Limite e Continuidade em Funções Matemáticas

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Professora: Soraia Abud Ibrahim 
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LIMITE E CONTINUIDADE 
Nesta apostila estaremos apresentando um conjunto de procedimentos práticos 
que podem ser adotados para se determinar o limite de uma função. As regras 
para os cálculos são simples, e a maioria dos limites dos quais precisamos pode 
ser obtida por substituição, análise gráfica, aproximação numérica,, álgebra ou 
alguma combinação dessas. 
Os valores de algumas funções variam continuamente – quanto menor a 
variação na variável independente, menor a variação da função. Os valores de 
outras funções podem saltar ou variar de maneira imprevisível, 
independentemente do modo como se controlam as variáveis. A noção de limite 
fornece um caminho preciso para distinguir esses comportamentos. Em alguns 
pontos do texto será feira uma referência à continuidade da função. Apesar do 
estudo das condições de continuidade de uma função ainda não ter sido 
realizado, vamos entender uma função contínua como sendo aquela que 
apresenta, num sistema de coordenadas cartesianas, um gráfico dado por uma 
linha contínua, em todos os pontos do seu domínio. 
Vamos apresentar alguns exemplos para ilustrar funções contínuas e 
descontínuas. 
A fig. 1 a seguir expressa o gráfico da função ( ) 3 2xf x= − é contínua em 
todos os pontos de seu domínio , . 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5
−3
−2
−1
1
2
3
 
Figura 1 
 
Seja 2( )
3 , 3
2 , 3
9 , 3 4
2 5 , 4
x
x se x
se xf
x se x
x se x
− − < −

= −
= 
− − < ≤

− >
, cujo gráfico está representado a seguir na 
figura 2. 
 Pode-se notar que esta função apresenta dois pontos de 
descontinuidade. No ponto 3x = − onde o valor da função é ( ) 2xf = , 
diferentemente dos valores que a função apresenta imediatamente à esquerda 
ou à direita de 3x = − (valores próximos de zero). 
Outro ponto de descontinuidade é 4x = , onde a função está definida 
( ( ) 7xf = ), mas apresenta um “salto” em seu gráfico. Para valores de x 
imediatamente após o ponto 4x = a função tem valores próximos de cinco; 
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para valores de x imediatamente antes de 4x = , a função está próxima de 7. 
Dessa forma pode-se notar que a função não converge para um valor único 
quando os valores de x se aproximam de 4. 
x
y
 
Figura 2 
A figura 3 a seguir expressa o gráfico da função ( ) 1xf
x
= que é contínua em 
todos os pontos de seu domínio ( { }/ 0D x x= ∈ ≠� ), no entanto esta função 
apresenta um ponto de descontinuidade em 0x = , devido não estar definida 
neste ponto. 
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
 
Figura 3 
Funções contínuas são aquelas cujos gráficos não são interrompidos. De um 
modo geral, os pontos de descontinuidade de uma função são aqueles nos quais 
as funções não estão definidas, onde o gráfico apresenta um salto, ou ainda, 
naqueles pontos onde há um ponto aberto na linha do gráfico. 
Após esta breve discussão de continuidade, apresentaremos uma noção intuitiva 
do limite de uma função, com a idéia de aproximação (convergência) da variável 
e da função para um determinado valor. 
 
NOÇÃO INTUITIVA DO LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
Para que exista o limite em um ponto x c= de uma função ( )xy f= , ou 
seja, existe ( )lim x
x c
f L
→
=
 (leia-se: o limite da função ( )xf no ponto c vale L ), 
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deve-se observar se os valores da função ( )xf convergem para valor L 
quando os valores de x convergem para c . Se houver esta convergência o 
limite da função estará definido no ponto c . 
Vamos ressaltar alguns pontos importantes sobre existência do limite de uma 
função: 
� Se o limite em um ponto existe, ele é único, ou seja, a função ( )xf 
converge para um mesmo valor L quando os valores de x convergirem 
para c , pela esquerda ou pela direita do ponto x c= . 
Se ( ) ( )lim lim
x c x c
x xf L e f L
− +→ →
= =
, então ( )lim
x c
xf L
→
=
 
 
 
 
Se ( ) ( )1 2lim lim
x c x c
x xf L e f L
− +→ →
= =
, então o ( )lim
x c
xf
→
 não está 
definido. 
 
