as quantidades dos três produtos aumentaram 44,68% em 2014 comparativamente a 2013.
L
q p
q p
q
i
n
i i
i
n
i i
2013 2015
1 2015 2013
1 2013 2013
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
770
470
100 163 83= × = , %
Em média, as quantidades dos três produtos aumentaram 63,83% em 2015 comparativamente a 2013.
O método de Laspeyres pode apresentar algumas variações como:
a) Média de quantidades:
q
q qt, =
+0
2
 então, L
p q
p q
tp
i
n
t i
i
n
i
0
1
1 0
100,
,
,
,
,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
Determinar L2014, 2015p.
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Unidade III
Tabela 64
Produtos
2014 2015
 q
q q, =
+2014 2015
2
p2014 p2015 p2014 q’ p2015 q’q2014 q2015
A 13 17 15 10 12 150 180
B 16 28 22 17 27 374 594
C 28 34 31 22 28 682 868
 ∑ 1206 1642
L
p q
p q
p
i
n
i
i
n
i
2014 2015
1 2015
1 2014
100
1642
120,
,
,
,
,
=
×( )
×( )
× ==
=
∑
∑ 66
100 136 15× = , %
Em média, os preços dos três produtos aumentaram 36,15% em 2015 comparativamente a 2014.
b) Média de preços:
p
p pt, =
+0
2
 então, L
p q
p q
tp
i
n
t i i
i
n
i
0
1 0
1 0
100,
, ,
,
,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
Determinar L2014, 2015p com os dados a seguir:
Tabela 65
Produtos
2014 2015
q2014 p
p p, =
+2014 2015
2
p’q2014 
2014 2015
p2014 p2015 p2014 q2014 p2015 q2014
A 10 12 13 11 143 130 156
B 17 27 16 22 352 272 432
C 22 28 28 25 700 616 784
∑ 1195 1018 1372
L
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2014 2015
1 2015 2014
1 2014 2014
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
1372
1018
100 134 77= × = , %
Em média, os preços dos três produtos aumentaram 34,77% em 2015 comparativamente a 2014.
L
p q
p qp
i
n
i i
i
n
i
2014 2015
1 2015 2014
1 2014
100
13
,
, ,
’
,
=
×( )
×( )
× ==
=
∑
∑
772
1195
100 114 81× = , %
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Em média, os preços dos três produtos aumentaram 14,81% em 2015 comparativamente a 2014.
c) Média de preços e quantidades:
p
p pt, =
+0
2
 e q
q qt, ,=
+0
2
 podendo se estender por mais do que dois períodos.
Determinar L2014, 2014p e L2014, 2015p com os dados a seguir:
Tabela 66 
Produtos
2014 2015
p2014 p2015 q’ p’ p’ q’ p2014 q’ p2015 q’q2014 q2015
A 13 17 10 12 15 11 165 150 180
B 16 28 17 27 22 22 484 374 594
C 28 34 22 28 31 25 775 682 868
∑ 1424 1206 1642
L
p q
p qp
i
n
i
i
n2014 2014
1 2014
1
100
1206
1424
100,
,
’
’ ’
=
×( )
×( )
× = ×=
=
∑
∑
== 84 69, %
Em média, os preços dos três produtos diminuíram 15,31% em 2015 comparativamente a 2014.
L
p q
p qp
i
n
i
i
n2015 2015
1 2015
1
100
1642
1424
100,
,
’
’ ’
=
×( )
×( )
× = ×=
=
∑
∑
== 115 31, %
Em média, os preços dos três produtos aumentaram 15,31% em 2015 comparativamente a 2014.
L
p q
p qp
i
n
i
n2014 2015
1
1
100
1424
1424
100 100,
’ ’
’ ’
,=
×( )
×( )
× = × ==
=
∑
∑
000%
Em média, os preços dos três produtos estabilizaram em 2015 comparativamente a 2014.
Exemplo 106: com os dados da tabela, usando 2013 como base, obtenha os Índices de Laspeyres 
de preços e quantidades.
