Metodos Quantitativos - Secao 09 - EC 2016 1

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Seção 9EC 2016 1 1
Métodos Quantitativos
Prof. Gerson Lachtermacher
Prof. Paulo Sérgio de Souza Coelho
Seção 9EC 2016 1 2
 Problemas do mundo real
 Fazer ou comprar?
 Como investir?
 Escala de funcionários
 Problema de mistura
 Produção e estoque
 Fluxo de caixa multiperíodos
Conteúdo da Seção
Seção 9EC 2016 1 3
 A LCL Liquidificadores Ltda. recebeu recentemente um pedido para
fornecimento de 5.500 unidades.
 Cada liquidificador necessita de um determinado número de horas de
trabalho nos setores de montagem, teste e empacotamento.
 A LCL pode terceirizar, a montagem ou o teste, de parte ou a totalidade
de sua produção.
 A tabela a seguir resume essas informações necessárias para resolver o
problema da necessidade de terceirização.
Fazer X Comprar
Caso LCL Liquidificadores Ltda.
Modelo 1 2 3 Capacidade
Demanda (unid) 2000 2000 1500
Montagem(h/unid) 1 2 0,5 6000 h
Teste(h/unid) 1 1 1 5000 h
Empacotamento 
(h/unid)
2,5 1 4 15000 h
Custo de Produzir (R$) 40 80 110
Custo de Terceirizar (R$) 60 90 140
Seção 9EC 2016 1 4
 Variáveis de Decisão
 P1 – Qtde. de liquidificadores do modelo 1 produzida pela LCL.
 P2 – Qtde. de liquidificadores do modelo 2 produzida pela LCL.
 P3 – Qtde. de liquidificadores do modelo 3 produzida pela LCL.
 T1 – Qtde. de liquidificadores do modelo 1 terceirizada pela LCL.
 T2 – Qtde. de liquidificadores do modelo 2 terceirizada pela LCL.
 T3 – Qtde. de liquidificadores do modelo 3 terceirizada pela LCL.
Caso LCL Liquidificadores Ltda.
Seção 9EC 2016 1 5
 Função-objetivo – Custo Total
 Restrição – Capacidade de Montagem e de Teste
 Restrição – Capacidade de Embalagem
Caso LCL Liquidificadores Ltda.     1 2 3 1 2 3 40 80 110 60 90 140Min P P P T T T  1 2 32 0,5 6000P P P  1 2 3 5000P P P      1 1 2 2 3 32,5 2,5 4 4 15000P T P T P T
As quantidades terceirizadas não 
consomem as horas disponíveis de 
montagem e teste! 
As quantidades terceirizadas consomem 
as horas disponíveis de embalagem! 
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 Quantidade total produzida do liquidificador do tipo 1:
 Quantidade total produzida do liquidificador do tipo 2:
 Quantidade total produzida do liquidificador do tipo 3:
 Condições de não negatividade
Caso LCL Liquidificadores Ltda.  1 1 2000P T
1 1 2 2 3 3, , , , , 0P T P T P T
 2 2 2000P T 3 3 1500P T
Seção 9EC 2016 1 7
Caso LCL Liquidificadores Ltda. 
O Modelo Completo
     
  
  
     
 
 
 

