Derivadas (parte 4)

Prévia do material em texto

Derivadas 
(Parte 4) 
Prof. Me. André Breve 
 
andre.breve@estacio.br 
• Nesta aula: 
 
– Aplicações de Derivadas; 
– Taxas Relacionadas; 
– Máximos e Mínimos; 
– Modelagem e Otimização. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Aplicações de Derivadas 
 
– As aplicações das derivadas têm vasta utilização em 
Física, Química, nas Engenharias e em outras áreas do 
conhecimento. 
 
– Algumas delas estão relacionadas a problemas que 
envolvem taxas relacionadas, máximos e mínimos, 
modelagem e otimização. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Msc. André Breve 
• Aplicações de Derivadas 
 
– Taxas Relacionadas 
 
• Taxa criada a partir das variações individuais de dois 
fenômenos e que relaciona um com o outro. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Taxas Relacionadas 
 
– Etapas para a resolução de exercícios: 
 
1. Identificação as variáveis; 
2. Encontrar uma relação entre as variáveis; 
3. Derivar em relação à variável de referência; 
4. Substituir os valores conhecidos; 
5. Isolar a variável que se quer calcular 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Taxas Relacionadas 
 
– Exemplo 1: Considere dois móveis, A e B, que partem de 
um mesmo ponto e se deslocam em trajetórias que são 
perpendiculares entre si; 
 
• A velocidade do móvel A é de 4m/s e a do B, 3m/s; 
 
• É possível determinar a velocidade de distanciamento entre 
eles a partir da velocidade de cada um? 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Taxas Relacionadas 
 
– Exemplo 1 (continuação): 
 
• Note que não conhecemos a função posição (que relaciona 
a posição de cada um com o tempo de deslocamento) de 
nenhum dos dois móveis, mas temos a taxa de variação da 
posição, x e y, em relação ao tempo t (que é a velocidade de 
cada um dos móveis) 
• A partir daí, podemos determinar a taxa de variação, isto é, a 
velocidade de distanciamento entre os dois 
• Ou seja, é possível determinar a taxa de variação de uma 
terceira variável em relação ao tempo t. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Taxas Relacionadas 
 
– Exemplo 1 (continuação) 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
 O móvel A se desloca 
sobre o eixo X e o móvel B sobre 
o eixo Y. Os dois móveis partem 
do ponto O e, após 1 s, 
encontram-se, respectivamente, 
nos pontos X=4 e Y=3. 
 
 Dado que A desloca-se a 
4m/s e B a 3m/s, deseja-se 
conhecer a variação da distância 
entre os móveis. 
Aplicações de Derivadas 
• Taxas Relacionadas 
 
– Exemplo 1 (resolução): 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
1. Identificação das variáveis: Velocidade e Distância 
 
2. Relação entre as variáveis: 
 
3. Derivar em relação à variável de referência: 
 
 
4. Substituir os valores conhecidos: 
 
 
5. Isolar a variável a calcular: 
 
 
 
vA = 
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 = 4m/s; vB = 
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 = 3m/s 
D2 = x2 + y2 (Teorema de Pitágoras) 
2D2-1.
𝑑𝐷
𝑑𝑡
= 2x2-1.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+ 2y2-1.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 2D.
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 = 2x.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 + 2y.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 D.
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 = x.
𝑑𝑥
𝑑𝑡
 + y.
𝑑𝑦
𝑑𝑡
 
D.
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 = 4x + 3y 5.
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 = 4.4 + 3.3 5.
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 = 16 + 9 5.
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 = 25 
 
 
𝑑𝐷
𝑑𝑡
 = 
25
5
 = 5m/s 
Aplicações de Derivadas 
• Exercício 1: Uma escada com 25 unidades de 
comprimento está apoiada numa parede vertical. Se o 
pé da escada for puxado horizontalmente, afastando-se 
da parede a 3 unidades de comprimento por segundo, 
qual a velocidade com que a escada está deslizando, 
quando seu pé está a 15 unidades de comprimento da 
parede? 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Taxas Relacionadas 
• Exercício 2: O volume de um balão esférico cresce a 
uma taxa de 100 centímetros cúbicos por segundo, qual 
é a taxa de crescimento do raio quando o mesmo mede 
50cm. 
 (Lembrete: Vesfera = 
4𝜋𝑅3
3
 ) 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Taxas Relacionadas 
• Exercício 3: Uma mancha de óleo expande-se em forma 
de círculo onde a área cresce a uma taxa constante de 
26 quilômetros quadrados/h. Com que rapidez estará 
variando o raio da mancha quando a área for de 9km2? 
 (Lembrete: Acirculo = πR
2) 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Taxas Relacionadas 
• Máximos e Mínimos de Funções 
 