� Só tem sentido perguntar sobre o valor do limite em ponto x c= de uma 
função ( )xf se ela estiver definida imediatamente antes e após o valor 
x c= . 
 
Veja o exemplo a seguir: 
Considere a função ( )xf x= , cujo gráfico está representado na figura 4. 
 
 
 
 
Figura 4 
 
De acordo com a condição de existência do radical, esta função só está 
definida para valores de x maiores ou iguais a zero { }( )/ 0D x x= ∈ ≥� . 
Dessa forma, se desejássemos determinar o limite num certo ponto, essa 
função deveria estar definida ao redor (à esquerda e à direita) deste ponto. 
Observe, na tabela 1, o que ocorre para valores de x próximos de zero. 
 
x
 ( )xf Limites laterais Limite no ponto 
- 0,1 não definida 
Não está definido ( )0
lim x
x
f
−→
 
Não está definido 
( )0
lim x
x
f
→
 
- 0,01 não definida 
- 0,001 não definida 
0,1 0,31 
( )0
lim 0x
x
f
+→
=
 
0,01 0,10 
0,001 0,031 
0,0001 0,010 
0,00001 0,0031 
0,000001 0,0010 
 
Tabela 1 
Para os limites laterais temos: 
Limite lateral à esquerda Limite lateral à direita 
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 4
 
( )0
( )0
( )0 0
lim
lim
lim lim 0 0
x
x
x
x
x
x x
f não está definido
e f não existe
f x
−
+ +
→
→
+
→ →





= = = 

 
� O valor do limite somente estará definido se a função convergir para um 
determinado valor. Algumas funções ao se aproximarem de um 
determinando ponto oscilam muito de valor, não sendo possível verificar sua 
convergência para um valor específico. 
Veja o exemplo da função ( ) 1senxf
x
 
=  
 
, que não está definida no ponto 
0x = mas pode assumir valores de x que próximos de zero. Observa-se 
que para valores de x próximos de zero, os valores da função oscilam entre 
1− e 1 (mínimo e máximo valor para o seno), e não convergem para um 
valor específico. 
O gráfico dessa função está representado na figura abaixo. 
−3pi/4 −pi/2 −pi/4 pi/4 pi/2 3pi/4
−1
1
y
 
Devido a esse comportamento, de não convergir para um determinado valor, o 
limite da função não está definido no ponto zero. 
0
1limsen
x x
não está definido
→
 
 
 
 
 
PROCEDIMENTOS PARA SE DETERMINAR O LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
No texto a seguir você irá encontrar alguns procedimentos úteis no cálculo 
de limites. Ficando atento a essas dicas torna-se mais fácil encontrar, caso 
exista, o valor do limite da função. 
 
01) Para uma função ( )xf definida no ponto x c= (existe ( )cf ) e ao redor 
dele, caso a função apresente a mesma expressão matemática 
imediatamente antes e imediatamente após x c= , então o limite da função 
no ponto equivale ao valor numérico da função: 
 
( ) ( )lim
x c
x cf f
→
=
. 
 
Exemplo: 
Seja a função ( ) 2 3xf x= + . 
A tabela 2 na próxima página ilustra o comportamento desta função para 
valores de x próximos de 2. 
 
 
 
 
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x
 ( )xf Limites laterais Limite no ponto 
1,99 6,98 
( )2
lim 7x
x
f
−→
=
 
( )2
lim 7x
x
f
→
=
 
1,999 6,998 
1,9999 6,9998 
1,99999 6,99998 
2,01 7,02 
( )2
lim 7x
x
f
+→
=2,001 7,002 
2,0001 7,0002 
2,00001 7,00002 
 
Tabela 2 
 
Com a convergência dos valores de x para 2 observa-se a conseqüente 
convergência dos valores da função para 7. Assim existe o limite da função 
quando x se aproxima de 2 e este limite vale 7. 
Assim: 
( )2 2
lim lim2 3 2 2 3 7x
x x
f x
→ →
= + = ⋅ + =
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
f(x)= 2x+ 3
 
02) Nos casos que a função estiver definida ao redor de x c= , mas apresentar 
expressões matemáticas distintas à esquerda e à direita deste ponto, 
independentemente da função estar ou não definida em x c= , ou seja, 
existindo ou não ( )cf , é necessário se calcular os limites laterais ao ponto 
c
 para verificar se eles são iguais: 
Se ( ) ( )lim lim
x c x c
x xf L e f L
− +→ →
= =
, então ( )lim
x c
xf L
→
=
 
Se ( ) ( )1 2lim lim
x c x c
x xf L e f L
− +→ →
= =
, então o ( )lim
x c
xf
→
 não está 
definido. 
 
