Oscilações e Ondas - Livro-Texto - Unidade III

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Unidade III
Unidade III
5 ONDAS SONORAS I
As ondas mecânicas longitudinais que se propagam num meio, numa faixa de frequência, sendo 
percebidas pelo sistema auditivo humano, são chamadas de ondas sonoras ou simplesmente som. 
Geralmente o meio é o ar, mas somos capazes de perceber sons propagando-se em outros meios, como 
a água, os metais ou os ossos e tecidos do corpo humano. O estudo dessas ondas em particular está 
relacionado com sua importância na comunicação pessoal, pelas qualidades fisiológicas do som, descritas 
no final desta unidade. Como existe grande aplicação de ondas mecânicas longitudinais – por exemplo, 
o uso do ultrassom para fins diagnósticos e terapêuticos –, as propriedades do que chamaremos de som 
serão estendidas para todas as ondas longitudinais.
5.1 Ondas sonoras
Base
Helicotrema
Ápice
30 [mm]
0 [mm]
EstriboMembrana 
timpânica
Escala 
timpânica
Membrana 
basilar
Escala 
vestibular
1600 Hz
800 Hz
400 Hz
200 Hz
100 Hz
50 Hz
25 Hz
Figura 43 – Orelha interna, com informações anatômicas e representação linear da cóclea
A orelha humana normal em média é capaz de perceber sons em frequências que variam de 
20 Hz a 20000 Hz. Nessa faixa de frequência, o tímpano entra em ressonância com a onda sonora, e 
os mecanismos na orelha são capazes de traduzir essa perturbação como som. Observa-se que esse 
intervalo de frequência apresenta uma abrangência diferente daquela verificada na captação de sons 
por animais. Elefantes, por exemplo, são capazes de perceber sons abaixo de 20 Hz, que chamamos 
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de infrassons, e cães e gatos percebem sons com frequências superiores a 20 kHz, que denominamos 
frequência de ultrassom. A figura anterior mostra o mecanismo da audição humana, com a cóclea – um 
tubo enrolado em espiral preenchido por um fluido e com 15000 células ciliadas – representada em 
linha reta. Nessa região, a energia das ondas mecânicas é transformada em sinal elétrico e transmitida 
ao cérebro. Percebe-se na figura que, em cada região da cóclea, a captação do som ocorre em certa 
frequência, os agudos perto da base e o som grave próximo à região do ápice.
 Observação
Segundo a terminologia anatômica atual (a partir de 2001), o termo 
ouvido não deve ser utilizado. Em seu lugar, deve-se empregar orelha em 
todas as situações.
5.2 Velocidade do som
A velocidade de propagação de uma onda mecânica num meio depende das características 
desse meio.
Vimos antes que a velocidade de propagação numa corda tracionada é dada pela equação:
F
v =
µ
 Lembrete
Define-se densidade linear µ como a relação entre a massa e o 
comprimento (kg/m no SI).
Analisando-se essa expressão, tem-se um termo que exprime a propriedade elástica do meio (Ft) e 
outro termo que indica a propriedade inercial do meio (µ). Para um gás em que se propaga uma onda 
longitudinal, a propriedade inercial será a massa específica do gás ρ em kg/m3, no SI. A propriedade 
elástica, relacionada com as compressões e rarefações do meio, é a variação de pressão por variação 
relativa de volume, denominada módulo de elasticidade volumétrica B:
p
B
V
V
∆
= −
∆
O sinal negativo é adotado porque a variação de volume sempre será oposta à variação de pressão (a 
pressão aumenta, o volume diminui, e vice-versa). A unidade do módulo de elasticidade volumétrica é B.
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Logo, a velocidade de propagação de uma onda longitudinal num fluido como água ou gás é 
dada por:
B
v =
ρ
Para um gás ideal o módulo de elasticidade volumétrica B é proporcional à pressão do gás p, sendo 
válida a relação (B = γ p). Segundo a lei geral dos gases perfeitos escrita pela equação de Clapeyron, 
tem-se:
pV nRT=
Ou ainda:
mRT RT
p 
MV M
ρ
= =
 Observação
O número de mols n pode ser escrito como a razão entre a massa do gás 
(m) e a massa molecular dele (M).
Substituindo-se a pressão p na fórmula da velocidade do gás, tem-se:
RT
v 
M
γ
=
Em que R é a constante universal dos gases (R = 8,314 J/mol.K), T a temperatura absoluta (na escala 
kelvin), M a massa molecular do gás e γ uma constante característica do gás.
Para uma barra sólida, a velocidade de propagação de ondas longitudinais pode ser calculada 
pela expressão:
Y
v =
ρ
Em que Y é o módulo de Young, parâmetro mecânico que representa a rigidez de um material sólido.
Alguns valores característicos da velocidade do som para diferentes meios de propagação estão 
apresentados na tabela a seguir. 
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Tabela 2 – Valores característicos da velocidade do som
Substância Velocidade do som (m/s)
Gases (0 oC)
Dióxido de carbono 259
Hidrogênio 1284
Hélio 965
Nitrogênio 334
Oxigênio 316
Ar (20 oC) 344
Líquidos (25 oC)
Glicerina 1904
Água 1493
Água do mar (3,5% salinidade) 1535
Mercúrio 1450
Querosene 1324
Álcool (metanol) 1103
Sólidos
Diamante 12000
Vidro Pyrex 5640
Ferro 5960
Alumínio 5100
Latão 4700
Cobre 4760
Ouro 3240
Chumbo 2160
Fonte: Speeds… ([s.d.]).
 Saiba mais
A velocidade do som em vários gases pode ser obtida em laboratório de 
modo simples. Veja mais em:
SPEEDS of different types of waves. Sound, [s.d.]. Disponível em: 
<https://soundphysics.ius.edu/?page_id=753>. Acesso em: 14 jun. 2017.
5.3 Ondas progressivas
Definido um referencial cartesiano para o estudo da propagação das ondas, chamam-se ondas progressivas 
aquelas que se propagam no sentido positivo do eixo utilizado, segundo o referencial adotado. Até o 
momento, o estudo das ondas restringiu-se às ondas transversais. Agora, as vibrações ocorrem no sentido 
de propagação das ondas. Logo, podemos entender o som propagando-se num meio (o ar, por exemplo) 
como compressões e rarefações do ar. A figura a seguir exemplifica a situação com um alto-falante como 
fonte perturbadora. Na mesma figura, apresenta-se a relação com as ondas transversais. De fato, se o som for 
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captado por um microfone – que transforma essas ondas mecânicas em pulsos elétricos – e visualizado na 
tela de um osciloscópio, teremos a onda transversal que representa a onda longitudinal.
Compressão Rarefação
b)
λ
a)
Figura 44 – (a) Onda sonora (longitudinal) evidenciando as regiões de compressão e rarefação. (b) A relação com a onda transversal
No estudo das ondas transversais, definimos a função de onda y(x,t), ou seja, as oscilações no eixo y 
propagando-se no eixo x ao longo do tempo. Para as ondas longitudinais, y(x,t) é substituído por s(x,t), 
que representa o deslocamento das moléculas oscilando em torno das posições de equilíbrio, isto é:
( ) ms x,t s cos(kx t)= − ω
Em que sm é a amplitude de deslocamento.
 Observação
Os valores de k (número de onda) e ω (frequência angular) seguem a 
mesma definição do estudo do MHS.
Considerando que a posição de equilíbrio corresponde ao ponto de máxima pressão (e máxima 
massa específica) e a posição de amplitude máxima corresponde à menor pressão (e menor massa 
específica), é possível deduzir que a pressão oscila segundo uma função seno:
( ) mp x,t Bks sen(kx t)= − ω
A pressãomáxima será:
máx mp Bks=
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Pode-se, ainda, relacionar a pressão máxima com as grandezas rwv e sm:
máx mp vs= ρω
Na figura que se segue, representa-se a situação.
 
