Espaços Vetoriais - Algebra Linear

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CAPI´TULO 2
ESPAC¸OS VETORIAIS
2.1 Espac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 2.1. Um espac¸o vetorial consiste em:
(1) Um conjunto na˜o vazio V de objetos, denominados vetores.
(2) Um corpo de nu´meros (escalares), denotado por IF .
(3) Uma operac¸a˜o de adic¸a˜o de vetores de V , que a cada par de elementos u, v ∈ V
associa um elemento u+ v ∈ V e satisfaz as seguintes propriedades:
A1 u+ v = v + u para quaisquer u e v em V ; comutativa.
A2 (u+ v) + w = u+ (v + w) para quaisquer u, v e w em V ; associativa.
A3 Existe um elemento 0V em V tal que
u+ 0V = u
para todo u em V ; existeˆncia de elemento neutro.
A4 Para todo elemento u em V existe o elemento −u tambe´m em V tal que
u+ (−u) = 0V ;
existeˆncia de elemento sime´trico.
(4) Uma operac¸a˜o de multiplicac¸a˜o por escalar, que a cada par de elementos u ∈ V e
α ∈ IF associa um elemento α · u ∈ V e satisfaz as seguintes propriedades:
M1 α · (β · u) = (α · β) · u para quaisquer u ∈ V e α e β em IF .
M2 α · (u + v) = α · u + α · v para quaisquer u e v em V e todo e α em IF ;
distributiva da adic¸a˜o.
40
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 41
M3 (α+β)·u = α·u+β ·u para todo u ∈ V e quaisquer e α e β em IF ; distributiva
da multiplicac¸a˜o por escalar.
M4 Existe 1IF tal que 1IF · u = u para todo u ∈ V ; existeˆncia de unidade.
Observac¸o˜es:
1. Tambe´m denotamos o espac¸o vetorial V por (V, +, ·), com + a adic¸a˜o de vetores e ·
a multiplicac¸a˜o por escalar.
2. Tambe´m denominamos o espac¸o vetorial V por espac¸o vetorial sobre o corpo IF .
3. No caso em que IF = IR, dizemos que V e´ um espac¸o vetorial real.
4. No caso em que IF = C, dizemos que V e´ um espac¸o vetorial complexo.
5. O elemento neutro da adic¸a˜o e´ u´nico.
De fato, se existissem dois elementos neutros 0V e 0
′
V ter´ıamos:
0V = 0V + 0
′
V = 0
′
V + 0V = 0
′
V ,
provando a unicidade.
6. Para cada u ∈ V existe um u´nico sime´trico em relac¸a˜o a` adic¸a˜o.
De fato, se u tivesse dois sime´tricos −u e −u′ ter´ıamos:
(−u) = 0V + (−u) =
(
u+ (−u′)
)
+ (−u) =
(
u+ (−u)
)
+ (−u′) = 0V + (−u
′) = −u′,
provando a unicidade.
2.1.1 Exemplos de Espac¸os Vetoriais
Alguns conjuntos nume´ricos que conhecemos teˆm estrutura espac¸os vetoriais tais como:
Exemplos:
1. O conjunto do nu´meros reais, IR, com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o
de nu´meros reais, e´ um espac¸o vetorial real.
2. O conjunto do nu´meros complexos, C, com as operac¸o˜es usuais de adic¸a˜o e multi-
plicac¸a˜o de nu´meros complexos, e´ um espac¸o vetorial complexo, considerando o corpo
dos escalares como sendo IF = C.
Tambe´m podemos considerar o conjunto do nu´meros complexos, C, com corpo de
escalares IF = IR. Neste caso, C e´ um espac¸o vetorial real.
SEC¸A˜O 2.1 • ESPAC¸OS VETORIAIS 42
Espac¸os Vetoriais Euclidianos
Sabemos que IR e´ o conjunto dos nu´meros reais.
O IR2 e´ o produto cartesiano IR × IR, ou seja, e´ o conjunto de todos os pares ordenados
(x, y) de nu´meros reais.
Assim,
IR2 = {(x, y); x e y ∈ IR}.
Analogamente, IR3 e´ o produto cartesiano IR× IR× IR, ou seja, e´ o conjunto de todas as
ternas ordenadas (x, y, z) de nu´meros reais.
Logo,
IR3 = {(x, y, z); x, y e z ∈ IR}.
De modo geral, IRn, com n ∈ IN e n ≥ 2, e´ o produto cartesiano IR× IR× · · · × IR︸ ︷︷ ︸
n vezes
, ou
seja, e´ o conjunto de todas n-uplas (x1, x2, · · · , xn) de nu´meros reais.
Portanto,
IRn = {(x1, x2, · · · , xn); x1, x2, · · · , xn ∈ IR}.
Observac¸a˜o:
Podemos denotar os elementos de IRn como matriz linha ou matriz coluna, por exemplo,
u = (x1, x2, · · · , xn) =
[
x1 x2 · · · xn
]
=


x1
x2
...
xn

 .
Igualdade em IRn
Dados u = (x1, x2, · · · , xn) e v = (y1, y2, · · · , yn) em IR
n temos:
u = v ⇐⇒ (x1, x2, · · · , xn) = (y1, y2, · · · , yn)⇐⇒


