Derivadas - Parte 4

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Ca´lculo I - Lista de Exerc´ıcios no¯ 11 - 1
o
¯ semestre/2015
1. Determine os valores ma´ximo e mı´nimo (caso existam) da func¸a˜o f no intervalo dado.
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1, em [−2, 1] (b) f(x) = x4 − 2x3, em [−3/2, 3]
(c) f(x) = x2ex, em [−1, 1] (d) f(x) = cos x+ sen x, em [0, 2pi]
(e) f(x) =
√
| x | , em [−1, 2] (f) f(x) =
1
x3 − 2x2
, em ]0, 2[
2. Dizemos que uma func¸a˜o f e´ par, se f(−x) = f(x), ∀x ∈ D(f). Dizemos que f e´ uma func¸a˜o ı´mpar,
se f(−x) = −f(x), ∀x ∈ D(f). Seja, enta˜o, f : ] − r, r[→ R uma func¸a˜o deriva´vel. Prove que
(a) se f for uma func¸a˜o ı´mpar, enta˜o f ′ sera´ par.
(b) se f for uma func¸a˜o par, enta˜o f ′ sera´ ı´mpar.
3. Usando a Regra de L’Hospital, calcule os limites.
(a) lim
x→1 x
3 − 2x2 − x+ 2
x3 − 7x+ 6
(b) lim
x→1 x
100 − x2 + x− 1
x10 − 1
(c) lim
x→0 ln(sen 2x)ln(sen 3x) (d) limx→0
tg 3x− sen x
sen3 x
(e) lim
x→0 x cos x− sen xx3 (f) limx→0+ sen(x)ln(x)
(g) lim
x→+∞ ln x3√x (h) limx→+∞
ln x
e3x
(i) lim
x→0+ x ln x (j) limx→0 xx
(k) lim
x→+∞ xne−x (n inteiro positivo) (l) limx→−∞ xne−x (n inteiro positivo)
(m) lim
x→+∞
[
x
x2 + 1
]x
(n) lim
x→0(cos x)1/x
(o) lim
x→+∞(1+ x)
1
ln(x) (p) lim
x→1 x
1
(x−1)
4. Mostre que a equac¸a˜o 1+ 2x+ x3 + 4x4 = 0 tem exatamente uma raiz real.
5. Mostre que a equac¸a˜o 2x− 1− sen x = 0 tem exatamente uma raiz real.
6. A`s 2 horas da tarde o veloc´ımetro de um carro mostrava 50km/h, e a`s 2h 10 mostrava 80km/h.
Mostre que em algum instante entre 2h e 2h 10 a acelerac¸a˜o e´ exatamente 180km/h2.
7. Dois corredores iniciaram uma corrida no mesmo instante e terminaram empatados. Prove que em
algum instante durante a corrida eles teˆm a mesma velocidade. (Dica: Considere f(t) = g(t)−h(t),
onde g e h sa˜o func¸o˜es posic¸o˜es dos dois corredores.)
8. Um ponto a e´ chamado ponto fixo de uma func¸a˜o f se f(a) = a. Prove que, se f ′(x) 6= 1 para
todo nu´mero real x, enta˜o f tem no ma´ximo um ponto fixo.
9. O telesco´pio espacial Hubble foi colocado em o´rbita em 24 de abril de 1990 pelo oˆnibus espacial
Discovery. Um modelo para a velocidade do oˆnibus durante essa missa˜o, do lanc¸amento em t = 0s
ate´ a entrada em funcionamento do foguete auxiliar em t = 126s, e´ dado por
v(t) = 0, 001302t3 − 0, 09029t2 + 23, 61t− 3, 083
(em pe´s/s). Usando esse modelo, estime os valores ma´ximo e mı´nimo absolutos da acelerac¸a˜o do
oˆnibus entre o lanc¸amento e a entrada do foguete auxiliar.
10. Seja f uma func¸a˜o que admite derivada ate´ a segunda ordem em um intervalo aberto I e seja p um
ponto de I. Suponha que f ′′ e´ cont´ınua em p. Prove que se p e´ um ponto de inflexa˜o de f, enta˜o
f ′′(p) = 0. Mostre com um exemplo que a rec´ıproca na˜o e´ verdadeira.