– Os pontos de máximo e de mínimo de uma função são pontos 
de tangente horizontal (coeficiente angular nulo), ou seja, a 
derivada naqueles pontos se anula. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Máximos e Mínimos 
 
– Analisando o gráfico, também podemos concluir que a função é 
crescente nos intervalos [a, x1] e [x2, x3] e é decrescente nos 
intervalos [x1, x2] e [x3, b]. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
a b x1 x2 x3 
• Máximos e Mínimos 
 
– Nos intervalos (a, x1) e (x2, x3) a derivada de f(x) é positiva. 
– Nos intervalos (x1, x2) e (x3, b) a derivada de f(x) é negativa. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
a b x1 x2 x3 
• Máximos e Mínimos 
 
– Definição: Considere uma função f definida em um 
intervalo I (aberto ou fechado). Podemos, então, concluir 
que: 
– f é crescente em I se para todo 
 
– f é decrescente em I se para todo 
 
» Em outro caso, dizemos, então, que f é constante. 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
;0)(' ,  xfIx
.0)(' ,  xfIx
• Máximos e Mínimos 
 
– Estudo do comportamento da função 
nas abcissas -1, 0 e 4 
 
• Encontraremos a derivada da função f: 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
34)( 2  xxxf
   
34
2
)('
342
42
)('
4234
2
1
)('
2
2
2
1
2








xx
x
xf
xx
x
xf
xxxxf
• Máximos e Mínimos 
 
– Estudo do comportamento da função 
nas abcissas -1, 0 e 4 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
34)( 2  xxxf
e;decrescent )(0
8
3
3)1(4)1(
21
)1('
2
xff 





edecrescent )(0
3
2
3040
20
)0('
2
xff 





crescente; )(0
3
2
3444
24
)4('
2
xff 



• Máximos e Mínimos 
 
– Pontos críticos da função 
 
• Igualamos a derivada da função a zero para encontrar os 
pontos críticos da função, que podem ser: 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
0)(' 0 xf
Ponto crítico da função 
Máximo local 
Máximo absoluto 
Mínimo local 
Mínimo absoluto 
Ponto de inflexão 
• Máximos e Mínimos 
 
– Exemplos gráficos de máximo, mínimo e inflexão 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Máximos 
Mínimos 
Inflexões 
• Máximos e Mínimos 
 
– Procedimento para determinar e classificar os pontos 
críticos das funções: 
 
1. Derive a função obtendo . 
2. Iguale a derivada primeira azero para determinar o(s) 
ponto(s) crítico(s): 
3. Sendo c um ponto crítico da função, obtenha a derivada 
segunda e calcule seu valor para 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
)(xf )(' xf
0)(' cf
cx 
• Máximos e Mínimos 
 
– Procedimento para determinar e classificar os pontos críticos 
das funções (continuação): 
 
4. Para avaliar se c é ponto de máximo, mínimo ou inflexão 
considere o seguinte: 
 - se , então a função tem uma inflexão em ; 
 - se , então a função tem um mínimo local em ; 
 - se , então a função tem um máximo local em . 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
0)('' cf cx 
0)('' cf cx 
0)('' cf cx 
• Máximos e Mínimos 
 
– Caso queiramos encontrar os valores máximos (ou 
mínimos), basta substituirmos o(s) valor(es) de x 
encontrado(s) na etapa 2 do procedimento visto. 
 
– Dessa maneira, teremos as coordenadas dos pontos 
máximos e mínimos. 
 
