Aula 11

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Universidade Federal de Itajubá – Campus Itabira 
Engenharia Elétrica 
Prof. MSc. Aurélio Luiz Magalhães Coelho 
BAC006 – ELETRICIDADE 
2 Semestre - 2014 
Aula 11 – Circuitos de Corrente Alternada em Série e 
em Paralelo 
 A álgebra de fasores será usada para desenvolver um 
método de solução rápida e direto para problemas 
envolvendo circuitos CA em série e paralelo; 
 Muitas regras utilizadas para circuitos de corrente contínua 
podem ser facilmente aplicadas a circuitos de corrente 
alternada. 
1. Introdução 
A impedância indica quanto o elemento 
“impede” ou se opõe à passagem da corrente 
elétrica. 
 
Muitas regras e teoremas aprendidos em CC 
serão aplicadas a circuitos CA. 
2. Impedância 
m
m
V
I
R

m mV I R
0o
R
V
I
R 

0o R
V
I
R
 
0o
V
I
R

 A grandeza ZR que tem um módulo e um ângulo associado é 
denominado impedância do elemento resistivo (Ω). 
2. Impedância 
Elemento Resistivo 
 v e i estão em fase e suas amplitudes são dadas por: 
00R
2
mVV 
2
mII 
rms
2. Impedância 
Elemento Resistivo 
m ( )v V sen wt
 
 
m
m
v t V
R
i t I
  0o
V V
R
II
  
DOMÍNIO DO TEMPO DOMÍNIO DOS FASORES 
0oV V 
m ( )i I sen wt
0oI I 
2. Impedância 
Elemento Resistivo 
m ( )v V sen wt
 
 
m
m
v t V
R
i t I
  0o
V V
R
II
  
DOMÍNIO DO TEMPO DOMÍNIO DOS FASORES 
0oV V 
m ( )i I sen wt
0oI I 
2. Impedância 
Elemento Resistivo 
 0oRZ R  
CHAMAMOS 
IMPEDÂNCIA DO CIRCUITO 
RZ
NÃO É FASOR!!!. É UMA GRANDEZA FIXA 
 O diagrama de fasores nos dá uma visão imediata dos 
módulos e das relações de fase para as varias grandezas 
associadas ao circuito. 
2. Impedância 
Elemento Resistivo 
Usando álgebra dos números complexos, determine a tensão 
no circuito. 
2
m
rms
I
I 
2,82 30ormsI 
4
2
rmsI 
rms RV IZ
(2,82 30 )(2 0 )o ormsV 
5,656 30ormsV  2 (5,65) ( 30)v sen t 
2. Impedância 
Elemento Resistivo 
 A tensão e a corrente estão em fase, pois as duas variáveis 
possuem o mesmo ângulo de fase. 
2. Impedância 
Elemento Resistivo 
 No caso de um indutor puro a tensão esta adiantada 90º em 
relação à corrente e a reatância no indutor XL, é dada por 
WL. 
mv V sen t
0orms
rms
L L
V
I
X 
 0ormsrms L
L
V
I
X
  90Ormsrms
L
V
I
X
 
2 ( 90 )orms
L
V
i sen t
X
   
 
90oL LZ X
2
m
rms
V
V 2m rmsV V
3. Impedância 
Elemento Indutivo 
090L fLLX L  2
3. Impedância 
Elemento Indutivo 
m ( )v V sen wt
2
2
m
L
m
VV
X
I I
  90
o
L
V V
Z
II
  
DOMÍNIO DO TEMPO DOMÍNIO DOS FASORES 
0oV V 
m ( 90 )
oi I sen wt 
90oI I 
3. Impedância 
Elemento Indutivo 
 90oL LZ X  
CHAMAMOS 
IMPEDÂNCIA INDUTIVA DO CIRCUITO 
L LZ jX
FORMA RETANGULAR 
Exemplo 
Usando álgebra dos números complexos, determine a corrente 
no circuito. 
5,656 90ormsI A 
2(5,656) ( 90 )oi sen t 
2
m
rms
V
V 
24 0
2
o
rmsV 
16,96 0ormsV 
rms
rms
L
V
I
Z