Exemplos: 
A) Seja a função ( )
2
2
1, 2
2 , 2
9 , 2
x
x para x
f para x
x para x
 + <

= =

− >
. 
Observe, nos dados da tabela 3, como a função se comporta para valores de x 
próximos de 2. 
 
x
 ( )xf Limites laterais Limite no ponto 
1,99 4,96 
( )2
lim 5x
x
f
−→
=
 
( )2
lim 5x
x
f
→
=
 
1,999 4,996 
1,9999 4,9996 
1,99999 4,99996 
2,01 4,95 
( )2
lim 5x
x
f
+→
=
 
2,001 4,995 
2,0001 4,9995 
2,00001 4,99996 
 
Tabela 3 
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 6
 
Mesmo apresentando expressões diferentes na vizinhança de 2x = , observa-
se uma convergência da função para valores próximos de 5 ( )( 5)xf → quando 
os valores de x convergem para 2 ( 2)x→ . Então, como os limites laterais são 
iguais, o limite no ponto está definido. 
Temos: 
( )
( )
( )
2 2
2 2
2
2 2
2 2
lim lim 1 2 1 5
lim 5
lim lim 9 9 2 5
x x
x
x x
x
x
x
f x
e f
f x
− −
+ +
→ →
→
→ →
= + = + =


=

= − = − = 
 
−3 −2 −1 1 2 3
−1
1
2
3
4
5
6
 
Nota: É interessante ressaltar que apesar desta função estar definida para o 
ponto 2x = , pois ( )2 2f = , para o cálculo dos limites este valor não produz 
nenhuma influência, uma vez que os limites são determinados para valores de x 
próximos de 2, mas não iguais a 2. 
B) Considere a função ( ) 2
, 1
4 4 , 1x
x para xf
x x para x
<
= 
− + >
. 
 
Observe na tabela 4 como esta função se comporta para valores de x próximos 
de 1. 
 
x
 ( )xf Limites laterais Limite no ponto 
0,99 0,99 
( )1
lim 1x
x
f
−→
=
 
( )1
lim 1x
x
f
→
=
 
0,999 0,999 
0,9999 0,9999 
0,99999 0,99999 
1,01 0,980 
( )1
lim 1x
x
f
+→
=
 
1,001 0,9980 
1,0001 0,99980 
1,00001 0,99998 
1,000001 0,999998 
 
Tabela 4 
 
A função anterior não está definida para 1x = , ou seja, não existe ( )1f . No 
entanto, quando os valores de x convergem para 1 ( 1)x→ , tanto para valores 
à esquerda quanto para valores à direita de 1x = , a função apresenta 
convergência para 1 ( )( 1)xf → . Como os limites laterais estão definidos e 
apresentam mesmo valor, o limite no ponto está definido. 
Tem-se: 
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( )
( )
( )
1 1
1
2 2
1 1
lim lim 1
lim 1
lim lim 4 4 1 4 1 4 1
x x
x
x x
x
x
x
f x
e f
f x x
− −
+ +
→ →
→
→ →
= =


=

= − + = − ⋅ + = 
 
−2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
5
 
C) Seja a função ( )
5 1
, 1
6 3
, 1
2 2
x
x para x
f
x para x
x

− ≤
= 
 >

−
. 
 
