Aula 10 e 11 Modelos de Distribuição Discreta

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ESTATÍSTICA E
PROBABILIDADE
Modelos de distribuição discreta:
Binomial
Multinomial
Poisson
Hipergeométrica
Exercícios
Distribuições de Probabilidades
• O resultado de um experimento probabilístico geralmente é
uma contagem ou medida. Esse resultado é um possível
valor de uma variável aleatória.
• Variável aleatória X representa um valor numérico associado
a cada resultado de um experimento probabilístico (ou
aleatório).
• Há dois tipos de variáveis aleatórias:
• Discreta: uma variável aleatória é discreta quando tem um número
finito ou contável de resultados possíveis que podem ser
enumerados.
• Contínua: uma variável aleatória é contínua quando tem um número
incontável de resultados possíveis, representados por um intervalo na
reta numérica.
Distribuições de Probabilidades
• Exemplos: Determine se a variável 𝑥 é discreta ou contínua.
1. 𝑥 representa o número de empresas, da lista das 500 que
mais perderam dinheiro no ano passado.
2. 𝑥 representa o volume de gasolina de um tanque de 45
litros.
3. 𝑥 representa a velocidade de um foguete.
4. 𝑥 representa o número de bezerros nascidos em uma
fazenda em um ano.
Distribuições Discretas de Probabilidades
• Uma distribuição discreta de probabilidade lista cada valor
possível que a variável aleatória pode assumir, com sua
respectiva probabilidade. Uma distribuição de probabilidade
discreta de satisfazer às seguintes condições:
1. 0 ≤ 𝑃(𝑥) ≤ 1
2. 𝑃 𝑥 = 1
Distribuições de Probabilidades
• Exemplo: Selecionam-se 3 peças de um lote e elas são
classificadas como boas (B) ou defeituosas (D). Abaixo temos a
distribuição de probabilidades da variável aleatória que representa
a quantidade de peças defeituosas encontradas nesse
experimento.
Toda v.a. DISCRETA pode assumir 
um número finito de valores ou uma 
sequência infinita de valores. Em 
geral esses valores são inteiros!
xi P(X= xi) = p(xi)
0 0,8574
1 0,1354
2 0,0071
3 0,0001
Distribuições de Probabilidades
• Experimento: Seleciono 3 peças de um lote e elas são
classificadas como boas (B) ou defeituosas (D). O fabricante
informa que sua produção possui 5% de defeitos.
X = “Número de peças defeituosas dentre as 3 selecionadas”
• Quais são os valores possíveis que essa variável pode assumir? 
• Qual a probabilidade de sair cada um desses valores? 
{BBB, DBB, BDB, BBD, DDB, DBD, BDD, DDD}
0 1 2 3
Distribuição de 
probabilidades 
de X
?
xi P(X= xi) = p(xi)
0 0,95 3 = 0,8574
1 3 ∙ 0,05 0,95 2 = 0,1354
2 3 ∙ 0,05 2 0,95 = 0,0071
3 0,05 3 = 0,0001
Distribuições Discretas de Probabilidades
• Média de uma variável aleatória discreta:
• 𝜇 = 𝑥𝑃 𝑥
• Variância de uma variável aleatória discreta:
• 𝜎2 = 𝑥 − 𝜇 2𝑃 𝑥
• Desvio padrão de uma variável aleatória discreta:
• 𝜎 = 𝜎2 = 𝑥 − 𝜇 2𝑃 𝑥
Distribuições Discretas de Probabilidades
• Valor esperado de uma variável aleatória discreta:
• 𝐸 𝑥 = 𝜇 = 𝑥𝑃 𝑥
• Exemplo: Em um sorteio, 1500 bilhetes são vendidos a R$ 2 cada,
para prêmios de R$ 500, R$ 250, R$ 150 e R$ 75. Você compra
um bilhete. Qual é o valor esperado do seu ganho? R: - R$ 1,35
Distribuição Binomial
• Exemplo: A partir de uma pesquisa realizada no campus, foi
levantado que 65% dos alunos usam o WhatsApp durante as
aulas. Em um grupo de 5 alunos, qual a probabilidade de
exatamente 2 estarem utilizando o WhatsApp agora?
