Cálculo Diferencial e Integral de Funções de uma Variável - Slides de Aula - Unidade III

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Unidade III
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 
DE FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL
Prof. Felix Claret
Integral
 Primitiva ou antiderivada.
 Dizemos que é uma primitiva de se .
 Exemplo: Encontrar uma primitiva da função .
Integral
 Primitiva ou antiderivada.
 Dizemos que é uma primitiva de se .
Exemplo: Encontrar uma primitiva da função .
pois .
Integral
 Primitiva ou antiderivada.
 Dizemos que é uma primitiva de se .
 Exemplo: Encontrar uma primitiva da função .
pois .
pois
Integral
 Primitiva ou antiderivada.
 Dizemos que é uma primitiva de se .
 Exemplo: Encontrar uma primitiva da função .
pois .
pois .
Forma geral: com uma constante real.
Integral
 Integral indefinida.
 Conjunto de todas as primitivas de uma dada função .
 Notação:
 Integral imediata (uso de tabelas).
 Exemplo: , constante real.
 caso particular:
Integral
 Integrais Imediatas – Tabela.
 Propriedades:
 ,
Integral
 Integrais Imediatas – Tabela.
Exemplos:
1. Calcular a integral
 Solução:
Integral
 Integrais Imediatas – Tabela.
2. Calcular a integral
 Solução:
Integral
 Integrais Imediatas – Tabela.
3. Calcular a integral
 Solução:
Interatividade
Calculando , obtemos:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Integral – Métodos de integração
 Integração por substituição:
 É um dos métodos para calcular uma integral que não está
tabelada. Em geral, substituímos uma expressão na integral
para transformá-la numa integral tabelada.
 Exemplo 1: Calcular a integral
 Solução:
Integral – Métodos de integração
 Integração por substituição:
 Exemplo 2: Calcular a integral
 Solução:
Integral – Métodos de integração
 Integração por substituição:
 Exemplo 3: Calcular a integral
 Solução:
Integral – Métodos de integração
Integração por partes:
 É um outro método para calcularmos uma integral não 
tabelada, quando o método de substituição não pode ser 
aplicado.
 Sua forma geral é:
Integral – Métodos de integração
Integração por partes:
 Exemplo 1: Calcular a integral
 Solução:
Integral – Métodos de integração
Integração por partes:
 Exemplo 2: Calcular a integral
 Solução:
Integral – Métodos de integração
Integração por partes:
 Exemplo 3: Calcular a integral
 Solução:
Interatividade
Calculando a integral , obtemos: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Integral – Métodos de integração
 Integração de funções trigonométricas:
 Identidades trigonométricas úteis:
Integral – Métodos de integração
Integração de funções trigonométricas:
Exemplos:
 1 – Calcular a integral
 Solução:
Integral – Métodos de integração
Integração de funções trigonométricas:
Exemplos:
 2 – Calcular a integral
 Solução:
Integral – Métodos de integração
Integração de funções trigonométricas:
Exemplos:
 3 – Calcular a integral
 Solução:
Integral – Métodos de integração
Integração de funções trigonométricas:
Exemplos:
 4 – Calcular a integral
 Solução:
Interatividade
Calculando a integral , obtemos: 
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Integral de Riemann
 Integral de Riemann: Cálculo de áreas.
Fonte: Livro-texto.
Integral de Riemann
 Integral de Riemann: Cálculo de áreas.
Fonte: Livro texto.
Integral de Riemann
 Integral de Riemann: Cálculo de áreas.
Fonte: Livro-texto.
Integral de Riemann
 Integral de Riemann: Cálculo de áreas.
Fonte: Livro-texto.
Integral de Riemann
 Integral definida: Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
 Se é uma primitiva de , isto é, se ,
então,
Integral de Riemann
 Integral definida: Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
 Se é uma primitiva de , isto é, se ,
então,
Exemplo 1: Calcular a integral :
Solução:
Integral de Riemann
 Integral definida: Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
Fonte: O autor.
Integral de Riemann
 Integral definida: Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
 Exemplo 2: Calcular a integral .
Solução:
Integral de Riemann
 Integral definida: Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
 Exemplo 2: Calcular a integral .
Fonte: O autor.
Integral de Riemann
 Integral definida: Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
 Exemplo 3: Calcular a integral .
 Solução:
Integral de Riemann
 Integral definida: Teorema Fundamental do Cálculo Integral.
 Exemplo 3: Calcular a integral .
Fonte: O autor.
Interatividade
Resolvendo a integral definida , obtemos: 
a) -9,5 .
b) 9,5 .
c) -10,5 .
d) 10,5 .
e) 12,5 .
ATÉ A PRÓXIMA!