0
ρmáx
-Sm
ρmín
Sm
ρmín
Figura 45 – Deslocamento do equilíbrio de moléculas de gás na propagação de onda longitudinal
5.4 Interferência
O fenômeno da interferência de ondas, abordado antes, será agora estudado em particular para 
ondas sonoras. Como visto, quando duas ondas se interceptam, pode ocorrer interferência construtiva 
ou destrutiva. Em ambos os casos, a amplitude resultante será a soma algébrica das amplitudes das 
ondas originais, respeitando-se o sinal positivo e negativo para as amplitudes.
Uma importante aplicação do fenômeno da interferência em ondas sonoras é a possibilidade de aniquilação 
de sons indesejáveis pela emissão de um som semelhante àquele que se deseja eliminar, mas com oposição 
de fase. Atualmente, essa aplicação ocorre quando máquinas em operação – por exemplo, na construção civil 
– emitem um som indesejado para os trabalhadores ao redor. Conhecida a forma da onda sonora emitente, 
ajusta-se um gerador de áudio para emitir uma onda o mais semelhante possível, mas com oposição de fase. 
Sons residuais na forma de zunidos que perturbam as pessoas com distúrbio na audição também podem ser 
minimizados pelo mesmo procedimento.
Consideremos para estudo um caso simples, em que duas ondas iguais se propagam num 
mesmo sentido provenientes de duas fontes posicionadas a distâncias diferentes de um observador. 
Quando a diferença entre os percursos das ondas (∆L) em relação ao observador for múltiplo 
inteiro (n) do comprimento de onda, elas chegarão com a mesma fase e a interferência será 
construtiva. Assim:
L
n
2
∆ ∆ϕ
= =
λ π
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Logo, teremos interferência construtiva se n = 0, 1, 2, 3… e Dϕ = n2π. 
Para que ocorra interferência destrutiva, a condição é uma defasagem de meio comprimento de 
onda, ou 3/2, 5/2… (n + ½).
L 1
n
2 2
∆ ∆ϕ
= + =
λ π
Ou seja:
(2n 1)∆ϕ = + π
6 ONDAS SONORAS II
Além da frequência sonora, percebida pela orelha humana na diferenciação de sons mais agudos 
(alta frequência) e mais graves (baixa frequência), na qualidade fisiológica que se denomina altura 
do som, para que um som seja percebido, há um mínimo de intensidade sonora, relacionada com a 
amplitude da onda emitida e com a potência sonora.
6.1 Intensidade e nível sonoro
Lembrando que estamos estudando ondas passíveis de serem captadas pela orelha humana, 
existe um limiar mínimo que uma orelha humana normal é capaz de perceber. Essa grandeza é 
a intensidade sonora (I). Tal conceito relaciona-se com a quantidade de energia sonora média 
que atravessa uma unidade de área no decorrer do tempo, ou seja, a potência média sonora por 
unidade de área.
mEI 
At
=
Ou:
m PI 
A
=
 Observação
Unidade para a intensidade sonora: J/(sm2) = W/m2.
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Para uma fonte pontual, a área considerada é a da superfície esférica:
Fonte 
pontual
rm
2
 P
I 
4 r
=
π
Figura 46 – Fonte pontual de som
A relação anterior pode ser deduzida de forma análoga a partir da potência média transferida por 
um pulso numa corda:
2 2
média m
1
P v y
2
= µ ω
Para a onda longitudinal, substituiremos a densidade linear pelo produto da massa específica pela 
área (µ = ρA) e a amplitude ym pela amplitude de deslocamento sm. Assim:
2 2
média m
1
P Av s
2
= ρ ω
A intensidade sonora será:
2 2
m
1
I v s
2
= ρ ω
 Observação
Note na expressão anterior que a intensidade sonora depende das 
características da fonte perturbadora (frequência angular e amplitude de 
deslocamento) e do meio (massa específica e velocidade v).
Para uma orelha humana normal, a intensidade sonora mínima média é o valor Io:
12 2
0I 10 W / m
−=
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Considerando que a percepção do estímulo sonoro na orelha não é uma função linear da intensidade 
sonora, mas aproxima-se de uma relação logarítmica, surge a necessidade do conceito de nível sonoro 
(N), cuja relação é:
0
I
N 1 0 log 
I
 
