Oscilações e Ondas - Livro-Texto - Unidade II

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OSCILAÇÕES E ONDAS
Unidade II
3 ONDAS I
Analisando o modo de vida da humanidade, podemos afirmar que estamos cercados por ondas, que 
elas fazem parte de nosso cotidiano – desde as ondas das quais encontramos exemplos visíveis, como 
as ondas no mar e as ondas na corda de um violão, até as invisíveis, percebidas por outros sentidos 
humanos, como as de calor e de som, e ainda as emissíveis e captáveis apenas por aparelhos como 
o ultrassom, as ondas de rádio, raios X, entre outras. A figura a seguir mostra uma onda facilmente 
identificável, pois representa o batimento cardíaco num exame de eletrocardiograma. 
Figura 27 – Exemplo de um eletrocardiograma
O estudo das ondas inicia-se do modo mais simples, analisando um pulso que se propaga numa 
corda, e segue adiante introduzindo você, leitor, nesse universo ainda a ser explorado.
Considere um meio elástico no qual é realizada uma perturbação. A propagação dessa perturbação 
no meio denomina-se onda. Podemos exemplificar essa situação considerando uma corda esticada na 
qual uma perturbação é realizada, gerando um pulso. Esse pulso irá se propagar ao longo do meio, ou 
seja, da corda, formando uma onda. A figura que se segue exemplifica a situação: 
Figura 28 – Movimento de um pulso numa corda
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Unidade II
Quando a fonte perturbadora for periódica, a onda gerada possuirá características como período 
e frequência e será denominada onda periódica (figura a seguir). O estudo dessas ondas será tema 
desta unidade.
x
a
v
p
F
t
Figura 29 – Ondas periódicas a, F, p, V e X, de várias amplitudes e períodos 
3.1 Tipos de onda
As ondas são classificadas pela natureza, direção de propagação e direção de vibração. 
Pela natureza, classificamos as ondas em mecânicas e eletromagnéticas. As ondas mecânicas necessitam 
de um meio material para se propagar, já que essas oscilações são fruto de perturbações no próprio meio 
material, e a velocidade de propagação depende, então, das características do meio em questão. Citam-se 
como exemplos as ondas do mar, ondas propagando-se em cordas e ondas sonoras (som). 
As ondas eletromagnéticas, previstas matematicamente no trabalho de James Clerk Maxwell em 1865 
e comprovadas experimentalmente 22 anos depois por Heinrich Hertz, são oscilações de campos elétricos 
e magnéticos, e o conjunto delas compõe o espectro eletromagnético. Nesse espectro encontram-se, 
por exemplo, as ondas de rádio, micro-ondas, radiação infravermelho, luz visível, radiação ultravioleta e 
raios X e gama. A figura que se segue mostra uma onda eletromagnética em que os campos vetoriais E 
e B representam os campos elétrico e magnético, respectivamente:
Figura 30 – Onda eletromagnética 
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OSCILAÇÕES E ONDAS
 Saiba mais
Algumas vezes, o desenvolvimento da teoria segue à frente das 
descobertas experimentais, como nos trabalhos de Maxwell e Hertz sobre 
as ondas eletromagnéticas. Leia mais a respeito em: 
GERICKE, G. 1888: Hertz demonstra existência das ondas eletromagnéticas. 
Deutsche Welle, [s.d.]. Disponível em: <http://www.dw.com/pt-br/1888-
hertz-demonstra-existência-das-ondas-eletromagnéticas/a-678473>. 
Acesso em: 14 jun. 2017. 
Dependendo das direções de propagação e de vibração, podemos classificar as ondas como 
transversais e longitudinais. Em relação somente às direções em que as ondas se propagam, é possível 
classificá-las em ondas unidimensionais, bidimensionais e tridimensionais. Ondas propagando-se ao 
longo de uma corda são um exemplo das unidimensionais; ondulações causadas na superfície de um 
lago tranquilo quando uma pedra é arremessada exemplificam as bidimensionais; por sua vez, ondas de 
rádio emitidas por uma estação FM são um caso das tridimensionais.
3.2 Ondas transversais e longitudinais
As ondas transversais apresentam direção de vibração perpendicular à direção de propagação. 
Encontram-se exemplos nas ondas do mar, nas ondas propagando-se nas cordas de um violino, nas 
ondas de rádio, em micro-ondas, em raios X e na luz visível. 
 Observação
Todas as ondas eletromagnéticas são transversais.
As ondas longitudinais apresentam direção de vibração igual à direção de propagação. Uma 
mola a princípio em situação de repouso, quando rapidamente deformada na direção de seu 
comprimento, gera um pulso que se propaga na mesma direção da perturbação. As ondas sonoras, 
que são compressões e rarefações das partículas do meio, são exemplos de ondas longitudinais. 
Quando se observa o movimento do alto-falante de uma caixa de som, percebe-se a perturbação 
longitudinal. A figura a seguir exemplifica a situação. Em 1, a oscilação é realizada no eixo y e, 
em 2, a oscilação ocorre no eixo horizontal. Em ambas, a propagação ocorre transversalmente 
à direção de vibração, caracterizando as ondas transversais. Em 3, as oscilações apresentam a 
mesma direção de propagação, algo característico das ondas longitudinais.
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Unidade II
A
A
A
1
2
3
P
Figura 31 – Ondas transversais (1 e 2) e onda longitudinal (3) 
3.3 Comprimento de onda e frequência
As ondas formadas a partir de perturbações que se repetem em intervalos de tempo iguais, 
como vimos, são denominadas ondas periódicas. O tempo total de cada ciclo denomina-se 
período (T), medido no Sistema Internacional (SI) em segundos. O conceito de período implica 
o conceito de frequência (f). Define-se frequência, de modo geral, como o número de vezes em 
que determinado fenômeno se repete num intervalo de tempo considerado. Para a Ondulatória, a 