1 2 3 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 1 2 2 3 3
1 1
2 2
3 3
1 2 3 1 2 3
 40 80 110 60 90 140
. .
1 2 0,5 6000
1 1 1 5000
2,5 2,5 4 4 15000
 2000
 2000
 1500
, , , , , 0
Min Z P P P T T T
s r
P P P
P P P
P T P T P T
P T
P T
P T
P P P T T T
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Caso LCL Liquidificadores Ltda.
Modelo 1
Seção 9EC 2016 1 9
Modelo 1
Parâmetros do Solver
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Caso LCL Liquidificadores Ltda.
Resposta do Modelo 1
Seção 9EC 2016 1 11
 Podemos criar uma estrutura alternativa no Excel, explorando as
dimensões da planilha.
 Esse novo modelo pode usar mais informações do negócio, e
menos informações matemáticas.
Caso LCL Liquidificadores Ltda.
Modelo 2
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Caso LCL Liquidificadores Ltda.
Modelo 2
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Modelo 2
Parâmetros do Solver
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Caso LCL Liquidificadores Ltda.
Resposta do Modelo 2
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 A LCL Investimentos S.A. gerencia
recursos de terceiros por meio da
escolha de carteiras de investimento
para diversos clientes, baseados em
bonds de diversas empresas. Um de
seus clientes exige que:
Não mais de 25% do total seja
aplicado em um único investimento.
Mais de 50% do total deve ser
aplicado em títulos de bancos.
O total aplicado em títulos de
telefonia deve ser no máximo de 30%
do total investido.
 A tabela ao lado mostra os dados dos
títulos selecionados.
Caso LCL Previdência Privada S.A.
Opção
Retorno
Anual
Banco 1 9,7%
Banco 2 9,5%
Banco 3 10,0%
Telecom 1 8,0%
Telecom 2 9,0%
Telecom 3 10,0%
Seção 9EC 2016 1 16
 Variáveis de Decisão
B1 – Proporção do total aplicado no Banco 1.
B2 – Proporção do total aplicado no Banco 2.
B3 – Proporção do total aplicado no Banco 3.
 T1 – Proporção do total aplicado no Telecom 1.
 T2 – Proporção do total aplicado no Telecom 2.
 T3 – Proporção do total aplicado no Telecom 3.
 Cada variável assume um valor entre 0 e 1, sendo a
representação decimal da proporção.
 Exemplo: 16% no Banco 1 significa B1 = 0,16.
Caso LCL Previdência Privada S.A.
Seção 9EC 2016 1 17
 Função Objetivo
 Restrição de Orçamento
 Restrições de Máximo de Aplicação em cada Título
Caso LCL Previdência Privada S.A.     1 2 3 1 2 30,097 0,095 0,010 0,080 0,090 0,010Max B B B T T T     1 2 3 1 2 3 1B B B T T T
  
  
1 2 3
1 2 3
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0,25
B B B
T T T
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 Restrição de Mínimo de Aplicação em Título de Banco
 Restrição de Máximo de Aplicação em Títulos de Telecomunicação
 Condições de não negatividade
Caso LCL Previdência Privada S.A.   1 2 3 50B B B  1 2 3 30T T T 1 2 3 1 2 3, , , , , 0B B B T T T
Seção 9EC 2016 1 19
Caso LCL Previdência Privada S.A.
Modelo
Seção 9EC 2016 1 20
Caso LCL Previdência Privada S.A.
Parâmetros do Solver
Seção 9EC 2016 1 21
Caso LCL Previdência Privada S.A.
Solução do Solver
Seção 9EC 2016 1 22
 A LCL Shopping Ltda. está se preparando para iniciar suas
atividades. Foi feita uma estimativa com o mínimo de seguranças
por dia da semana:
 O sindicato dos seguranças mantém um acordo trabalhista que
determina que cada empregado deve trabalhar três dias
consecutivos por semana e que os shoppings devem ter apenas
empregados em regime de horário integral (24h).
 O shopping só abrirá de segunda a sábado.
 Qual a quantidade mínima de empregados que a LCL Shopping
deve contratar de maneira a atender o acordo sindical e as
quantidades mínimas nos dias que irá funcionar?
Caso LCL Shopping Ltda 
Dia da
Semana
Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado
Quantidade
Mínima
10 12 13 14 16 17
Seção 9EC 2016 1 23
 Os funcionários serão agrupados segundo o dia da semana em que
eles começam a trabalhar:
 N2 – Qtde. de funcionários que começam na segunda.
 N3 – Qtde. de funcionários que começam na terça.
 N4 – Qtde. de funcionários que começam na quarta.
 N5 – Qtde. de funcionários que começam na quinta.
 Veja que nenhum funcionário começa a trabalhar na sexta, no
sábado ou no próprio domingo, pois o shopping não abre neste
dia.
Caso LCL Shopping Ltda.
Variáveis de Decisão
Seção 9EC 2016 1 24
 A tabela abaixo mostra quais funcionários estarão trabalhando em 
cada dia da semana:
Caso LCL Shopping Ltda.
Variáveis de Decisão
Dia seg ter qua qui sex sab
N2 x x x
N3 x x x
N4 x x x
N5 x x x
Jornada dos 
funcionários que 
começam na 
segunda
Quais funcionários estão trabalhando na quarta
Seção 9EC 2016 1 25
 Função Objetivo
 Restrições de quantidade mínima de funcionários por dia da
semana:
Caso LCL Shopping Ltda.
Modelo Matemático    2 3 4 5 Min Z N N N N

