Econometria - Slides de Aula Unidade II

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Unidade II
ECONOMETRIA
Prof. Rubens Arakaki
Econometria (análise de regressão)
Pressupostos básicos para garantir a qualidade do resultado 
dos modelos de regressão linear:
I. E() = 0 (a esperança matemática dos resíduos é nula, ou 
seja, a média dos resíduos é nula).
II. Erros são normalmente distribuídos. 
III. Os Xi são fixos (não estocásticos, não aleatórios).
IV. E(2) = 2 (variância constante, homocedasticidade 
dos resíduos).
V. Os resíduos são independentes entre si: não 
são autocorrelacionados.
VI. As variáveis Xi não podem ser combinações lineares 
entre si (multicolinearidade).
Econometria (análise de regressão)
 A multicolinearidade (hipótese VI): correlações entre duas 
ou mais variáveis explicativas. 
Consequências: 
 a variância dos coeficientes estimados das variáveis 
explicativas aumenta (é muito grande);
 os testes t apresentam baixa significância, porém, não 
significando que sejam inválidos, podendo nos levar, do 
ponto de vista econômico, a conclusões erradas;
 as propriedades dos estimadores não se alteram, continuam 
não viesados, por decorrência, as previsões elaboradas são 
eficientes e consistentes.
Econometria (análise de regressão)
 A multicolinearidade (hipótese VI): correlações entre duas 
ou mais variáveis explicativas. 
Identificação 
Obter um teste F bastante significante, um R2 alto 
acompanhado de estatísticas teste (t de Student) 
insignificante ou sinais de coeficientes diferentes
do esperado.
É através de correlação entre as variáveis, duas a duas. 
Econometria (análise de regressão)
 A multicolinearidade (hipótese VI): correlações entre duas 
ou mais variáveis explicativas. 
Como corrigir 
 Retirar variáveis correlacionadas do modelo, sendo 
que a escolha das variáveis é pela permanência da(s) 
que possui(em) alta significância, apresentada pelo 
seu(s) coeficiente(s). 
Econometria (análise de regressão)
 Outra opção é aumentando a amostra, pois, se a amostra é 
pequena, a variância dos estimadores será grande, ou mesmo 
ter que reformular o modelo. 
 Dependendo do objetivo proposto para o modelo, por 
exemplo, previsões, a retirada tende a reduzir a eficiência 
das previsões, portanto, não há necessidade de retirar, as 
propriedades dos estimadores estão preservadas (não viés, 
eficiência, consistência).
Econometria (análise de regressão)
 A autocorrelação (hipótese V): a correlação de uma variável 
com valores defasados (diferença no tempo) dela mesma. 
Mas a hipótese fala de autocorrelação residual (do erro).
 É importante observar que a omissão de uma variável 
relevante transfere sua influência sistemática para o erro, 
podendo acarretar a autocorrelação residual. 
Econometria (análise de regressão)
 A autocorrelação (hipótese V): a correlação de uma variável 
com valores defasados (diferença no tempo) dela mesma. 
Mas a hipótese fala de autocorrelação residual (do erro).
 Um outro erro que se pode cometer na existência 
de autocorrelação é a especificação errada na forma 
funcional do modelo.
 No entanto, a autocorrelação pode ocorrer pela própria 
natureza do processo, casos em que a autocorrelação é parte 
integrante do comportamento das variáveis distribuídas no 
tempo. Por exemplo, na produção agrícola a decisão de 
quanto vai se produzir não é simultânea à formação de preço 
(o preço que influencia a quantidade produzida é o do 
período anterior, não o atual).
Econometria (análise de regressão)
 A autocorrelação (hipótese V): a correlação de uma variável 
com valores defasados (diferença no tempo) dela mesma. 
Mas a hipótese fala de autocorrelação residual (do erro).
Consequências 
 O estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) deixa 
de apresenta a menor variância possível entre todos os 
estimadores (não é o mais preciso). Com este problema, 
os estimadores ainda sustentam a hipótese de que são 
não viesados e consistentes (que é a de que os regressores, 
os Xs, não sejam correlacionados com o erro), portanto, a 
hipótese não é violada mesmo na presença de autocorrelação.
Econometria (análise de regressão)
As exceções advêm dos modelos que incluem, entre as 
variáveis explicativas, defasagens da variável dependente 
em modelos do tipo:
𝒀𝒕 = 𝜶 + 𝜷𝟏𝒀𝒕 + 𝜷𝟐𝒀𝒕−𝟏 + 𝒖𝒕
Econometria (análise de regressão)
 A autocorrelação (hipótese V): a correlação de uma variável 
com valores defasados (diferença no tempo) dela mesma. 
Mas a hipótese fala de autocorrelação residual (do erro).
Identificação 
 Pela aplicação do teste de Durbin-Watson, que é a forma mais 
comum para identificar a existência de autocorrelação.
Como corrigir 
 Se o problema da autocorrelação for de especificação do 
modelo, a correção é feita pela inclusão de mais variáveis 
ou com a alteração da forma funcional do modelo. Caso 
contrário, em que a autocorrelação é parte integrante do 
modelo estimado, é necessário um conhecimento prévio 
de como é a estrutura da autocorrelação.
Econometria (análise de regressão)
 A heterocedasticidade (hipótese IV): estabelece que a 
variância dos resíduos deve ser constante (homocedesticidade). 
Consequências 
 Podemos dizer que são as mesmas que acontecem na 
autocorrelação, os estimadores de MQO continuam não 
viesados, porém, não mais com a de menor variância. 