x1 = y1
x2 = y2
...
xn = yn
Adic¸a˜o em IRn
Dados u = (x1, x2, · · · , xn) e v = (y1, y2, · · · , yn) em IR
n, a adic¸a˜o de u e v, denotada
por u+ v e´ dada por:
u+ v = (x1, x2, · · · , xn) + (y1, y2, · · · , yn) = (x1 + y1, x2 + y2, · · · , xn + yn).
Propriedades da Adic¸a˜o em IRn
Sejam u = (x1, x2, · · · , xn), v = (y1, y2, · · · , yn) e w = (z1, z2, · · · , zn) elementos quaisquer
em IRn e 0IRn = (0, 0, · · · , 0)︸ ︷︷ ︸
n−upla de zeros
, denotemos por −u = (−x1,−x2, · · · ,−xn), enta˜o valem:
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 43
A1 u+ v = v + u.
A2 (u+ v) + w = u+ (v + w).
A3 u+ 0IRn = u.
A4 u+ (−u) = 0IRn .
Multiplicac¸a˜o por Escalar em IRn
Dados u = (x1, x2, · · · , xn) em IR
n e α ∈ IR a multiplicac¸a˜o de u por α, denotada por
α · u e´ dada por:
α · u = α · (x1, x2, · · · , xn) = (α · x1, α · x2, · · · , α · xn).
Propriedades da Multiplicac¸a˜o por Escalar em IRn
Sejam u = (x1, x2, · · · , xn) e v = (y1, y2, · · · , yn) elementos quaisquer em IR
n, α e β em
IR, enta˜o valem:
ME1 α · (u+ v) = α · u+ α · v.
ME2 (α + β) · u = α · u+ β · u.
ME3 (α · β) · u = α · (β · u).
ME4 1 · u = u.
Das propriedades A1−A4 e ME1−ME4 segue que IR
n, com a adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por
escalar definidas acima, e´ um espac¸o vetorial real. Chamado espac¸o vetorial euclidiano.
Observac¸a˜o: De maneira ana´loga definimos em Cn = {(z1, · · · , zn); z1, · · · , zn ∈ C}, con-
junto de todas as n-uplas complexas, a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o por escalar.
No caso em que os escalares sa˜o nu´meros reais damos a Cn uma estrutura de espac¸o
vetorial real; e no caso que os escalares sa˜o nu´meros complexo Cn e´ um espac¸o vetorial
complexo.
Exerc´ıcio: Considere o conjunto V = {(x, y) ∈ IR2; x > 0} com as operac¸o˜es:
Adic¸a˜o: (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 · x2, y1 + y2).
Multiplicac¸a˜o por Escalar: α⊙ (x, y) = (xα, α · y), para todo α ∈ IR.
(a) Mostre que V e´ um espac¸o vetorial real.
(b) Exiba o elemento neutro da adic¸a˜o ⊕.
(c) Exiba o sime´trico aditivo de (x, y).
(d) Exiba a unidade da operac¸a˜o ⊙.
Soluc¸a˜o:
SEC¸A˜O 2.1 • ESPAC¸OS VETORIAIS 44
• A adic¸a˜o esta´ bem definida, pois dados (x1, y1) e (x2, y2) em V , enta˜o x1 > 0 e x2 > 0.
Como (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 · x2, y1 + y2) ∈ V, pois x1︸︷︷︸
>0
· x2︸︷︷︸
>0
> 0.
• A multiplicac¸a˜o por escalar esta´ bem definida, pois dados (x, y) em V , enta˜o x > 0.
Como α⊙ (x, y)⊕ (x2, y2) = (x
α, α · y) ∈ V, pois xα
x>0
> 0.
• (x1, y1)⊕ (x2, y2) = (x1 ·x2, y1+y2) = (x2 ·x1, y2+y1) = (x2, y2)⊕ (x1, y1), portanto
⊕ e´ comutativa.
•
(
(x1, y1)⊕(x2, y2)
)
⊕(x3, y3) = (x2 ·x1, y2+y1)⊕(x3, y3) = (x1 ·x2 ·x3, y1+y2+y3) =
(x1, y1)⊕ (x2 ·x3, y2+ y3) = (x1, y1)⊕
(
(x2, y2)⊕ (x3, y3)
)
, portanto ⊕ e´ associativa.
• Existeˆncia de elemento neutro: devemos mostrar que existe (a, b) ∈ V tal que
(x, y)⊕ (a, b) = (x, y) para todo (x, y) ∈ V.
(x, y)⊕ (a, b) = (x, y), ∀ (x, y) ∈ V ⇐⇒ (x · a, y + b) = (x, y), ∀ (x, y) ∈ V
⇐⇒
{
x · a = x
y + b = y
, ∀ ∈ V ⇐⇒
{
a = 1
b = 0
Portanto, o elemento da operac¸a˜o ⊕ e´ 0V = (1, 0).
• Existeˆncia de sime´trico de um elemento (x, y) ∈ V : devemos mostrar que existe (a, b) ∈
V tal que
(x, y)⊕ (a, b) = 0V = (1, 0).
(x, y)⊕(a, b) = (1, 0)⇐⇒ (x·a, y+b) = (1, 0)⇐⇒
{
x · a = 1
y + b = 0
⇐⇒