A tabela 5 na página seguinte mostra o comportamento da função para valores 
de x próximos de 1. 
 
 
x
 ( )xf Limites laterais Limite no ponto 
0,99 0,492 
( )1
1lim
2xx
f
−→
=
 
Não está definido o 
( )1
lim x
x
f
→
 
0,999 0,4992 
0,9999 0,49992 
0,99999 0,499992 
1,01 51 
( )1
lim x
x
f
+→
= +∞
 
1,001 501 
1,0001 5.001 
1,00001 50.000 
1,000001 500.001 
1,0000001 5.000.000 
 
Tabela 5 
Ainda que a função esteja definida para 1x = ( )1 1
2
f = 
 
, o limite no ponto 
não está definido. Pela tabela é possível notar que para valores de x próximos a 
1 pela esquerda, os valores da função convergem para 1
2
, enquanto para 
valores de x próximos a 1 pela direita a função apresenta valores positivos, 
numericamente cada vez maiores, tendendo ao infinito.Dessa forma os limites 
laterais estão definidos, mas o limite no ponto não existe. 
Temos: 
( )
( )
( )
1 1
1
1 1
5 1 5 1 1 5 2 3lim lim 1
6 3 6 3 6 3
lim
1 1 1lim lim
2 2 2 1 2 2 2 0
x x
x
x x
x
x
x
xf
e f não existe
xf
x
− −
+ +
→ →
→
+ + +
→ →
⋅ − 
= − = − = = = 



= = = = =+∞
− ⋅ − − 
 
 
 
 
 
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−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−2
−1
1
2
3
4
5
 
03) Quando numerador e o denominador de uma função ( )xf estiverem 
convergindo para zero, temos uma indeterminação matemática. 
Nestes problemas o limite, caso ele exista, pode ser calculado através de uma 
função equivalente ( )xg . Para se encontrar esta função equivalente iremos 
utilizar processos de fatoração e racionalização e simplificação de expressões, e 
determinaremos o ( )lim
x c
xf
→
 através do limite da função ( )xg . 
Assim, se ( )xf é equivalente a ( )xg para todo x c≠ e ( )lim
x c
xg L
→
= , 
temos: 
( ) ( )lim lim
x c x c
x xf g L
→ →
= =
 
 
Exemplo: 
Seja a função 
3 2
( )
2
3 6x
x xf
x
−
=
−
. 
Para essa função, fatorando o numerador e o denominador, colocando os 
termos comuns em evidência e simplificando a expressão obtemos o seguinte: 
( )
( )
23 2 222
3 6 3 2 3
x xx x x
x x
⋅ −
−
→ →
− ⋅ −
 
Assim, as funções ( )
3 22
3 6
x
x xf
x
−
=
−
 e ( )
2
3
x
xg =
 são equivalentes para 
valores de 2x ≠ . 
A tabela 6 mostra o comportamento da função ( )xf ao redor do ponto 2x = 
 
x
 ( )xf Limites laterais Limite no ponto 
1,9 1,20333333 
( )2
4lim
3xx
f
−→
=
 
( )2
4lim
3xx
f
→
=
 
1,99 1,32003333 
1,999 1,33200033 
1,9999 1,33320000 
1,99999 1,33332000 
1,999999 1,33333200 
2,1 1,47000000 
( )2
4lim
3xx
f
+→
=
 
2,01 1,34670000 
2,001 1,33466700 
2,0001 1,33346667 
2,00001 1,33334667 
2,000001 1,33333467 
 
Tabela 6 
Para a função ( )xf não é possível calcular diretamente ( )
2
lim
x
xf
→
, uma vez 
que o denominador e o numerador da função convergem para zero. Utilizando-
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 9
 
se a função equivalente ( )
2
3
x
xg = podemos determinar o limite da função 
( )xf . Temos: 
( )
2 2
2 2
2 4lim lim
3 3 3x x
x
xg
→ →
= = =
 
Então: ( ) ( )
2 2
4lim lim
3x x
x xf g
→ →
= =
 
A figura 9 mostra o gráfico da função ( )xf , equivalente ao gráfico de 
( )
2
3
x
xg = , exceto em 2x = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Há uma dúvida muito comum ao se utilizar este artifício para se determinar 
o valor de um limite, devido ao fato que na função ( )xg seja permitido substituir 
2x =e a função ( )xf não estar definida neste ponto. Porém, através da 
convergência da função ( )xf apresentada na tabela 6, verifica-se facilmente que 
os limites das funções são iguais. 
 