Identificação 
 Através de um teste comum de comparação de variâncias, 
por exemplo, teste F que consiste em separar o modelo de 
regressão em duas partes: uma com valores menores de X 
e outra com valores maiores, fazendo o teste para comparar 
a variância em cada um dos modelos estimados. 
Econometria (análise de regressão)
 A heterocedasticidade (hipótese IV): estabelece que a 
variância dos resíduos deve ser constante (homocedasticidade). 
Como corrigir
 Primeiro tentar definir o padrão associado a 
heterocedasticidade. Partimos de um modelo 
de regressão que é dado a seguir e suponhamos 
que exista heterocedasticidade:
Econometria (análise de regressão)
 𝒀𝒊 = 𝜶𝒊 + 𝜷𝟏𝑿𝟏𝒕 + 𝜷𝟐𝑿𝟐𝒕+𝜷𝟑𝑿𝟑𝒕 + 𝒆𝒕
Se conhecemos que a variância dos erros é dada por:
𝒗𝒂𝒓 𝒆𝒕 = 𝒁𝒊𝝈
𝟐
 isto é, que a variância não é constante, é uma variável 𝒁𝒊
multiplicada por uma constante. Porém, se conseguirmos 
eliminar esta variável da variância, encontraríamos 
uma variância constante, portanto, livre 
da heterocedasticidade.
Econometria (análise de regressão)
 A simultaneidade (hipótese III): estabelece que as variáveis 
independentes (X), num modelo de regressão devem ser fixos 
(não estocásticos, não aleatórios). 
 Se uma (ou mais) variável independente for aleatória, 
é preciso que pelo menos ela não tenha correlação 
com o resíduo.
Se tiver, significa que há uma determinação mútua, em 
que se discute a relação de causa e efeito. 
 Exemplo clássico é entre as duas variáveis: preços e 
quantidades (vende mais porque o preço está baixo ou está 
com o preço baixo porque vende mais?). Quantidade afeta o 
preço que afeta a quantidade. Em economia esse tipo de 
situação ocorre com frequência.
Econometria (análise de regressão)
 A simultaneidade (hipótese III): estabelece que as variáveis 
independentes (X) um modelo de regressão devem ser fixos 
(não estocásticos, não aleatórios). 
Pelo lado da oferta (lei da oferta), a quantidade a ser produzida 
ou ofertada, seja dada como função única do preço (𝑷):
 𝑸𝒐𝒇𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅𝒂_𝒊 = 𝜶𝟎 + 𝜶𝟏𝑷𝒊 + 𝒖𝒊
 sendo 𝜶𝟏 > 𝟎
 Pelo lado da demanda (lei da procura), a quantidade a ser 
consumida ou demandada. Além do preço (P), é levado em 
conta a renda (R), conforme a função:
 𝑸𝒅𝒆𝒎𝒂𝒏𝒅𝒂𝒅𝒂_𝒊 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝑷𝒊 + 𝜷𝟐𝑹𝒊+ 𝒗𝒊
 sendo 𝜷𝟏 < 𝟎
Econometria (análise de regressão)
O que se observa é a busca do equilíbrio de mercado, 
a quantidade que é consumida é a que é vendida:
𝑸𝒐𝒇𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅𝒂_𝒊 = 𝑸𝒅𝒆𝒎𝒂𝒏𝒅𝒂𝒅𝒂_𝒊
 Nota-se que P e Q se determinam mutuamente nesse modelo, por 
esse motivo são consideradas variáveis endógenas, interagem 
internamente dentro de um mesmo sistema. A renda (R) já é uma 
variável independente no modelo, fora do sistema, seu valor já é 
predeterminado, considerada uma variável exógena.
 A regressão por MQO dessas equações acima nos levará a 
estimadores viesados e inconsistentes, visto que uma das 
variáveis explicativas, um dos regressores, é uma variável 
endógena, determinada pelo próprio modelo representado 
acima, portanto, está correlacionada com os resíduos, 
levando a estimadores viesados e inconsistentes.
Econometria (análise de regressão)
A simultaneidade (hipótese III) 
Identificação 
 Partindo do sistema de equações visto, vamos isolar as 
variáveis endógenas (P e Q). Igualando a variável Q das 
equações Oferta e Demanda encontraremos uma equação 
que coloca o preço em função apenas das variáveis exógenas 
(R, no caso, uma só). Substituindo a equação do preço que 
acabamos de encontrar na equação de oferta (𝑸𝒐𝒇𝒆𝒓𝒕𝒂𝒅𝒂_𝒊) 
chegando a isolar Q em função de R (Renda). 
 Passamos a ter um novo sistema de equações, que isola 
as variáveis endógenas em cada equação, chamadas de 
equações na forma reduzida, sendo que o sistema original 
de equações recebe o nome de forma estrutural do modelo.
Econometria (análise de regressão)
A simultaneidade (hipótese III) 
Identificação 
 O sistema de equações na forma reduzida deixa de 
ter os problemas de que um ou mais regressores são 
correlacionados com os resíduos, o que permite ser 
estimado pelo MQO. 
 Ao estimarmos as equações na forma reduzida, os parâmetros 
estimados não se encontram na forma normal, é preciso 
encontrar os da forma estrutural (original).
Econometria (análise de regressão)
A simultaneidade (hipótese III) 
 Como corrigir ou estimar um modelo de equações simultâneas. 
 Pelo fato de aparecer um dos regressores como sendo uma 
variável endógena que está correlacionada com os resíduos, 
levando a estimadores viesados e inconsistentes. 
 Vamos destacar o método dos mínimos quadrados de dois 
estágios, um método aplicado a equações superidentificadas 
(em que o número de variáveis endógenas incluídas – 1 é 
menor que o número de variáveis exógenas excluídas).
