Física Geral III - Exercícios de Oscilações

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UNIVERSIDADE DA INTEGRAÇÃO INTERNACIONAL DA LUSFONIA AFRO-
BRASILEIRA 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA – ICEN 
CURSO DE LICENCIATURA EM CIÊNCIAS DA NATUREZA E MATEMÁTICA 
DISCIPLINA: Física Geral III 
DOCENTE: Prof. Dr. José 
DISCENTE: Rodolfo Ferreira de Oliveira 
Trabalho Avaliativo I: Responder a 10 questões de qualquer livro de Física, as 
quais sejam de Oscilações. 
Questão 01. (Problema 25 do Capítulo 15 do livro Fundamentos de Física, 
vol.2 – 9ª Edição – Halliday/Resnick/Walker). Na figura 15-34, um bloco 
pesando , que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de 
ângulo , está ligado ao alto do plano inclinado por uma mola de 
massa desprezível de de comprimento quando relaxada e cuja 
constante elástica é . 
 
 
 
 
 
(a) A que distância do alto do plano inclinado fica o ponto de equilíbrio 
do bloco? 
R: Sabemos que quando o bloco estiver no ponto de equilíbrio, a 
resultante vetorial das forças será nula. Logo vamos montar o esquema 
de forças do sistema: 
 
 
 
 
 
𝜃 
Figura 15-34 
𝜃 
 2 
 
 
 
 
 
De imediato, vemos que a Força Normal se anula com a componente 
do Peso, assim a Força Resultante no eixo é zero. 
No equilíbrio, temos: 
∑ ⃗ 
As forças que atuam no eixo x são a força elástica e a componente do 
peso, logo, em módulo, quando o sistema está em equilíbrio: 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
Sabendo que , e que , temos que: 
 
 
 
 
 
 
Veja que esse valor de encontrado é a distância entre o ponto de 
equilíbrio e o ponto em que a mola fica relaxada. Logo a distância do 
ponto de equilíbrio ao alto do plano inclinado é: 
 
 
(b) Se o bloco é puxado ligeiramente para baixo ao longo do plano 
inclinado e depois liberado, qual é o período das oscilações 
resultantes? 
𝑁 
𝑃 
𝑃𝑦 
𝐹𝑒 
𝑃𝑥 
 3 
R: O período das oscilações não depende da amplitude, o período das 
oscilações depende apenas da frequência angular, ou seja, da massa do 
corpo e da constante elástica da mola. Fato descrito pela seguinte 
equação: 
 
 
 
 
Mas: 
 √
 
 
 
Logo: 
 √
 
 
 
Nós sabemos o Peso do bloco, logo podemos determinar a sua massa: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabendo então que e que , o período será de: 
 √
 
 
 
 √ 
Assim, o período das oscilações será de . 
Questão 02. (Problema 15 do Capítulo 15 do livro Fundamentos de Física, 
vol.2 – 9ª Edição – Halliday/Resnick/Walker). Duas partículas oscilam em 
Movimento Harmônico Simples ao longo de um segmento retilíneo comum 
de comprimento . As duas partículas têm um período de , mas existem 
uma diferença de fase de 
 
 
 entre seus movimentos. 
(a) Qual é a distância entre as partículas (em termos de A) após a 
partícula atrasada passar por uma das extremidades da trajetória? 
R: Vamos antes de tudo montar as equações horárias da posição de 
cada uma das partículas. Vamos chamá-las de partículas de e , onde 
a primeira é com a maior fase. 
Como elas realizam MHS em um segmento retilíneo de comprimento , a 
amplitude do movimento é . 
 4 
Para determinarmos a frequência angular vamos utilizar a informação do 
período que nos é dada na questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
Vamos considerar o instante onde a partícula atrasada por uma das 
extremidades da trajetória como sendo o instante . 
Vamos calcular as posições de cada partícula nesse instante: 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
 
√ 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
Nesse instante a diferença entre as duas partículas é de . 
Agora vamos analisar o instante , que é o pedido pela questão: 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo a distância entre as duas é de: 
 