frequência é o número de ondas por intervalo de tempo considerado. A unidade de medida, no SI, 
é o inverso do segundo, denominado hertz, em homenagem a Heinrich Hertz. Encontram-se ainda 
como unidades usuais de frequência o cps – ciclos por segundo (1 cps = 1 Hz) – e o cpm – ciclos 
por minuto (1 cpm = 1/60 Hz).
 Lembrete
Período (T) = tempo de uma oscilação.
Frequência (f) = número de oscilações num intervalo de tempo. 
A relação entre período e frequência é dada assumindo-se que o número de oscilações é igual a 
apenas uma oscilação. Assim, o intervalo de tempo será de um período, ou seja:
1
f 
T
=
Observe a onda periódica a seguir. Define-se amplitude da onda como a distância máxima 
em relação ao eixo de simetria da onda, podendo esta assumir valores positivos e negativos, de 
acordo com o referencial adotado. Define-se comprimento de onda (λ) como a distância mínima 
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OSCILAÇÕES E ONDAS
ao longo da direção de propagação da onda – distância na qual se define um ciclo, ou seja, uma 
oscilação completa. Na prática será a distância entre duas cristas consecutivas, ou entre dois vales 
consecutivos, ou ainda a distância entre dois pontos quaisquer que definirá um ciclo completo. A 
unidade de λ no SI é o metro.
y
x
y
Ao
Figura 32 – Onda periódica, em que Ao é a amplitude e λ é o comprimento de onda 
3.4 Velocidade de uma onda progressiva
A característica da onda de ser a propagação de uma perturbação num meio envolve o conceito de 
velocidade de propagação dela. Para um meio homogêneo, a velocidadede propagação da onda será 
constante e sua dedução é feita a partir do conceito de velocidade:
s
v 
t
∆
=
∆
Se o deslocamento considerado é igual ao próprio comprimento de onda l, o tempo necessário nesse 
deslocamento é o período T. Portanto:
v / T= λ 
Ou ainda, lembrando que 1/T = f, temos:
v f= λ
Essa expressão da velocidade de uma onda progressiva é a equação fundamental da Ondulatória. 
Embora a equação seja simples de entender, nos aprofundaremos um pouco mais descrevendo 
matematicamente uma onda numa corda.
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Unidade II
Descrição matemática das ondas
A função que nos fornece as posições de cada elemento de uma corda no decorrer do tempo é uma 
função seno ou cosseno. Consideremos a função a seguir, que representa a situação:
( ) my x,t y cos(kx t)= − ω
Observe que se trata de uma função de duas variáveis, x e t, e que ym é o maior deslocamento no eixo 
y a partir da posição de equilíbrio, ou seja, o valor da amplitude A. O argumento kx – wt é chamado de 
fase, em que k é o número de onda (a ser definido a seguir) e ω a frequência angular.
Considere uma onda periódica propagando-se numa corda como mostra a figura que se segue. Cada 
diagrama registra a onda num certo instante t. No primeiro, verifica-se que, em x = 0, y = A. No segundo, 
tomado num tempo t = T/4, os pontos da onda se deslocaram para a direita, de modo que em x = 0 
teremos y = 0. No terceiro, registrado num tempo t = T/2, a onda se deslocou apresentando, para x = 0, 
y = –A. No quarto, vemos que, em x = 0, y = 0 para t = 3T/4. Acompanhando-se a evolução temporal 
dos pontos nas cores laranja e verde, conclui-se que, para x = 0, os pontos da corda executam um MHS 
oscilando no eixo y. Percebe-se ainda que os demais pontos da corda também executam um MHS com 
fase diferente. O valor de x correspondente à primeira coincidência de fase é o comprimento da onda λ 
(último diagrama, registrado em t = T). 
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OSCILAÇÕES E ONDAS
y
y
y
y
y
x
x
x
x
x
Figura 33 – Ondas periódicas numa corda, registradas em t = 0, t = T/4, t = T/2, t = 3T/4 e t = T
Consideremos a onda apresentada no primeiro diagrama da figura anterior. Podemos escrever a 
função y = f(x) como: 
( )y x Acos(kx)=
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Unidade II
Para uma posição de x’ = x + λ (último diagrama):
( ) ( )y x' Acos k(x )= + λ
Decorre da definição de comprimento de onda que o próximo valor coincidente de y será quando a 
diferença de fase for 2π. Logo, tem-se:
( ) ( ) ( )y x y x' k x kx 2= → + λ − = π
Então:
k 2λ = π
Portanto:
2
k
π
=
λ
Em que k é denominado número de onda.
Conhecido o fator k que compõe a fase kx – wt apresentada anteriormente, analisaremos a expressão 
da frequência angular ω. Retomemos a função de onda:
( ) my x,t y cos(kx t)= − ω
Observe que:
( ) my 0,0 y A= =
( ) ( )m my , T y cos k T yλ = λ − ω =
Logo:
( )cos k T 1 e k T 0 λ − ω = λ − ω =
T k 2ω = λ = π
Assim:
2
2 f
T
π
ω = = π
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Utilizando as definições de número de onda k e de frequência angular ω, podemos escrever a função 
de onda com as informações do comprimento de onda λ e do período T:
( ) 2 2y x,t Acos x t
T
π π = −  λ
Ou seja:
( ) x ty x,t Acos2
T
 = π −  λ
Para a determinação da velocidade de propagação da onda progressiva, atente para o fato de que 
na equação y(x,t) a fase é constante, ou seja, embora os valores de x e t variem, kx – wt permanece 
constante:
kx t constante− ω =
Derivando-se em relação ao tempo:
dx
k 0
dt
− ω =
Usando a definição de número de onda e de frequência angular ω, chega-se a:
2
v 2 f
π
= π
λ
Finalmente:
v f= λ
Útil ainda será a relação entre k e ω, a ser usada futuramente neste livro. A partir da equação 
diferencial escrita antes, temos:
dx
k 0 kv
dt
− ω = → = ω
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3.5 Velocidade de uma onda em uma corda esticada
Considere uma corda de densidade linear m submetida a uma força tração Ft. A velocidade de 
propagação de um pulso nessa situação é dada pela relação: 
tFv =
µ
Em que µ é a densidade linear, definida como a relação entre a massa da corda e seu comprimento:
m
 