0
90
o
rms
rms o
L
V
I
X

3. Impedância 
Elemento Indutivo 
 A tensão está adiantada 90º em ralação a corrente ou a 
corrente está atrasada 90º em relação a tensão. 
24v sen t
8 ( 90 )oi sen t 
5,656 90ormsI A 
16,96 0ormsV 
3. Impedância 
Elemento Indutivo 
Usando álgebra dos números complexos, determine a tensão 
no circuito. 
2(14,14) ( 120)v sen t 
5 ( 30 )oi sen t  5 30
2
o
rmsI 
14,14120rmsV 
rms L rmsV Z I3,53 30
o
rmsI A
L LZ X
(3,53 30)(4 90)rmsV  
3. Impedância 
Elemento Indutivo 
5 ( 30 )oi sen t 
20 ( 120)v sen t 
3,53 30ormsI A
14,14120rmsV 
3. Impedância 
Elemento Indutivo 
 No caso de um capacitor puro a corrente está adiantada 90º 
em relação à tensão e que a reatância no indutor XC, é dado 
por 1/WC. 
mv V sen t
0orms
rms
C C
V
I
X 

0ormsrms C
C
V
I
X
  90Ormsrms
C
V
I
X

2 ( 90 )orms
C
V
i sen t
X
   
 
90oC CZ X 
2
m
rms
V
V 
2m rmsV V
4. Impedância 
Elemento Capacitivo 090C fCC
XC
 2
11

4. Impedância 
Elemento Capacitivo 
m ( )v V sen wt
m
C
m
V V
X
I I
  90
o
C
V V
Z
II
  
DOMÍNIO DO TEMPO DOMÍNIO DOS FASORES 
0oV V 
m ( 90 )
oi I sen wt 
90oI I 
4. Impedância 
Elemento Capacitivo 
 90oC CZ X  
CHAMAMOS 
IMPEDÂNCIA CAPACITIVA DO CIRCUITO 
C CZ jX 
FORMA RETANGULAR 
Exemplo Exemplo 
5,303 90ormsI A
2(5,303) ( 90 )oi sen t 
2
m
rms
V
V 
15 0
2
o
rmsV 
10,605 0ormsV 
rms
rms
C
V
I
Z

0
90
o
rms
rms o
C
V
I
X


Usando álgebra dos números complexos, determine a corrente 
no circuito. 
4. Impedância 
Elemento Capacitivo 
 A tensão está atrasada 90º em ralação a corrente ou a 
corrente está adiantada 90º em relação a tensão. 
15v sen t
7,5 ( 90 )oi sen t 
10,605 0ormsV 
5,303 90ormsI A
4. Impedância 
Elemento Capacitivo 
Usando álgebra dos números complexos, determine a tensão 
no circuito. 
2(2,121) ( 150)v sen t 
6 ( 60 )oi sen t  6 60
2
o
rmsI


2,12 150rmsV  
rms C rmsV Z I4,241 60
o
rmsI A 
C CZ X
(4,24 60)(0,5 90)rmsV   
4. Impedância 
Elemento Capacitivo 
6 ( 60 )oi sen t 
3 ( 150)v sen t 
4,241 60ormsI A 
2,12 150rmsV  
4. Impedância 
Elemento Capacitivo 
 É a representação no plano 
complexo das impedâncias de um 
circuito. É muito útil para se 
determinar a impedância total ou 
equivalente. 
 
 A resistência é representada na 
parte positiva do eixo dos reais, a 
reatância indutiva, na parte positiva 
do eixo dos imaginários e a 
reatância capacitiva, na parte 
negativa dos imaginários. 
5. Diagrama de Impedância 
 Circuito com um único elemento, o ângulo associado à 
impedância é o mesmo que o associado ao elemento 
resistivo ou reativo; 
 Uma vez determinada a impedância total de um circuito, seu 
módulo pode se usado para determinar a intensidade da 
corrente enquanto seu ângulo indicará se o circuito é 
principalmente indutivo, capacitivo ou simplesmente 
resistivo. 
 Se o ângulo é igual a 0o, dizemos que o circuito é resistivo. 
Se o ângulo é positivo, dizemos que o circuito é indutivo. Se 
o ângulo é negativo, dizemos que o circuito é capacitivo; 
 
5. Diagrama de Impedância 
 Para qualquer configuração (série, paralelo ou misto), o 
ângulo associado à impedância total é igual ao ângulo de 
fase da tensão aplicada em relação a corrente da fonte. 
 