 O que consiste em estimar as equações da forma reduzida e 
encontrar os valores estimados para as variáveis endógenas.
Interatividade
(Petrobrás – Economista Júnior, 2005). Heterocedasticidade 
refere-se à situação em que a variância dos erros é:
a) constante e igual a 1.
b) constante.
c) variável.
d) variável entre 0 e 1.
e) infinita sempre.
Econometria (análise de regressão)
 O teste de Chow envolve a igualdade de coeficientes de 
diferentes regressões ou teste de equivalência de duas 
regressões. Para testar, iniciaremos pela hipótese nula de que 
as regressões do primeiro e segundo período são idênticas e 
ver se podemos rejeitar essa hipótese. 
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
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Ano
Importações – Brasil
(Período 1995 - 2010)
Econometria (análise de regressão)
 𝑺𝑸𝑹 𝑰𝑹 = 𝟏𝟎𝟑 + 𝟏. 𝟎𝟔𝟗 = 𝟏. 𝟏𝟕𝟐
 𝑺𝑸𝑹 𝑹 = 𝟏. 𝟒𝟐𝟑
 𝑭𝒌, 𝒏𝟏+ 𝒏𝟐−𝟐𝒌 =
(𝑺𝑸𝑹𝑹−𝑺𝑸𝑹𝑰𝑹)/𝒌
(𝑺𝑸𝑹𝑰𝑹)/(𝒏𝟏+ 𝒏𝟐−𝟐𝒌)
 𝑭𝟎,𝟎𝟓; 𝟐;𝟏𝟐 =
(𝟏.𝟒𝟐𝟑−𝟏.𝟏𝟕𝟐)/𝟐
𝟏.𝟏𝟕𝟐/𝟏𝟐
= 𝟏, 𝟐𝟖
 Finalizando, temos que se a estatística F=1,28 é menor do que 
o valor crítico da distribuição F com 𝒌 𝒆 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 − 𝟐𝒌 graus de 
liberdade (𝑭𝟎,𝟎𝟓;𝟐;𝟏𝟐= 𝟑, 𝟖𝟗), não rejeita-se a hipótese nula. 
Implica dizer que não é preciso estimar duas regressões 
separadas: não existe “quebra de estrutura”, os dados podem 
ser usados em conjunto.
Econometria (análise de regressão)
 O método dos mínimos quadrados pode modelar curvatura, 
transformando as variáveis (funções linearizáveis). É 
necessário especificar a forma funcional correta para 
modelar qualquer curva. 
 A função indicada a ser linearizável é a logarítmica na sua 
forma original: 𝒀 = 𝒂𝑿𝒃 e na sua forma linearizada (por 
transformação) 𝒍𝒏𝒀 = 𝒍𝒏𝒂 + 𝒃. 𝒍𝒏𝑿.
 Portanto, aplicando à função de 
demanda por importações a 
transformação logarítmica, 
propõe-se um melhor ajuste, 
assumindo o seguinte formato:
𝒍𝒏(𝒀𝒊) = 𝜷𝟏 + 𝜷𝟐𝒍𝒏(𝑿𝟐𝒊) + ⋯+ 𝜷𝒌𝒍𝒏(𝑿𝒌𝒊) + 𝒆𝒊
Econometria (análise de regressão)
Assim, temos o resultado de um modelo linearizável (por 
transformação logarítmica) e a comparação com o modelo anterior:
 ln(IMi) = −3,013 + 1,044. ln(PIBi) + 0,333. ln(Tax. Câmbioi)
(-8,15) (19,74) (5,43) 
(estatística t entre parênteses) 
R2 = 0,9679 R2 (ajustado) = 0,9630 n = 16 k=2 F = 196,00
 𝐼𝑀𝑖 = − 28,866 + 0,090. 𝑃𝐼𝐵𝑖 + 10,686. 𝑇𝑥. 𝐶â𝑚𝑏𝑖𝑜𝒊
(-2,65) (16,18) (2,64)
(estatística t entre parênteses) 
R2 = 0,9528 R2 (ajustado) = 0,9456 n = 16 k=2 F = 131,34
 Notamos uma melhora no modelo transformado ou 
linearizável. Sabemos que o modelo de regressão só fornece 
as melhores estimativas quando todas as pressuposições 
são atendidas. É muito importante testá-las.
Econometria (análise de regressão)
 A introdução das variáveis dummies na análise de regressão 
amplia de certa forma o poder de análise dos modelos, pois 
permite incorporar nos modelos variáveis importantes que 
se pretende analisar e que não podem ser medidas 
quantitativamente.
Assim, uma variável dummy, D, pode ser descrita da 
seguinte maneira:
𝑫 = 
𝟎, 𝒔𝒆 𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒏ã𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒗𝒆𝒓 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒆
𝟏, 𝒔𝒆 𝒂 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒄𝒕𝒆𝒓í𝒔𝒕𝒊𝒄𝒂 𝒆𝒔𝒕𝒊𝒗𝒆𝒓 𝒑𝒓𝒆𝒔𝒆𝒏𝒕𝒆
 A variável dummy recebe este nome por ser uma variável 
explicativa (X) que assume apenas dois valores: 0 e 1 
(variável indicadora) ao longo de toda a amostra. Indica a 
presença (1) ou ausência (0) de um atributo.