l
µ =
 Observação
No SI, a unidade para a densidade linear é: kg/m. 
Analisando a relação anterior, podemos observar que, num violão, quanto mais tracionadas estiverem 
as cordas, maior será a velocidade de propagação da onda nelas. E, ainda, comparando as diferentes 
cordas do violão, com densidades lineares diferentes, verificamos que é possível obter a mesma velocidade 
de propagação com cordas diferentes tracionadas de modo diferente. Tal equivalência resultará numa 
mesma onda estacionária e, assim, num mesmo som (o que será estudado adiante). 
Para compreendermos a natureza da expressão da velocidade da onda propagando-se numa corda 
tracionada, consideraremos um pulso numa corda e aproximaremos a perturbação ao perfil de uma 
circunferência, como apresentado na figura a seguir:
Ftcosθ Ftcosθ
Ftsenθ Ftsenθ
Ft
R
Ft
∆l
θ θ
Figura 34 – Representação simplificada das forças que atuam durante 
a propagação de um pulso numa corda
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Analisemos um elemento da corda Dl, sujeito às forças tração Ft, direcionadas para os lados opostos, 
como representado na figura. Decompondo-se a força Ft, observa-se que as componentes horizontais 
serão canceladas e as componentes de Ft na direção y serão somadas. Logo, tem-se:
ty tF F sen= θ
Analisando-se a resultante das forças como a força centrípeta, chega-se a:
t cp2F F=
2
t
v
2F sen m
R
θ =
Para pequenos ângulos θ, pode-se aproximar senθ ≅ θ, e assim:
2
t
v
2F m
R
θ =
Na figura, vemos que: 
l
2 m
R
∆
θ =
 Observação
Ângulo horário ou fase (ϕ), estudado nos movimentos circulares, é 
definido por:
S
R
ϕ =
Em que S é o arco e R é o raio da circunferência. Unidade: radiano (rad).
Logo:
2
t
l v
F m
R R
∆
=
2
tF l mv∆ =
2 2
t t
m
F v F v 
l
= → = µ
∆
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Unidade II
Em que a grandeza µ é a densidade linear da corda. Portanto:
tFv =
µ
Exemplo 1
Numa corda com as extremidades fixas, propaga-se uma onda estacionária de modo 
fundamental de vibração. A densidade linear da corda é 2,00 g / cmµ = , e o fenômeno é descrito 
pela equação (no SI):
( ) ( )y x,t 0,200sen 3,50x 120t= +
Determine:
a) A frequência angular e a frequência de vibração.
b) A velocidade de propagação da onda.
c) A força de tração aplicada na corda.
d) A amplitude das ondas propagadas.
e) A potência média transmitida.
Resolução
a) A frequência angular podeser identificada na expressão do MHS:
120 rad / sω =
E a frequência de vibração: 
f 19,1 Hz
2
ω
= =
π
b) A velocidade de propagação é obtida da relação:
120
v 34,3 m / s
k 3,50
ω
= = =
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c) Utilizando o resultado anterior, temos:
2Fv F v 235 N= → = µ =
µ
d) A amplitude é identificada na equação: A = 0,200 m
e) Finalmente a potência média é calculada por:
2 21P v A 1976 W
2
= µ ω =
Exemplo 2
Uma onda propaga-se numa corda elástica, com ambas as extremidades livres, de forma progressiva. 
A corda é mantida sob a tração de 1800 N. A amplitude é de 0,010 m e a frequência é 200 Hz. A corda 
está na sua posição de equilíbrio no instante t = 0.
Dados:
• Massa da corda: 4,2 x 210− kg
• Comprimento da corda: 3,5 m
• A velocidade: v(0,0) > 0
a) Determine a função da onda.
b) Determine a velocidade do ponto x = 1,2 m no instante t = 5,0 s.
Resolução
a) A função de onda pode ser escrita como:
( ) ( )y x,t Asen kx t= − ω + θ .
A amplitude da onda A foi fornecida no enunciado (A = 0,010 m). O cálculo de k segue-se em etapas: 
Densidade linear da corda:
2m 1,2 x1 0 kg / m
L
−µ = =
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Unidade II
Velocidade de propagação: 
F
 v 387 m / s= =
µ
Frequência angular: 
rad
2 f 400
s
ω = π = π
Número de onda: 
w m
k 1,03 
v s
= =
Portanto:
y(x,t) 0,010sen(1,03x 400 t )= − π + θ
Aplicando-se a condição: para t = 0, x = 0 e y = 0, conclui-se que θ = 0 ou θ = π. Considerando 
θ = 0, a função da onda será:
( )y x,t 0,010sen(1,03 400 t)= − π
b) Por definição, velocidade é:
( ) ( )dy x,tv x,t
dt
=
( )v(x,t) 0,010 400 cos(1,03x 400 t)= − π − π
Para x = 1,2 m e t = 5,0 s: 
( )v x,t 4,13 m / s = −
3.6 Energia e potência de uma onda progressiva em uma corda
Os pontos da corda estão sujeitos a movimento segundo o eixo y. Logo, associa-se a esses pontos o 