 a
x>0
= x−1 =
1
x
b = −y
Logo, o elemento sime´trico de (x, y)⊕ e´
(
1
x
, −y
)
.
• α⊙
(
β⊙ (x, y)
)
= α⊙ (xβ, βy) =
(
(xβ)α, α · (β ·y)
)
= (xα·β, α ·β ·y) = (α ·β)⊙ (x, y).
Logo vale a condic¸a˜o M1.
• α ⊙
(
(x1, y1) ⊕ (x2, y2)
)
= α ⊙ (x1 · x2, y1 + y2) =
(
(x1 · x2)
α, α · (y1 + y2)
)
=
(xα1 · x
α
2 , α · y1 + α · y2) = (x
α
1 , α · y1)⊕ (x
α
2 , α · y2).
Logo vale a condic¸a˜o M2.
• (α+β)⊙(x, y) =
(
x(α+β), (α+β)·y
)
= (xα ·xβ, α·y+β ·y) = (xα, α·y)⊕(xβ, α β ·y) =(
α⊙ (x, y)
)
⊕
(
β ⊙ (x, y)
)
.
Logo vale a condic¸a˜o M3.
CAP.2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 45
• A unidade de ⊙, se existir, e´ um nu´mero α ∈ IR tal que
α⊙ (x, y) = (x, y), ∀(x, y) ∈ V.
α⊙ (x, y) = (x, y), ∀(x, y) ∈ V ⇐⇒ (xα, α · y) = (x, y), ∀(x, y) ∈ V
⇐⇒
{
xα = x
α · y = y
, ∀(x, y) ∈ V ⇐⇒ α = 1.
Portanto, a unidade da operac¸a˜o ⊙ e´ o nu´mero 1.
Do desenvolvimento acima conclu´ımos que V com a adic¸a˜o ⊕ e a multiplicac¸a˜o por escalar
⊙ e´ um espac¸o vetorial sobre IR.
Espac¸os Vetoriais de Matrizes
O conjunto da matrizes reais de ordem m × n, que denotamos por Mm×n(IR), com as
operac¸o˜es adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o definidas no cap´ıtulo 1, e´ um espac¸o vetorial real.
Da mesma maneira, o conjunto da matrizes complexas de ordem m× n, que denotamos
por Mm×n(C), tambe´m e´ um espac¸o vetorial.
Sera´ real se o corpo considerado e´ IR; e complexo se IF = C.
Os espac¸os vetoriais acima sa˜o chamados espac¸os de matrizes.
Espac¸os Vetoriais de Func¸o˜es
Consideremos o conjunto de todas func¸o˜es de IR em IR, denotado por F(IR), ou seja,
F(IR) = {f : IR −→ IR; f e´ uma func¸a˜o.}
Em F(IR) definimos a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar da seguinte maneira:
Observac¸o˜es:
1. Denotamos a func¸a˜o nula, indicada por f0, e´ a func¸a˜o que a todo x ∈ IR associa o
nu´mero zero, ou seja,
f0 : IR −→ IR; tal que f0(x) = 0 para todo x ∈ IR.
2. Dada uma func¸a˜o f : IR −→ IR, a sua sime´trica, indicada por −f , e´ a func¸a˜o dada
por
−f : IR −→ IR; tal que (−f)(x) = −f(x) para todo x ∈ IR.
Adic¸a˜o de Func¸o˜es
Sejam f e g func¸o˜es em F(IR), a soma de f e g e´ uma func¸a˜o, denotada por f + g, dada
por:
(f + g)(x) = f(x) + g(x), para todo x ∈ IR.
SEC¸A˜O 2.1 • ESPAC¸OS VETORIAIS 46
E´ claro que f + g ∈ F(IR).
Multiplicac¸a˜o por Escalares em Func¸o˜es
Sejam f func¸a˜o em F(IR) e α ∈ IR, a multiplicac¸a˜o de f pelo escalar α e´ uma func¸a˜o,
denotada por α · f , dada por:
(α · f)(x) = α · f(x), para todo x ∈ IR.
Tambe´m temos α · f ∈ F(IR).
O conjunto F(IR) com as operac¸o˜es adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar definidas acima e´
um espac¸o vetorial real.
Exemplo: O conjunto das func¸o˜es reais cont´ınuas com domı´nio [a, b], com a e b reais e a < b,
e as operac¸o˜es adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar definidas acima, tambe´m tem estrutura de
espac¸o vetorial.
Mais precisamente,
C([a, b]) = {f : [a, b] −→ IR; f e´ uma func¸a˜o cont´ınua},
e´ um espac¸o vetorial real.
Os espac¸os vetoriais acima sa˜o chamados espac¸os de func¸o˜es.
Espac¸os Vetoriais Polinomiais
Agora consideremos o conjunto dos polinoˆmios reais (ou complexos) de grau ≤ n,
para n ∈ IN , com coeficientes reais, denotado por Pn(IR) (ou Pn(C)).
Um elemento de Pn(IR) e´ um polinoˆmio p(t) dado por
p(t) = a0 + a1t + · · · + ant
n,
com os coeficientes a0, a1, · · · , an ∈ IR, para todo t ∈ IR.
Observac¸o˜es:
1. O polinoˆmio nulo, denotado por p0, e´ o polinoˆmio que a todo t ∈ IR associa o nu´mero
zero, ou seja,
p0(t) = 0 para todo t ∈ IR.
2. Dado um polinoˆmio p(t) = a0 + a1t + · · · + ant
n ∈ Pn(IR), o sime´trico de p,
denotado por −p, e´ o polinoˆmio (−p) dado por
−p(t) = −(a0 + a1t + · · · + ant
n) = −a0 − a1t − · · · − ant
n
para todo t ∈ IR.
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 47
Podemos considerar a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o por escalar em Pn(IR) como as definidas
em func¸o˜es.
Assim, Pn(IR) munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar e´ um espac¸o
vetorial real.
Enquanto, que Pn(C) munido das operac¸o˜es de adic¸a˜o e de multiplicac¸a˜o por escalar
sobre IR e´ um espac¸o vetorial real, e se a multiplicac¸a˜o por escalar e´ sobre C, enta˜o Pn(C)
e´ um espac¸o vetorial complexo.
Estes espac¸os vetoriais sa˜o chamados espac¸os de polinoˆmios de grau ≤ n.
Teorema 2.2. (Lei do Cancelamento)
Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IF . Dados u, v e w elementos quaisquer em
V , se u+ v = u+ w, enta˜o v = w.
Demonstrac¸a˜o: Como u + v = u + w, somando (−u) em ambos os lados na igualdade
temos
v = (−u) + u+ v = (−u) + u+ w = w,
como quer´ıamos demonstrar.
Teorema 2.3. Seja V um espac¸o vetorial sobre um corpo IF . Dados u e v elementos quais-
quer em V , existe um u´nico v ∈ V tal que u+ w = v.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos u + w = v, somando (−u) em ambos os lados na igualdade
temos w = (−u) + v.
Portanto, o u´nico w = (−u) + v.
Propriedades de Espac¸os Vetoriais
Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , u, v ∈ V e α, β ∈ IF . Valem as seguintes
propriedades:
EV1 0IF · u = 0V .
EV2 α · 0V = 0V .
EV3 (−α) · u = −(α · u) = α · (−u).
EV4 Se α · u = 0V , enta˜o ou α = 0IF ou u = 0V .
EV5 Se α · u = α · v e α 6= 0IF , enta˜o u = v.
EV6 Se α · u = β · u e u 6= 0V , enta˜o α = β.
EV7 −(u+ v) = (−u) + (−v) = −u− v.
EV8 u+ u = 2u, u+ u+ u = 3u, de um modo geral, u+ u+ · · ·+ u︸ ︷︷ ︸
n vezes
= nu.
Verificac¸a˜o:
SEC¸A˜O 2.1 • ESPAC¸OS VETORIAIS 48
EV1 Seja v = 0IF · u, para todo u ∈ V .
Logo,
v + v = 0IF · u+ 0IF · u = 0IF · (u+ u) = v.
Somando (−v) em ambos os lados da igualdade, obtemos v = 0V .
Portanto, v = 0V .