=   
 Observação
Unidade de medida para o nível sonoro: decibel (dB).
Para realizar medidas de nível sonoro num ambiente, utiliza-se o decibelímetro (figura a seguir). 
Atualmente, alguns aplicativos de celulares modernos permitem realizar essa medida por meio do 
microfone do aparelho. A importância da medida relaciona-se com o perigo de ambientes insalubres, 
com níveis sonoros além do recomendado.
Figura 47 – Decibelímetro
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 Saiba mais
O Ministério do Trabalho e Emprego, na Norma Regulamentadora 
15, aborda a questão dos limites de tolerância para ruídos contínuos e 
intermitentes. Leia mais em:
SOTO, J. M. O. G. et al. Norma Regulamentadora (NR)-15, da Portaria nº 
3.214, de 8.6.1978, do Ministério do Trabalho (atual Ministério do Trabalho 
e Emprego): um pouco de sua história e considerações do grupo que a 
elaborou (Parte I). Revista ABHO, v. 9, n. 21, p. 6-17, set. 2010. Disponível 
em: <http://www.abho.org.br/wp-content/uploads/2014/02/artigo_norma 
regulamentadora_21_6a17.pdf>. Acesso em: 14 jun. 2017.
Exemplo 1
Uma fonte sonora emite 10 W de potência sonora num show de rock. Considerando a intensidade 
sonora mínima percebida pelos seres humanos de 10–12 W/m2, determine:
a) O nível sonoro emitido percebido a 1,0 m da fonte.
b) A distância d dessa fonte em que o nível sonoro percebido seja de 80 dB.
Resolução
a) Primeiramente, determina-se a intensidade sonora da fonte emissora:
m
2
 P
I 
4 r
=
π
2
2
10
 I 0,7958 W / m
4 1
= =
π
Logo, o nível sonoro é:
12
0
I 0,7958
N 10 log 10log
I 10−
   = =      
N 119 dB=
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Esse valor encontra-se próximo ao limiar da dor.
b) Utiliza-se o raciocínio inverso ao do item a:
' 4 2
12
I'
80 10 log I 10 W / m
10
−
−
 = → =  
m
2
 P
I' 
4 r
=
π
Substituindo-se os valores:
4
2
10
10 
4 d
− =
π
d 89,2 m=
Exemplo 2
O diagrama a seguir mostra um exame de audiometria de certa pessoa. Os valores anotados 
com círculos mostram o limiar mínimo de nível sonoro para cada valor de frequência a partir 
do qual a pessoa registra o som de uma fonte. As cores no exame diferenciam a orelha direita 
da esquerda. Determine se essa pessoa poderá ouvir um sinal sonoro de frequência 6 kHz e de 
intensidade 10–10 W/m2.
dB
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
125 Hz 250 500 1000 2000 4000
3000 6000 12000
8000
Figura 48 – Exame de audiometria
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Resolução
Considerando a intensidade sonora mínima 12 20I 10 W / m
−= , o nível sonoro correspondente a essa 
intensidade é:10
12
0
I 10
N 10 log 10log 20 dB
I 10
−
−
  
= = =     
Como o exame indica que a intensidade sonora mínima observada para 6000 Hz é aproximadamente 
de 55 dB a 65 dB, dependendo da orelha, conclui-se que 20 dB não serão percebidos pelo observador.
Exemplo 3
Registra-se o nível sonoro de 100 dB no latido de um cão da raça rottweiler. Quantos cães dessa 
raça, latindo em uníssono, registrariam 120 dB?
Considere Io = 10
–12 W/m2.
Resolução
Calculando a intensidade sonora do latido de um cão:
12
0
I I
N 10 log 1 00 10log 
I 10−
   = =      
2 2I 10 W / m−=
Para o nível sonoro de 120 dB, a intensidade sonora I’ é:
12
I'
120 10 log 
10−
 