conceito de energia cinética. Consideremos um elemento de massa dm da corda dotado de velocidade u:
2
c
1
dE dmu
2
=
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Para a determinação de u, consideremos a onda numa corda representada por uma função: 
( )y x,t Asen(kx t)= − ω
Como a função y apresenta duas variáveis (x e t), a velocidade u é a derivada parcial em 
relação ao tempo. Os termos que não apresentam a variável tempo são considerados constantes 
nesse tipo de derivada.
y(x,t)
u Acos(kx t)
t
∂
= = −ω − ω
∂
2 2 2 2u A cos (kx t)= ω − ω
Substituindo u2 na expressão da energia cinética:
2 2 2
c
1
dE dm A cos (kx t)
2
= ω − ω
Lembrando que: dm dx= µ M, temos a expressão da energia cinética:
2 2 2
c
1
dE dx A cos (kx t)
2
= µ ω − ω
A potência de uma onda progressiva numa corda pode ser obtida ao considerarmos a energia 
transferida no decorrer do tempo. Dividindo a equação por dt:
2 2 2cdE 1 dx A cos (kx t)
dt 2 dt
= µ ω − ω
Em que dx/dt = v.
2 2 21P(x,t) v A cos (kx t)
2
= µ ω − ω
Utilizando-se a expressão da velocidade de propagação de um pulso numa corda, a potência assume 
a forma:
2 2 21P(x,t) FA cos (kx t)
2
= µ ω − ω
Essas duas expressões apresentam a potência transmitida, calculada a partir da energia cinética. 
A potência máxima transferida será obtida quando considerarmos a taxa de transformação das duas 
formas de energia (energia cinética e energia potencial) e assumirmos que o valor máximo da função 
cos2(kx – wt) = 1. Poderemos ainda considerar a energia total como o dobro da dEc. Logo:
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2 2c
máx
dE 1
P 2 2. FA
dt 2
 = = µ ω  
2 2 2 2
máx máxP FA ou P v A= µ ω = µ ω
Por fim, para o cálculo da potência média: 
2 2 2 2
média média
1 1
P FA ou P v A
2 2
= µ = µ ωω
4 ONDAS II
A segunda parte desta unidade inicia-se apresentando a equação de onda, uma das mais importantes 
equações da Física, que governa todas as propagações de onda. Em seguida, abordam-se alguns 
fenômenos característicos das ondas, como superposição de ondas, interferência e ondas estacionárias 
e ressonância.
4.1 Equação de onda
Consideremos uma função de onda representada pela função cosseno:
( )y x,t Acos(kx t)= − ω
Analisando-se a velocidade u com que os pontos da onda se deslocam segundo o eixo y, deriva-se 
parcialmente a função em relação ao tempo. Observa-se novamente que, nesse processo, a variável x é 
tratada como uma constante.
Logo:
y
u Asen(kx t)
t
∂
= = −ω − ω
∂
A expressão da aceleração é obtida derivando-se novamente em relação ao tempo (derivada parcial) 
a expressão anterior:
2
2
y 2
y
a Acos(kx t)
t
∂
= = −ω − ω
∂
Identificando-se na expressão anterior a função de onda inicial, pode-se escrever:
2
2
y 2
y
a (x,t) y(x,t)
t
∂
= = −ω
∂
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Ou ainda:
2
2 2
1 y
y(x,t)
t
∂
=
−ω ∂
Por sua vez, podemos fixar um instante de tempo e estudar a forma da onda numa corda. Para tanto, 
derivaremos a função de onda em relação à variável x. Como se trata novamente de derivada parcial (em 
relação a uma das variáveis), a outra variável, no caso, t, será tratada como uma constante na regra de 
derivação. A primeira derivada fornece a inclinação da reta a cada posição da onda:
y
kAsen(kx t)
x
∂
= − − ω
∂
A segunda derivada traz a informação da curvatura da corda em cada posição:
2
2
2
y
k Acos(kx t)
x
∂
= − − ω
∂
Que pode ser escrita substituindo-se a função de onda inicial:
2
2
2
y
k y(x,t)
x
∂
= −
∂
Ou ainda:
2
2 2
1 y
y(x,t)
k x
∂
=
− ∂
Igualando-se a função de onda escrita das formas de derivada de segunda ordem, tem-se:
2 2
2 2 2 2
1 y 1 y
t k x
∂ ∂
=
−ω ∂ − ∂
Utilizando-se a relação obtida anteriormente, kv = ω :
2 2
2 2 2
y 1 y
x v t
∂ ∂
=
∂ ∂
A equação anterior é chamada equação de onda e é uma equação diferencial geral que governa a 
propagação de todos os tipos de onda.
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Unidade II
4.2 Princípio da superposição de ondas
O princípio de superposição é um efeito que se verifica em sistemas lineares físicos quando vários 
eventos ocorrem simultaneamente, e o efeito total é a soma de cada efeito considerado individualmente. 
No caso da propagação de ondas mecânicas, imagine dois pulsos de mesma amplitude propagando-se 