EV2 Seja w = α · 0V , para todo α ∈ IF .
Logo,
w + w = α · 0V + α · 0V = (α + α) · 0V = w.
Somando (−w) em ambos os lados da igualdade, obtemos w = 0V .
Portanto, w = 0V .
EV3 Observemos que
α · u+ (−α) · u = (−α + α) · u = 0V .
Portanto, −(α · u) = (−α) · u.
De maneira ana´loga mostramos que −(α · u) = α · (−u).
EV4 Se α = 0IF o resultado segue de EV1.
Seja α · u = 0V com α 6= 0IF , enta˜o α e´ invert´ıvel, ou seja, existe um u´nico α
−1 ∈ IF
tal que α−1 · α = 1.
Logo,
u = 1 · u = (α−1 · α) · u = α−1 · (α · u) = α−1 · 0V = 0V .
Consequentemente, u = 0V .
EV5 Como α 6= 0IF , enta˜o α e´ invert´ıvel, e portanto, existe um u´nico α
−1 ∈ IF tal que
α−1 · α = 1.
Logo,
u = (α−1 · α) · u = α−1 · (α · u) = α−1 · (α · v) = (α−1 · α) · v = v.
Consequentemente, u = v.
EV6 Somando −(α · u) em ambos os lados da igualdade α · u = β · u, obtemos
α ·u+
(
− (α ·u)
)
= β ·u+
(
− (α ·u)
)
⇐⇒ 0V = (β−α) ·u
EV4⇐⇒ β−α = 0⇐⇒ α = β.
EV7 Observemos que −(u+ v) = (−1) · (u+ v).
Logo,
−(u+ v) = (−1) · (u+ v)
M2= (−1) · u+ (−1) · v = (−u) + (−v)
EV3= −u− v.
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 49
EV8 A verificac¸a˜o pode ser feita por induc¸a˜o sobre n. No entanto, na˜o a faremos, pois o
conceito de induc¸a˜o foge ao escopo deste texto.
2.2 Subespac¸os Vetoriais
Definic¸a˜o 2.4. Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , dizemos que U um subconjunto
na˜o vazio de V e´ um subespac¸o vetorial de V se, e somente se,
(i) Para quaisquer u1 e u2 em U tivermos u1 + u2 ∈ U .
(ii) U com as operac¸o˜es de adic¸a˜o de vetores e multiplicac¸a˜o por escalar definidas em V e´
um espac¸o vetorial sobre IF .
Exemplos:
1. O subconjunto S = {(x, y)IR2; y = x} e´ um subespac¸o de IR2.
Dados (x1, y1) e (x2, y2) em S temos y1 = x1 e y2, x2.
Logo, (x1, y1) + (x2, y2) = (x1, x1) + (x2, x2) = (x1 + x2, x1 + x2) ∈ S e
α · (x1, y1) = α · (x1, x1) = (α · x1, α · x1) ∈ S.
Ale´m disso, como S ⊂ IR2, portanto a adic¸a˜o e´ comutativa e associativa e as proprie-
dades de multiplicac¸a˜o por escalar M1, M2 e M3 se verificam.
Como (0, 0) ∈ S; dado (x, x) ∈ S temos (−x,−x) ∈ S e 1 · (x, x) = (x, x) ∈ S
Portanto, S e´ subespac¸o vetorial de IR2.
2. O conjunto C0([a, b]) = {f ∈ C([a, b]) tal que f(a) = f(b) = 0} e´ um subespac¸o vetorial
de C([a, b]).
Dados f e g em C0([a, b]) temos f(a) = f(b) = 0 e g(a) = g(b) = 0.
Como (f + g)(a) = f(a) + g(a) = 0 + 0 = 0 e (f + g)(b) = f(a) + g(b) = 0 + 0 = 0,
enta˜o f + g ∈ C0([a, b]).
Como α · f e´ tal que (α · f)(a) = α · f(a) = α · 0 = 0 e (α · f)(b) = α · f(b) = α · 0 = 0,
logo α · f ∈ C0([a, b]).
Ale´m disso, como C0([a, b]) ⊂ C([a, b]), portanto a adic¸a˜o e´ comutativa e associativa e
as propriedades demultiplicac¸a˜o por escalar M1, M2 e M3 se verificam.
Finalmente, f0 ∈ C0([a, b]); dado f ∈ C0([a, b]) temos −f ∈ C0([a, b]), pois (−f)(a) =
−f(a) = 0 e (−f)(b) = −f(b) = 0; e se f ∈ C0([a, b]), temos 1 · f = f ∈ C0([a, b]).
Portanto, C0([a, b]) e´ subespac¸o vetorial de C([a, b]).
SEC¸A˜O 2.2 • SUBESPAC¸OS VETORIAIS 50
3. O subconjunto S = {(x, y, z) ∈ IR3; x + y = z − 1} na˜o e´ subespac¸o de IR3, pois
u1 = (1,−3,−1) e u2 = (0, 1, 2) esta˜o em S, mas
u1 + u2 = (1,−3,−1) + (0, 1, 2) = (1,−2, 1) /∈ S, pois 1 + (−2) = −1 6= 1− 1 = 0.
Teorema 2.5. Seja V um espac¸o vetorial sobre IF , um subconjunto U na˜o vazio V e´ um
subespac¸o vetorial de V se, e somente se,
(i) Para quaisquer elementos u1 e u2 em U tivermos u1 + u2 ∈ U .
(ii) Para todo u ∈ U e todo α ∈ IF tivermos α · u ∈ U.
Demonstrac¸a˜o:
Suponhamos que U e´ subespac¸o vetorial de V , enta˜o U com a adic¸a˜o e a multiplicac¸a˜o
por escalar de V e´ um espac¸o vetorial e portanto valem (i) e (ii).
Reciprocamente, se U satisfaz (i) e (ii), como U ⊂ V , enta˜o as condic¸o˜es A1, A2, M1,
M2, M3 e M4 sa˜o automaticamente satisfeitas, pois sa˜o va´lidas para todos os elementos de
V .
Mostremos enta˜o as condic¸o˜es A3 e A4.
A3 Para todo u ∈ U e todo α ∈ IF , temos α · u ∈ U . Em particular, 0 · u = 0V ∈ U .
Portanto, U possui elemento neutro.
A4 Para todo u ∈ U e todo α ∈ IF , temos α · u ∈ U . Em particular, (−1) · u = −u ∈ U .
Logo, todo elemento de U possui sime´trico em U .
Observac¸o˜es:
1. Segue do teorema 2.5 que se U e´ um subconjunto na˜o vazio de V e 0v /∈ U , enta˜o U
na˜o e´ subespac¸o de V .
2. Todo espac¸o vetorial V tem pelo menos dois subespac¸os vetoriais:
• O pro´prio V .
• O conjunto unita´rio {0V }.
Estes subespac¸os sa˜o chamados subespac¸os triviais de V .
Exemplos:
1. O conjunto U =
{
f ∈ C([a, b]) tal que f(a) = 1
}
na˜o e´ um subespac¸o vetorial de
C([a, b]).
Soluc¸a˜o:
De fato, f0 /∈ U , pois f0(a) = 0 6= 1.
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 51
2. O subconjunto U =
{
p(t) ∈ P3(IR); p(2) = 0 e p
′(−1) = 0
}
e´ um subespac¸o vetorial
de P3(IR.
Soluc¸a˜o:
U 6= ∅, pois o polinoˆmio nulo p0 esta´ em U , ja´ que p0(t) = 0 para todo t ∈ IR e p
′
0
tambe´m e´ o polinoˆmio nulo.
Dados p e q em U e α ∈ IR, enta˜o:
(i) (p+ q)(2) = p(2) + q(2) = 0 + 0 = 0 e (p+ q)′(−1) = p′(−1) + q′(−1) = 0 + 0 = 0,
portanto p+ q ∈ U .
(ii) (α · p)(2) = α · p(2) = α · 0 = 0 e (α · p)′(−1) = α · p′(−1) = α · 0 = 0, portanto
α · p ∈ U .
De (i) e (ii) conclu´ımos que U e´ subespac¸o de P3(IR).
3. (a) O conjunto soluc¸a˜o do sistema homogeˆneo
{
−x+ 3y + z = 0
2x − y − z = 0
e´ um subespac¸o
vetorial de IR3.
A matriz ampliada de S e´
[
−1 3 1 | 0
2 −1 −1 | 0
]
, escalonando obtemos:
[
−1 3 1 | 0
2 −1 −1 | 0
]
∼
[
−1 3 1 | 0
0 5 1 | 0
]
L2 −→ L2 + 2L1
.
Assim, a soluc¸a˜o do sistema e´
{
−x+ 3y + z = 0
5y + z = 0
⇐⇒
{
x = 3y + z
z = −5y
⇐⇒
{
x = −2y
z = −5y
, com y ∈ IR.
Logo, o conjunto soluc¸a˜o do sistema e´
U = {(x, y, z) ∈ IR3; x = −2y e z = −5y}.
U 6= ∅, pois o sistema admite pelo menos a soluc¸a˜o trivial