LIMITES NO INFINITO 
04) Nos limites de funções ( )xy f= onde a variável converge para o infinito 
( )x→ ±∞ há uma simplificação possível se utilizar em boa parte dos 
casos. Nas funções polinomiais, ou funções racionais com divisão de 
polinômios, basta analisar o limite da função através dos termos de maior 
expoente. Esta simplificação é possível porque para valores de x 
numericamente grandes os termos de maior expoente tornam-se muito 
mais significativos que os demais. Veja um exemplo: 
5 33 10 2y x x x= − +
 
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
 
 
),(
3
42
 
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A tabela 7 abaixo mostra o comportamento da função para valores de x que vão 
se tornando, numericamente, cada vez maiores. 
 
x
 
53x
 
310x−
 
2x
 
y
 
10 300.000 -10.000 20 290.020 
20 9.600.000 -80.000 40 9.520.040 
50 937.500.000 -1.250.000 100 936.250.100 
100 30.000.000.000 -10.000.000 200 29.990.000.200 
200 960.000.000.000 -80.000.000 400 959.920.000.400 
-10 -300.000 10.000 -20 -290.020 
-40 -307.200.000 640.000 -80 -306.560.080 
-80 -9.830.400.000 5.120.000 -160 -9.825.280.160 
-120 -74.649.600.000 17.280.000 -240 -74.632.320.240 
-200 -960.000.000.000 80.000.000 -400 -959.920.000.400 
 
Tabela 7 
Nota-se que quanto maiores numericamente forem os valores de x, mais 
próxima a função estará do valor do termo 53x . Assim, para o cálculo de um 
limite com x→±∞ bastaria verificar o comportamento do termo 53x . 
 Assim, temos: 
( )55 3 5lim 3 10 2 lim 3 3 3
x x
x x x x
→+∞ →+∞
− + = = ⋅ +∞ = ⋅+∞ = +∞
 
Exemplos: 
a) ( )55 3 5lim 2 8 7 lim 2 2 2
x x
x x x
→−∞ →−∞
− + = = ⋅ −∞ = ⋅−∞ = −∞
 
b) ( )44 4lim 2 8 4 lim 2 2 2
x x
x x x
→−∞ →−∞
− + = = ⋅ −∞ = ⋅+∞ = +∞
 
c) 
3 2 3
3 3
4 1 1lim lim lim
6 9 6 6 6x x x
x x x
x x→+∞ →+∞ →+∞
−
= = =
+
 
d) 
( )
4 3 4
37 7 3
8 1 1 1 1lim lim lim 0
2 5 5 5 55x x x
x x x
x x x→−∞ →−∞ →−∞
−
= = = = = =
+ ⋅−∞ −∞
⋅ −∞
 
e) ( ) ( )22lim 4 5 4 5 4 5 4 5 4 4
x
x
→−∞
⋅ − = ⋅ − −∞ = ⋅ − +∞ = ⋅ −∞ = ⋅ −∞ = ⋅+∞ = +∞ 
 
05) Quando a função ( )xf não estiver definida em x c= , e apresentar a 
mesma expressão ao redor desse ponto, deve-se calcular os limites laterais 
para se verificar se eles são iguais. Este tipo de cálculo é muito comum na 
determinação de limites onde somente o denominador converge para zero, 
tornando-se necessário um estudo do sinal do denominador. 
Exemplo: 
Seja a função ( ) 2
1
xf
x
= − . 
A tabela 8 mostra o comportamento da função para valores de x próximos de 0. 
 
x
 ( )xf Limites laterais Limite no ponto 
0,01 -10.000 
( )0
lim x
x
f
−→
= −∞
 
( )0
lim x
x
f
→
= −∞
 
0,001 -1.000.000 
0,0001 -100.000.000 
0,00001 -10.000.000.000 
-0,01 -10.000 
( )0
lim x
x
f
+→
= −∞
 
-0,001 -1.000.000 
-0,0001 -100.000.000 
-0,00001 -10.000.000.000 
 
Tabela 8 
 
Para valores de x próximos de 0, nota-se que a função não converge para um 
valor específico, no entanto os valores da função tornam-se cada vez maiores 
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numericamente e apresentam sempre sinal negativo. Dessa forma podemos 
entender que quando os valores de x convergem para zero a função tende a 
valores infinitos negativos ( −∞ ) e ainda, que o limite da função está definido no 
ponto zero. 
Assim: 
( ) ( )
( ) ( )
( )
220 0
0
220 0
1 1 1lim lim
00
lim
1 1 1lim lim
00
x x
x
x x
x
x
x
f
x
e f
f
x
− −
+ +
+
−→ →
→
++→ →
= −∞