num mesmo meio, em sentidos opostos (figura a seguir). Durante o encontro dessas ondas, ocorre a 
superposição dos pulsos, e a amplitude resultante é a soma algébrica das amplitudes dos pulsos. Após o 
momento de encontro, as ondas seguem mantendo suas características iniciais.
t = 0
t = 2
t = 1 x + x = 2x
v
v
v
v
x
x
x
x
2x
Figura 35 – Superposição de dois pulsos
 Observação
Em ondas que se propagam com inversão de fase, ocorre, no encontro, 
uma destruição da onda. A amplitude negativa de uma dasondas garante 
o previsto pelo princípio da superposição. 
4.3 Interferência de ondas
A superposição de ondas resulta num fenômeno conhecido como interferência. Considere duas 
ondas periódicas de mesmo comprimento de onda e mesma amplitude propagando-se num mesmo 
meio, mas defasadas por uma distância representada por nλ:
( )1y x,t Acos(k(x n ) t)= + λ − ω
( )2y x,t Acos(kx t)= − ω
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OSCILAÇÕES E ONDAS
De acordo com o princípio da superposição, o deslocamento em y resultante (yR) é a soma algébrica 
das ondas y1 e y2:
( ) ( ) ( )R 1 2y x,t y x,t y x,t= +
( ) ( )( )Ry x,t A cos k x n t Acos(kx t)= + λ − ω + − ω
Utilizando a identidade trigonométrica da soma de dois cossenos, temos:
( )( ) ( ) ( )( )R 1 1y 2A cos ( k x n t kx t )cos ( k x n t (kx t))2 2= + λ − ω + − ω + λ − ω − − ω
( )R
1 1
y 2A cos (2 kx t kn )cos (kn )
2 2
= − ω + λ λ
Com um pouco mais de álgebra e substituindo 
2
k
π
=
λ
:
( )Ry 2Acos(n )cos( kx t n )= π − ω + π
Observe que a onda resultante da interferência de duas ondas senoidais (representadas aqui pela 
função cosseno) também apresenta as mesmas características. A primeira parte da equação mostra o 
termo da amplitude, e a segunda parte o termo oscilatório. A figura que se segue apresenta as ondas 
defasadas por certo nλ e a onda resultante. 
0.03 λ 0.25 λ
0.4 λ 0.5 λ
y1
y2
soma
Figura 36 – Interferência de ondas periódicas 
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Unidade II
Numa análise simples, observe na equação que, quando as ondas estão defasadas de forma que 
n = 0,5, a interferência é destrutiva e a amplitude resultante é zero:
( )Ry 2Acos(0,5 )cos( kx t 0,5 ) 0= π − ω + π =
Quando n = 1, a função que descreve a onda será:
( )Ry 2Acos( )cos( kx t ) 0= π − ω + π =
Portanto:
( )Ry x,t 2Acos(kx t)= − ω
 Observação
Da trigonometria é válida a identidade:
( )1 1cos cos 2cos cos ( )
2 2
α + β = α + β α − β
Ondas periódicas bidimensionais sofrem interferência. Um exemplo fácil para verificar isso na 
natureza são duas pedras lançadas num lago de águas tranquilas (figura a seguir): 
Figura 37 – Interferência de ondas bidimensionais 
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OSCILAÇÕES E ONDAS
 Saiba mais
A interferência de ondas pode ser estudada por meio de um simulador. 
É possível investigar a situação alterando-se as variáveis do problema. Leia 
mais em: 
UNIVERSITY OF COLORADO BOULDER. PhET Interactive Simulations. 
Interferência de ondas. Colorado, [s.d.]a. Disponível em: <https://phet.
colorado.edu/pt_BR/simulation/legacy/wave-interference>. Acesso em: 14 
jun. 2017.
4.4 Fasores
Um modo prático de estudar o fenômeno da interferência em ondas senoidais é com o uso de 
fasores ou vetores de fase. Representam-se vetorialmente num diagrama as variáveis de amplitude 
ym em função da fase da onda. As projeções desse vetor no eixo das ordenadas fornecem o valor 
da amplitude no tempo t considerado. Os vetores com a extremidade fixa na origem dos eixos 
giram a uma frequência angular ω. 
A figura a seguir representa os fasores correspondentes às amplitudes y(t) de uma onda progressiva. 
A sequência mostra diferentes instantes durante um ciclo. O sentido horário de rotação dos vetores de 
fase representa uma onda progressiva.
Quando duas ondas sofrem interferência, os vetores de fase são somados a cada instante 
e a projeção do vetor resultante fornece a informação da onda resultante da interferência. A 
figura que se segue mostra o exemplo de duas ondas superpostas utilizando a análise dos seus 
vetores de fase.
 Lembrete
As projeções de um vetor foram vistas antes nas relações entre MHS e 
MCU, em que o MHS resultava das projeções no eixo das abscissas.