x = 0
y = 0
z = 0
, portanto,
(0, 0, 0) ∈ U .
(i) Dados (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2) em U temos
{
x1 = −2y1
z1 = −5y1
e
{
x2 = −2y2
z2 = −5y2
Logo,
(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (−2y1, y1, −5y1) + (−2y2, y2, −5y2)
= (−2y1−2y2, y1+y2, −5y1−5y2) =
(
−2(y1+y2), y1+y2, −5(y1+y2)
)
∈ U.
(ii) Ale´m disso,
α · (x1, y1, z1) = α · (−2y1, y1, −5y1) = (−2α · y1, α · y1, −5α · y1) ∈ U.
Portanto, de (i) e (ii) conclu´ımos que U e´ subespac¸o vetorial de IR3.
SEC¸A˜O 2.2 • SUBESPAC¸OS VETORIAIS 52
(b) De modo geral, o conjunto soluc¸a˜o de um sistema homogeˆneo

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = 0
...
am1x1 + am2x2 + · · ·+ amnxn = 0
e´ um subespac¸o vetorial de IRn.
Soluc¸a˜o:
Para mostrar isto vamos escrever o sistema acima na forma matricial:

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

 ·


x1
x2
...
xn

 =


0
0
...
0

 .
Denotemos por U o conjunto soluc¸a˜o do sistema, e´ claro que U 6= ∅, pois o sistema
admite pelo menos a soluc¸a˜o trivial


x1 = 0
x2 = 0
...
xn = 0
, portanto, (0, 0, · · · , 0) ∈ U .
(i) Sejam λ =


λ1
λ2
...
λn

 e µ =


µ1
µ2
...
µn

 em U , enta˜o


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

·


λ1
λ2
...
λn

 =


0
0
...
0

 e


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

·


µ1
µ2
...
µn

 =


0
0
...
0

 .
Logo, 

a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

 ·




λ1
λ2
...
λn

+


µ1
µ2
...
µn




=


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

 ·


λ1
λ2
...
λn

+


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

 ·


µ1
µ2
...
µn


=


0
0
...
0

+


0
0
...
0

 =


0
0
...
0

 .
Portanto, λ+ µ e´ soluc¸a˜o do sistema, ou seja, λ+ µ ∈ U .
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 53
(ii) Dado α ∈ IR, mostremos que α · λ =


α · λ1
α · λ2
...
α · λn

 ∈ U .