Temos que a probabilidade de um aluno 
qualquer usar o aplicativo na aula é 0,65 
X = “Número de alunos que estão usando o WhatsApp na aula”V.A. 
N N N N N
S N N N N
N S N N N
N N S N N
N N N S N
N N N N S
S S S S S
. . . .
S – o aluno usa o app
N – o aluno não usa o app
Sendo
{ 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Os possíveis resultados são:
Distribuição Binomial
• Em um grupo de 5 alunos, existem quantas possibilidades de
encontrarmos 2 pessoas que utilizam o aplicativo?
SSNNN
SNSNN
SNNSN
SNNNS
NSSNN
NSNSN
NSNNS
NNSSN
NNSNS
NNNSS 
10 possibilidades
probabilidade de ocorrer essa possibilidade = (0,65)
2
.(1 - 0,65)
3
(0,65)
2
.(1 - 0,65)
3
. . . . . . . . . .
(0,65)
2
.(1 - 0,65)
3
Em um grupo de 5 alunos, qual a
probabilidade de exatamente 2 usarem
o aplicativo?
Então:
P (X = 2) = 10.(0,65)
2
.(1 - 0,65)
3
= 10.(0,65)
2
.(0,35)
3
= 0,1811
Distribuição Binomial
• No Exemplo: É possível calcular o número de possibilidades de
uma maneira mais fácil, sem precisar escrever todas elas:
𝐶 𝑛, 𝑘 =
𝑛
𝑘
=
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
Portanto no exemplo, ao invés de listar todas as possibilidades:
𝐶 5,2 =
5
2
=
5!
2! 5 − 2 !
=
5!
2! 3!
= 10
Distribuição Binomial
• Um experimento binomial é um experimento probabilístico que
satisfaz as seguintes condições:
• O experimento consiste em um número finito de n repetições.
• Em cada repetição, há apenas dois resultados possíveis, que
serão definidos por sucesso (S) ou fracasso (F). Um sucesso
representa a característica de interesse de uma repetição.
• A probabilidade de ocorrer um sucesso é 𝑝, e é a mesma para
cada tentativa. Consequentemente a probabilidade de fracasso
é 𝑞 = 1 − 𝑝 ;
• A variável aleatória 𝑥 conta o número de tentativas com
sucesso.
Distribuição Binomial
• Formula Geral:
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛
𝑘
𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑝𝑥 1 − 𝑝 𝑛−𝑥
• 𝑃 𝑋 = 𝑘 : probabilidade de se obter 𝑘 sucessos nas 𝑛 tentativas;
• 𝑛 : número finito de repetições;
• 𝑝 : probabilidade de sucesso em cada repetição;
• 𝑛
𝑘
=
𝑛!
𝑘! 𝑛−𝑘 !
,sendo que 0! = 1;
• Notação matemática do modelo: 𝑋~𝐵𝑖𝑛 𝑛, 𝑝
Distribuição Binomial
• Exemplo 1: A probabilidade de um bebê que nasce ser uma
menina é aproximadamente 0,49. Determine a probabilidade dos
próximos cinco nascimentos não múltiplos em um determinado
hospital ser não mais que duas meninas. R: 0,5187
Distribuição Binomial
• Exemplo 2: Encontrando a probabilidade binomial em uma tabela.
Cerca de 10% dos trabalhadores (com idade acima de 16 anos) numa
grande cidade vão para seus locais de trabalho usando carona
solidária. Você escolhe oito trabalhadores de forma aleatória. Qual é a
probabilidade de que exatamente quatro deles utilizem a carona
solidária? Use a tabela de para encontrar a probabilidade.
Distribuição Binomial
• Exemplo 2: Encontrando a probabilidade binomial em uma tabela.
Cerca de 10% dos trabalhadores (com idade acima de 16 anos) numa
grande cidade vão para seus locais de trabalho usando carona
solidária. Você escolhe oito trabalhadores de forma aleatória. Qual é a
probabilidade de que exatamente quatro deles utilizem a carona
solidária? Use a tabela de para encontrar a probabilidade.