= = = = −∞ 




= = = = −∞


 
A figura abaixo mostra o gráfico desta função. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vamos agora analisar expressões indeterminadas. Costuma-se dizer que as 
expressões: 
0
 e 
0
∞
∞
. 
Sejam f e g funções tais lim ( ) lim ( ) 0
x a x a
f x g x
→ →
= = . Nada se pode afirmar, a 
priori, sobre o limite do quociente /f g . 
Dependendo das funções f e g ele pode assumir qualquer valor real ou não 
existir. Exprimimos isso, dizendo que 0/0 é um símbolo de indeterminação. 
Exemplo: 
1)
3
22
3 2lim
4x
x x
x→−
− +
−
 
 
Conferindo temos: 
3 3
2 22 2
3 2 ( 2) 3( 2) 2 0lim lim
4 ( 2) 4 0x x
x x
x→− →−
− + − − − +
= =
− − −
 
Neste caso, fatora-se o numerador e o denominador fazendo-se a seguir as 
simplificações possíveis, pois temos uma forma indeterminada: 
3 2 2
22 2 2
2 2
2
2
3 2 ( 2 1)( 2) 2 1lim lim lim
4 ( 2)( 2) 2
lim( 2 1) ( 2) 2( 2) 1 9
lim 2 2 2 4
x x x
x
x
x x x x x x x
x x x x
x x
x
→− →− →−
→−
→−
− + − + + − +
= =
− − + −
− +
− − − +
= = −
− − −
 
 
2) Nestes casos, temos uma indeterminação do tipo ∞
∞
. 
2.1) 2 5lim
8x
x
x→∞
−
+
 
Vamos dividir o numerador e o denominador por x e depois aplicar as 
propriedades de limites. 
 
( ) 2
1
xf
x
−
=
 
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( )
( )
55 lim 222 5lim lim 8 88 1 lim 1
5lim2 lim 2 5.0 28 1 8.0lim1 lim
x
x x
x
x x
x x
x xx
x
x x
x
x
→∞
→∞ →∞
→∞
→∞ →∞
→∞ →∞
−
−
−
= =
+ + +
−
−
= =
++
 
 
 
 2.2) 
3
5
2 3 5lim
4 2x
x x
x→∞
− +
−
, dividimos o numerador e o denominador pela maior 
potência de x, que neste caso é 5x 
( )
3 2 4 52 4 5
5
5 5
2 4 5
5
2 3 52 3 5 lim
2 3 5lim lim 24 2 24 lim 4
2 lim 1 3 lim 1 5lim1 2.0 3.0 5.0 0
lim4 2 lim 1 4 2.0
x
x x
x
x x x
x x
x x x x xx x x
x
x x
x x x
x
→−∞
→−∞ →−∞
→−∞
→−∞ →−∞ →−∞
→−∞ →−∞
 
− +
− +  
− +  
= =
−
−
−
− +
− +
= =
− −
 
 
PROPRIEDADES DOS LIMITES INFINITOS 
 
 
LIMITES FUNDAMENTAIS 
 
Os limites fundamentais consistem em proposições específicas a casos 
particulares, a saber, indeterminações do tipo 0
0
, 1∞ e 0∞ . 
Proposição 1: 0
 lim
x
sen x
x→
 é igual a 1. 
 
Aplicações: 
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a) 0
 2lim
x
sen x
x→
 
Para resolvermos este limite, utilizaremos alguns recursos básicos. 
2 e 0 quando 0u x u x= → → . Portanto, 
0 0 0
0
 2 2lim lim lim 
2
 2 lim 2 1 2
x u u
u
sen x sen u
sen u
ux u
sen u
u
→ → →
→
= = ⋅ =
⋅ = ⋅ =
 
b) 0
 3lim
 4x
sen x
sen x→
 
Neste caso, não necessitaremos do recurso da substituição como no caso 
anterior. Veja: 
0
0 0
0
 3 33 lim
 3 3 3 1 33 3lim lim
 4 4
 4 4 4 1 44 lim
4 4
x
x x
x
sen x sen x
x
sen x xx x
sen x sen xsen x x
x
x x
→
→ →
→
⋅ /
= = ⋅ = ⋅ =
/
⋅
 
Proposição 2: 
1lim 1
x
x
e
x→±∞
 
+ = 
 
, onde e é o número irracional 
neperiano cujo valor aproximado é 2,718281828459... 
 