 
  
  
 

2
2 3
2 3 4
3 4 5
4 5
5
10
12 
13
14 
16
17
N
N N
N N N
N N N
N N
N
segunda
terça
quarta
quinta
sexta
sábado
 Condições de não
negatividade:
2 3 4 5, , , 0N N N N
Seção 9EC 2016 1 26
Caso LCL Shopping Ltda.
Modelo no Excel
Seção 9EC 2016 1 27
Caso LCL Shopping Ltda.
Parâmetros doSolver
Seção 9EC 2016 1 28
Caso LCL Shopping Ltda.
Solução do Solver
Seção 9EC 2016 1 29
Caso LCL Shopping Ltda.
Modelo 2
Como C3 = 1 e C4, C5 e C6 são 
iguais a zero, o resultado desta 
função é apenas o valor de N2
Como D3 e D4 são iguais a 
um e C5 e C6 são iguais a 
zero, o resultado desta 
função é igual a N2 + N3
Seção 9EC 2016 1 30
Caso LCL Shopping Ltda. (modelo 2)
Parâmetros do Solver
Seção 9EC 2016 1 31
Caso LCL Shopping Ltda. (modelo 2)
Solução do Solver
As duas formas de resolver 
apontaram para a mesma 
solução ótima.
Seção 9EC 2016 1 32
 Ao suprimir as variáveis referentes aos funcionários que
trabalhariam no domingo, usamos um racional simplificador.
 Se não usássemos, teríamos o mesmo resultado final:
Caso LCL Shopping Ltda.
Modelo 3
Seção 9EC 2016 1 33
 Industrializa perfume e desodorante, que são vendidos no atacado
por R$100 e R$80 cada litro, respectivamente;
 Usam 3 insumos: diluente, fixador e fragrância, que estão
disponíveis nas quantidades de 400, 150 e 100 litros, e custam
R$20, R$35 e R$60 cada litro, respectivamente;
 Ao produzir o perfume é necessário garantir que no máximo 30%
do volume seja fixador e no mínimo 20% seja fragrância;
 Ao produzir o desodorante é necessário garantir que pelo menos
50% do volume seja de fixador e, no máximo 10% seja de
fragrância;
 A LCL tem um contrato de entregar 200 litros de perfume e 300
litros de desodorante para o seu distribuidor.
 Como a LCL deve produzir de forma a maximizar o lucro total?
Caso LCL Perfumaria
Seção 9EC 2016 1 34
 A decisão é quanto de cada insumo colocar na composição de cada produto. 
Podemos desenhar as variáveis como:
 Xij – quantidade do insumo i no produto j
sendo i = 1 para diluente, i = 2 para fixador e i = 3 para fragrância. E j = 1 para 
perfume e j = 2 para desodorante 
 São então 6 variáveis ao todo:
 X11: quantidade de diluente na composição do perfume
 X21: quantidade de fixador na composição do perfume
 X31: quantidade de fragrância na composição do perfume
 X12: quantidade de diluente na composição do desodorante
 X22: quantidade de fixador na composição do desodorante
 X32: quantidade de fragrância na composição do desodorante
Caso LCL Perfumaria
Variáveis de Decisão
Seção 9EC 2016 1 35
 Vamos criar 5 variáveis auxiliares que 
simbolizarão os totais produzidos (Pe
para perfume e De para Desodorante) 
e os totais de insumo utilizados (Di
para Diluente, Fi para Fixador e Fr para 
fragrância)
 As variáveis auxiliares têm o papel de 
simplificar o modelo