• Usando a distribuição 
para 𝑛 = 8 e 𝑝 = 0,1, 
você pode encontrar 
a probabilidade de 
𝑥 = 4
Distribuição Binomial
• Média de uma distribuição binomial:
• 𝜇 = 𝑛𝑝
• Variância de uma distribuição binomial :
• 𝜎2 = 𝑛𝑝𝑞
• Desvio padrão de uma distribuição binomial :
• 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞
Distribuição Multinomial
• Se os eventos 𝐸1, 𝐸2,..., 𝐸𝑘 podem ocorrer com as probabilidades
𝑝1, 𝑝2,..., 𝑝𝑘, respectivamente, então a probabilidade de 𝐸1, 𝐸2,...,
𝐸𝑘 ocorrerem 𝑋1, 𝑋2,..., 𝑋𝑘 vezes, respectivamente é:
𝑛!
𝑋1! 𝑋2!⋯𝑋𝑘!
𝑝1
𝑋1𝑝2
𝑋2⋯𝑝𝑘
𝑋𝑘
em que 𝑋1, 𝑋2,..., 𝑋𝑘 = 𝑛. Essa distribuição é uma generalização da
binomial.
Distribuição Multinomial
• O experimento Binomial se torna Multinomial se deixarmos que
cada tentativa tenha mais de dois resultados possíveis.
• Exemplo: Se um dado não viciado é lançado 12 vezes, a
probabilidade de serem obtidos os valores 1, 2, 3,4, 5 e 6
exatamente duas vezes cada um é? R: 0,00344
Distribuição Poisson
• A distribuição de Poisson é uma distribuição discreta de
probabilidade de uma variável aleatória 𝑥 que satisfaz as seguintes
condições:
1. O experimento consiste em contar o número de vezes, 𝑥, que um
evento ocorre em dado intervalo contínuo. O intervalo pode ser de
tempo, área, volume ou outro intervalo contínuo.
2. A probabilidade de evento acontecer é a mesma para intervalos de
mesmo tamanho.
3. O número de ocorrências em um intervalo é independente do
número de ocorrências em outros intervalos não sobrepostos.
Distribuição Poisson
• A probabilidade de haver exatamente 𝑥 ocorrências em um
intervalo é:
𝑃 𝑋 =
𝜆𝑋𝑒−𝜆
𝑋!
Em que 𝑒 é o número de Euler, aproximadamente igual a 2,71828, e
𝜆 é o número médio de ocorrências por intervalo unitário de
referência.
Distribuição Poisson
• Exemplo 1: O número médio de acidentes por mês em certo
cruzamento é três. Qual é a probabilidade de, em qualquer mês,
quatro acidentes ocorrerem nesse cruzamento?
• Exemplo 2: Encontrando a probabilidade de Poisson em uma
tabela.
Uma contagem populacional mostra que o número médio de
coelhos vivendo em um campo é 3,6 coelhos a cada 1000 m2.
Use a tabela para encontrar a probabilidade de que sete coelhos
sejam encontrados em quaisquer 1000 m2 de área do campo.
R: ~ 0,168
Distribuição Poisson
• Exemplo 2: Encontrando a probabilidade de Poisson em uma
tabela.
• Usando a distribuição 
para 𝜆 = 3,6 e 𝑥 = 7, 
você pode encontrar 
a probabilidade de 
Poisson, conforme 
destacado na tabela 
Distribuição Poisson
• Média de uma distribuição poisson:
• 𝜇 = 𝜆
• Variância de uma distribuição poisson :
• 𝜎2 = 𝜆
• Desvio padrão de uma distribuição poisson :
• 𝜎 = 𝜆
Distribuição Hipergeométrica
• A distribuição de probabilidade da variável aleatória
hipergeométrica 𝑋 , o número de sucessos em uma amostra
aleatória de tamanho 𝐴 selecionada de 𝑁 itens dos quais 𝐹 são
chamados de sucessos e 𝑁 − 𝐹 de falhas, é:
𝑃 𝑋 =
𝐹
𝑋
𝑁−𝐹
𝐴−𝑋
𝑁
𝐴
• Os tipos de aplicação da hipergeométrica são muito similares aos
da distribuição binomial. Mas, no caso da binomial, a
independência entre as tentativas é necessária. Por outro lado, a
distribuição hipergeométrica não necessita de independência e se
baseia na amostragem feita sem reposição.