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

 ·


α · λ1
α · λ2
...
α · λn

 =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

 ·

 α


λ1
λ2
...
λn




= α ·




a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
am1 am2 · · · amn

 ·


λ1
λ2
...
λn



 = α ·


0
0
...
0

 =


0
0
...
0

 .
De (i) e (ii) conclu´ımos que U e´ subespac¸o vetorial de IRn.
4. O subconjunto de M2(IR) dado por:
U =
{[
x y
z t
]
; x− 2y + 3z = 0
}
e´ um subespac¸o vetorial de M2(IR).
Soluc¸a˜o:
Observemos que
A =
[
x y
z t
]
∈ U ⇐⇒ x− 2y + 3z = 0⇐⇒ x = 2y + 3z ⇐⇒ A =
[
2y − 3z y
z t
]
.
E´ claro que U 6= ∅, pois
[
0 0
0 0
]
∈ U , ja´ que 2 · 0− 3 · 0 = 0.
Sejam A =
[
2y1 − 3z1 y1
z1 t1
]
e B =
[
2y2 − 3z2 y2
z2 t2
]
em U .
(i) Temos
A+B =
[
2y1 − 3z1 y1
z1 t1
]
+
[
2y2 − 3z2 y2
z2 t2
]
=
[
2y1 − 3z1 + (2y2 − 3z2) y1 + y2
z1 + z2 t1 + t1
]
=
[
2(y1 + y2)− 3(z1 + z2) y1 + y2
z1 + z2 t1 + t1
]
.
Portanto, A+B ∈ U
(ii) Dado α ∈ IR, enta˜o
α · A =
[
α · (2y1 − 3z1) α · y1
α · z1 α · t1
]
=
[
2(α · y1)− 3(α · z1) α · y1
α · z1 α · t1
]
.
Logo, α · A ∈ U .
SEC¸A˜O 2.2 • SUBESPAC¸OS VETORIAIS 54
De (i) e (ii) conclu´ımos que U e´ subespac¸o de M2(IR).
5. O subconjunto de Mn(IR) dado por:
U =
{
A ∈Mn(IR); tr(A) = 0
}
e´ um subespac¸o vetorial de Mn(IR).
Soluc¸a˜o:
Como tr(0n×n) = 0, enta˜o U 6= ∅.
(i) Da propriedade TR2 de trac¸o de matrizes quadradas temos:
tr(A+B) = tr(A) + tr(B).
Logo, se A e B esta˜o em U , enta˜o
tr(A+B) = tr(A)︸ ︷︷ ︸
0
+ tr(B)︸ ︷︷ ︸
0
= 0 + 0 = 0.
Portanto, A+B ∈ U .
(ii) Da propriedade TR3 de trac¸o de matrizes quadradas, dado α ∈ IR temos:
tr(α · A) = α ·tr(A).
Logo, se A esta´ em U e α ∈ IR, enta˜o
tr(α · A) = α · tr(A)︸ ︷︷ ︸
0
= α · 0 = 0.
Assim, α · A ∈ U .
De (i) e (ii) segue que U e´ um subespac¸o de Mn(IR).
6. Os seguintes subconjuntos de Mn(IR) definidos por:
U = {A ∈Mn(IR); A
T = A},
W = {A ∈Mn(IR); A
T = −A}
sa˜o subespac¸os vetoriais de Mn(IR).
Soluc¸a˜o:
(a) Como 0Tn×n = 0n×n, enta˜o U 6= ∅.
(i) Sejam A e B esta˜o em U , enta˜o
(A+B)T
T2= AT +BT = A+B.
Portanto, A+B ∈ U .
(ii) Sejam A em U e α ∈ IR, enta˜o
(α · A)T
T3= α · AT = α · A.
Assim, α · A ∈ U .
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 55
De (i) e (ii) segue que U e´ um subespac¸o de Mn(IR).
(b) Como 0Tn×n = 0n×n = −0n×n, enta˜o W 6= ∅.
(i) Sejam A e B esta˜o em W , enta˜o
(A+B)T
T2= AT + BT = (−A) + (−B) = −(A+B).
Portanto, A+B ∈ W .
(ii) Sejam A em W e α ∈ IR, enta˜o
(α · A)T
T3= α · AT = α · (−A) = −(α · A).
Assim, α · A ∈ W .
De (i) e (ii) segue que W e´ um subespac¸o de Mn(IR).
7. Verifique se o subconjunto U = {A ∈ Mn(IR); A
2 = A} de Mn(IR) e´ um subespac¸o
vetorial de Mn(IR).
Soluc¸a˜o:
U na˜o e´ subespac¸o de Mn(IR), pois a matriz In, identidade de ordem n, esta´ em U , ja´
que I2n = In · In = In.
Pore´m, 2 · In /∈ U , pois
(2 · In) · (2 · In) = 4 · In 6= 2 · In.
8. O subconjunto U =
{
p(t) ∈ P2(IR); p(−1) = p(1) = 0
}
e´ um subespac¸o vetorial de
P2(IR).
Soluc¸a˜o:
U 6= ∅, pois o polinoˆmio nulo p0 esta´ em U , ja´ que p0(t) = 0 para todo t ∈ IR e portanto,
p0(1) = p0(−1) = 0.
Dados p e q em U e α ∈ IR, enta˜o:
(i)
{
(p+ q)(1) = p(1) + q(1) = 0 + 0 = 0
(p+ q)(−1) = p(−1) + q(−1) = 0 + 0 = 0
, portanto p+ q ∈ U .
(ii)
{
(α · p)(1) = α · p(1) = α · 0 = 0
(α · p)(−1) = α · p(−1) = α · 0 = 0
, portanto α · p ∈ U .
De (i) e (ii) conclu´ımos que U e´ subespac¸o de P2(IR).
9. Os seguintes subconjuntos
U =
{
f ∈ C([−a, a]); f(−x) = f(x) para todo x ∈ [−a, a]
}
,
W =
{
f ∈ C([−a, a]); f(−x) = −f(x) para todo x ∈ [−a, a]
}
sa˜o subespac¸os vetoriais de C([−a, a]).
Soluc¸a˜o:
SEC¸A˜O 2.2 • SUBESPAC¸OS VETORIAIS 56
(a) U 6= ∅, pois a func¸a˜o nula f0 esta´ em U , ja´ que:
f0(x) = 0 = f0(−x) para todo x ∈ [−a, a].
Dados f e g em U e α ∈ IR, enta˜o:
(i) (f + g)(−x) = f(−x)+ g(−x) = f(x)+ g(x) = (f + g)(x), portanto f + g ∈ U .
(ii) (α · f)(−x) = α · f(−x) = α · f(x) = (α · f)(x), portanto α · f ∈ U .
De (i) e (ii) conclu´ımos que U e´ subespac¸o de C([−a, a]).
(b) W 6= ∅, pois a func¸a˜o nula f0 esta´ em U , ja´ que:
f0(x) = 0 = −f0(−x) para todo x ∈ [−a, a].
Dados f e g em U e α ∈ IR, enta˜o:
(i) (f + g)(−x) = f(−x)+ g(−x) =
(
− f(x)
)
+
(
− g(x)
)
= −(f + g)(x), portanto
f + g ∈ W .
(ii) (α · f)(−x) = α ·
(
− f(x)
)
= −α · f(x) = (−α · f)(x), portanto α · f ∈ W .
De (i) e (ii) conclu´ımos que W e´ subespac¸o de C([−a, a]).
Observac¸o˜es:
1. As func¸o˜es do conjunto U do exemplo acima sa˜o chamadas func¸o˜es pares, en-
quanto que as func¸o˜es do conjunto W sa˜o chamadas func¸o˜es ı´mpares.
2. Toda func¸a˜o f em C([−a, a]) pode ser escrita como a soma de uma func¸a˜o par e
uma func¸a˜o ı´mpar.
De fato, consideremos as func¸o˜es g(x) =
f(x) + f(−x)
2
e h(x) =
f(x)− f(−x)
2
,
temos:
g(−x) =
f(−x) + f
(
− (−x)
)
2
=
f(−x) + f(x)
2
= g(x),
enquanto que
h(−x) =
f(−x)− f
(
− (−x)
)
2
=
f(−x)− f(x)
2
= −h(x).
Logo, g e´ func¸a˜o par e h e´ func¸a˜o ı´mpar, e e´ claro que
g(x) + h(x) =
f(x) + f(−x)
2
+
f(x)− f(−x)
2
= f(x).
10. O subconjunto S =
{
v ∈ IR3; v = α(1,−1, 1) + (2, 1, 3)
}
na˜o e´ subespac¸o de IR3.
Soluc¸a˜o:
De fato, 0IR3 /∈ S, pois
α(1,−1, 1) + (2, 1, 3) = (0, 0, 0)⇐⇒