=   
' 2 I 1 W / m=
Logo o número n de cães será:
'
2
I 1
n 100
I 10−
= = =
Resposta: 100 cães.
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Exemplo 4
Em música, a unidade cent é usada para medir intervalos musicais correspondentes à percepção da 
audição humana. Como a orelha humana apresenta uma resposta logarítmica, a equação que relaciona 
cent (n) com a frequência de duas notas f1 e f2 é:
1
2
2
f
n 1200 log
f
 
=   
A orelha humana muito sensível é capaz de perceber o valor mínimo de 4 cents. Considerando a 
frequência padrão de afinação de uma orquestra de 440 Hz, qual a menor frequência de batimento que 
um maestro com ouvido absoluto pode perceber?
Resolução
Substituindo na equação n = 4:
1
2
2
f
4 1200 log
f
 
=   
1
2
2
1 f
 log
300 f
 
=   
1
300
2
440
2
f
 
=   
2f 438,985 Hz=
f 1,015 Hz∆ =
6.2 Fontes de sons musicais
A percepção que temos dos sons permite diferenciarmos dois sons de mesma frequência e mesma 
intensidade sonora, mas emitidos por fontes distintas. Por exemplo, sabemos diferenciar a nota lá (440 
Hz) emitida por um violino ou por uma flauta. Tal qualidade fisiológica do som chama-se timbre, e o 
que distingue essas ondas é a forma da onda. Quando elogiamos um cantor que apresenta uma voz 
diferenciada, é ao timbre novamente que nos referimos. A capacidade humana de emitir sons perturbando 
o ar que passa nas cordas vocais abrange extensa faixa de frequência e de intensidade sonora máxima. 
O diagrama da figura a seguir apresenta: a região da fala, a região delimitada por frequências e níveis 
sonoros relativos à música, e a região da audição, limitada nas abscissas pelas frequências mínima e 
máxima e pelo nível sonoro (e respectiva intensidade sonora) e na parte superior pelo limiar da dor. 
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120
100
80
60
40
20
0
1
10-2
10-4
10-6
10-8
10-10
10-12
N
ív
el
 so
no
ro
 (d
B)
In
te
ns
id
ad
e 
so
no
ra
 (W
/m
2 )
Limiar mínimo
Fala
Música
Região da audição
Limiar da dor
10 20 50 10
0 
20
0
50
0
10
00
 
20
00
50
00
10
00
0 
20
00
0
50
00
0
10
00
00
102
Frequência (Hz)
Figura 49 – Diagrama de nível sonoro N (em dB) e intensidade sonora (em W/m2) versus frequência 
(em Hz), delimitando as regiões da fala, da música, da audição e os limiares
A música é analisada aqui pelas fontes de sons musicais, cada qual produzindo uma vasta emissão 
de frequências, com diversos timbres, e utilizando-se das ondas estacionárias, estudadas antes.
Quando se toca um violão, uma onda estacionária vibra no comprimento da corda (definido 
pelo músico ao pressionar a posição certa no braço), ou seja, emite-se a frequência desejada. 
Alguma parte da caixa do violão apresentará o tamanho certo para entrar em ressonância e 
o som ser produzido. Portanto, o formato da caixa do violão deve propiciar a possiblidade de 
entrar em ressonância para diferentes comprimentos de onda (ou frequências). A figura que se 
segue apresenta dois instrumentos acústicos de corda para ilustrar a afirmação. Esse mecanismo 
se repete para todos os instrumentos acústicos de corda. Em guitarras e contrabaixos elétricos, 
são captadores que se valem do eletromagnetismo para transformar a vibração mecânica da 
corda em sinal elétrico e, a partir deste, amplifica-se, distorce-se, ou seja, altera-se, a forma de 
onda para ela ser reproduzida num alto-falante. Ondas estacionárias também são provocadas nos 
instrumentos de percussão e nos de sopro, o que veremos em detalhes.
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Unidade III
60 Hz
240 Hz
72 Hz
378 Hz
95 Hz
338 Hz
109 Hz
352 Hz
128 Hz
426 Hz
175 Hz
478 Hz
Figura 50 – Instrumentos de corda com caixa de ressonância
Considere um tubo aberto nas duas extremidades em que uma onda sonora é estabelecida por uma 
perturbação no bocal do instrumento. Nas extremidades do tubo, formam-se duas regiões de menor 
pressão acústica. Para visualizarmos facilmente esse estudo, consideraremos as ondas longitudinais do 
som com representação de ondas transversais. Reforça-se aqui que se trata apenas de uma representação 
que se relaciona com a verdadeira forma longitudinal das ondas sonoras. A figura a seguir apresenta as 
ondas estacionárias, que chamaremos de harmônicos, para tubos abertos; a figura posterior, as ondas 
estacionárias (harmônicos) para tubos fechados.
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OSCILAÇÕES E ONDAS
L
Fundamental ou 1º harmônico
L v Lf f
v
2L
� � �
�
2
2 1 1
L 2º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 1