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Unidade II
(a)
(c)
(g)
(i)
(e)
(b)
(d)
(h)
(j)
(f)
y
y
y
y
y
y
y
y
xx
x
x
x
x
xx
Fasor 1
yresultante
Fasor 2
Fasor R
Figura 38 – Fasores representando a amplitude a cada instante: (a) amplitude nula; (b) instante seguinte, em que o fasor indica amplitude 
negativa; (c) amplitude negativa máxima; (d) amplitude negativa evoluindo para a amplitude nula; (e) amplitude nula novamente, 
correspondente à metade do período T; (f) amplitude positiva; (g) amplitude positiva máxima; (h) instante seguinte, com amplitude positiva; (i) 
fasores de duas ondas diferentes e suas projeções; (j) fasores somados e a amplitude da onda resultante
4.5 Ondas estacionárias
Quando uma onda periódica se propaga num meio sofrendo reflexão, as ondas refletidas provocam 
interferência, com as ondas incidentes podendo, sob certas condições, formar ondas estacionárias. 
As ondas estacionárias são ondas periódicas resultantes dos fenômenos de reflexão e interferência. 
Quando um pulso refletido por um obstáculo encontra um pulso incidente, ocorre interferência. 
Dependendo da frequência dessas ondas em relação às dimensões do meio, a interferência poderá ser 
construtiva e destrutiva, formando as ondas estacionárias, como representado na figura a seguir.
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OSCILAÇÕES E ONDAS
t0
t1
t2
t3
t4
Ventre
Ondas combinadas
Sentido da onda vermelha Sentido da onda azul
Nó
Figura 39 – Formação de ondas estacionárias numa corda. Ondas incidentes em vermelho 
e refletidas em azul. Em preto, a onda resultante
Para uma análise matemática da formação de ondas periódicas, consideremos as ondas 1 e 2 
propagando-se numa corda, uma incidente e a outra refletida, expressas pelas funções:
( )1y x,t A cos(kx t)= − − ω
( )2y x,t A cos(kx t)= + ω
A onda 1 propaga-se para a esquerda, e a onda 2 propaga-se para a direita. O sinal negativo na 
função da onda 1 representa a oposição de fase.
Na interferência, tem-se:
( ) ( ) ( ) ( )1 2y x,t y x,t y x,t A cos kx t A cos(kx t)= + = − − ω + − ω
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Unidade II
Aplicando a identidade trigonométrica:
( )cos cos cos sen senα ± β = α β α β
( )y x,t (2Asenkx) sen t= ω
A expressão anterior apresenta dois fatores: o primeiro termo, em função de x, mostra que a cada 
instante a onda apresenta forma senoidal com amplitude igual ao dobro de cada onda componente; já 
o fator dependente do tempo indica que a onda permanece na mesma posição, oscilando verticalmente.
Os pontos da corda que oscilam com máxima amplitude referem-se aos valores kx:
kx 0 x 0 x 0
kx x x
k 2
2
kx 2 x x
k
3 3
kx 3 x x
k 2
= → = → = λ
π λ
= π → = → =
π
= π → = → = λ
π λ
= π → = → =
 Lembrete
O número de onda k foi definido antes como 
2
k
π
=
λ
.
4.6 Ondas estacionárias e ressonância
Pensemos numa corda de comprimento L: para algumas frequências, a corda oscila de modo 
estacionário (formam-se ondas estacionárias); para outras, essas ondas não se formam, devido à 
dependência do comprimento da corda. Portanto, dizemosque, para certas frequências, chamadas 
de frequências naturais, a corda ressoa, ou seja, entra em ressonância com a frequência da fonte 
perturbadora, e verifica-se a formação de nós e ventres (antinós), como mostra a figura a seguir.
Ventre
Nó
λ
Figura 40 – Onda estacionária com formação de cinco nós e quatro 
ventres e indicação do comprimento de onda λ
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Portanto, a corda fixa nas duas extremidades poderá oscilar formando uma onda estacionária de 
modo fundamental, chamado de 1o harmônico, que corresponderá à menor frequência de vibração e ao 
maior comprimento de onda, igual ao dobro do comprimento da corda. Aumentando-se a frequência da 
fonte geradora das perturbações, não haverá onda estacionária até a frequência se igualar ao segundo 
modo de formação de onda estacionária, ou 2o harmônico. A sequência dos harmônicos numa corda é 
mostrada na figura que se segue. A frequência de cada harmônico está relacionada com o número n, 
que corresponde ao número de ventres da onda estacionária.
Fundamental ou 1º harmônico
L v Lf f
v
2L
� � �
�
2
2 1 1
2º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