Aplicações: 
a) Demonstre que ( ) 10lim 1 xx x e→ + = 
Em primeiro lugar vamos provar ( ) 1
0
lim 1 x
x
x e
+→
+ =
. 
De fato fazendo 
1
x
t
= temos que t→+∞ quando 0x +→ . Logo, 
( )1
0
1lim 1 lim 1
t
x
tx
x e
t+ →+∞→
 
+ = + = 
 
. 
Da mesma forma podemos deduzir que ( ) 1
0
lim 1 x
x
x e
−→
+ =
. 
Portanto ( ) 10lim 1 xx x e→ + = . 
 
b) Determinar ( ) 10limln 1 tt t→ + . 
Temos que: 
( ) ( )1 1
0 0
limln 1 ln lim 1 ln 1t t
t t
t t e
→ →
 + = + = =
   
 
Proposição 3: 0
1lim ln ( 0, 1)
x
x
a
a a a
x→
−
= > ≠
. 
 
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ATIVIDADES DE FIXAÇÃO 
1) Dado o gráfico das funções a seguir, determine seus limites: 
 
a) 1 se 2( )
1 se 2
xf x
x
− ≤
= 
>
 
0
3
2
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x
x
x
f x
f x
f x
→
→−
→
=
=
=
 
 
 
 
b) 6x+7 se 2( )
4-x se 2
xf x
x
≤ −
= 
> −
 
 
1
2
lim ( )
lim ( )
x
x
f x
f x
→
→−
=
=
 
 
 
 
 
 
c) 
2x -4 se 3( )
2 1 se 3
xf x
x x
 <
= 
− >
 
0
3
4
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x
x
x
f x
f x
f x
→
→
→
=
=
=
 
 
 
 
d) 
1 se 0
( ) 0 se 0
1 se 0
x
f x x
x
− <

= =
 >
 
0
0
0
lim ( )
lim ( )
lim ( )
x
x
x
f x
f x
f x
+
−
→
→
→
=
=
=
 
 
2) Construa o gráfico e analise a continuidade das seguintes funções: 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
 
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
 
−7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
 
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a) 
2 4 3( )
1
x xg x
x
− +
=
−
 b) ( ) 1g x x= − 
c) 0, x 0( )
, 0
f x
x x
≥
= 
>
 d) 
2 4
, 2( ) 2
1, -2
x
xf x x
x

−
≠ −
= +

=
 
 
3) Determine, se existirem, os valores de ( )x D f∈ , nos quais a 
função f(x) não é contínua. 
a) ( ) ( 3)( 7)
xf x
x x
=
− +
 c) 22( ) , 11
0, 1
x
f x xx
x


= ≠
−
 = −
 
b) ( ) (3 )(6 )f x x x= − − 
 
4) Calcule os limites: 
a) 3
2
lim( 4 1)
x
x x
→
+ + b) 2
3
lim ( 3 4)
x
x x
→−
− − 
c) 28
8lim
64x
x
x→
−
−
 d) 
2
2lim
2x
x
x→
−
+
 
e) 
3 2
3 22
3 4lim
16 20x
x x
x x x→
− +
+ − +
 f) 
2
22
5 6lim
4x
x x
x→
− +
−
 
g) 1lim
3
x
x→∞
 
 
 
 h) 
2
2
2 1lim
5 4 3x
x x
x x→∞
+ +
+ +
 
i) 4 7lim
2 3x
x
x→−∞
−
+
 
 
5) Calcular os limites: 
a) 
4
3 21
2 1lim
3 1x
x x
x x→
− +
+ +
 b) 
3
21
1lim
4 3x
x
x x→−
+
+ +
 