L 3º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

3
2
2
3
3
2
3
3 3
3 1

n-ésimo harmônico
n
n 1
nv
f
2L
f nf
=
=
Em que n = 1, 2, 3, 4, 5…
Figura 51 – Tubo sonoro aberto nas duas extremidades, com representação das ondas estacionárias 
para o 1o, o 2o e o 3o harmônico e extrapolação para o n-ésimo harmônico
Nos tubos sonoros abertos, as frequências possíveis das ondas estacionárias são múltiplas da 
frequência fundamental, e esta apresenta comprimento de onda igual ao dobro do comprimento do 
tubo. Numa situação prática de emissão de um simples assobio, tem-se um tubo aberto emitindo um 
som fundamental. Sendo constante a velocidade de propagação do som no ar, varia-se o comprimento 
da coluna de ar ao aproximar ou afastar a língua dos lábios, produzindo assim várias frequências, sempre 
no modo fundamental.
 Lembrete
A relação entre frequência f e período T é:
1
f
T
=
Logo:
n n
nv 2L
 f T
2L nv
= → =
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Unidade III
Nos tubos com uma extremidade fechada, encontra-se uma região de máxima compressão 
e, na outra extremidade (aberta), a região de menor pressão. No interior do tubo, estabelece-se 
uma onda estacionária com um comprimento de onda tal que essas características de pressão 
mantêm-se constantes.
L
Fundamental ou 1º harmônico
L v Lf f
v
4L
� � �
�
4
4 1 1
L 3º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