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Unidade III
Tabela 67
Produtos
2013 2014 2015
Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade
A 5 20 6 30 8 30
B 8 10 10 20 12 30
C 10 30 12 40 15 50
L
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2013 20141 2014 2013
1 2013 2013
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
8 20 12 10 15 30
5 20 8 10 10 30
100
730
48
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
00
100 152 08× = , %
Os preços dos produtos aumentaram 52,08% (152,08 – 100) de 2013 a 2014.
L
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2013 2015
1 2015 2013
1 2013 2013
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
6 20 10 10 12 30
8 20 12 10 15 30
100
580
7
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
330
100 79 45× = , %
Os preços dos produtos diminuíram 20,55% (79,45 – 100) de 2013 a 2015.
L
q p
q p
q
i
n
i i
i
n
i i
2013 2014
1 2014 2013
1 2013 2013
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
30 5 20 8 40 10
20 5 10 8 30 10
100
710
480
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
×× =100 147 92, %
As quantidades dos produtos aumentaram 47,92% (147,92 – 100) de 2013 a 2014.
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L
q p
q p
q
i
n
i i
i
n
i i
2013 2015
1 2015 2013
1 2013 2013
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
30 5 30 8 50 10
20 5 10 8 30 10
100
890
480
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
×× =100 185 42, %
As quantidades dos produtos aumentaram 185,42% (185,42 – 100) de 2013 a 2015.
6.2 Índices de Paasche ou método do ano determinado
No índice de Paasche a ponderação é feita em função dos preços e quantidades do período atual. 
Por causa disso ele tende a exagerar a baixa, por considerar as quantidades (ou preços) iguais aos do 
período atual.
P
p q
p q
tp
i
n
t i t i
i
n
i t i
0
1
1 0
100,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
A ponderação = as quantidades 
(ou preços) do ano atual
Os numeradores = soma dos produtos dos preços e 
quantidades de cada item no período atual
Figura 82 – Índice de Paasche
Então os numeradores dos índices serão o resultado da soma dos produtos dos preços e quantidades 
de cada item no período atual (t). A ponderação utiliza‑se das quantidades (ou preços) do ano atual (t).
Índice de preços: P
p q
p q
tp
i
n
t i t i
i
n
i t i
0
1
1 0
100,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
Índice de quantidades: P
q p
q p
tq
i
n
t i t i
i
n
i t i
0
1
1 0
100,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
Em que:
n: é o número de itens;
pt.i: é o preço de um item qualquer no período “atual”;
po.i: é o preço de um item qualquer no período‑base;
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Unidade III
qt.i: é a quantidade de um item qualquer no período “atual”;
qo.i: é a quantidade de um item qualquer no período‑base.
 Observação
O deflator implícito do PIB é uma forma possível de medir o nível geral 
de preços, obtido a partir da relação entre o PIB nominal e o PIB real:
Deflator implícitot = 
PIB nominal
PIB real
t
t
Facilmente se comprova tratar‑se de um Índice de Paasche:
Deflator implícito do PIBt = 
i
n
t i t i
i
n
i t i
p q
p q
=
=
∑
∑
×( )
×( )
1
1 0
, ,
, ,
 Lembrete
Variáveis nominais representam valores a preços correntes, e variáveis 
reais representam valores a preços constantes.
Exemplo: Determinar P2014, 2015p para os dados a seguir:
Tabela 68
Produtos
2014 2015
P2014 P2015 P2015 q2015 P2014 q2015Q2014 Q2015
A 13 17 10 12 204 170
B 16 28 17 27 756 476
C 28 34 22 28 952 748
∑ 1912 1394
P
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2014 2015
1 2015 2015
1 2014 2015
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
1912
1394
100 137 16= × = , %
Os preços dos produtos aumentaram 37,16% (137,16 – 100) de 2014 a 2015.
