Para encontrar o polinômio de grau 4 por Maclaurin que representa a função f(x) = cos(x), vamos calcular as derivadas sucessivas de f(x) e avaliá-l...

Para encontrar o polinômio de grau 4 por Maclaurin que representa a função f(x) = cos(x), vamos calcular as derivadas sucessivas de f(x) e avaliá-las em x = 0. Derivadas de f(x) = cos(x): f'(x) = -sin(x) f''(x) = -cos(x) f'''(x) = sin(x) f''''(x) = cos(x) Avaliando as derivadas em x = 0: f(0) = cos(0) = 1 f'(0) = -sin(0) = 0 f''(0) = -cos(0) = -1 f'''(0) = sin(0) = 0 f''''(0) = cos(0) = 1 Agora podemos escrever o polinômio de Maclaurin de grau 4 para f(x) = cos(x) usando as derivadas avaliadas em x = 0: P4(x) = f(0) + f'(0) * x + (f''(0) * x^2) / 2! + (f'''(0) * x^3) / 3! + (f''''(0) * x^4) / 4! = 1 + 0 * x + (-1 * x^2) / 2 + (0 * x^3) / 6 + (1 * x^4) / 24 = 1 - (x^2) / 2 + (x^4) / 24 Portanto, o polinômio de Maclaurin de grau 4 para f(x) = cos(x) é P4(x) = 1 - (x^2) / 2 + (x^4) / 24.