 Poderiam ser suprimidas sem que o 
modelo perdesse a capacidade de 
chegar à solução ótima
Caso LCL Perfumaria
Variáveis Auxiliares 11 21 31Pe x x x  12 22 32De x x x  
11 12Di x x 21 22Fi x x 31 32Fr x x 
Quantidades Produzidas
Insumos Consumidos
Seção 9EC 2016 1 36
 Função Objetivo
 Restrições de Demanda
 Restrições de Insumos
Caso LCL Perfumaria
Modelo Matemático 100 80 20 35 60Max Pe De Di Fi Fr   
200Pe  300De 
400Di 150Fi  100Fr 
 Restrições de Fórmula 21 0,3x Pe
31 0,2x Pe
22 0,5x De
32 0,1x De
Fixador ≤ 0,3
Total de
Perfume
Fragrância ≥ 0,2
Total de
Perfume
Fixador ≥ 0,5
Total de
Desodorante
Fragrância ≤ 0,1
Total de
Desodorante
Seção 9EC 2016 1 37
 Função Objetivo
 Restrições de Demanda
 Restrições de Insumos
Caso LCL Perfumaria
Modelo Matemático – sem variáveis auxiliares
11 21 31 200x x x  12 22 32 300x x x  
11 12 400x x 21 22 150x x 31 32 100x x 
11 12 21 22 31 3280 60 65 45 40 20Max x x x x x x    
 Restrições de Fórmula
 21 11 21 310,3x x x x   31 11 21 310,2x x x x   22 12 22 320,5x x x x   32 12 22 320,1x x x x  
Seção 9EC 2016 1 38
 Criamos restrições onde o RHS não é uma constante, é uma 
expressão envolvendo fórmulas;
 O Solver/Excel é uma ferramenta que não requer que o RHS seja uma 
constante
 Todavia, qualquer restrição poderia ser reescrita de forma que 
apenas uma constante numérica ficasse no lado direito da 
restrição:
Sobre o LHS e RHS das restrições
21 0,3x Pe
21 0,3 0x Pe 
 21 11 21 310,3x x x x  
11 21 310,3 0,7 0,3 0x x x  
Seção 9EC 2016 1 39
Caso LCL Perfumaria
Modelo no Excel
Seção 9EC 2016 1 40
Caso LCL Perfumaria
Parâmetros do Solver
Seção 9EC 2016 1 41
Caso LCL Perfumaria
Solução do Excel
Seção 9EC 2016 1 42
 A LCL Trading Ltda. possui um armazém com capacidade de
armazenamento de 300.000 toneladas de grãos.
 No início do mês de janeiro a LCL tinha 17.000 toneladas de grãos
de trigo armazenadas.
 Em cada mês é possível comprar ou vender trigo a preços pré-
fixados pelo governo (tabela a seguir), em qualquer quantidade
desejada.
 Por questões fiscais, só é possível vender em cada mês o que
estava estocado no início deste mês (no fim do mês anterior).
 Como a LCL Trading deve planejar suas operações de compra e
venda nos próximos 6 meses de forma a maximizar seu lucro?
Caso LCL Trading Ltda. 
Seção 9EC 2016 1 43
Caso LCL Trading Ltda.
Mês
Preço de Venda 
(R$/ton)
Custo de Compra 
(R$/ton)
Janeiro 3 5
Fevereiro 4 7
Março 8 2
Abril 2 5
Maio 4 3
Junho 5 3
Seção 9EC 2016 1 44
 Variáveis de Decisão
QCi – Quantidade de Grãos Comprados no mês i
QVi – Quantidade de Grãos Vendidos no mês i
 Variáveis Auxiliares
 SFi – Saldo Final no mês i
 SF0 – Saldo Final em Dezembro anterior = 17000 ton.
Caso LCL Trading Ltda.
Variáveis no Modelo
Seção 9EC 2016 1 45
Caso LCL Trading Ltda.
Função Objetivo Lucro = Receita - CustoMax
 