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Exemplo: Determinar P2013, 2014p e P2013, 2015p para os dados:
Tabela 69
Produtos
2013 2014 2015
P2013 P2014 P2015 P2013 Q2014 P2013 q2015 P2014 Q2014 P2015 Q2015Q2013 Q2014 Q2015
A 8 13 17 8 10 12 104 136 130 204
B 13 16 28 12 17 27 192 336 272 756
C 23 28 34 17 22 28 476 578 616 952
∑ 772 1050 1018 1912
P
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2013 2014
1 2014 2014
1 2013 2014
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
1018
772
100 13187= × = , %
Os preços dos produtos aumentaram 31,87% (131,87 – 100) de 2013 a 2014.
P
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2013 2015
1 2015 2015
1 2013 2015
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
1912
1050
100 182 10= × = , %
Os preços dos produtos aumentaram 82,10% (182,10 – 100) de 2013 a 2015.
Exemplo: usando 2013 como base, obtenha os Índices de Paasche de preços e quantidades.
Tabela 70
Produtos
2013 2014 2015
Preço Quantidade Preço Quantidade Preço Quantidade
A 5 20 6 30 8 30
B 8 10 10 20 12 30
C 10 30 12 40 15 50
P
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2013 2014
1 2014 2014
1 2013 2014
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
6 30 10 20 12 40
5 30 8 20 10 40
100
860
71
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
00
100 12113× = , %
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Os preços dos produtos aumentaram 21,13% (121,13 ‑ 100) de 2013 a 2014.
P
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2013 2015
1 2015 2015
1 2013 2015
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
8 30 12 30 15 50
5 30 8 30 10 50
100
1350
8
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
990
100 15169× = , %
Os preços dos produtos aumentaram 51,69% (151,69 – 100) de 2013 a 2015.
P
q p
q p
q
i
n
i i
i
n
i i
2013 2014
1 2014 2014
1 2013 2014
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
30 6 20 10 40 12
20 6 10 10 30 12
100
860
5
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
880
100 148 28× = , %
As quantidades dos produtos aumentaram 48,28% (148,28 – 100) de 2013 a 2014.
P
q p
q p
q
i
n
i i
i
n
i i
2013 2015
1 2015 2015
1 2013 2015
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
30 8 30 12 50 15
20 8 10 12 30 15
100
1350
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
7730
100 184 93× = , %
As quantidades dos produtos aumentaram 84,93% (184,93 – 100) de 2013 a 2015.
Observe que os valores apresentam a mesma ordem de grandeza que os Índices de Laspeyres, mas 
obviamente são diferentes.
Relação entre os Índices de Laspeyres e Paasche
O Índice de Paasche será maior que o de Laspeyres se os preços e as quantidades tenderem a se 
mover na mesma direção entre os dois períodos (base e atual); e o Índice de Laspeyres será maior se os 
preços e quantidades tenderem a se mover em direções contrárias:
• Se a correlação entre preço e quantidade for positiva, ρ > 0, então P > L.
• Se a correlação entre preço e quantidade for negativa, ρ < 0, então L > P.
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
6.3 Índices de Fisher ou ideal
Esse índice é obtido pela raiz quadrada do produto (média geométrica) dos respectivosíndices 
de Laspeyres e de Paasche. Sob o aspecto da ponderação, esse índice envolve os dois sistemas 
anteriormente adotados.
O Índice de Fisher, também conhecido como ideal, tende a ser um número superior ao fornecido pela 
Fórmula de Paasche e inferior ao apresentado pela Fórmula de Laspeyres.
IF IL IP= ×
Exemplo:
Índice de Laspeyres:
L
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2014 2015
1 2015 2014
1 2014 2014
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
1372
1018
100 134 77= × = , %
Em média, os preços dos três produtos aumentaram 34,77% em 2015 comparativamente a 2014.
Índice de Paasche:
P
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2014 2015
1 2015 2015
1 2014 2015
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
1912
1394
100 137 16= × = , %
Os preços dos produtos aumentaram 37,16% (137,16 – 100) de 2014 a 2015.