 As propriedades gerais dos circuito CA em série são as 
mesmas que as dos circuitos CC. 
1 2 3T nZ Z Z Z Z    
5. Configuração Série 
Exemplo Exemplo 
Construa o diagrama de impedância para o circuito dado e 
determine a impedância total. 
1 2TZ Z Z 
0 90o oT LZ R X  T L
Z R jX 
4 8TZ j 
8,944 63,43oTZ 
5. Configuração Série 
Calcule a impedância de entrada do circuito em série dado e 
desenhe o diagrama de impedância. 
( )T L CZ R j X X  
1 2 3TZ Z Z Z  
6 2TZ j 
6,32 18,43oTZ  
0 90 90o oT L CZ R X X   
A corrente é a 
mesma em todos os 
elementos. 
T
E
I
Z

1 1V IZ
2 2V IZ
5. Configuração Série 
6,32 18,43oTZ  
6 2TZ j 
5. ConfiguraçãoSérie 
T
E
I
Z

1 1V IZ
2 2V IZ
1 2 0E V V   cos( )P EI 
5. Configuração Série 
Exemplo Exemplo 
141,4v sen t 100 0rmsV V
3 4TZ j 
5 53,13oTZ 
5. Configuração Série 
rms
T
V
I
Z
 100 0
5 53,13
o
I 

20 53,13oI  
R RV IZ (20 53,13 )(3 0 )o oRV  
(20 53,13 )(4 90)oLV  L LV IZ
60 53,13oRV  
80 36,87LV 
100 0 100 0o o
36 48RV j 
64 48LV j 
5. Configuração Série 
cos( )P EI 
(100)(20)cos(53,13)P 
1200P W
2P RI
2(3)(20 )P 
1200P W
5. Configuração Série 
60
5
3
,
Z
R
I
E
R
E
RI
EI
²RI
EI
P
cosFP
T
T  
Utilizando a regra dos divisores de tensão, calcule a tensão em 
cada elemento do circuito. 
x
x
T
Z E
V
Z

C
C
C R
Z E
V
Z Z


R
R
C R
Z E
V
Z Z


5. Configuração Série 
Divisor de Tensão 
CR VVE  CC
RR
T
IZV
IZV
IZE



Utilizando a regra dos divisores de tensão, calcule as tensões 
desconhecidas VR, VL, VC e V1. 
R
R
R L C
Z E
V
Z Z Z

 
L
L
R L C
Z E
V
Z Z Z

 
x
x
T
Z E
V
Z

C
C
R L C
Z E
V
Z Z Z

 
5. Configuração Série 
Divisor de Tensão 
 A impedância total depende da frequência; 
 A impedância de qualquer elemento pode ser maior do que a 
impedância total do circuito; 
 As reatâncias capacitiva e indutiva têm sentidos diretamente 
opostos em um diagrama de impedâncias; 
 Dependendo da frequência aplicada, o mesmo circuito pode se 
comportar tanto de forma indutiva quanto capacitiva; 
 Em frequências baixas, os elementos capacitivos fornecem, 
em geral, a maior contribuição para a impedância total, 
enquanto em frequências altas, são os elementos indutivos que 
têm uma maior contribuição para a impedância total; 
 
5. Configuração Série 
Aspectos Gerais 
 O módulo da tensão em qualquer elemento pode ser maior do 
que a tensão aplicada; 
 O módulo da tensão em um elemento em comparação com 
outros elementos do circuito é diretamente proporcional ao 
valor de sua impedância; ou seja, quanto maior a impedância 
de um elemento, maior o módulo da tensão nele; 
 As tensões nos indutores e capacitores estão sempre em 
sentidos opostos no diagrama de fasores; 
 A corrente está sempre em fase com a tensão em um elemento 
resistivo, atrasada 900 em relação a tensão em um elemento 
indutivo e adiantada 900 em relação a tensão em um elemento 
capacitivo. 
5. Configuração Série 
Aspectos Gerais 
 A lei de Kichhoff para corrente pode ser aplicada da mesma 
maneira que nos circuitos de corrente contínua; 
1 2 3
1 1 1 1 1
T nZ Z Z Z Z
    
T
E
I
Z
 1 2T
I I I 
cosT TP EI 
6. Configuração Paralela 
6. Configuração Paralela 
 A admitância (Y) é utilizada em circuitos em paralelo e é o 
inverso da impedância. 
 A admitância Y equivalente é a soma das admitâncias 
individuais. 
 A admitância Y é composta da condutância G e da susceptância 
B. 
 A unidade é o mho ou Siemens (s) 
Y G jB Z R jX 
6. Configuração Paralela 
1 2 ...eq nY Y Y Y   
1 2
1 1 1 1
...
eq nZ Z Z Z
   
eq
eq
E
I EY
Z
  1 1
1
E
I EY
Z
 
1 2
1 2
T
Z Z
Z
Z Z


Calcule a impedância total, corrente total, potência drenada da 
fonte, fator de potência e desenhe o diagrama de fasores. 
R
R
E
I
Z
 L
L
E
I
Z

T L RI I I 
T
T
E
I
Z

6. Configuração Paralela 
cosT T TP EI 
2
T TP I R
2
R
T
V
P
R

cosp TF 
6. Configuração Paralela 
2
1
1 2
TZ II
Z Z


 Para circuitos de corrente alternada a regra dos divisores de 
corrente tem o mesmo formato da que é usada nos circuitos 
de corrente contínua. 
1
2
1 2
TZ II
Z Z


6. Configuração Paralela 
Divisor de Corrente 
L T
R
R L
Z I
I
Z Z


Usando a regra dos divisores de corrente, calcule as correntes 
em cada uma das impedâncias. 
080 90
16 36,87
5 53,13
o
R o
I A 
R T
L
R L
Z I
I
Z Z


060 0
12 53,13
5 53,13
o
L o
I A  
6. Configuração Paralela 
Divisor de Corrente 
 A impedância depende da frequência; 
 A impedância em qualquer elemento pode ser menor do que a 
impedância total; 
 Dependendo da frequência aplicada, o mesmo circuito pode se 
comportar de forma indutiva ou capacitiva; 
 Em frequências baixas, os elementos indutivos geralmente têm 
uma influência maior no valor da impedância total, enquanto 
em frequências altas são os elementos capacitivos que 
influenciam mais no valor da impedância total; 
 O módulo da corrente em qualquer ramo pode ser maior que o 
da corrente da fonte; 
 
6. Configuração Paralela 
Apectos Gerais 
 O módulo da corrente em um elemento, comparado com os 
outros elementos no circuito, é inversamente proporcional ao 
módulo de sua impedância. Ou seja, quanto menor a 
impedância de um elemento, maior a corrente nele; 
 
 A corrente no indutor está sempre em sentido oposto ao da 
corrente no capacitor no diagrama fasorial; 
 
 A tensão sempre está em fase com a corrente em um elemento 
resistivo, adiantada 90 em relação à corrente em um elemento 
indutivo e atrasada 90 em ralação à corrente em um elemento 
capacitivo. 
6. Configuração Paralela 
Divisor de Corrente 
. unifeitiago@gmail.com Eletricidade - BAC 006 
C L
T
C L
Z Z
Z
Z Z


10 90TZ   
 A impedância total de dois ou mais elementos, com 
frequência equivalente, pode ser representado por um 
número menor de elementos. 
6. Configuração Paralela 
Divisor de Corrente 
. unifeitiago@gmail.com Eletricidade - BAC 006 
C L
T
C L
Z Z
Z
Z Z


0
0
12 90
5 53,13
TZ 
02,4 36,87TZ  
1,920 1,440TZ j  
 A equivalência só é valida para um determinado valor de 
frequência. 
7. Circuito Equivalente 
 O termo equivalente significa apenas que para uma mesma 
tensão aplicada teremos a mesma impedância e a mesma 
corrente total nos dois circuitos. 
5 90opX k
8 0opR k
4240 58oTZ  2247 3596TZ j 
7. Circuito Equivalente 
• Capítulo 15 (12ª Edição do Boylestad) 
• Exemplos 15.1 até 15.16 Ler a seção 15.7 do 
livro texto indicado; 
• Problemas: 
• 1, 2, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 15, 17, 25, 27, 31, 33, 
39, 41, 46 
EXERCÍCIOS SUGERIDOS 
Referências 
1) Introdução à análise de circuitos. Robert Boylestad, 12ª Edição, 
Prentice Hall do Brasil. 
 
2) Análise de circuitos. John O‘Malley, 2ª Edição, Makron Books. 
 
3) Notas de Aula dos Professores Clodualdo Venicio de Sousa e Tiago 
de Sá Ferreira – BAC006 – UNIFEI (ITABIRA). 
 
4) Notas de Aula do Professor Caio Fernandes de Paula – BAC006 – 
UNIFEI (ITABIRA).