 
     

6
1
1 2 3 4 5 6
Receita Preço
3 4 8 2 4 5
i i
i
QV
QV QV QV QV QV QV
 

 
     

6
1
1 2 3 4 5 6
Custo Custo
5 7 2 5 3 3
i i
i
QC
QC QC QC QC QC QC
Seção 9EC 2016 1 46
 Restrições Auxiliares de Saldo Armazenado
Caso LCL Trading Ltda.
Restrições
   1 para 1...6i i i iSF SF QC QV i
  1 0 1 1SF SF QC QVSaldo ao Final do 
Mês
Saldo ao 
Final do 
Mês 
Anterior
Quantidade 
Comprada
Quantidade 
Vendida
= + –   2 1 2 2SF SF QC QV  3 2 3 3SF SF QC QV  4 3 4 4SF SF QC QV  5 4 5 5SF SF QC QV  6 5 6 6SF SF QC QV
Seção 9EC 2016 1 47
Caso LCL Trading Ltda.
Restrições (cont.)
 Restrições de Armazenagem  Restrições de Quantidade 
Vendida
 300.000 para 1...6iSF i 1 para 1...6i iQV SF i1 300.000SF 2 300.000SF 3 300.000SF 4 300.000SF 5 300.000SF 6 300.000SF
1 0QV SF2 1QV SF3 2QV SF4 3QV SF5 4QV SF6 5QV SF
 E mais a condição inicial:
0 17.000SF
Seção 9EC 2016 1 48
Caso LCL Trading Ltda. 
O Modelo no Excel 
Seção 9EC 2016 1 49
Caso LCL Trading Ltda. 
Parâmetros do Solver
Atenção para a 
comparação com a 
linha referente ao 
mês anterior
Seção 9EC 2016 1 50
Caso LCL Trading Ltda. 
Solução do Excel
Seção 9EC 2016 1 51
 A LCL Supermercados Ltda. vai construir uma nova loja para aumentar a 
sua rede.
 O total R$ 1.500.000,00 da obra será pago a construtora em três 
parcelas de R$ 400.000,00 no 3º, 6º e 9º mês e uma parcela de R$ 
300.000,00 no 11º mês, quando se espera que a construção esteja 
terminada.
 A empresa dispõe de 4 tipos de investimentos (tabela abaixo) que 
podem ser utilizados a fim de gerar caixa para quitar a construção de 
maneira a reduzir a necessidade total de caixa.
Caso LCL Supermercados Ltda.
Investimento
Mês em que 
está disponível
Tempo (meses) 
até o resgate
Rendimento 
Efetivo
Tipo A todos 1 2,5%
Tipo B 1,3,5,7,9 2 5,2%
Tipo C 1,4,7 3 8,5%
Tipo D 1 7 16,0%
Seção 9EC 2016 1 52
 Ai– Valor investido no mês i na aplicação A (i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10)
 Bi – Valor investido no mês i na aplicação B (i=1,3,5,7,9)
 Ci – Valor investido no mês i na aplicação C (i=1,4,7)
 Di – Valor investido no mês i na aplicação D (i=1)
 O investimento A está disponível em todos os meses, mas os 
demais investimentos não. 
 Por isso, não há as variáveis B2, B4, C2, C3, D2, etc.
Caso LCL Supermercados Ltda.
Variáveis de Decisão
Seção 9EC 2016 1 53
 Premissa do Modelo:
 Em todos os meses, todo o capital disponível será usado para 
pagamento de alguma parcela ou será investido
• No primeiro mês o capital disponível será o valor investido para 
pagamento das parcelas
• Nos demais meses o capital disponível será proveniente dos 
resgates
 Função Objetivo
 O objetivo é fazer o menor investimento inicial possível, de forma 
que os resgates futuros sejam suficientes para realizar os 
pagamentos programados.
Caso LCL Supermercados Ltda.
Modelo Matemático
1 1 1 1 Min A B C D  
Seção 9EC 2016 1 54
 Restrições
 Observações:
 No primeiro mês não há resgate, portanto não há restrição;
 O total pago será diferente de zero somente nos meses 3, 6, 9 e 11
 A restrição pode ser reescrita da forma abaixo, que é como é mais 
facilmente modelada no Excel:
Caso LCL Supermercados Ltda.
Modelo Matemático (cont.)
     
     
      
     
     
Total Total Total
resgatado investido pago para i = 2, 3, ..., 10
no mês no mês no mês
i i i
     
     
      
     
     
Total Total Total
resgatado investido pago
no mês no mês no mês
i i i
Seção 9EC 2016 1 55
Caso LCL Supermercados Ltda.
Modelo no Excel
Seção 9EC 2016 1 56
Caso LCL Supermercados Ltda.
Parâmetros do Solver
Seção 9EC 2016 1 57
Caso LCL Supermercados Ltda.
Parâmetros do Solver