Índice de Fisher:
IF IL IP
p2014 2015
134 71 137 16 135 93, , , , %= × = × =
Os preços dos produtos aumentaram 35,93% (135,93 – 100) de 2014 a 2015.
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Exemplo:
Índice de Laspeyres:
L
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2013 2014
1 2014 2013
1 2013 2013
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
6 20 10 10 12 30
5 20 8 10 10 30
100
580
48
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
00
100 120 83× = , %
Em média, os preços dos três produtos aumentaram 20,83% em 2014 comparativamente a 2013.
Índice de Paasche:
P
p q
p q
p
i
n
i i
i
n
i i
2013 2014
1 2014 2014
1 2013 2014
1,
, ,
, ,
=
×( )
×( )
×=
=
∑
∑
000
6 30 10 20 12 40
5 30 8 20 10 40
100
860
71
=
×( ) + ×( ) + ×
×( ) + ×( ) + ×
× =
=
( )
( )
00
100 12113× = , %
Os preços dos produtos aumentaram 21,13% (121,13 – 100) de 2013 a 2014.
Índice de Fisher:
IF IL IP
p2013 2014
120 83 12113 120 98, , , , %= × = × =
Os preços dos produtos aumentaram 20,98% (120,98 – 100) de 2013 a 2014.
Há perigos inerentes nos números‑índices, em sua utilização e interpretação de tais indicadores, 
pois a qualidade e a introdução frequente de novos produtos distorcem comparações durante longos 
períodos de tempo.
Resumindo, a utilização e a interpretação de números‑índices exige que se compreenda os problemas 
inerentes à sua construção. Entre eles, citam‑se:
• Os dados submetidos à comparação não são comparáveis.
• Os itens incluídos nos índices não são representativos para o problema em estudo.
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
• As cifras do período‑base podem ser atípicas, distorcendo, assim, a comparação.
• Diferentes esquemas de ponderação resultam em diferentes números‑índices.
 Saiba mais
Para saber mais sobre Números‑Índices, consulte:
HOFFMAN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 1980, 
p. 309‑331.
6.4 Deflação de uma série temporal
As séries históricas são conjuntos de medidas de uma mesma grandeza, relativas a vários períodos 
consecutivos. Muitas variáveis econômicas importantes se apresentam em forma de séries históricas. 
A maioria apresenta tendências definidas (ascendentes ou descendentes) quando acompanhadas por 
longos períodos.
Em um contexto econômico inflacionário, deve‑se ficar atento para a ilusão monetária (ou valores 
aparentes) ao analisar uma série de valores. É necessário homogeneizar os valores das séries para 
retirar os efeitos corrosivos da inflação sobre os valores, ou seja, devem ser traduzidos a um mesmo 
padrão monetário de referência em determinada época. No processo de homogeneização dos valores 
monetários, são utilizados índices de preços para deflacionar ou inflacionar as séries de valores.
Índices de preços permitem formar deflatores: são operadores multiplicados pelos valores nominais 
das diversas épocas que produzem valores correspondentes ao nível de preços da data de referência.
Portanto:
• Deflacionar um fluxo monetário significa reduzir todos os valores da série a uma base comum de 
referência situada no início da série.
• Inflacionar um fluxo monetário significa colocar todos os valores da série em uma base comum 
de referência situada no fim da série; significa transformar os valores de cada época em valores 
compatíveis com a capacidade de compra verificada em uma data posterior.
Em contextos inflacionários, são muito usadas as expressões “em preços correntes” e “em preços 
constantes”, assim sendo, quando a série de valores está expressa:
• em preços correntes: cada termo da série se encontra expresso em poder aquisitivo da data 
respectiva do termo;
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• em preços constantes: todos os termos da série estão expressos em poder aquisitivo de uma única data.
 Saiba mais
Para saber mais sobre determinação do padrão de variação estacional 
em Série Temporal, consulte:
HOFFMAN, R. Estatística para economistas. São Paulo: Pioneira, 1980, 
p. 333‑352.