3
4
4
3
3
4
3
3 3
3 1

L 5º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

5
4
4
5
5
4
5
5 5
5 1

n-ésimo harmônico
2n 1
(2n 1)v
 f
4L+
+
=
2n 1 1f (2n 1)f+ = +
Em que n = 1, 2, 3, 4, 5…
Figura 52 – Tubo sonoro fechado em uma das extremidades, com representação das ondas estacionárias 
para o 1o, o 3o e o 5o harmônico e extrapolação para o n-ésimo harmônico
Instrumentos musicais que utilizam tubos sonoros fechados, como a flauta de Pã (figura a seguir), são 
peças importantes em músicas folclóricas da Romênia, da Oceania e dos países andinos, e já eram populares 
entre os gregos e os etruscos desde o século VI a.C. Os tubos sonoros abertos, por sua vez, aparecem em 
vários instrumentos de sopro da atualidade e em órgãos de tubos (encontrados em grandes catedrais).
Figura 53 – Flauta de Pã, com vários tubos sonoros fechados
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Exemplo 1
Um tubo sonoro, de comprimento L, fechado em uma das extremidades, ressoa numa frequência de 
425 Hz. Seccionando-se 20 cm do tubo, ele passa a ressoar a 255 Hz. Considerando a velocidade do som 
no ar 340 m/s e que não há nenhuma ressonância para cortes no tubo menores que 20 cm, determine 
o comprimento original (L) do tubo.
Resolução
Para um tubo fechado de comprimento L, tem-se:
2n 1 1f (2n 1)f+ = +
Para L – 0,2, a expressão é:
2(n 1) 1 1f (2(n 1) 1)f− + = − +
Dividindo-se as duas expressões e substituindo-se as frequências:
425 (2n 1)
 n 2
255 (2n 1)
+
= → =
−
Portanto, para o comprimento L, tem-se o 5º harmônico (2 . 2 + 1 = 5) e a frequência 425 Hz:
5
5v 5.340
f 425
4L 4L
= → =
Portanto: L 1,0 m=
6.3 Batimentos
O fenômeno de batimento caracteriza-se pela formação de uma onda a partir de interferências de 
ondas periódicas com frequências ligeiramente diferentes. Essas ondas, propagando-se juntas, irão em 
certo momento sofrer interferências parcialmente construtivas e, em outro momento, interferências 
parcialmente destrutivas. O som resultante é percebido por um ouvinte com uma frequência média 
entre as duas frequências emitidas. Nota-se ainda uma variação na intensidade do som resultante, 
oscilando numa frequência chamada de frequência de batimento, que é igual à diferença entre as duas 
frequências originais. Demostram-se essas relações a seguir.
Considere dois sons emitidos com a mesma amplitude e com as frequências fA e fB, sendo fA > fB:
A B A Bf f logo T T > <
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Unidade III
Suponha que, no instante inicial t = 0, as ondas se encontrem em fase. O próximo tempo em que as 
ondas estarão novamente em fase será t = TBAT, o período de batimento. Essa condição corresponde a 
um número n de períodos da onda A e (n-1) de períodos decorrentes na onda B:
( )BAT A BAT BT nT T n 1 T= = −
Eliminando-se n das equações, resta:
BAT A B
1 1 1
T T T
= −
Então:
BAT A Bf f f= −
Portanto, a frequência de batimento corresponde à diferença entre as duas frequências dos sons de 
origem. Para o estudo da amplitude resultante do fenômeno do batimento, considere as funções das 
mesmas ondas em questão:
( )A m A B m BS S cos 2 f t S S cos(2 f t)= π = π
A BS S S= +
( ) ( )m A BS S (cos 2 f t cos 2 f t )= π + π
Aplicando-se a identidade trigonométrica:
( ) 1 1cos 2cos ( )cos ( )
2 2
α + β = α − β α + β
Vem:
A B A B
A B
BAT
1 1
S 2cos (2 )(f f )cos (2 )(f f )t
2 2
1 (f f )
S 2cos (2 )(f ) cos(2 ) t
2 2
= π − π +
+   = π π      
Verifica-se nessa última equação que o primeiro termo varia lentamente a frequência de batimento 
fBAT e está relacionado com a amplitude de deslocamento, e o segundo termo oscila com a frequência 
média. A sequência de imagens da figura a seguir ilustra a situação.
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Sinal da pulsação 1,0 rad/s
Sinal da pulsação 1,1 rad/s
Interferência (batimento)
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-1,0
-1,5
-2,0
0
0
0
10
10
10
20
20
20
30
30
30
40
40
40
50
50
50
60
60
60
70
70
70
80
80
80
90
90
90
Tempo
Tempo
Tempo
Figura 54 – Diferentes formas de onda sonora de mesma frequência captadas por 
um microfone, caracterizando diferentes timbres de som
Exemplo 1
Duas ondas sonoras se propagam num mesmo meio homogêneo segundo as funções (no SI):
( ) ( )3 31 2S 1 0 cos 6000 t S 1 0 cos 5000 t − −= π = π
Determine:
a) A frequência de batimento da onda resultante da interferência dessas ondas.
b) A função da onda resultante.
Resolução
a) A frequência de batimento fBAT é definida por f1 – f2. Identifica-se na função:
1 12 f 6000 f 3000 Hz π = π =
2 22 f 5000 f 2500 Hz π = π =
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Unidade III
Logo:
BAT 1 2f f f= −
BATf 3000 2500 500 Hz= − =
b) A função da onda resultante, de modo geral, é:
A B
BAT
1 (f f )
S 2cos (2 )(f ) cos(2 ) t
2 2
+   = π π      
Portanto:
S 2cos(500 )cos(5500 )t= π π
6.4 Efeito Doppler
Quando existe um movimento relativo entre a fonte emissora das ondas e o observador delas, ocorre 
o fenômeno denominado efeito Doppler. Esse fenômeno foi descrito inicialmente, em 1842, pelo físico 
e matemático austríaco Christian Doppler, quando apresentou seu trabalho para a Royal Bohemian 
Society, na tentativa de explicar as cores das estrelas binárias. Em 1848, de modo independente, o 
físico francês Hippolyte Fizeau descobriu o mesmo efeito para ondas eletromagnéticas. Assim, o efeito 
também é conhecido como Doppler-Fizeau.
As aplicações do efeito são verificadas em várias áreas da ciência, na determinação da velocidade 
de objetos com o uso de radares que emitem e captam as ondas de radiofrequência refletidas, ou ainda 
com a utilização de lasers e ultrassom, e em Astronomia determinando a velocidade de afastamento das 
estrelas. A figura que se segue ilustra o efeito Doppler na localização do golfinho.
Orifício nasal
Melão emite 
ondas
Mandíbula transmite as 
ondas para a orelha interna
Figura 55 – Sistema de sonar do golfinho
Exemplificando o efeito: quando uma moto se aproxima de um observador (ouvinte, no caso) com 
a buzina acionada, percebe-se um som mais agudo na aproximação e mais grave no afastamento. 
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OSCILAÇÕES E ONDAS
No entanto, para o motociclista, a onda sonora produzida pela buzina emitida apresenta uma só 
frequência. No efeito Doppler, há uma compressão das ondas que são percebidas pelo observador, 
diminuindo o comprimento de onda e aumentando a frequência observada em relação à frequência 
emitida. Quando a fonte sonora se afasta do observador, há um aumento dos comprimentos de onda 
observados e uma diminuição da frequência observada em relação à emitida. Percebe-se o mesmo efeito 
com a fonte sonora em repouso e o ouvinte em movimento, ou seja, havendo movimento relativo entre 
a fonte sonora e o observador, existirá o efeito Doppler.
As equações que nos permitem relacionar a frequência emitida pela fonte sonora f e a frequência 
observada f’ estão associadas com as velocidades relativas entre fonte e som e observadore som. A 
relação geral pode ser escrita como:
rel (som,obs)
rel(som,fonte)
v
f’ f
v
=
E pode ser aplicada em qualquer situação. Analisaremos alguns casos.
 Observação
A velocidade escalar relativa de um móvel A em relação a um móvel B é 
vA – vB. Se B estiver se deslocando em sentido oposto (vB < 0), a velocidade 
relativa acabará sendo uma soma.
Caso 1
Fonte (M), observador 1 (O1) e observador 2 (O2) estáticos:
O1
λO1 λM λO2
O2
Figura 56 
Nesse caso, temos λΜ = lO1 = lO2. Portanto, fM = fO1 = fO2 e não se verifica o efeito Doppler.
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Unidade III
Caso 2
Observadores (O1 e O2) parados e fonte sonora (M) em movimento.
O1
λM
λO2
λO1
O2vO1M
Figura 57 
Nesse caso, em relação à fonte M, as ondas sonoras encontram-se comprimidas para o observador 
O1 (lO1 > λM) e espaçadas para o observador O2 (lO2 < λM). Assim, dois casos ainda se distinguem:
Fonte sonora se aproxima do observador:
fonte
v
f’ f
v v
 