11. Determine o nu´mero real positivo cuja soma com o inverso do seu quadrado seja mı´nima.
UFMS / INMA Turmas: 1, 2, 3 e 7
12. Encontre dois nu´meros positivos x e y cuja soma S seja dada e cujo produto P seja o maior poss´ıvel.
13. Encontre o ponto sobre a para´bola y2 = 2x mais pro´ximo de (1, 4).
14. Encontre a a´rea do maior retaˆngulo que pode ser inscrito em um semic´ırculo de raio R.
15. Encontre as dimenso˜es de um cilindro circular reto, de volume dado, de forma que sua a´rea seja a
menor poss´ıvel.
16. Encontre as dimenso˜es de um cilindro circular reto inscrito numa esfera de raio R, que tenha volume
ma´ximo.
17. Determine as dimenso˜es de uma caixa retangular de base quadrada, sem tampa, de modo que sua
a´rea total tenha um valor pre´-fixado A e seu volume seja o maior poss´ıvel.
18. Um galpa˜o deve ser constru´ıdo tendo uma a´rea retangular de 12.100m2. A prefeitura exige que
exista um espac¸o livre de 25m na frente, 20m atra´s e 12m em cada lado. Encontre as dimenso˜es
do lote que tenha a a´rea mı´nima na qual possa ser constru´ıdo este galpa˜o.
19. Uma fa´brica pode vender x milhares de unidades mensais de um determinado artigo por
V = 120x − x2 reais. Sendo C =
x3
3
+ x2 + 3x+ 10 o custo de produc¸a˜o, determine o nu´mero
o´timo de artigos a vender para maximizar o lucro L = V − C.
20. Um jardim retangular de 50m2 de a´rea deve ser protegido contra animais. Se um lado do jardim
ja´ esta´ protegido por uma parede de celeiro, quais as dimenso˜es da cerca de menor comprimento?
21. Deseja-se construir uma caixa, de forma cil´ındrica, de 1m3 de volume. Nas laterais e no fundo sera´
utilizado material que custa R$ 10, 00 o metro quadrado e na tampa material de R$ 20, 00 o metro
quadrado. Determine as dimenso˜es da caixa que minimizem o custo do material empregado.
22. Suponha que devido a`s condic¸o˜es de relevo de um terreno onde se deseja construir um galpa˜o
retangular, o custo de cada metro linear de duas paredes paralelas seja R$ 50, 00, enquanto cada
metro linear das outras paredes pode ser constru´ıdo por apenas R$ 27, 00. Se o galpa˜o a ser
constru´ıdo deve ter 600m de a´rea, calcule as dimenso˜es que minimizam o custo da construc¸a˜o das
paredes.
23. Para cada uma das func¸o˜es f, abaixo definidas, determine o domı´nio e a imagem de f, regio˜es de
crescimento e decrescimento, concavidade, pontos de ma´ximo e mı´nimo local, pontos de inflexa˜o,
ass´ıntotas e os limites para x→ +∞ e x→ −∞ quando for o caso. Fac¸a um esboc¸o do gra´fico.
(a) f(x) = x3 − 3x2 + 1 (b) f(x) = x+
1
x
(c) f(x) = 3x5 − 5x3 (d) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2
(e) f(x) = −x4 + 4x3 − 4x2 + 2 (f) f(x) = xe−x
(g) f(x) =
ex
x
(h) f(x) = e
1
x
(i) f(x) = e2x − ex (j) f(x) = x− ex
(k) f(x) = xex (l) f(x) = e−x
2
(m) f(x) = xlnx (n) f(x) =
lnx
x
(o) f(x) =
x2
1+ x2
(p) f(x) =
x2
x2 − 1
(q) f(x) =
x2 − 4
x2 + 4
(r) f(x) =
x2 + 4
x2 − 4
(s) f(x) =
x3
x2 + 1
(t) f(x) = ln(cos x)
(u) f(x) = ln(4− x2) (v) f(x) =
√
x2 − 4
(w) f(x) = x+ sen x, 0 ≤ x ≤ 2pi (x) f(x) = x− sen x, 0 ≤ x ≤ 2pi
(y) f(x) =
√
| x | (z) f(x) =
3
√
x3 − 2x2
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