Para inflacionar ou deflacionar séries de valores (ou séries temporais, ou séries históricas), podemos 
usar qualquer um dos seguintes deflatores, normalmente encontrados nas revistas especializadas:
• IGP: Índice Geral de Preços.
• ICV: Índice de Custo de Vida.
• IPA: Índice de Preços ao Atacado.
• IPC: Índice de Preços ao Consumidor.
• IPCA: Índice de Preços de Consumo Amplo.
 Observação
Um índice de preços procura medir a mudança que ocorre nos níveis 
de preços de um período para outro. O índice mais geral é o IGP‑DI da FGV.
O processo de inflacionar e deflacionar uma série de valores monetários para uma determinada data 
de referência deve ser interpretado como uma comparação entre a evolução dos valores monetários e o 
comportamento dos preços dos produtos agrupados no índice escolhido.
Assim, se um investimento teve um rendimento de 12% real, tomando‑se como referência um 
determinado índice de preços, isso significa que esse rendimento superou em 12% a evolução do índice 
escolhido, ou seja, a evolução média dos preços dos bens e serviços que compõem o índice.
Para estudar a evolução real dos salários devemos usar o Índice do Custo de Vida ou Índice de Preços 
ao Consumidor. No caso de dados sobre empresas, podemos utilizar o índice Geral de Preços ou o Índice 
de Preços ao Atacado.
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Exemplo 107: uma empresa possui os dados relativos a seu faturamento no período de 1980 a 
1985, apresentados na tabela a seguir. Dado o Índice Geral de Preços (IGP) desse período, determinar:
a) O faturamento real em termos de 1980.
b) O faturamento real em termos de 1985.
c) A variação porcentual do faturamento real ano a ano.
d) A taxa média real do faturamento no período considerado.
Tabela 71
Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985
Faturamento ($ milhões) 50.000 80.000 130.000 180.000 220.000 270.000
IGP 80 = 100 100 137 208 362 691 1.085
Solução:
a) Para deflacionarmos ou inflacionarmos os dados deveremos tomar o inverso dos índices com 
relação ao ano‑base e multiplicar pelos valores que queremos atualizar. No nosso caso, como 
queremos o faturamento real em termos de 1980, vamos deflacionar os dados:
Tabela 72
Ano Inverso dos índices Taxa de desvalorização da moeda X
Valores 
correntes =
Valores 
deflacionados
1980
1
100
100× = 1,000 X 50.000 = 50.000
19811
137
100× = 0,7299 X 80.000 = 58.392
1982
1
208
100× = 0,4807 X 130.000 = 62.504
1983
1
362
100× = 0,2762 X 180.000 = 49.716
1984
1
691
100× = 0,1447 X 220.000 = 31.834
1985
1
1 085
100
.
× = 0,0922 X 270.000 = 24.894
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Unidade III
 Observação
Poderíamos obter os valores deflacionados dividindo diretamente o 
 
valor corrente pelo índice 
80 000
137
.


 x 100 ≅ 58.392, porém perderíamos o 
valor da taxa de desvalorização da moeda.
Assim, temos todos os valores a preços constantes de 1980 e que, portanto, podem ser comparados, 
o que não ocorria anteriormente, quando os valores estavam mascarados pela inflação. Verifica‑se que 
o faturamento realmente cresceu até o ano de 1982, a partir do qual passou a decrescer continuamente.
b) Para colocarmos os dados em termos do faturamento de 1985, devemos inflacionar os dados 
anteriores. Assim, inicialmente deveremos fazer uma mudança de base no IGP, que foi dado com 
1980 = 100 transformando‑o em IGP 1985 = 100.
Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985
IGP 80 = 100 100 137 208 362 691 1085
IGP 85 = 100 9,217 12,627 19,171 33,364 63,687 100
Em seguida, procede‑se de maneira idêntica ao caso anterior:
Tabela 73
Ano Inverso dos índices Taxa de desvalorização da moeda X
Valores 
correntes =
Valores 
deflacionados
1980
1
9 217
100
,
× = 10,850 X 50.000 = 542.500
1981
1
12 627
100
,
× = 7,920 X 80.000 = 633.600
1982
1
19 171
100
,
× = 5,216 X 130.000 = 678.080
1983
1
33 364
100
,
× = 2,997 X 180.000 = 539.460
1984
1
63 687
100
,
× = 1,570 X 220.000 = 345.400
1985
1
100
100× = 1,000 X 270.000 = 270.000
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
 Observação
Poderíamos obter os valores inflacionados dividindo diretamente 
 
os valores correntes pelo índice 50 000
9 217
.
,




x 100 = 542.476 ≅ 542.500, porém 
 
desconheceríamos a taxa de valorização da moeda.
Verifica‑se então o faturamento real a preços constantes de 1985, que nos conduz à mesma 
interpretação anterior, ou seja, o faturamento cresceu até o ano de 1982, a partir do qual passou 
a diminuir.
c) A variação real do faturamento deve ser feita sobre o faturamento a preços constantes, podendo 
ser aqui usado tanto o encontrado no item a (80 = 100) quanto no item b (85 = 100). Usando os 
resultados do item b, temos:
Tabela 74
Ano Comparação móvel Variação móvel
1981
633 600
542 500
.
.
= 1,1679 ou 116,79% + 16,79%
1982
678 080
633 600
.
.
= 1,0702 ou 107,02% + 7,02%
1983
539 460
678 080
.
.
= 0,7956 ou 79,56% ‑ 20,44%
1984
345 400
539 460
.
.
= 0,6403 ou 64,03% ‑ 35,97%
1985
270 000
345 400
.
.
= 0,7817 ou 78,17% ‑ 21,83%
d) Para calcularmos a taxa média real do faturamento usamos a média geométrica dos índices da 
comparação móvel.
G = × × × × =, , , , , ,11679 1 0702 0 7956 0 6403 0 7817 0 86985
∴ 0,8698 ‑ 1 = ‑ 0,1302 ∴∴diminuição de 13,02% ao ano
Podemos obter também dividindo o último valor pelo primeiro e extraindo a média geométrica do 
resultado. Assim:
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Unidade III
270 000
542 500
0 4977
0 4977 0 86975
.
.
,
, ,
=
= =G
∴ 0,8697 ‑ 1 = ‑ 0,1302 ∴∴diminuição de 13,03% ao ano
Exemplo 108: um grupo empresarial X‑TAL que fabrica e vende produtos agrícolas e industriais 
possui os dados relativos a seu faturamento no período de 2012 a 2015, apresentados na tabela a seguir. 
Dado o Índice Geral de Preços (IGP‑DI) desse período:
a) Calcular a taxa de crescimento aparente (ou nominal);
b) Deflacionar a série de vendas com o IGP‑DI e calcular a taxa real de crescimento para cada ano.
Tabela 75
Ano 2012 2013 2014 2015
Vendas correntes (R$ milhões) 237 789 1.046 1.983
IGP‑DI 8,1121 5,5278 3,7800 10,6786
Tabela 76 
Ano Vendas correntes (R$ milhões)
2012 237
2013 789
2014 1.046
2015 1.983
Como os produtos são agrícolas e industriais, resolveu‑se usar o IGP‑DI, que teve a evolução seguinte:
Tabela 77
Ano IGP‑DI
2012 8,1121
2013 5,5278
2014 3,7800
2015 10,6786
Solução: crescimento aparente: o crescimento das vendas, em termos nominais, é obtido dividindo‑se 
o valor de um ano pelo valor do ano anterior e depois subtraindo‑se 1.
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Tabela 78
Ano Vendas correntes (R$ milhões) % de acréscimo
2012 237 ‑
2013 789 232,91
2014 1.046 32,57
2015 1.983 89,58
Assim, de 2012 para 2015, obtemos:
• 1 + crescimento aparente = 1.983 / 237 = 8,3671
• crescimento aparente = 8,3671 – 1 = 7,3671
• crescimento aparente (%) = 7,3671 x 100 = 736,71%
Podemos verificar que, em valor nominal, as vendas cresceram 232,91% de 2012 para 2013 e 89,58% 
de 2014 para 2015.