A distância entre as duas partículas, em módulo é de . 
(b) Nesse instante, as partículas estão se movendo no mesmo sentido, em 
sentidos opostos se aproximando uma da outra ou em sentidos opostos 
se afastando uma da outra? 
R: Estão se deslocando no mesmo sentido. 
 5 
Questão 03. (Problema 19 do Capítulo 15 do livro Fundamentos de Física, 
vol.2 – 9ª Edição – Halliday/Resnick/Walker). Um bloco está apoiado em um 
êmbolo que se move verticalmente em um Movimento Harmônico Simples. 
(a) Se o MHS tem um período de para que valor da amplitude do 
movimento o bloco e o êmbolo se separam? 
R: Para que o bloco e o êmbolo se separem é necessário que o bloco 
atinja uma aceleração superior a aceleração gravitacional, pois assim ele 
irá conseguir subir e por consequência se separará do êmbolo. Vamos 
então considerar que a aceleração máxima do bloco é igual à 
aceleração gravitacional, em módulo, para assim encontrarmos o menor 
valor possível para a amplitude. 
Sabemos que o período é de , logo podemos encontrar a frequência 
angular: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Logo como sabemos a frequência angular e estamos considerando que 
a aceleração máxima do nosso sistema é igual à aceleração 
gravitacional, podemos calcular a amplitude do movimento. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Se o êmbolo se move com uma amplitude de , qual é a maior 
frequência para a qual o bloco e o êmbolo permanecem 
continuamente em contato? 
R: Para que o bloco e o êmbolo permanecem continuamente em 
contato com a amplitude de e com a maior frequência possível é 
necessário que a aceleração gravitacional seja igual à aceleração 
máxima do sistema. Logo, como temos a amplitude e a aceleração 
máxima podemos determinar a frequência angular: 
 √
 
 
 √
 
 
 √ 
 
 
 
Sabendo a frequência angular podemos calcular a frequência de 
oscilação. 
 
 
 
 
 
 
 
 6 
Logo para uma amplitude de o bloco pode oscilar com frequência 
de até que ele não irá se separar do êmbolo. 
Questão 04. (Problema 33 do Capítulo 15 do livro Fundamentos de Física, 
vol.2 – 9ª Edição – Halliday/Resnick/Walker). Um bloco de massa , 
em repouso em uma mesa horizontal sem atrito, está ligado a um suporte 
rígido através de uma mola de constante elástica . Uma bala 
de massa e velocidade ⃗⃗⃗ de módulo atinge o bloco e fica 
alojada nele (Fig.15-38) Supondo que a compressão da mola é desprezível 
até a bala se alojar no bloco, determine: 
 
 
 
 
 
 
(a) A velocidade do bloco imediatamente após a colisão. 
R: Aplicando o Principio da Conservação do Momento Linear. Vamos 
atribuir à bala o índice “b” e ao bloco o índice “B” 
 
 
Inicialmente o bloco estava em repouso, logo . 
Quando a bala se aloja, a sua velocidade passa a ser igual a do bloco, 
logo: . Assim sendo, temos: 
 
Isolando a velocidade final do bloco, temos: 
 
 
 
 
Substituindo por , por e por , temos: 
 
 
 
 
�⃗⃗⃗� 
Figura 15-387 
 
 
 
 
 
Assim sendo, imediatamente após a colisão, o bloco começa a se mover 
com velocidade de . 
(b) A amplitude do Movimento Harmônico Simples resultante. 
R: Antes do bloco ser atingido pelo projétil, o mesmo estava em equilíbrio. 
O problema diz que a compressão da mola é desprezível até o momento 
da bala alojar-se completamente no mesmo. Ou seja, essa velocidade 
que o bloco atinge quando a bala se aloja nele é a velocidade no ponto 
de equilíbrio, ou seja, em . A velocidade de é então a 
velocidade máxima do sistema bloco-bala. Assim sendo, a Energia 
Cinética nesse ponto é máxima, ou seja, toda a energia do sistema nesse 
momento será cinética, logo, nesse ponto: 
 
Onde é a Energia Total do Sistema e é a Energia Cinética. Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
A massa total é . Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
Isolando a amplitude, temos: 
 √
 
 
 
Substituindo por , por , por e por , 
temos: 
 √
 
 
 
 √
 
 
 
 8 
 √
 
 
 
 √ 
 
 
Questão 05. (Problema 37 do Capítulo 15 do livro Fundamentos de Física, 
vol.2 – 9ª Edição – Halliday/Resnick/Walker). Uma mola de massa desprezível 
está pendurada no teto com um pequeno objeto preso à extremidade 
inferior. O objeto é inicialmente mantido em repouso em uma posição tal 
que a mola se encontra no estado relaxado. Em seguida, o objeto é liberado 
e passa a oscilar para cima e para baixo, com a posição mais baixa 
abaixo de . 
(a) Qual é a frequência das oscilações? 
R: A posição é a posição onde a mola está relaxada. O corpo oscila 
para cima e para baixo, onde a posição mais baixa é abaixo da 
posição de equilíbrio. Logo, a amplitude do movimento é . 
Podemos encontrar a frequência das oscilações encontrando a 
frequência angular. Para isso, vamos fazer a resultante das forças do 
sistema. As forças que atuam no sistema são a força elástica e o peso do 
objeto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que: 
 