Distribuição Hipergeométrica
• Em geral, estamos interessados na probabilidade de selecionar 𝑋
sucessos de 𝐴 itens considerados sucessos e 𝐴 − 𝑋 falhas de 𝑁 −
𝐹 itens considerados falhas, quando uma amostra aleatória de
tamanho 𝐴 é selecionada de 𝑁 itens. Isto é conhecido como
experimento hipergeométrico, ou seja, aquela que possui as
seguintes propriedades:
1. Uma amostra aleatória de tamanho 𝐴 é selecionada sem
reposição de 𝑁 itens;
2. F dos 𝑁 itens são classificados como sucessos e 𝑁 − 𝐹 são
classificados como falhas.
Distribuição Hipergeométrica
• Exemplo: Lote de 40 componentes cada são chamados de
inaceitáveis se contiverem três ou mais itens defeituosos. O
procedimento para amostragem do lote é selecionar cinco
componentes aleatoriamente e rejeitar o lote se um item defeituoso
for encontrado. Qual é a probabilidade de que exatamente um item
defeituoso seja encontrado na amostra se há três defeituosos no
lote inteiro? R: 0,3011
Exercícios
1) Uma urna contém 5 bolas brancas, 3 pretas e 2 vermelhas. Realizo uma
aposta com um amigo: se eu sorteio uma bola branca, ganho 10
créditos. Se eu retirar uma bola preta ou vermelha, perco 5 e 15
créditos, respectivamente. Monte a distribuição de probabilidades do
ganho por aposta. Calcule o ganho esperado por aposta e seu desvio
padrão.
2) Uma caixa contém 5 bolas vermelhas, 4 brancas e 3 azuis. Uma bola é
escolhida aleatoriamente da caixa, sua cor é observada e, a bola é
então retornada para caixa. Determine a probabilidade de, entre 6 bolas
escolhidas, dessa forma, 3 serem vermelhas, 2 brancas e 1 azul.
R: 0,5 ; 10,11
R: 625/5184
Exercícios
3) Uma fábrica de lâmpadas coloridas produz 50% de lâmpadas verdes,
20% de lâmpadas azuis e 30% de lâmpadas amarelas. Qual é a
probabilidade de em 6 lâmpadas 2 sejam verdes, 3 azuis e 1 amarela?
4) Suponha que, para um grande carregamento de chips de circuito
integrado, a probabilidade de falha em qualquer um deles seja de 0,10.
Assumindo que as suposições que fundamentam as distribuições
binomiais sejam satisfeitas, determine a probabilidade de que, no
máximo, três chips falhem em uma amostra aleatória de 20.
5) A probabilidade de que um paciente se recupere de uma delicada
operação cardíaca é 0,9. Qual é a probabilidade de que exatamente
cinco dos sete próximos pacientes operados se recuperem?
R: 0,036
R: 0,8670
R: 0,1240
Exercícios
6) Dos parafusos fabricados para uma determinada aplicação, 85%
atendem à especificação de comprimento e podem ser usados
imediatamente, 10% são muito longos e podem ser usados após serem
cortados e 5% são muito curtos e têm que ser descartados.
a. Determine a probabilidade de um parafuso selecionado
aleatoriamente poder ser usado (imediatamente ou após ser
cortado).
b. Determine a probabilidade de menos do que 9 dentre uma amostra
de 10 parafusos poder ser usado (imediatamente ou após ser
cortado).
R: 0,95
R: 0,0861
Exercícios
7) De todas as falhas de soldagem em uma determinada montagem, 85%
delas ocorrem no próprio metal soldado e as 15% restantes ocorrem no
metal base. Uma amostra de 20 soldas defeituosas é examinada.
a. Qual é a probabilidade de exatamente cinco delas estarem
defeituosas no metal base?
b. Qual é a probabilidade de menos do que quatro delas estarem
defeituosas no metal base?
c. Qual é a probabilidade de nenhuma delas estar defeituosa no metal
base?
d. Determine o número médio de defeitos no metal base.
e. Determine o desvio padrão do número de falhas no metal base.
R: 0,1028
R: 0,6477
R: 0,0388
R: 3
R: 1,597
Exercícios
8) O número de acessos em determinado website segue uma distribuição
de Poisson com uma taxa média de 4 por minuto.
a. Qual é a probabilidade de 5 mensagens serem recebidas em um
determinado minuto?
b. Qual é a probabilidade de 9 mensagens serem recebidas em 1,5
minuto?
c. Qual é a probabilidade de menos de 3 mensagens serem recebidas
em um período de 30 segundos?