Para deflacionar a série de vendas, construímos o índice‑base 100 em 2012, simplesmente dividindo 
os valores do índice em cada ano pelo valor do índice em 2012.
Tabela 79
Ano IGP‑DI IGP‑DI com base 100 em 2012
2012 8,1121 1,0000
2013 5,5278 0,6814
2014 3,7800 0,4660
2015 10,6786 1,3164
O cálculo foi feito do seguinte modo:
Por exemplo, em 2014: 3,7800 / 8,1121 = 0,4660
A seguir, calcula‑se a série deflacionada de vendas e a taxa de crescimento real:
Tabela 80 
Ano
Vendas nominais
(R$ milhões) 
(1)
IGP‑DI
(2)
Vendas deflacionadas
(preços de 2012)
(1) x (2)
Taxa de crescimento 
real (% a.a.)
2012 237 1,0000 237,00 ‑
2013 789 0,6814 537,62 126,84
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Unidade III
2014 1.046 0,4660 487,44 ‑ 9,33
2015 1.983 1,3164 2.610,42 435,54
Para calcular as vendas deflacionadas, por exemplo em 2013, fazemos:
1 + taxa real = 537,62 / 237,00 = 2,2684
Logo:
Taxa real = 2,2684 – 1 = 1,2684
Portanto:
Taxa real (%): 126,84%
Podemos concluir que, em 2014, as vendas decresceram 9,33% em relação a 2013. Em 2015 as 
vendas apresentaram um crescimento real de 435,54% em relação a 2014. Finalmente, se compararmos 
as vendas de 2015 com as de 2012 deflacionadas (basta dividir 2.610,42 por 237,00 e subtrair 1), 
verificamos um crescimento de 1.001,44% em três anos.
3000
2500
2000
1500
1000
500
0
vendas deflacionadas 
(base 2012)
vendas nominais
2011 2012 2013 2014 2015
1.983
2.610
1.046
789
237
538 487
anos
R$ milhões
Figura 83 – Vendas do grupo empresarial X‑TAL entre 2012 e 2015
Observe como as duas linhas, na figura anterior, têm inclinações diferentes: percebemos 
claramente que os valores após a deflação estão substancialmente abaixo dos valores originais 
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
(nominais ou correntes), indicando que o aumento nas vendas anuais de 2013 para 2014, com base 
nos valores nominais, representa apenas um aumento “aparente”. Após a aplicação do índice de 
deflação é que obtemos o valor real das vendas anuais de 2013 para 2014, ou seja, houve de fato 
uma queda nas vendas de 2014 em relaçãoa 2013 e uma recuperação expressiva em 2015.
 Resumo
Como instrumento de “medição econômica”, os números‑índices 
caracterizam‑se por serem um importante instrumento de medidas 
Estatísticas; são muito utilizados para comparar variáveis econômicas 
relacionadas entre si e para obter uma análise simples e resumida das 
mudanças ocorridas em áreas relacionadas, tais como preços, quantidades 
e valores ao longo do tempo.
Nesta unidade, iniciamos estudando os números‑índices relativos ou 
simples, a construção de índice de base fixa, móvel, as mudanças de base 
de um número‑índice e os números‑índices compostos (quando envolvem 
um grupo de produtos). Examinamos os principais índices compostos: 
Lasperyres, Paasche e Fisher.
Muitas variáveis econômicas importantes se apresentam em forma de 
séries históricas. É necessário homogeneizar os valores das séries para retirar 
os efeitos corrosivos da inflação sobre os valores (os chamados índices de 
preços que permitem formar os deflatores, normalmente encontrados 
nas revistas especializadas: IGP – Índice Geral de Preços, IPCA – Índice de 
Preços de Consumo Amplo, IGPM – Índice Geral de Preços do Mercado etc.). 