 
 
 
Temos: 
 √
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
Logo, a frequência de oscilações é: 
 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) Qual é a velocidade do objeto quando se encontra abaixo da 
posição inicial? 
R: Para isso vamos utilizar a equação de Torricelli para um MHS, a qual é 
dada por: 
 
 √ 
A posição do corpo será 0,03m, pois a posição do corpo é a distância da 
posição mais a amplitude: 
 √ (
 
 
) √ 
 
 
 
 
 
 
 
(c) Um objeto de é preso ao primeiro objeto, após o que o sistema 
passa a oscilar com metade da frequência original. Qual é a massa do 
primeiro objeto? 
R: Se a nova frequência é metade da original, então a frequência 
angular também o é. Logo, sabendo que: 
 √
 
 
 
Temos que: 
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
A constante de mola não se altera, logo podemos igualar as duas 
equações encontradas para a mesma e assim descobrir o valor da massa 
do primeiro objeto: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ou seja, a massa do primeiro objeto é 
 10 
(d) A que distância abaixo de , está a nova posição de equilíbrio 
(repouso), com os dois objetos presos à mola? 
R: Vamos primeiro encontrar a constante de mola. Vamos usar a seguinte 
equação: 
 (
 
 
)
 
 
Sabendo disso vamos calcular a resultante vetorial das forças do novo 
sistema. Vamos chamar de a nova massa dele e de a nova posição 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 06. (Problema 51 do Capítulo 15 do livro Fundamentos de Física, 
vol.2 – 9ª Edição – Halliday/Resnick/Walker). Na Fig. 15-44, uma barra de 
comprimento oscila como um pêndulo físico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
(a) Que valor da distância entre o centro de massa da barra e o ponto 
de suspensão corresponde o menor período? 
R: O Período em um pêndulo físico é dado pela seguinte relação: 
 √
 
 
 
Onde I é o momento de inércia do pêndulo, m é a massa do mesmo, g é 
a aceleração gravitacional e h é a distância do centro de massa do 
pêndulo até o ponto de suspensão. 
𝐿
 
 
𝑥 
𝐿 
𝐶𝑀 
𝑂 
Figura 15-44 
 11 
Para calcularmos o Momento de Inércia desse pêndulo teremos que usar 
o Teorema dos Eixos Paralelos, representado pela seguinte equação: 
 
O momento de inércia do centro de massa é: 
 
 
 
 
Como , temos que: 
 
 
 
 (
 
 
 ) 
 
 
 
Logo o período do nosso pêndulo é: 
 √
 
 
 
 
 √
 
 
 
Sabemos que o Período varia em função de , ou seja, quando o período 
for mínimo, a curva que o descreve estará no mínimo da função e nesse 
ponto, a derivada é nula. 
Assim sendo, temos: 
 
 
 
 
 
[ √
 
 
] 
Aplicando inicialmente a Regra do Produto, temos: 
 
 
 [
 
 
 ] √
 
 
 [
 
 
(√
 
 
)] 
A derivada de uma constante é zero, logo: 
 
 
 
Assim, temos: 
 
 
 [
 
 
(√
 
 
)] 
 12 
Podemos eliminar o , pois como o resultado da multiplicação é zero e 
 é diferente de zero, sabemos que o outro termo obrigatoriamente será 
zero, logo: 
 
 
 
 
 
(√
 
 
) 
Vamos aplicar a integral indefinida dos dois lados, assim: 
∫
 
 
(√
 
 
) ∫ 
A primeira integral se cancela com a derivada, pois uma é a operação 
inversa da outra. A segunda integral irá resultar em zero, pois a integral de 
uma constante é a constante multiplicada pela variável de integração. 
Como a constante é , a integral será nula também, logo: 
√
 
 
 
Elevando os dois membros da equação ao quadrado, temos: 
 
 
 
Passando o para o outro lado, temos que: 
 
Isolando o , temos: 
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 √ 
 
Como , temos que: 
 
 
 √ 
 
O sinal negativo é apenas uma questão de referencial, logo, como é 
uma distância, podemos escrever: 
 