R: 0,1563
R: 0,0688
R: 0,6767
Exercícios
9) Uma rede de sensores consiste em um grande número de
microprocessadores espalhados ao longo de uma área que se
comunicam entre si e com a estação base. Em uma determinada rede,
a probabilidade de uma mensagem não chegar à estação base é 0,005.
Considere que durante um determinado dia, 1.000 mensagens foram
enviadas.
a. Qual é a probabilidade de exatamente três das mensagens não
chegarem à estação base?
b. Qual é a probabilidade de menos de 994 mensagens chegarem à
estação base?
c. Qual é o número médio de mensagens que não chegam à estação
base?
d. Qual é o desvio padrão do número de mensagens que não chegam
à estação base? R: 2,2361
R: 0,1404
R: 0,2378
R: 5
Exercícios
10) A probabilidade de que um presumível cliente aleatoriamente escolhido
faça uma compra é de 20%. Se um vendedor visita seis presumíveis
clientes, qual a probabilidade de que ele faça no mínimo quatro vendas?
11) Se a probabilidade de um indivíduo acusar reação negativa a injeção de
determinado soro é 0,1%. Determine a probabilidade de que, em 1000
indivíduos, exatamente 3 acusarem reação.
12) No fichário de um hospital, estão arquivados os prontuários de 20
pacientes, que deram entrada noPS apresentando algum problema
cardíaco. Destes 5 sofreram infarto. Retirando‐se uma amostra ao acaso
de 3 destes prontuários, qual a probabilidade de que dois deles sejam
de pacientes que sofreram infarto?
R: 0,01696
R: 0,061
R: 0,1315
Exercícios
13) A nota em um exame de proficiência em línguas estrangeiras é um
critério importante utilizado por uma empresa que exige que candidatos
a vagas oferecidas por ela obtenham uma nota mínima de 8,5 pontos.
Historicamente, apenas 27,5% dos candidatos costuma ser aprovados
no exame dessa empresa. Se seis candidatos tentam uma vaga, qual é
a probabilidade de pelo menos cinco deles atenderem a exigência da
empresa?
14) 51% dos trabalhadores são confiantes que se aposentarão com um
estilo de vida confortável. Você seleciona aleatoriamente 10 adultos.
Determine a probabilidade de que o número de trabalhadores que são
confiantes que se aposentarão com estilo de vida confortável seja:
a. Exatamente dois.
b. Mais que dois.
R: ~ 0,73%
R: 0,039
R: 0,952
Exercícios
15) Um empresário promete um bônus equivalente a 30% do salário para
cada vendedor que conseguir vender 3 ou mais unidades de seu
produto por hora. Sabendo-se que a probabilidade de um vendedor
ganhar o bônus é 35%, se uma loja trabalha com 4 vendedores, qual é
a probabilidade de pelo menos um de seus vendedores ganhar o
bônus?
16) Se sete cartas são retiradas de um baralho comum com 52 cartas, qual
a probabilidade de que:
a) Exatamente duas delas sejam cartas com figuras?
b) Pelo menos uma carta seja uma dama?
R: 82,15%
R: 0,3246
R: 0,4496
Exercícios
17) Uma empresa está interessada em avaliar seu procedimento atual de
inspeção de carregamentos de 50 itens idênticos, com no máximo 20%
de itens defeituosos. O procedimento é retirar uma amostra de cinco
itens e liberar o carregamento se não mais que dois itens forem
defeituosos. Qual a proporção dos carregamentos defeituosos será
aceita?
18) Na inspeção de qualidade de um produto são utilizadas quatro
categorias para classificação: conforme, aproveitável, reciclável e
refugado. As probabilidades de pertencer a cada um dos grupos são,
respectiva mente: p1 = 0,70 , p2 = 0,15 , p3 = 0,10 e p4 = 0,05. Em um
lote de 10 unidades, qual a probabilidade de se encontrar seis unidades
conformes, duas aproveitáveis, uma reciclável e uma refugada ?
R: 0,9517
R: 0,033