=  − 
Fonte sonora se afasta do observador:
fonte
v
f’ f
v v
 
=  + 
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Caso 3
Observadores (O1 e O2) em movimento e fonte sonora (M) estática.
O1
λM
λO2λO1
O2vO2 vO1
M
V
VV
→
→ →
→
→
Figura 58 
Para o observador que se afasta da fonte sonora, a velocidade relativa será calculada como v – vo1:
O1v vf’ f
v
− =   
Para o observador que se aproxima da fonte sonora:
O1v vf’ f
v
+ =   
 Saiba mais
O efeito Doppler associado a pulsos de ultrassom é utilizado para a 
obtenção de imagens da corrente sanguínea mesmo em pequenos fluxos. 
Havendo variação na velocidade do sangue, o aparelho poderá detectar e 
relatar numa imagem colorida. Leia mais em: 
CASTELLÓ, C. M. et al. Ultrassonografia Doppler colorido e Doppler 
espectral para o estudo de pequenos fluxos. Enciclopédia Biosfera, Goiânia, 
v. 11, n. 22, p. 2691-2713, 2015. Disponível em: <http://www.conhecer.org.
br/enciclop/2015c/agrarias/Ultrassonografia%20doppler.pdf>. Acesso em: 
14 jun. 2017.
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Unidade III
Exemplo 1
Um estudante encontra-se parado na calçada, esperando o sinal abrir, quando ouve um som de 
frequência 1360 Hz da sirene de uma ambulância vindo em sua direção, com velocidade de 15 m/s. 
Se a ambulância parar em frente ao estudante, em qual frequência a sirene será percebida? Considere 
340 m/s a velocidade do som no ar.
Resolução
O problema descreve um observador estático e uma fonte em movimento de aproximação. A 
incógnita é a frequência real emitida pela fonte. Logo;
fonte
v
f ' f
v v
 
=  − 
340
1360 f
340 15
 =   −
f 1300 Hz=
Assim, na aproximação, o estudante percebe um som mais agudo (1360 Hz) que o original (1300 Hz).
Exemplo 2
O som característico dos carros de Fórmula 1 ao longo da reta evidencia facilmente o efeito 
Doppler. Um microfone instalado em certo ponto da pista e ligado a um osciloscópio registra a 
frequência f1 quando um carro se aproxima e a frequência f2 quando ele se afasta. Conhecendo 
a velocidade do som no ar v = 340 m/s e a razão entre as frequências f1/f2 = 21/13, determine a 
velocidade do carro, em km/h.
Figura 59 – Efeito Doppler
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Resolução
Com o efeito Doppler, a frequência observada f’ difere da frequência original f devido ao movimento 
relativo fonte/observador com som. A relação geral que prevê as situações é:
rel (som,obs)
rel(som,fonte)
v
f’ f
v
=
No caso, temos o observador estático e a fonte em movimento. Na aproximação:
1
fonte
v
f f
v v
 
=  − 
fonte
1
v v
f f
v
−  =  
Quando a fonte sonora se afasta do observador, tem-se:
2
fonte
v
f f
v v
 
=  + 
fonte
2
v v
f f
v
+  =  
Igualando-se as expressões:
fonte fonte
1 2
v v v v
f f
v v
− +   =      
fonte1
2 fonte
v vf
f v v
 +
=  − 
Substituindo-se os valores:
fonte
fonte
340 v21
13 340 v
 +
=  − 
fonte fonte7140 21v 4420 13v− = +
fontev 80 m / s 288 km / h = =
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Unidade III
6.5 Velocidades supersônicas, ondas de choque
Analisando novamente o caso descrito para o efeito Doppler quando a fonte sonora se encontra 
em movimento: quando a velocidade da fonte sonora começa a se aproximar da velocidade do som 
característica do meio, as ondas comprimidas à frente da fonte formam uma barreira conhecida 
como barreira do som. Lembrando que as ondas longitudinais são formadas por regiões de rarefação 
e compressão do ar, temos uma região de acúmulo de pressões máximas constituindo a referida 
barreira. Na equação do cálculo da frequência, vista no item anterior, teremos no denominador a 
velocidade relativa tendendo a zero e, assim, a frequência observada apresentará um valor que tende 
ao infinito e a equação perderá sua utilidade. A situação é representada na figura que se segue: 
Sobreposição Cone de choque
Frentes de onda
Velocidade 
subsônica
Velocidade 
supersônica
Mach 1
Figura 60 – Fonte sonora com velocidade aproximando-se da velocidade do som; fonte sonora com a velocidade igual à do som 
(Mach 1); velocidade supersônica 
O preciso instante do rompimento da barreira do som é apresentado na figura a seguir:
Figura 61 – Momento de rompimento da barreira do som
No momento exato em que a velocidade da fonte se iguala à velocidade do som (vf = vsom), o 
rompimento ocasiona um estrondo (estrondo sônico), percebido por um observador que se encontra 
com velocidade abaixo da velocidade do som (ou em terra), e não pelo piloto do avião. 
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Após ultrapassar a velocidade do som, o piloto ouve apenas o som das turbinas propagando-se pelos 
materiais do avião, e as ondas sonoras se propagam no ar como ondas circulares não concêntricas, 
formando um cone de choque (cone de Mach), pois reúnem-se frentes de onda com a compressão 
máxima nos limites desse cone. Essa onda de choque é capaz de quebrar vidraças se um avião ultrapassa 
a velocidade do som em pouca altitude. Um observador em terra, em local seguro (onde o cone já tenha 
dissipado energia), percebe visualmente a passagem do avião e, depois, a chegada de um som longo de 
baixa frequência. O ângulo θ central do cone de Mach é dado por:
som
fonte
v
sen
v
θ =
A grandeza número de Mach é definida pela razão entre a velocidade da nave e a velocidade 
do som. Por exemplo, Mach 3 significa, fisicamente, que o objeto se encontra com o triplo da 
velocidade do som:
som
v
n
v
=
 Resumo
Vimos nesta unidade que ondas longitudinais propagando-se num 
meio com frequências entre 20 Hz e 20 kHz são percebidas como som. 
O som, entendido como compressões e rarefações do meio, propaga-
se com uma velocidade que depende do meio. Para os fluidos, vale a 
relação a seguir, que apresenta o módulo de elasticidade volumétrico 
B e a massa específica do fluido:
B
v =
ρ
Para uma barra sólida, substitui-se Bpelo módulo de Young Y.
Ondas longitudinais progressivas apresentam uma pressão máxima 
dada em função da amplitude de deslocamento sm e de demais grandezas 
já citadas:
máx mp vs= ρω
Do mesmo modo que as ondas transversais, as ondas longitudinais 
sofrem interferência, que poderá ser construtiva ou destrutiva, dependendo 
da diferença de fase entre elas.
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Unidade III
O conceito de intensidade sonora I apresenta a potência transmitida 
por unidade de área A (em W/m2 no SI), sendo a potência média dada por:
2 2
média m
1
P Av s
2
= ρ ω
A mínima intensidade percebida pela audição humana é I0 = 10
–12 W/m2. 
A grandeza mais adequada para a percepção sonora é o nível sonoro, que 
relaciona de forma logarítmica a intensidade sonora local com a intensidade 
sonora mínima: 
0
I
N 1 0 log 
I
 