α + 2 = 0
−α + 1 = 0
α + 3 = 0
⇐⇒


α = −2
α = 1
α = −3
,
um absurdo!
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 57
2.3 Combinac¸a˜o Linear e Subespac¸o Gerado
Definic¸a˜o 2.6. Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF , dizemos que v ∈ V e´ uma
combinac¸a˜o linear dos vetores v1, v2, · · · , vn vetores em V se, e somente se, existem
escalares α1, α2, · · · , αn em IF tais que
v = α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αn · vn.
Exemplos:
1. O vetor (−2, 3) e´ combinac¸a˜o linear dos vetores (1, 0) e (0, 1) de IR2, pois
(−2, 3) = −2(1, 0) + 3(0, 1).
2. O polinoˆmio p(t) = t2 + 4t− 7 e´ combinac¸a˜o linear dos polinoˆmios p1(t) = t
2 − 2t + 1
e p2(t) = 3t− 4 de P2(IR), pois
p(t) = t2 + 4t− 7 = (t2 − 2t+ 1) + 2(3t− 4).
3. A matriz A =
[
−1 3
0 2
]
e´ combinac¸a˜o linear das matrizes A1 =
[
1 1
0 1
]
,
A2 =
[
1 1
0 0
]
e A3 =
[
0 1
0 0
]
, pois
2 ·
[
1 1
0 1
]
+ (−3) ·
[
1 1
0 0
]
+ 4 ·
[
0 1
0 0
]
=
[
−1 3
0 2
]
.
Definic¸a˜o 2.7. Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF e S um subconjunto finito de V ,
ou seja, S = {v1, · · · , vn}, o conjunto de todas as combinac¸o˜es lineares de elementos de S
e´ um subespac¸o de V , chamado subespac¸o gerado pelos elementos de S, ou simplesmente,
subespac¸o gerado de S.
Notac¸a˜o: [S] ou [v1, · · · , vn].
Observac¸o˜es:
1. Notemos que
[S] =
{
α1 · v1 + · · · + αn · vn; α1, · · · , αn ∈ IF
}
.
2. [v1, · · · , vn] e´ o “menor” subespac¸o de V que conte´m os vetores {v1, · · · , vn}.
3. Se U = [S], dizemos que S e´ um sistema de geradores para o subespac¸o U .
SEC¸A˜O 2.3 • COMBINAC¸A˜O LINEAR E SUBESPAC¸O GERADO 58
Exemplos:
1. Seja C0([0, 2pi]) = {f ∈ C([0, 2pi]) tal que f(0) = f(2pi) = 0}, vimos que este conjunto e´
subespac¸o de C([0, 2pi]).
Consideremos S = {cosx, cos(2x), · · · , cos(nx)}, enta˜o
[S] =
{
f ∈ C0([0, 2pi]); f(x) = α1 cosx + α2 cos(2x) + · · · + αn cos(nx)
}
.
2. Seja
S =



 1 0 00 0 0
0 0 0

 ,

 0 1 00 0 0
0 0 0

 ,

 0 0 10 0 0
0 0 0

 ,

 0 0 00 1 0
0 0 0

 ,

 0 0 00 0 1
0 0 0

 ,

 0 0 00 0 0
0 0 1



 ,
enta˜o
[S] =

 α1

 1 0 00 0 0
0 0 0

+ α2

 0 1 00 0 0
0 0 0

+ α3

 0 0 10 0 0
0 0 0

+ α4

 0 0 00 1 0
0 0 0


+ α5

 0 0 00 0 1
0 0 0

+ α6

 0 0 00 0 0
0 0 1

 ; α1, · · · , α6 ∈ IR


=



 α1 α2 α30 α4 α5
0 0 α6

 ; α1, · · · , α6 ∈ IR

 .
Portanto, [S] e´ o subespac¸o das matrizes reais triangulares superiores de ordem 3.
3. Seja A =


a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
. . .
...
am1 am2 · · · amn

 uma matriz de Mm×n(IR).
(a) O subconjunto
C(A) =
{
α1 · c1 + α2 · c2 + · · · + αm · cm; α1, α2, · · · , αm ∈ IR
}
,
com ci =
[
ai1 ai2 · · · ain
]
a i-e´sima linha de A, para i ∈ {1, · · · ,m}, e´ o
subespac¸o de IRn gerado pelas linhas da matriz A, e denominado subespac¸o linha
de A.
(b) O subconjunto
R(A) =
{
α1 · v1 + α2 · v2 + · · · + αn · vn; α1, α2, · · · , αn ∈ IR
}
,
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 59
com vj =


a1j
a2j
...
amj

 a j-e´sima coluna de A, para j ∈ {1, · · · , n}, e´ um subespac¸o de
IRm gerado pelas colunas de A, chamado subespac¸o coluna de A.
(c) As soluc¸o˜es do sistema homogeˆneo A ·X = 0m×1, com X =


x1
x2
...
xn

 e´ um subespac¸o
de IRn, denotado por chamado N (A) e denominado subespac¸o nulidade de A.
Se A =


−1 1 −1
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1

, temos:
(a)
C(A) =
{
α1
[
−1 1 −1
]
+ α2
[
1 −1 1
]
+ α3
[
0 1 −1
]
+ α4
[
0 0 1
]
=
[
−α1 + α2 α1 − α2 + α3 −α1 + α2 − α3 + α4
]
, com α1, α2, α3 ∈ IR
}
.
Por exemplo, c =
[
1 2 −4
]
∈ C(A), basta tomar α1 = 1, α2 = 2, α3 = 3 e
α4 = −2.
(b)
R(A) =