O deflator implícito é uma forma possível de medir o nível geral de preços, 
obtido da relação entre o valor nominal e o real (exemplo: deflator implícito 
do Produto Interno Bruto).
O domínio desse instrumento de medição econômica é pré‑requisito 
na preparação de séries históricas utilizadas na construção de modelos 
econométricos.
 Exercícios
Questão 1. A tabela a seguir oferece informações da evolução dos preços e quantidades de três produtos 
(A, B e C) entre os anos de 2012 e 2013. Assinale a alternativa que apresenta corretamente o Índice Laspeyres 
de preços para esses três produtos, no período considerado, usando como base o ano de 2012.
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Unidade III
 2012 2013
P Q P Q
A 5 30 7 100
B 12 60 17 100
C 26 110 32 140
 
A) 1,2735.
B) 1,2810.
C) 1,2884.
D) 1,4316.
E) 1,4484.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das alternativas
A) Alternativa correta.
Justificativa: o Índice Laspeyres de preços é obtido a partir do uso da fórmula Lp =
Pt. Qi
Pt. Qi
�
∑
∑
.
Aplicando a fórmula: 
Lp =
Pt. Qi
Pt. Qi
Lp
x x x
x
� �
� �
�
∑
∑
= =
( ) +( ) +
( ) +
7 30 17 60 32 110
5 30 12
( )
xx x60 26 110
4750
3730
12735
( ) +
= = = =
�( )
,Lp Lp
B) Alternativa incorreta.
Justificativa: a resposta indicada nesta alternativa corresponde ao Índice de Fisher, que é a média 
 
geométrica dos Índices de Laspeyres e Paasche. É obtido pela fórmula Fp
Lp Pp
=
+
2
.
Aplicando a fórmula: Fp Fp Fp=
+
= = = =
, , ,
,
12735 12884
2
2 5619
2
12810 .
C) Alternativa incorreta.
Justificativa: a resposta indicada nesta alternativa remete ao Índice Paasche de preço e é obtido a 
 
partir do uso da fórmula Pp
Pt Qt
EpiQt
=∑ .
.
.
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ESTATÍSTICA ECONÔMICA – INTRODUÇÃO À ECONOMETRIA
Aplicando a fórmula: Pp
x x x
x x x
=
( ) +( ) +
( ) + +
=
( )
( ) ( )
7 100 17 100 32 140
5 100 12 100 26 140
, .Pp Pp= = =
6880
5340
12884
D) Alternativa incorreta.
Justificativa: a resposta indicada nesta alternativa remete ao Índice Laspeyres de quantidade, que é 
 
obtido a partir do uso da fórmula Lq
Pi. Qt
Pi. Qi
=∑
∑
� .
Aplicando a fórmula: Lq =
5x100 + 12x100 + (26x140)
5x30 + 12x60 + (26x110)
= L
( ) ( )
( ) ( )
qq =
5340
3730
=Lq =1,4316
E) Alternativa incorreta.
Justificativa: a resposta indicada nesta alternativa corresponde ao Índice Paasche de quantidade, 
 
que é obtido a partir do uso da fórmula Pq
Pt Qt
Pt Qi
=∑
∑
.
.
.
Aplicando a fórmula: Pq =
7x100 + 17x100 + (32x140)
7x30 + 17x60 + (32x110)
=P
( ) ( )
( ) ( )
qq =
6880
4750
=Pq =1,4484
Questão 2. O preço do serviço básico da televisão a cabo aumentou de R$ 45,00 por mês em 2003 
para R$ 135,00 por mês em 2014. Durante o mesmo período, o Índice de Preços ao Consumidor (IPC) 
subiu 66,7%. Dessa forma, o preço real do serviço da televisão a cabo:
A) Aumentou, pois a variação do preço nominal foi menor que a inflação no período.
B) Diminuiu, pois a variação do preço nominal foi maior que a inflação no período.
C) Manteve‑se constante.
D) Aumentou, pois a variação do preço nominal foi maior que a inflação no período.
E) Não pode ser determinado sem informações adicionais.
Resolução desta questão na plataforma.