=   
Fontes sonoras musicais geralmente têm como base de seu 
funcionamento as ondas estacionárias. Na análise de tubos sonoros abertos 
nas duas extremidades, a frequência dos harmônicos é múltiplo inteiro 
da frequência fundamental: 1
v
 f
2L
= ; para tubos sonoros com uma das 
extremidades fechada, os harmônicos serão números ímpares da frequência 
fundamental: 1
v
f
4L
= .
Quando duas ondas longitudinais se propagam com pequena diferença 
entre suas frequências, surgem interferências parciais, e a onda resultante 
apresenta uma oscilação com frequência média entre as frequências 
originais e uma amplitude que oscila com uma função periódica de 
frequência igual à diferença entre as frequências originais, no fenômeno 
denominado batimento.
O efeito Doppler, que no cotidiano é facilmente percebido e tem várias 
aplicações, ocorre quando existe movimento relativo entre a fonte sonora 
e o observador, o qual percebe uma frequência f’ diferente da frequência 
original f:
rel (som,obs)
rel(som,fonte)
v
f’ f
v
=
Ultrapassada a velocidade do som, a relação anterior perde a validade e 
geram-se ondas de choque que se propagam no espaço formando um cone 
(cone de Mach), com ângulo central igual à razão entre as velocidades do 
som e da fonte.
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OSCILAÇÕES E ONDAS
 Exercícios
Questão 1. (Enade 2014) Sensores ultrassônicos são usados na medição de grandezas como distância 
e nível. Alguns desses sensores emitem um sinal na frequência de 40 kHz que, ao atingir um objeto, 
retorna; e, quando captado, permite calcular a distância do objeto ao sensor.
Nesse contexto, avalie as afirmativas a seguir:
I – O cálculo da distância pode ser obtido usando-se equações da mecânica clássica.
II – Para evitar uma interferência entre o sinal enviado e sinais espúrios advindos de fontes 
eletromagnéticas, deve-se utilizar um filtro.
III – No caso específico de um sensor ultrassônico, o cálculo da distância baseia-se na variação da 
velocidade e, dessa forma, no efeito Doppler.
IV – Para uma leitura adequada do sinal desse sensor em um sistema de aquisição de dados, deve-se 
utilizar uma taxa de amostragem de no mínimo 80 kHz, a fim de evitar o efeito aliasing.
É correto apenas o que se afirma em:
A) I e IV.
B) II e III.
C) III e IV.
D) I, II e III.
E) I, II e IV.
Resposta correta: alternativa A.
Análise das afirmativas
I – Afirmativa correta.
Justificativa: a afirmativa está correta porque a velocidade do som pode ser considerada constante 
e a distância pode ser calculada diretamente da fórmula c s
t



.
II – Afirmativa incorreta.
114
FI
S 
- 
Re
vi
sã
o:
 R
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ar
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 -
 D
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: F
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 -
 0
3/
07
/2
01
7
Unidade III
Justificativa: o ultrassom é uma onda mecânica, de natureza completamente diferente das ondas 
eletromagnéticas. Dessa forma, fontes eletromagnéticas não interferem diretamente no sensor (mas 
podem fazê-lo de outras formas – por exemplo, no circuito em que o sensor está ligado).
III – Afirmativa incorreta.
Justificativa: o cálculo da distância é feito diretamente da mecânica clássica.
IV – Afirmativa correta.
Justificativa: o teorema da amostragem impõe que a taxa de amostragem deve ser de pelo menos o 
dobro da banda do sinal. Dessa forma, supondo que o valor máximo de frequência contida no sinal seja 
de 40 kHz e, portanto, sua banda seja também de 40 kHz, sabemos que a frequência de amostragem 
deve ser de, no mínimo, 80 kHz.
Questão 2. Um alto-falante está produzindo um som com frequência igual a 1.0 kHz e intensidade 
de 0,5 mW/m2 à distância de 10 m. Supondo-se que não existam reflexões e que o alto-falante emita 
igualmente em todas as direções, a potência transmitida pela onda e a intensidade sonora a 5 m são:
A) Pm W e I
W
m
m  
4 4 105
3
2 
B) Pm W e I
W
m
m  

 5
3
22 10 
C) Pm W e I
W
m
m  
2 4 105
3
2
 
D) Pm W e I
W
m
m  
2 2 105
3
2
E) Pm W e I
W
m
m  
1 1 105
3
2
 
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