2
2
2
2
2
2
2
2 2
2 1

3º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

3
2
2
3
3
2
3
3 3
3 1

4º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

4
2
2
4
4
2
4
4 4
4 1

5º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

5
2
2
4
5
2
5
5 5
5 1

6º harmônico
L v
L
f f
v
L
f f
  

6
2
2
6
6
2
6
6 6
6 1

n-ésimo harmônico
L n v
L
n
f f n
v
Ln n
  

2
2
2
f nfn  1
Em que n = 1, 2, 3, 4…
Figura 41 – Ondas estacionárias numa corda e cálculo dos harmônicos
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Unidade II
Exemplo 1
Numa experiência utilizando-se um gerador de áudio que emite uma frequência de 30 Hz, uma 
corda de 120 cm, tracionada devido a uma massa de 90 g, vibra de modo estacionário. Verifica-se 
na corda a formação de 4 nós (incluindo-se as extremidades). Desprezando as forças dissipativas e 
considerando g = 9,8 m/s2, determine:
a) A velocidade de propagação das ondas na corda.
b) A massa específica da corda em g/m.
Figura 42 – Corda vibrando no 3o harmônico
Resolução
a) A frequência correspondente ao 3o harmônico:
3
3v
f 
2L
=
3v
30
2.1,2
=
v 24 m / s=
b) A massa específica é obtida pela relação:
TFv =
µ
2 0,09.9,824 =
µ
0,00153 µ =
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Na unidade g/m:
1,53 g / mµ =
Exemplo 2
Uma corda de 60 cm de comprimento e massa 3 g é tracionada para emitir a frequência fundamental 
de 128 Hz. Determine a força tração em newtons.
Resolução
Para uma corda vibrando em modo fundamental, o comprimento de onda é o dobro do comprimento 
da corda. Logo, a velocidade é dada por:
1v 2Lf=
Sabe-se também que a velocidade de propagação numa corda tracionada é:
TFv =
µ
Igualando-se as expressões:
1
F
2Lf =
µ
Calcula-se a massa específica m assim:
3
3m 3.10 5.10 kg / m
L 0,6
−
−µ = = =
( )21F 2Lf= µ
( )2 3F 4 0,6.128 .5.10 118 N−= = . 
 Resumo
Nesta unidade, vimos que ondas são o resultado de propagações de 
perturbações num meio. Podem ser classificadas de três modos: pela 
natureza (mecânica ou eletromagnética), pela direção de propagação 
(uni, bi ou tridimensional) ou ainda pela direção de vibração em relação à 
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Unidade II
direção de propagação (transversal ou longitudinal). As ondas periódicas 
são caracterizadas por seu período (sendo a frequência o inverso dessa 
grandeza) e por seu comprimento de onda. A velocidade de propagação de 
uma onda periódica pode ser obtida por:
v f
T
λ
= λ =
Na descrição matemática das ondas, a função que representa as posições é:
( )y x,t Acos(kx t)= − ω
Em que se define k como o número de onda e ω como a frequência 
angular. Essas grandezas relacionam-se com a velocidade de propagação v:
2
k , 2 f e kv
π
= ω = π = ω
λ
Quando um pulso se propaga numa corda tracionada, a velocidade de 
propagação pode ser escrita em função da força tração (Ft) e da densidade 
linear da corda µ:
v
F


