P2 Calculo 3A Toscano

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Universidade Federal Fluminense 
Departamento de Matemática Aplicada (GMA) 
P2 de Cálculo III-A – Turma D1 – 1o Sem. 2015 – Prof. Toscano – 22/06/15 
 
 
1) [1,6 ponto] Seja C a elipse 2 2( /3) ( /2) 1x y+ = . Calcule 
2 2 2 2
C
y x
I dx dy
x y x y
−= ++ +∫> . 
 
 
2) [1,6 ponto] Calcule a integral do campo ( , , ) ( , 1, 3 )F x y z y x z= − −G ao longo 
do caminho dado por 2( ) ( 1 2 cos , 2 sen , /2 ) , [0, ]r t t t t t π= + ∈G . 
 
 
3) [1,6 ponto] Calcule a integral do campo 2 2( , , ) (6 , , 2 )F x y z x z yz=G ao longo do 
caminho dado por ( )2 2 1( ) sen , , 1 sen( ) , [0,1]2 1t tr t t ttπ π+= + ∈+G . 
 
4) [1,6 ponto] Calcule o valor absoluto da integral do campo ( , , ) ( , 2 , 3 )F x y z z x y=G 
ao longo da curva C na interseção das superfícies dadas por 1x y z− + = e 
2 2 2( 1) ( 1) ( 1) 25x y z− + − + − = . 
 
 
5) Considere o cálculo da integral do campo ( , , )F x y z =G ( , 0, 1 )x z+ 
sobre a superfície S ilustrada à direita, que é assim definida: orienta-
da pelas normais exteriores e formada pela união da parte 1S da su-
perfície cilíndrica 2 2 1x y+ = desde 0z = até 1z = com a porção 
circular 2S do plano 1z = contida no interior de 1S . Obtenha o 
resultado por duas maneiras: 
 (a) [1,6 ponto] Indiretamente, usando o teorema de Gauss. 
 (b) [2,0 pontos] Efetuando diretamente a integral de superfície desejada. 
2S 
1
z
y
x 
1 2S S S= ∪ 
1
1S 
GABARITO 
 
 
1) Considere, no interior de C, uma circunferência Γ dada por 2 2 2x y c+ = . Usando 
o teorema de Green na região CR Γ limitada pelas curvas C e Γ, podemos escrever 
 
( )
0
C
y x
C R
F F
F dr F dr dx dy
x yΓΓ
∂ ∂⋅ + ⋅ = − ⇒∂ ∂∫ ∫ ∫∫G GJJG JJG ������	�����
> ? 
2
(1)
2 2 2 2
2 2
(área de ) 2
C R
c
y x
F dr F dr dx dy dx dy R
c c c cΓ
Γ
Γ Γ π
π−⋅ = − ⋅ = + = = =∫ ∫ ∫ ∫∫G GJJG JJG �����	����
> ? > ■ 
 
onde, na passagem (1), usamos o teorema de Green na região RΓ limitada por Γ. 
 
 
—————————————————————————————————————— 
2) Usando a parametrização que define a curva C, temos que 
 
( )
0
2 3 3
2 2
0 02
( 1)
3
( 2 sen )( 2 sen ) ( 2 cos )( 2 cos ) ( )
2
3
2 sen 2cos 2 2
2 2 2
C C
F dr ydx x dy z dz
t
t t t t t dt
t t
t t t
π
ππ ππ
⋅ = − + − +
⎡ ⎤⎢ ⎥= − − + +⎢ ⎥⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎢ ⎥⎟= + + = + = +⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎟⎜⎝ ⎠ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫
∫
G JJG
�������	������
 ■
 
 
 
—————————————————————————————————————— 
3) Uma vez que 0F∇× =G G , o campo 2 2( , , ) (6 , , 2 )F x y z x z yz=G é o gradiente de uma fun-
ção potencial Φ, que no caso é 
 
3 2( , , ) 2 .x y z x yz constΦ = + + ; 
 
logo, pelo teorema da d.d.p, temos que 
 
(1) (1,1,1)
3 2
(0) (0,1,1)
2 2 1 1 2
r
rC
F dr x yz
=
=
⎡ ⎤⋅ = + = + − =⎢ ⎥⎣ ⎦∫
G
G
JJGG ■ . 
 
 
—————————————————————————————————————— 
4) A curva C é uma circunferência, pois é a interseção de uma superfície esférica com 
um plano, e o raio de C é 5, igual ao dessa superfície esférica; de fato, pelo centro desta 
passa aquele plano [note que (1,1,1), o centro, satisfaz 1x y z− + = , a equação do 
plano]. 
 Considerando o disco S de bordo C e usando o teorema de Stokes, temos que 
 
2
(1, 1, 1) 3 1 2 100
(3,1,2) (área de )
3 3 3C S S
F dr F n dS dS S
π
π
5
− − +⋅ = ∇× ⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫G GJJG G �����	����
v ■ 
 
 
—————————————————————————————————————— 
5) Se S ′ é a porção circular do plano z = 0 contida no interior de 1S , V é o interior 
da superfície fechada S S ′∪ , e zF F k= ⋅
G G
 então podemos escrever 
 
N N
N
2
0
a)
2 (1 ) 2 área de 3
z
S S S S V SkdS
V S
F dS F dS F dS F dV F dS
dV z dS S
π
π
π π
′ ′ ′∪ −
′
⋅ = ⋅ − ⋅ = ∇⋅ +
′= + + = + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
G
G G G GJJG JJG JJG
�����	����
���	��
v
■ 
 
N
N
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2
2
0 01
b) ( , 0, 1 ) ( , , 0)
(1 ) cos 2(área de ) 3
z
S S S S SkdS
S S
F dS F dS F dS x z x y dS F dS
x dS z dS d dz S
π
π
π
ϕ ϕ π
⋅ = ⋅ + ⋅ = + ⋅ +
= + + = + =
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
G
G G GJJG JJG JJG
�����	����
����������	���������
■