– Se for estipulado um intervalo deve-se analisar não 
somente os pontos críticos, mas também os extremos do 
intervalo. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Máximos e Mínimos 
 
– Exemplo 1: Determinar e classificar os pontos críticos da 
função f(x) = x3 - 3x + 2 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
1. f’(x) = 3x2 – 3 
2. f’(x) = 0 3x2 – 3 = 0 
 3x2 = 3 
 x = 1 ou x = -1 
3. f’’(x) = 6x f’’(1) = 6 
 f’’(-1) = -6 
 
4. f’’(1) = 6 como f’’(1) > 0, então a função tem um mínimo local em x = 1 
 f’’(-1) = -6 como f’’(-1) < 0, então a função tem um máximo local em x = -1 
Aplicações de Derivadas 
Valor máximo: f(-1) = (-1)3 – 3(-1) + 2 f(-1) = 4 
Valor mínimo: f(1) = 13 – 3(1) + 2 f(1) = 0 
• Máximos e Mínimos 
 
– Exemplo 2: Separar o número 10 em duas parcelas cujo 
produto seja o maior possível. 
 
 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
x + y = 10 y = 10 – x 
 
x . y = máximo f(x) = x . (10 – x) f(x) = 10x – x2 
 
1. f’(x) = 10 – 2x 
2. f’(x) = 0 10 – 2x = 0 2x = 10 x = 5 
3. f’’(x) = -2 
4. f’’(5) = -2 como f’’(5) < 0, então a função tem um 
 máximo absoluto em x = 5 
 
 
 
 
• Máximos e Mínimos 
 
– Exercício 1: Determinar e classificar os pontos críticos da 
função f(x) = x3 – 6x2 + 9x + 2 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Máximos e Mínimos 
 
– Exercício 2: Encontre os valores máximos e mínimos da 
função f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x + 1 no intervalo [-3, 2] 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Modelagem e Otimização 
 
– Problemas de aplicação prática, em diversas áreas, que 
envolvem máximos e mínimos; 
 
– O primeiro passo para solucionar esses problemas é 
escrever precisamente qual a função que deverá ser 
analisada; 
 
– Essa função poderá ser escrita em função de uma ou 
mais variáveis 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Modelagem e Otimização 
 
– Quando a função é de mais de uma variável, devemos 
procurar expressar uma das variáveis em função da outra. 
 
– Com a função bem definida, devemos identificar um 
intervalo apropriado e então proceder a rotina matemática 
aplicando definições e teoremas. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
• Modelagem e Otimização 
 
– Modelagem matemática: procedimento pelo qual 
escrevemos na linguagem matemática a relação entre as 
variáveis envolvidas em um determinado fenômeno para, 
depois, buscar técnicas que auxiliem na resolução do 
problema. 
 
– Otimização: consiste em minimizar ou maximizar uma ou 
mais variáveis envolvidas no problema 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Aplicações de Derivadas 
Exemplo 1: Você dispõe de um pedaço retangular de papelão, de 
dimensões 40cm por 60cm e deverá dobrá-lo (perpendicularmente à 
base), como a figura, de tal forma a obter uma caixa (sem tampa) na 
forma de paralelepípedo que tenha o maior volume possível. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
V(x) = x(40 - 2x)(60 – 2x) 
 
V(x) = 4x3 – 200x2 + 2400x 
 
1. V’(x) = 12x2 - 400x + 2400 
2. 12x2 - 400x + 2400 = 0 
 
X = 7,8 ou x = 25,5 
 
3. V’’(x) = 24x – 400 
 
V’’(7,8) = 24 . 7,8 – 400 = -212,8 
 
4. Como V’’(x) < 0, então 7,8 é máximo 
 
Dimensões: 44,4cm x 24,4cm x 7,8cm 
Modelagem e Otimização 
Exercício 1: Deseja-se construir uma caixa retangular aberta 
cortando-se os cantos de um pedaço de papelão quadrado de 16 cm e 
dobrando-se as abas. Quais devem ser as dimensões da caixa para 
que o volume seja máximo? 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Modelagem e Otimização 
Exercício 2: Uma companhia aérea transporta 8000 passageiros, cada 
um paga R$50,00. O departamento de pesquisa de mercado estima 
que para cada R$1,00 de aumento, a companhia iria perder 100 
passageiros. Determine preço que maximiza o faturamento da 
companhia aérea. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Modelagem e Otimização 
• Exercício 3: Um galpão deve ser construído tendo uma área 
retangular de 12100m2. A prefeitura exige que exista um espaço 
livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m em cada lado. Encontre as 
dimensões do lote que tenha a área mínima na qual possa ser 
construído este galpão. 
Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Me. André Breve 
Modelagem e Otimização