A onda, ao se propagar numa corda, transmite energia. A potência 
média dessa transmissão é:
2 2
média
1
P v A
2
= µ ω
A equação que governa a propagação de todos os tipos de onda é a 
equação diferencial:
2 2
2 2 2
y 1 y
x v t
∂ ∂
=
∂ ∂
Quando ondas se encontram, ocorre o fenômeno de interferência 
construtiva ou destrutiva, sendo a amplitude resultante dada pela equação 
a seguir, na qual n representa um número inteiro:
( )Ry 2Acos(n )cos( kx t n )= π − ω + π
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OSCILAÇÕES E ONDAS
Um modo de representar a onda resultante da interferência é pelo uso de 
fasores, que são vetores que giram no eixo xy com frequência angular ω, no qual 
a projeção em y fornece a amplitude da onda resultante.
O resultado da interferência de ondas que se propagam em sentidos 
opostos é a formação de ondas estacionárias, cuja onda resultante é 
descrita pela função:
( )y x,t (2Asenkx) sen t= ω
Para as ondas estacionárias formadas numa corda de comprimento L, 
a frequência resultante é múltipla da frequência fundamental, entendida 
como frequência na qual a corda ressoa: 
v
f
2L
=
 Exercícios
Questão 1. O violão, como o apresentado na figura a seguir, é um instrumento musical originado na 
antiga Babilônia (1900 a.C.), que em geral tem seis cordas e é muito usado na música popular brasileira.
Tarrachas ou 
cravelhas
Pestana ou 
capotraste
Trastes
Cordas
Boca
Tampo
Cavalete com rastilho
Lateral ou faixas
Fundo
Cabeça, mão ou paleta
Braço
Caixa de ressonância
 As partes de um violão
Fonte: IRAMAR, J. Conhecendo o violão: partes do violão. Professor Iramar, 25 maio 2011. 
Disponível em: <http://iramarauladeviolao.blogspot.com.br/2011/05/ 
conhecendo-o-violao-partes-do-violao.html>. Acesso em: 7 dez. 2017.
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Unidade II
As cordas do violão são cilíndricas e são identificadas pela nota musical que devem reproduzir 
quando excitadas mecanicamente. Na figura a seguir, podemos observar um violão e a identificação 
das cordas.
6ª corda: mi
5ª corda: lá
4ª corda: ré
3ª corda: sol
2ª corda: si
1ª corda: mi
Vista frontal de um violão com a identificação das cordas 
Fonte: FERNANDES, P. A. Cordas, dedos e mãos. Violão Popular, 2012. 
Disponível em: <http://www.violaopopular.com.br/cordas_e_maos.htm>. Acesso em: 7 dez. 2017.
Para que cada corda reproduza o som da nota musical, é necessário que ela vibre na frequência 
específica dessa nota. Na tabela a seguir estão listadas as cordas, seus diâmetros e a frequência 
correspondente.
Tabela 1 – Cordas de um violão com os respectivos diâmetros e frequênciasCorda Diâmetro (mm) Frequência (Hz)
Mi 1,27 82,400
Lá 1,02 110,00
Ré 0,76 146,85
Sol 0,56 196,00
Si 0,36 246,95
Mi 0,25 329,65
Os dados da tabela correspondem a um encordoamento cujas cordas são fabricadas com aço, que 
tem massa específica de 7800 kg/m3.
Ao serem montadas no violão, as cordas, que são presas no cavalete, devem ser tracionadas pelas 
tarraxas de maneira que se mantenham esticadas com a tensão correta e vibrem na frequência adequada. 
A relação entre a força de tração e a frequência é dada pela expressão:
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OSCILAÇÕES E ONDAS
f
n
l
T

2 
Sendo: f a frequência, n o número de modo de vibração (n=1, 2, 3...), l o comprimento da corda, T a 
força de tração na corda e µ a densidade linear da corda.
Um fato interessante é que a primeira e a última corda do violão devem reproduzir a nota mi. A 
primeira vibra a 329,65 Hz, o que representa duas oitavas acima da última, cuja frequência é 82,4 Hz.
Um aprendiz de violão, que usa um violão em que a distância entre o cavalete e a pestana é 0,9 m, 
ao observar o fato antes descrito, fez as seguintes afirmativas:
A corda mi que vibra com frequência maior deve ser tracionada com uma força maior que a corda 
mi que vibra com frequência menor.
PORQUE
Na frequência maior o período de vibração é menor.
Acerca dessas afirmativas, assinale a opção correta:
A) As duas afirmativas são verdadeiras e a segunda justifica a primeira.
B) As duas afirmativas são verdadeiras e a segunda não justifica a primeira.
C) A primeira afirmativa é verdadeira e a segunda é falsa.
D) A primeira afirmativa é uma proposição falsa e a segunda é verdadeira.
E) Tanto a primeira afirmativa quanto a segunda são falsas.
Resposta correta: alternativa D.
Análise da questão
A força de tração em cada corda é dada por:
T
f l
n
 
 







2 2
A densidade linear µ pode ser escrita como: µ = p . A, sendo p a massa específica do material da 
corda e A a área da seção transversal da corda. Assim, a força de tração na corda fica:
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Unidade II
T p A
f l
n
  
 






2 2
Como foi informado que a corda é cilíndrica, a área da seção fica:
A
d


2
4
Com isso, temos:
T p
d f l
n
 


 







2 2
4
2
T p
f d l
n
  
 







2
Para o primeiro modo de vibração (n=1), temos:
T=p · π · (f·d·l)2
Nessa expressão, o comprimento da corda (l) é igual à distância entre o cavalete e a pestana.
Para a primeira corda mi (a de diâmetro menor), temos:
T
kg
m s
m m     





7800 329 65
1
0 25 10 0 93
3
2
 , , ,
T=134,81N
Para a segunda corda mi (a de diâmetro maior), temos:
T
kg
m s
m m     





7800 82 400
1
127 10 0 93
3
2
 , , ,
T=217,4N
Voltando às afirmativas, vemos que a primeira é falsa porque a força de tração na corda que vibra 
com a frequência menor é maior do que na que vibra com a frequência maior. A segunda afirmativa é 
verdadeira porque o período (t) é o inverso da frequência: t
f
=
1 .
83
Re
vi
sã
o:
 N
om
e 
do
 re
vi
so
r -
 D
ia
gr
am
aç
ão
: N
om
e 
do
 d
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gr
am
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 -
 d
at
a
OSCILAÇÕES E ONDAS
Questão 2. (UFPE 2004, adaptada) A figura a seguir mostra esquematicamente as ondas na superfície 
d’água de um lago, produzidas por uma fonte de frequência 6,0 Hz, localizada no ponto A.
2,0 cm
60 cmA B
As linhas cheias correspondem às cristas, e as pontilhadas representam os vales em certo instante 
de tempo. 
O intervalo de tempo, em segundos, para que uma frente de onda percorra a distância da fonte até 
o ponto B é:
A) 60 s.
B) 12 s.
C) 5 s.
D) 2 cm.
E) 1
60
s .
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