Ou seja, o módulo do valor encontrado para essa distância . 
 13 
(b) Qual é esse período? 
R: Sabemos o valor de , o comprimento do pêndulo e a aceleração 
gravitacional na superfície da Terra, logo podemos calcular o período 
apenas aplicando esses valores na equação do período do nosso 
pêndulo físico: 
 √
 
 
 
Como , e : 
 √
 
 
 √
 
 
 
 √
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
Logo o período mínimo é . 
Questão 07. (Problema 3.1 do Capítulo 3 do livro Curso de Física Básica, vol.2 
– 5ª Edição – H. Moysés Nussenzveig). Um bloco de massa , capaz de 
deslizar com atrito desprezível sobre um trilho de ar horizontal, está preso a 
uma extremidade do trilho por uma mola de massa desprezível e constante 
elástica , inicialmente relaxada. Uma bolinha de chiclete de massa 
lançada em direção ao bloco, com velocidade horizontal ,atinge-o no 
instante e fica grudada nele. (Figura P.1). Ache a expressão do 
deslocamento x do sistema para . 
 
 
 
 
R: O momento linear é conservado, logo vamos aplicar o Princípio da 
Conservação do mesmo: 
 
 14 
 
Onde denota a velocidade da bolinha de chiclete e denota a 
velocidade do bloco. 
Inicialmente o bloco estava em repouso, logo sua velocidade inicial é zero. 
Após ocorrer a colisão, o chiclete se prende ao bloco, desse modo a 
velocidade final dos dois corpos vai ser a mesma. Como o chiclete se 
prendeu ao bloco, essa colisão foi inelástica, onde apenas o momento linear 
se conserva, já a energia mecânica não. 
Como a velocidade final dos corpos será igual, podemos denotar a 
velocidade final de cada corpo apenas como . Logo, a velocidade final 
do sistema é: 
 
 
 
 
Antes da colisão o bloco estava em equilíbrio, ou seja, essa velocidade 
assumida por ele (juntamente com o chiclete) é a velocidade no ponto de 
equilíbrio do sistema, ou seja, é a velocidade máxima. No equilíbrio: 
 
A velocidade final é justamente a velocidade máxima. Sabemos que a 
velocidade máxima de um oscilador harmônico simples é dada por: 
 
Onde é a frequência angular do sistema, a qual é dada por: 
 √
 
 
 
Onde é a constante de mola e é a massa total do sistema. No caso, 
 . Logo a frequência angular é: 
 √
 
 
 
Substituindo o valor da frequência angular encontrado agora na equação 
da velocidade máxima e, lembrando que a velocidade máxima é a 
velocidade do sistema imediatamente após a colisão, podemos encontrar 
uma equação para a amplitude do movimento: 
 
 15 
 
 
 √
 
 
 
 
 
√ 
 
 
 √ 
 √ 
 
 
 
 
 
√ 
√ 
 
 
 
 
 
 
 
A equação horária da posição em um MHS é dada pelo produto da 
amplitude pelo cosseno da fase. Onde a fase é dada por: 
 
Onde é a fase inicial do movimento. Para calcular o seu valor vamos 
utilizar a equação do deslocamento quando o , ou seja, quando o 
sistema está na posição (posição de equilíbrio). Sabemos que a 
equação horária da posição em um MHS é dada por: 
 
Para , temos: 
 
Logo: 
 
 
 
 
Assim a equação horária do deslocamento de nosso movimento é: 
 
 
 
 
Já sabemos o valor da amplitude e da frequência angular, logo a equação 
horária da posição desse sistema para é: 
 
 
 
 
 
 
 ( √
 
 
 
 
 
) 
Ou, de uma forma mais extensa: 
 
 √ 
 √ 
 ( √
 
 
 
 
 
) 
Questão 08. (Problema 107 do Capítulo 15 do livro Fundamentos de Física, 
vol.2 – 9ª Edição – Halliday/Resnick/Walker). As frequências de vibração dos 
 16 
átomos nos sólidos em temperaturas normais são da ordem de . 
Imagine que os átomos estão ligados uns aos outros através de molas. 
Suponha que um átomo de prata em um sólido vibra com essa frequência e 
que todos os outros átomos estão em repouso. Calcule a constante elástica 
efetiva. Um mol ( átomos) de prata tem uma massa de . 
R: Primeiro vamos calcular a massa de um único átomo de prata: 
 
 
 
 
 
Como sabemos a frequência de oscilação podemos determinar a 
frequência angular do sistema: 
 