𝒀𝒊 = 𝜶 + 𝜷𝑿𝒊 + 𝜹𝑫 + 𝒆𝒊
Econometria (análise de regressão)
 Três formas de inserção das variáveis binárias em um 
modelo de regressão linear:
Aditiva 𝒀 = 𝜶 + 𝜷𝟏𝑿𝟏 + 𝜷𝟐𝑫 + 𝒖
Multiplicativa 𝒀 = 𝜶 + 𝜷𝟏𝑿𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝟏𝑫 + 𝒖
Mista 𝒀 = 𝜶 + 𝜷𝟏𝑿𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝟏𝑫𝟏 + 𝜷𝟑𝑫𝟐 + 𝒖
Econometria (análise de regressão)
O modelo se propõe a explicar as variações dos rendimentos 
familiares per capita (variável dependente Y) através da média 
de anos de estudos (variável independente X) de 62 municípios 
que compõem as três regiões metropolitanas: de Campinas (19), 
Ribeirão Preto (25) e Sorocaba (18). Para representar as três 
regiões metropolitanas utilizaremos duas variáveis dummies, 
conforme tabela a seguir:
Regiões 
metropolitanas
Variáveis 
dummies
DR DS
Campinas 0 0
Ribeirão Preto 1 0
Sorocaba 0 1
Econometria (análise de regressão)
 As variáveis binárias não apresentaram nenhum diferencial 
significativo quanto às diferenças de intercepto (Stat-t).
 𝒀𝑹𝑴 = −𝟖𝟕𝟓, 𝟎𝟎 + 𝟑𝟐𝟖, 𝟑𝟓𝑿 − 𝟏𝟑𝟐, 𝟖𝟐𝑫𝑹 − 𝟏𝟑𝟒, 𝟕𝟑𝑫𝑺
Portanto, os resultados da estimação com média dos anos 
de estudos (X), Regiões metropolitanas e Interações são:
 𝒀𝑹𝑴𝑪𝒂𝒎𝒑𝒊𝒏𝒂𝒔 = −𝟖𝟕𝟓, 𝟎𝟎 + 𝟑𝟐𝟖, 𝟑𝟓𝑿
 𝒀𝑹𝑴𝑹𝒊𝒃𝒆𝒊𝒓ã𝒐 𝑷𝒓𝒆𝒕𝒐 = −𝟏. 𝟎𝟎𝟕, 𝟖𝟐 + 𝟑𝟐𝟖, 𝟑𝟓𝑿
 𝒀𝑹𝑴𝑺𝒐𝒓𝒐𝒄𝒂𝒃𝒂 = −𝟏. 𝟎𝟎𝟗,𝟕𝟑 + 𝟑𝟐𝟖, 𝟑𝟓𝑿
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
Interseção -875,00 282,24 -3,10 0,00298
MÉDIA DE ANOS DE ESTUDOS (X) 328,35 39,26 8,36 0,00000
DR -132,82 68,48 -1,94 0,05731
DS -134,73 72,04 -1,87 0,06649
Econometria (análise de regressão)
 As variáveis binárias apresentaram diferenciais significativos 
quanto às diferenças de inclinação (Stat-t).
 𝒀𝑹𝑴 = −𝟗𝟓𝟑, 𝟐𝟖 + 𝟑𝟒𝟎, 𝟒𝟖𝑿 − 𝟐𝟏, 𝟎𝟐𝑫𝑹𝑿 − 𝟐𝟏, 𝟑𝟔𝑫𝑺𝑿
Portanto, os resultados da estimação com Média dos anos de 
estudos (X), Regiões metropolitanas e Interações são:
 𝒀𝑹𝑴𝑪𝒂𝒎𝒑𝒊𝒏𝒂𝒔 = −𝟗𝟓𝟑, 𝟐𝟖 + 𝟑𝟒𝟎, 𝟒𝟖𝑿
 𝒀𝑹𝑴𝑹𝒊𝒃𝒆𝒊𝒓ã𝒐 𝑷𝒓𝒆𝒕𝒐 = −𝟗𝟓𝟑, 𝟐𝟖 + 𝟑𝟏𝟗, 𝟒𝟔𝑿
 𝒀𝑹𝑴𝑺𝒐𝒓𝒐𝒄𝒂𝒃𝒂 = −𝟓𝟕𝟒, 𝟑𝟐 + 𝟑𝟏𝟗, 𝟏𝟐𝑿
Coeficientes Erro padrão Stat t valor-P
Interseção -953,28 260,71 -3,66 0,00055
MÉDIA DE ANOS DE ESTUDOS (X) 340,48 37,11 9,18 0,00000
DRX -21,02 9,90 -2,12 0,03803
DSX -21,36 10,40 -2,05 0,04442
Econometria (análise de regressão)
 Frequentemente, em análise de uma série temporal, é comum 
adotar modelos em que aparecem variáveis defasadas, isto é, 
o valor de 𝒀𝒕 referente ao t-ésimo período, aparece como 
função de 𝑿𝒕, 𝑿𝒕−𝟏, 𝑿𝒕−𝟐,. e/ou 𝒀𝒕−𝟏, etc. Isso é útil para a 
análise de políticas públicas. 
 Variáveis defasadas são valores que estão fortemente 
correlacionados aos valores que os antecedem e àqueles 
que os sucedem. Esse tipo de correlação é conhecido 
como autocorrelação. 
Econometria (análise de regressão)
 Na modelagem autorregressiva incluímos como variável 
independente uma componente defasada da variável 
dependente, é uma técnica de previsão bastante utilizada para 
prever séries temporais que apresentam autocorrelação. 
 𝒀𝒕 = 𝜶 + 𝜷𝟏𝒀𝒕−𝟏 + 𝒖𝒕 (primeira ordem)
 𝒀𝒕 = 𝜶 + 𝜷𝟏𝒀𝒕−𝟏 + 𝜷𝟐𝒀𝒕−𝟐 + 𝒖𝒕 (segunda ordem) 
 𝒀𝒕 = 𝜶 + 𝜷𝟏𝒀𝒕−𝟏 + 𝜷𝟐𝒀𝒕−𝟐 +⋯+ 𝜷𝒌𝒀𝒕−𝒌 + 𝒖𝒕 (k-ésima ordem)
Econometria (análise de regressão)
ANO
Consumo (Yt) Yt-1 Yt-2 Yt-3
1996 116.080
1997 119.601 116.080
1998 118.739 119.601 116.080
1999 119.189 118.739 119.601 116.080
2000 123.995 119.189 118.739 119.601
2001 124.951 123.995 119.189 118.739
2002 126.599 124.951 123.995 119.189
2003 125.908 126.599 124.951 123.995
2004 130.848 125.908 126.599 124.951
2005 136.634 130.848 125.908 126.599
2006 143.855 136.634 130.848 125.908
2007 153.027 143.855 136.634 130.848
2008 162.919 153.027 143.855 136.634
2009 170.180 162.919 153.027 143.855
2010 180.781 170.180 162.919 153.027
Econometria (análise de regressão)
Partimos da ideia de que não temos experiência para 
estabelecer o modelo de imediato. Assim, a seleção do modelo 
autorregressivo que melhor se ajuste a séries temporais anuais 
deve ser iniciada com o modelo autorregressivo de terceira 
ordem. Conforme apresentado no quadro a seguir, a equação 
autorregressiva ajustada é:
 𝑌𝑖 = −20.640,67 + 1,3312𝑌𝑖−1 − 0,3556𝑌𝑖−2 + 0,2155𝑌𝑖−3
 Nota-se que o primeiro ano da série é 1999.
 Na sequência vamos testar a significância de 𝛽3= 0,2155 
(parâmetro de ordem mais elevada).
 O valor de stat-t (estatística t calculada) é de 0,47 e se 
encontra na região de aceitação, pois o valor em módulo do 
stat-t é menor do que o valor t crítico = 0,47 = 0,47 < 2,31). 
Econometria (análise de regressão)
Não sendo significativo o parâmetro de maior ordem, 
foi descartado prosseguirmos no ajuste do modelo 
autorregressivo de segunda ordem, tabela a seguir:
 𝑌𝑖 = −20.085,56 + 1,2312𝑌𝑖−1 − 0,0492𝑌𝑖−2
 Nota-se que o primeiro ano da série é 1998.
 Na sequência vamos testar a significância de 𝛽2= -0,0492 
(parâmetro de ordem mais elevada), com um erro 
padrão de 0,3673.
Econometria (análise de regressão)
 O valor de stat-t (estatística t calculada) é de - 0,13 e se 
encontra na região de aceitação, pois o valor em módulo do 
stat-t é menor do que o valor t crítico = −0,13 = 0,13 < 2,23). 
Assim concluímos que devemos aceitar a hipótese nula 𝐻0, 
indica que o parâmetro de maior ordem do modelo 
autorregressivo é igual a zero, não sendo significativo, 
portanto, pode ser excluído.
Econometria (análise de regressão)
Não sendo significativo o parâmetro de maior ordem, 
foi descartado prosseguirmos no ajuste do modelo 
autorregressivo de primeira ordem, tabela a seguir:
 𝒀𝒊 = −𝟏𝟗. 𝟑𝟗𝟒, 𝟒𝟑 + 𝟏, 𝟏𝟕𝟗𝟔𝒀𝒊−𝟏 (Nota-se que o primeiro 
ano da série é 1997).
 Na sequência vamos testar a significância de 𝜷𝟏= 1,1796 
(parâmetro de ordem mais elevada), com um erro 
padrão de 0,0394.
Econometria (análise de regressão)
 O valor de stat-t (estatística t calculada) é de 29,92 e se 
encontra na região de rejeição, pois o valor em módulo do 
stat-t é maior do que o valor t crítico = 𝟐𝟗, 𝟗𝟐 = 𝟐𝟗, 𝟗𝟐 > 2,18). 
Assim, concluímos que devemos rejeitar a hipótese nula 𝑯𝟎, 
indica que o parâmetro de primeira ordem do modelo 
autorregressivo é diferente de zero, sendo significativo, 
portanto, deve permanecer no modelo.
Econometria (análise de regressão)
 Esta técnica de construção de modelo autorregressivo 
de primeira ordem foi selecionado como o mais apropriado.
 𝑌𝑛+𝑗 = −19.394,43 + 1,1796𝑌𝑛+𝑗 −1
Valores projetados para 2011 e 2012:
2011 (um ano à frente de 𝑌15 ): 
 𝑌16 = −19.394,43 + 1,1796𝑌15= −19.394,43 + 1,1796 × 180.781 =
193.854,84
Interatividade
(INEA – Economista, 2008)
O gráfico ao lado mostra os pares de observações de duas 
variáveis X e Y relacionadas pela regressão 
linear simples Y = a + bX + u, 
(em que a e b são coeficientes a 
serem estimados e u os erros aleatórios). 
O exame do gráfico sugere que:
a) Y e X não se relacionam.
b) a relação é não linear.
c) o número de observações é insuficiente para a estimação 
dos coeficientes.
d) pode haver problemas de heterocedasticidade na estimação.
e) há autorrelação dos resíduos.
Econometria (análise de regressão)
 A utilização das variáveis instrumentais nos auxilia na busca 
de estimadores consistentes quando tivermos regressores 
endógenos presentes no modelo de regressão (regressores 
endógenos são variáveis independentes X cujos valores são 
determinados dentro do sistema). 
 Numa regressão com mais variáveis, mesmo que a estatística 
R2 seja elevada, se uma única variável é endógena, todos os 
coeficientes estimados (inclusive os das variáveis exógenas) 
podem se tornar enviesados.
Econometria (análise de regressão)
Considere a equação:
 Y = α + βX + u
Em que:
 E u = 0
 Cov X, u ≠ 0
 Mesmo não conhecendo o motivo para a existência 
de correlação entre X e u, o método de variáveis 
instrumentais (VI) fornece um estimador consistente 
dos parâmetros de interesse.
Econometria (análise de regressão)
 O método se baseia na utilização de uma variável adicional Z, 
não incluída na fórmula anterior, que satisfaça tais condições:
 Cov Z, u = 0
 Cov Z, X ≠ 0
 O método de regressão por variáveis instrumentais (VI) é uma 
solução possível que fornece estimadores consistentes dos 
parâmetros de interesse quando o erro (e) e uma variável 
regressora (X) são correlacionados. 
 Sob essa condição, o método de mínimos quadrados 
ordinários (MMQO) produz estimadores 
viesados e inconsistentes. 
Econometria (análise de regressão)
A razão mais comum para a existência de correlação entre 
o erro (e) e alguma variável explicativa (x) ou regressora é 
determinada por três motivos: 
 omissão de variáveis relevantes para o modelo;
 erros de mensuração nas variáveis;
 simultaneidade.
 O viés de omissão de variáveis surge quando uma 
variável (independente) que determina a variável resposta 
(dependente) é omitidada regressão e quando pelo menos 
uma das variáveis explicativas é correlacionada com a 
variável omitida. Neste caso, o estimador de MMQO é 
inconsistente, mesmo para grandes amostras.
Econometria (análise de regressão)
 O viés de erros de mensuração nas variáveis é originado 
quando uma variável explicativa (X) é medida de forma 
imprecisa (resposta equivocada, digitação errada etc.). Neste 
caso, o estimador de MMQO é viesado e inconsistente.
 O viés de simultaneidade surge quando existe simultaneidade 
na relação causal entre a variável dependente (Y) e uma 
variável explicativa (X), isto é, de um lado, a variável 
explicativa (X) determina a variável dependente (Y); do outro 
lado, a variável dependente (Y) determina uma variável 
explicativa (X).
Vimos então que:
 sob a hipótese 𝑪𝒐𝒗(𝒆, 𝒙) = 𝟎, (I) MMQO é consistente; 
 sob a hipótese 𝑬(𝒆|𝒙) = 𝟎, (II) MMQO é não viesado. 
Econometria (análise de regressão)
 O método de regressão por variáveis instrumentais (VI) é uma 
solução possível que fornece estimadores consistentes dos 
parâmetros de interesse. 
 Baseia se na utilização de uma variável adicional, Z, 
denominada variável instrumental, que satisfaça as duas 
condições, a seguir: 
 relevância: a variável Z deve ser correlacionada com 
a variável explicativa (X);
 exogeneidade: a variável Z não pode ser correlacionada 
com o erro (e).
Econometria (análise de regressão)
Para obtermos as estimativas dos parâmetros da regressão pelo 
método das variáveis instrumentais (VI), multiplica-se a equação 
que corresponde à variável X, a qual contém os erros, pela 
respectiva variável instrumental Z conforme a seguir:
 
 𝐘 = 𝛂𝐧 + 𝛃 𝐗
 𝐘𝐙 = 𝛂 𝐙 + 𝛃 𝐗𝐙
Resolvendo o sistema, os estimadores 𝛂 𝐞 𝛃 podem se 
expressar como:
 𝛃 =
 𝐘𝐙−
 𝐘 𝐙
𝐧
 𝐗𝐙−
 𝐗 𝐙
𝐧
=
𝐂 𝐨𝐯(𝐙,𝐘)
𝐂 𝐨𝐯 (𝐙,𝐗)
Econometria (análise de regressão)
 β →
Cov(Z,Y)
Cov (Z,X)
= β portanto, α = Y − β X
 Assim, se Cov Z, e = 0 e Cov (Z, X) ≠ 0, então o estimador de 
variável instrumental de β é consistente. 
Na ideia de tornar a variável instrumental comparável à variável 
X, é indicado expressá-la na mesma unidade, cuja média seja 
igual à de X. Para tal, vamos substituir Z por:
 W = Z ×
média de X
média de Z
= Z ×
 X
 Z
 sem, portanto, alterar a correlação entre Z e X e entre Z e os 
resíduos (e).
A partir dos dados da tabela a seguir, vamos estimar a regressão 
pelo método dos mínimos quadrados ordinários (MMQO) e 
comparar os resultados com a mesma função pelo método da 
variável instrumental (VI), usando a variável X2 (consumo de 
energia elétrica industrial – TWh) como instrumento: 
Econometria (análise de regressão)
Y X Z YZ XZ
Seq. Ano Consumo Renda E. E. Ind. W YW XW
1 1996 116 180 117 177,29 20583,61 31983,50
2 1997 120 187 122 184,24 22035,00 34360,60
3 1998 119 187 122 184,64 21916,26 34563,81
4 1999 119 188 124 187,53 22353,82 35256,03
5 2000 124 196 131 198,71 24640,21 39007,04
6 2001 125 199 123 185,48 23185,36 36911,10
7 2002 127 205 131 198,18 25089,63 40646,78
8 2003 126 207 136 206,19 25959,65 42764,34
9 2004 131 219 154 233,35 30522,35 51197,27
10 2005 137 226 159 240,08 32795,27 54354,68
Média 124,25 199,57 131,85 199,57
 1.242,50 1.995,70 1.318,45 1.995,70 249.081,16 401.045,15
Econometria (análise de regressão)
Vamos obter as estimativas dos parâmetros da regressão 
pelo método das variáveis instrumentais (VI), conforme 
cálculos a seguir:
Para compatibilizar as unidades entre as variáveis renda (X) e 
instrumental Z, usa-se a transformação Z ×
Xmédio
Zmédio
, obtendo-se:
W = Z × X/ Z
 β =
 YZ−
 Y Z
n
 XZ−
 X Z
n
=
𝟐𝟒𝟗.𝟎𝟖𝟏,𝟏𝟔−
𝟏.𝟐𝟒𝟐,𝟓𝟎×𝟏.𝟗𝟗𝟓,𝟕𝟎
𝟏𝟎
𝟒𝟎𝟏.𝟎𝟒𝟓,𝟏𝟓−
𝟏.𝟗𝟗𝟓,𝟕𝟎×𝟏.𝟗𝟗𝟓,𝟕𝟎
𝟏𝟎
=
1.115,4350
2.763,3010
= 0,4037
Econometria (análise de regressão)
Outra maneira de proceder aos cálculos é por meio da matriz de 
covariância apresentada a seguir:
 𝛃 =
𝐂 𝐨𝐯(𝐙,𝐘)
𝐂 𝐨𝐯 (𝐙,𝐗)
=
𝟏𝟏𝟏,𝟓𝟒𝟑𝟕𝟔
𝟐𝟕𝟔,𝟑𝟐𝟗𝟕𝟑𝟖
= 𝟎, 𝟒𝟎𝟑𝟕
 Calculamos a estimativa de β de duas maneiras, utilizando 𝒁𝒊
(consumo de energia elétrica industrial) como 
variável instrumental.
 𝛂 = 𝐘 − 𝛃 𝐗 = 𝟏𝟐𝟒, 𝟐𝟓 − 𝟎, 𝟒𝟎𝟑𝟕 × 𝟏𝟗𝟗, 𝟓𝟕 = 𝟒𝟑, 𝟔𝟖𝟑𝟔
 𝐘𝐢 = 𝟒𝟑, 𝟔𝟖𝟑𝟔 + 𝟎, 𝟒𝟎𝟑𝟕𝐗𝐢 DW = 1,7132 (ausência de autocorrelação)
Consumo Renda E. E. Ind.
Consumo 34,8645
Renda 83,1635 204,1181
E.E. Ind. 111,54376 276,329738 412,6694
Econometria (análise de regressão)
 Nem sempre dispomos de uma variável instrumental obtida 
dos dados observados. Com base no modelo de regressão 
linear simples (Yj = α + βXj + uj), define-se uma forma de 
obtê-la que parte inicialmente de que as observações 
estão ordenadas de acordo com os valores de Xj, 
em ordem crescente.
Y X
Seq. Ano Consumo Renda Z XY X2
1 1996 116 180 -1 20944,44 32544,16
2 1997 120 187 -1 22305,40 34782,25
3 1998 119 187 -1 22220,64 35043,84
4 1999 119 188 -1 22409,60 35344,00
5 2000 124 196 -1 24341,20 38533,69
6 2001 125 199 1 24875,00 39601,00
7 2002 127 205 1 25965,66 42066,01
8 2003 126 207 1 26111,66 43014,76
9 2004 131 219 1 28697,52 48136,36
10 2005 137 226 1 30926,24 51256,96
Média 124,25 199,57
 1.242,50 1.995,70 248.797,36 400.323,03
Y X
Média 1 119,52 187,68
Média 2 128,98 211,46
Média (1+2) 124,25 199,57
Econometria (análise de regressão)
 Temos que o estimador de β é, neste caso:
 β =
 Y2− Y1
 X2− X1
=
128,98−119,52
211,46−187,68
=
9,46
23,78
= 0,3978
 α = Y − β X = 124,25 − 0,3978 × 199,57 ≅ 44,8584
 Yi = 44,8584 + 0,3978Xi DW = 1,722 
(ausência de autocorrelação)
Econometria (análise de regressão)
 Nos tópicos anteriores abordamos mais intensamente os 
métodos causais de previsão, aqueles que envolvem a 
determinação de fatores que se relacionam à variável que 
tentamos prever, em especial a regressão linear múltipla. 
A seguir, vamos abordar os métodos de previsão de séries 
temporais. Os métodos quantitativos de previsão de 
séries temporais utilizam dados históricos, do passado 
e do presente de uma determinada variável para prever 
valores futuros.
Interatividade
(MPU – Estatístico, 2004)
O ajuste da regressão linear múltipla 𝑬 𝒚 = 𝜷𝟎 + 𝜷𝟏𝑿𝟏 + 𝜷𝟐𝑿𝟐
com erros normais produziu o plano de regressão: 
 𝒀 = 𝟏𝟕, 𝟔 + 𝟒, 𝟐𝟒𝑿𝟏 + 𝟏, 𝟐𝟏𝑿𝟐
𝟑, 𝟖 (𝟏, 𝟐𝟏)
Em que os valores entre parênteses representam desvios 
padrão. Assinale a opção correta.
Interatividade
a) A variável 𝑿𝟏 é a mais importante como preditora de Y, uma 
vez que tem o coeficiente maior.
b) O teste de hipótese 𝜷𝟏 = 𝟎 com nível de significância de 5% 
indica que 𝑿𝟏 e Y não são associadas.
c) O teste de hipótese 𝜷𝟏 = 𝟎 com nível de significância de 5% 
indica que 𝑿𝟏 pode ser retirada do modelo linear contendo o 
intercepto 𝑿𝟏 e 𝑿𝟐.
d) A resposta esperada de Y quando 𝑿𝟏 = 𝟒 𝒆 𝑿𝟐 = 𝟏 é 35,77.
e) O teste de hipótese 𝜷𝟏 = 𝟎 com nível de significância indica 
que 𝑿𝟏 não pode ser retirada do modelo linear.
Econometria (análise de regressão)
 Uma série temporal é um conjunto de observações 
ordenadas no tempo. 
Para elaborar as previsões é preciso identificar e isolar 
os fatores que compõem o modelo em estudo, podendo 
ser decompostos em três séries temporais, a seguir:
Tendência (𝐓𝐭); Sazonalidade (𝐒𝐭); Componente aleatória (𝐚𝐭).
Tendência (𝐓𝐭); Sazonalidade (𝐒𝐭); Componente aleatória (𝐚𝐭).
Seja {Z𝑡 t = 1, . . . , N} as observações de
uma série temporal. Podemos decompor Ztem duas formas, dois modelos:
aditivo: Zt = Tt + St + at
multiplicativo: Zt = Tt × St × at
Econometria (análise de regressão)
Econometria (análise de regressão)
A partir do modelo livre da sazonalidade, estimamos a 
componente 𝐓𝐭 através dos métodos mais utilizados, como:
 ajuste da linha de tendência em função do tempo, usando um 
modelo linear polinomial ou exponencial;
 suavização ao redor de um ponto, para estimar a tendência 
naquele ponto através de sucessivos ajustes de mínimos 
quadrados ponderados. 
Alguns dos métodos mais utilizados nas análises de séries 
temporais: 
Média móvel
Suavização:
- exponencial simples
- exponencial dupla
Método de Winters.
Econometria (análise de regressão)
Média móvel: os dados a seguir representam a despesa de 
consumo das famílias brasileiras (em R$ bilhões) do primeiro 
trimestre de 2013 ao terceiro trimestre de 2015:
MM1 5 =
Y1 + Y2 + Y3 + Y4 + Y5
5
=
776 + 804 + 829 + 866 + 854
5
=
4.129
5
= 825,8
MM2 5 =
Y2 + Y3 + Y4 + Y5 + Y6
5
=
804 + 829 + 866 + 854 + 866
5
=
4.219
5
= 843,8
.....
MM7 5 =
Y7 + Y8 + Y9 + Y10 + Y11
5
=
888 + 940 + 912 + 916 + 937
5
=
4.593
5
= 918,6
Econometria (análise de regressão)
2013/
T1
2013/
T2
2013/
T3
2013/
T4
2014/
T1
2014/
T2
2014/
T3
2014/
T4
2015/
T1
2015/
T2
2015/
T3
776 804 829 866 854 866 888 940 912 916 937
Econometria (análise de regressão)
O ajuste exponencial em uma série temporal consiste em uma 
série de médias móveis exponencialmente ponderadas, baseado 
na equação definida a seguir:
 E1 = Y1
Ei = WYi + 1 −W Ei−1 i = 2,3,4,5, …… onde:
 Yi: valor corrente na série temporal;
 Ei : valor da série exponencialmente ajustada, calculado no 
período de tempo i;
 Ei−1: valor exponencialmente ajustado, já calculado no período 
de tempo i − 1;
 W: coeficiente de ajuste, peso atribuído subjetivamente 
0 < W < 1 , porém em todas as aplicações de natureza 
econômica (W ≤ 0,5).
Econometria (análise de regressão)
 O ajuste exponencial em uma série temporal consiste em uma 
série de médias móveis exponencialmente ponderadas.
120
170
220
270
320
1996/T1 1997/T1 1998/T1 1999/T1 2000/T1 2001/T1 2002/T1 2003/T1 2004/T1
R
$
 b
ilh
õ
e
s
Ano/trimestre
Médias móveis para despesas de consumo das famílias brasileiras
CONSUMO
AJ_EX (W=0,50)
AJ_EX (W=0,25)
Econometria (análise de regressão)
y = 4,7246x + 120,21
R² = 0,9467
0
50
100
150
200
250
300
350
0 5 10 15 20 25 30 35 40
R
$
 b
ilh
õ
e
s
Ano codificado
Tendência linear para o consumo 
CONSUMO (Y)
Linear (CONSUMO (Y))
Econometria (análise de regressão)
y = 0,1024x2 + 1,1401x + 140,52
R² = 0,985
0
50
100
150
200
250
300
350
0 5 10 15 20 25 30 35 40
R
$
 b
ilh
õ
es
Ano codificado
Tendência quadrática para o consumo 
CONSUMO (Y)
Polinômio (CONSUMO (Y))
Econometria (análise de regressão)
y = 131,37e0,0231x
R² = 0,9753
0
50
100
150
200
250
300
350
0 5 10 15 20 25 30 35 40
R
$
 b
ilh
õ
e
s
Ano codificado
Tendência exponencial para o consumo 
CONSUMO (Y)
Exponencial (CONSUMO (Y))
Interatividade
(Analista Tributário da Receita Federal, 2009). O modelo de 
regressão linear múltipla 𝑌 = 𝛼 + 𝛽𝑋 + 𝛾𝑍 + 𝜀 é ajustado às 
observações 𝑌𝑖 , 𝑋𝑖 e 𝑍𝑖, que constituem uma amostra aleatória 
simples de tamanho 23. Considerando que o coeficiente de 
determinação calculado foi de 𝑅2 = 0,80, obtenha o valor mais 
próximo da estatística F para testar a hipótese nula de não 
existência da regressão.
a) 84
b) 44
c) 40
d) 42
e) 80
ATÉ A PRÓXIMA!