c) 
3
41
1lim
3 4x
x
x x→
−
+ −
 d) 
2
22
2lim
5 6x
x x
x x→
− −
− +
 
 
e) 
2
22
2 2 4lim
2 8x
x x
x x→−
+ −
− −
 f) 
1
1lim
1x
x
x→
−
−
 
g) 
2
0
lim
x
x x
x→
+
 h) 
2
20
3 1lim
2x
x x
x→
+ −
+
 
i) 
3
21
1lim
1x
x
x→−
+
−
 j) 
8
lim 5
x→−
 
l) 2lim 3 1x
x
x x→∞ + +
 m) 
2 1lim
3 2x
x
x→∞
+
+
 
n) 3lim (3 2 1)
x
x x
→−∞
+ + o) 2 5lim(5 4 )
x
x x x
→∞
− + − 
 
6) Calcular os limites, se existir: 
a) 
3
5lim
3x x+→ −
 b) 21
2 3lim
1x
x
x+→
+
−
 
c) 21
2 3lim
1x
x
x−→
+
−
 d) 2
2
lim ( 3)( 4)
x
x x
→
+ − 
e)
2
21
2
2 5 3lim
6 7 2x
x x
x x→
+ −
− +
 f) 
2
31
2
4 6 3lim
16 8 7x
x x
x x→
− +
+ −
 
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g) 
2
22
2lim ( 2)x
x x
x→
− −
−
 h) 
2
22
2 3lim
5 6x
x x
x x→−
+ −
+ +
 
i) 
2
3
2 3lim
4 5x
x
x x→−∞
−
+
 j) 
3
2
2lim
2 3x
x x
x→∞
− +
−
 
l) 
3
3 2
3 1lim
6 2 7x
x x
x x→∞
− +
+ −
 m) (3 4)( 1)lim (2 7)( 2)x
x x
x x→−∞
+ −
+ +
 
n) 3 33
3lim
27x
x
x→−
+
+
 o) 4
6 7lim (3 2 )x
x
x→−∞
−
+
 
p) 2
4
lim ( 16 )
x
x x
−→
− − 
7) Calcule os limites aplicando os limites fundamentais. 
a) 
0
 9lim
x
sen x
x→
 c) 
10lim 1
x
x x→∞
 
+ 
 
 
b) 
0
 4lim
3x
sen x
x→
 
 
REFERENCIAL DE RESPOSTAS 
1) 
a) 
0
3
2
lim ( ) 1
lim ( ) 1
lim ( )
x
x
x
f x
f x
f x
→
→−
→
= −
= −
= ∃
 c) 
0
3
4
lim ( ) 4
lim ( ) 5
lim ( ) 7
x
x
x
f x
f x
f x
→
→
→
= −
=
=
 
b) 
1
2
lim ( ) 3
lim ( )
x
x
f x
f x
→
→−
=
= ∃ d) 
0
0
0
lim ( ) 1
lim ( ) 1
lim ( )
x
x
x
f x
f x
f x
+
−
→
→
→
=
= −
= ∃
 
2) 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
 
 
−3 −2 −1 1 2 3 4 5 6
−4
−3
−2
−1
1
2
3
 
È contínua se x < 1 e se x > 1, e 
descontínua em x = 1. 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
3
4
 
A função é contínua para 
todos os reais. 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−1
1
2
3
4
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d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) 
a) Neste caso temos os pontos que não pertencem ao domínio da função: x = 3 
e x = -7. 
b) (3 )(6 ) 0x x− − ≥ 
Neste caso a função não é contínua em (3,6)x∈ ,pois esses pontos não 
pertencem ao domínio da função. 
c) Temos que em x = -1 a função não é contínua porque não existe 
1
lim ( )
x
f x
→−
. 
4) 
a) 17 b) 14 c) 1
16
 d) 0 e) 3
7
 
f) 1
4
− g) 0 h) 3
7
 i) 7
3
− 
5) 
a) 0 b) 3
2
 c) 3
7
 d) -3 e) 1 
f) 1
2
 g) 1 h) 1
2
− i) 3
2
− j) 5 
l) (0 m) 1
3
 n)−∞ o) −∞ 
6) 
a) −∞ b) ∞ c) −∞ d) -13 e) -7 
f) -1 g) ∃ h) ∃ i) 0 j) −∞ 
l) 1
2
 m) 3
2
 n) 1
3
 o) 0 p) 4 
 
7) a) 9 b) 4/3 c) 10e 
Analisando o gráficovisualiza-se 
uma função contínua em todo o 
seu domínio, ou seja, em todo o 
conjunto dos números reais. 
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
 
A visualização gráfica mostra 
que a função não é contínua 
em x = -2 .