Agora que sabemos a massa e a frequência angular, podemos calcular a 
constante elástica efetiva: 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
Questão 09. (Problema 103 do Capítulo 15 do livro Fundamentos de Física, 
vol.2 – 9ª Edição – Halliday/Resnick/Walker). Um bloco que desliza sem atrito 
está preso a uma mola horizontal de constante elástica . O bloco 
executa um MHS em torno de uma posição de equilíbrio com um período de 
 e uma amplitude de . Quando o bloco está passando pela 
posição de equilíbrio, uma bola de massa de modelas de é deixada 
cair verticalmente no bloco. Se a massa fica grudada no bloco, determine: 
(a) O novo período do movimento 
R: Vamos chamar o instante antes da massinha de modelar cair e atingir o 
bloco de instante 1 e de instante 2, o instante o qual a massa de molar se 
junta no bloco. 
Vamos calcular primeiramente a frequência e a frequência angular do 
primeiro instante. Sabemos que , logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 17 
Vamos chamar de a massa do bloco e de a massa da massinha de 
modelar. Podemos determinar o valor da massa do bloco, pois 
conhecemos a constante de mola e a frequência angular: 
 √
 
 
 √
 
 
 
 
 
 
 
 
(
 
 )
 
Do problema sabemos que . Com a agregação da massa de 
modelar no bloco, a frequência angular irá diminuir e o período irá 
aumentar. Vamos comprovar isso com as equações. A constante de mola 
não se altera. Logo mesmo com a agregação da massa de modelas ao 
bloco, a constante de mola , permanecerá com o valor de . 
Sabemos disso podemos calcular a nova frequência angular, chamada 
aqui de . 
 √
 
 
 
√
 
 
 
 
√
 
 
 
 
 
 
 
Como conhecemos a nova frequência angular, podemos determinar o 
novo período: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(b) A nova amplitude do movimento 
R: Vamos calcular primeiramente a velocidade máxima do primeiro 
instante. Conhecemos a primeira amplitude e também a primeira 
frequência angular, logo: 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora aplicar o principio da conservação do momento linear 
levando em conta o instante onde o bloco está no seu ponto de 
velocidade máxima e o instante onde o bloco e massa de modelar, 
juntos estão na sua velocidade máxima de oscilação. 
 
 
 
 
 
 18 
Conhecemos as massas e o valor de , logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como já sabemos a velocidade máxima do movimento oscilatório 
realizado pela massa de modelar e pelo bloco, juntos e, também 
conhecemos a frequência angular desse movimento, podemos encontrar 
a nova amplitude: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 10. (Problema 3.17 do Capítulo 3 do livro Curso de Física Básica, 
vol.2 – 5ª Edição – H. Moysés Nussenzveig). Um oscilador harmônico começa 
a oscilar em . Após 
 
 
 do período, sua energia cinética é três vezes maior 
que a energia potencial. Qual a fase inicial? (Dê todos os valores possíveis). 
R: Sabemos que a Energia Mecânica é dada pela soma das energias 
potenciais e cinéticas: 
 
Em um sistema oscilatório a energia total é dada por: 
 
 
 
 
 
Sabemos que a equação horária da posição em um MHS é: 
 
Em , ela se simplifica para: 
 
Logo a fase inicial é: 
 
 
 
 
 
 
 
Para descobrirmos a relação entre a posição e a amplitude nesse instante 
vamos analisar a energia do sistema. 
Em não existe energia cinética, pois é nesse instante que o sistema 
começa a oscilar. Dessa forma, toda a energia mecânica se concentra na 
forma de energia potencial. Assim, como nesse instante, temos que: 
 19Sabendo que a fase inicial é dada por: 
 
 
 
 
E que: 
 
A fase inicial é, portanto: 
 
 
 
 
Encontramos dois possíveis valores para a fase inicial. Mas, o problema pede-
nos todos os possíveis. Para encontrar o restante, vamos analisar o que é dito 
quando o tempo é 
 
 
 do período. 
Na questão é dito que após 
 
 
 do período a energia cinética é vezes maior 
que a potencial, logo: 
 
 
 
 
Logo, como a energia total é soma da cinética com a potencial, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em , a equação do deslocamento em função do tempo é: 
 (
 
 
 ) 
Sabemos que o período é definido por: 
 
 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
 
 20 
Então: 
 (
 
 
 ) (
 
 
 ) 
Já sabemos o valor de x nesse instante de tempo, logo: 
 
 
 (
 
 
 ) (
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 (
 
 
) 
Então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O cosseno é uma função par, logo: 
 
Para qualquer que seja o . 
Logo: 
 
 
 
 
Assim, os possíveis valores das fases iniciais são: