lista_exercicios_1_fdc_01_2019

Prévia do material em texto

PROFMAT - Departamento de Matema´tica
Fundamentos de Ca´lculo - 01/2019
Primeira Lista de Exerc´ıcios
1. Deˆ um exemplo de um conjunto de nu´meros irracionais que possuem um supremo racional.
2. Se S e´ um subconjunto limitado de R e se S0 e´ um subconjunto na˜o-vazio de S, mostre que inf S ≤ inf S0 ≤
supS0 ≤ supS.
3. Seja (xn) uma sequeˆncia em R que converge para x. Mostre que lim |xn| = |x|.
4. Seja b ∈ R tal que 0 < b < 1. Mostre usando o teorema binomial que lim(nbn) = 0.
5. Seja (xn) uma sequeˆncia de nu´meros reais estritamente positvos tal que lim(xn+1/xn) < 1. Mostre que para
algum r com 0 < r < 1 e algum C > 0 tem-se que 0 < xn < Cr
n para n ∈ N suficientemente grande. Use
esse resulado para mostrar que limxn = 0.
6. Se xn =
√
n+ 1−√n, enta˜o as sequeˆncias (xn) e (
√
nxn) convergem?
7. Seja (xn) uma sequeˆncia em R tal que as subsequeˆncias (x2n) e (x2n+1) convergem pra x ∈ R. Mostre que
limxn = x.
8. Se 0 < a ≤ b e se xn = (an + bn)1/n, enta˜o limxn = b.
1