α1


−1
1
0
0

+ α2


1
−11
0

+ α3


−1
1
−1
1


=


−α1 + α2 − α3
α1 − α2 + α3
α2 − α3
α3

 , com α1, α2, α3 ∈ IR


.
Por exemplo, v =


−2
6
−3
2

 ∈ R(A), basta tomar α1 = 3, α2 = −1 e α3 = 2.
(c) O sistema


−1 1 −1
1 −1 1
0 1 −1
0 0 1

 ·

 x1x2
x3

 =


0
0
0
0

 e´ dado por


−x1 + x2 − x3 = 0
x1 − x2 + x3 = 0
x2 − x3 = 0
x3 = 0
que tem apenas a soluc¸a˜o trivial


x1 = 0
x2 = 0
x3 = 0
Logo, neste caso N (A) =
{
(0, 0, 0)
}
.
SEC¸A˜O 2.4 • SOMA, SOMA DIRETA E INTERSECC¸A˜O DE SUBESPAC¸OS 60
4. Mostre que p(t) = t2 + t− 1 /∈
[
p1(t), p2(t)
]
⊂ P3(IR), com
{
p1(t) = t
3 − 2
p2(t) = t+ 1
De fato,
q(t) ∈
[
p1(t), p2(t)
]
⇐⇒ q(t) = a(t3−2)+b(t+1) = at3+bt+(b−2a), com a, b ∈ IR.
Logo, um polinoˆmio em
[
p1(t), p2(t)
]
tem grau 3, ou grau 1 ou grau 0, portanto
p(t) /∈
[
p1(t), p2(t)
]
.
Definic¸a˜o 2.8. Dizemos que um espac¸o vetorial V e´ finitamente gerado se existe S um
subconjunto finito de V tal que V = [S].
Exemplos:
1. IRn e´ finitamente gerado, pois
IRn =
[
(1, 0, · · · , 0), (0, 1, · · · , 0), · · · , (0, 0, · · · , 1)
]
.
2. Pn(IR) e´ finitamente gerado, pois
Pn(IR) =
[
1, t, · · · , tn
]
.
3. Mm×n(IR) e´ finitamente gerado, pois
Mm×n(IR) =




1 · · · 0
...
. . .
...
0 · · · 0


m×n
, · · · ,


0 · · · 0
...
. . .
...
0 · · · 1


m×n

 .
2.4 Soma, Soma Direta e Intersecc¸a˜o de Subespac¸os
Teorema 2.9. Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF . Se U e W sa˜o subespac¸os
vetoriais de V , enta˜o:
(i) O subconjunto de V :
U ∩W = {v ∈ V ; v ∈ U e v ∈ W}
e´ um subespac¸o de V .
(ii) O subconjunto de V :
U +W = {v ∈ V ; v = u+ w, com u ∈ U e w ∈ W}
e´ um subespac¸o de V .
Demonstrac¸a˜o:
(i) U ∩W 6= ∅, pois 0V ∈ U e 0V ∈ W , 0V ∈ U ∩W .
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 61
• Sejam v e u em U ∩W , enta˜o v e u esta˜o em U e v e u esta˜o em W .
Como U e W sa˜o subespac¸os de V , enta˜o v + u ∈ U e v + u ∈ W .
Consequentemente v + u ∈ U ∩W.
• Dado v em U ∩W , enta˜o v ∈ U e v ∈ W .
Dado α ∈ IF , como U e W sa˜o subespac¸os de V , enta˜o α · v ∈ U e α · v ∈ W .
Logo, α · v ∈ U ∩W.
Portanto, U ∩W e´ subespac¸o de V .
(ii) U +W 6= ∅, pois 0V ∈ U e 0V ∈ W , 0V + 0V = 0V ∈ U +W .
• Sejam v1 e v2 em U +W , enta˜o v1 = u1 + w1 e v2 = u2 + w2 com u1, u2 ∈ U e
w1, w2 ∈ W .
Como U e W sa˜o subespac¸os de V , enta˜o u1 + u2 ∈ U e w1 + w2 ∈ W .
Consequentemente,
v1 + v2 = (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1 + w2) ∈ U +W.
• Dado v em U +W , enta˜o v = u+ w, com u ∈ U e w ∈ W .
Como U e W sa˜o subespac¸os de V , dado α ∈ IF temos α · u ∈ U e α · w ∈ W .
Logo,
α · v = α · (u+ w) = α · u+ α · w ∈ U +W.
Portanto, U +W e´ subespac¸o de V .
Observac¸o˜es:
1. O subespac¸o U ∩W e´ chamado subespac¸o intersecc¸a˜o de U e W .
2. O subespac¸o U +W e´ chamado subespac¸o soma de U e W .
3. No caso em que U ∩W = {0V }, o subespac¸o soma U+W e´ chamado subespac¸o soma
direta e denotado por U ⊕W .
4. Dados V um espac¸o vetorial, U e W subespac¸os de um V . De modo geral, U ∪W na˜o
e´ subespac¸o vetorial de V .
Por exemplo, para V = IR2, U = {(x, y) ∈ IR; x = 0 e W = {(x, y) ∈ IR; y = 0},
respectivamente o eixo y e o eixo x no plano cartesiano, enta˜o
U ∪W = {(x, y) ∈ IR; x = 0 ou y = 0},
ou seja, e´ o conjunto dos pontos do plano cartesiano que esta˜o ou no eixo x ou no eixo
y.
Assim, (1, 0) ∈ U ∪W e (0,−3) ∈ U ∪W , mas (1, 0) + (0,−3) = (1,−3) /∈ U ∪W.
Exemplos: Em cada um casos abaixo, obtenha os subespac¸os U ∩W e U +W , verifique se
a soma e´ direta.
SEC¸A˜O 2.4 • SOMA, SOMA DIRETA E INTERSECC¸A˜O DE SUBESPAC¸OS 62
1. V = IR3 com


U = {(x, y, z) ∈ IR3; x = y}
W = {(x, y, z) ∈ IR3; z = 0}
Soluc¸a˜o:
• (x, y, z) ∈ U ∩W ⇐⇒
{
x = y
z = 0
⇐⇒ (x, y, z) = (x, x, 0).
Logo, U ∩W = {(x, y, z) ∈ IR3; x = y e z = 0}.
• U +W = {(x, y, z) ∈ IR3; (x, y, z) = (a, a, b) + (c, d, 0)}.
Logo, (x, y, z) ∈ U +W ⇐⇒


x = a+ c
y = a+ d
z = b
Tomando


a = 0
b = z
c = x
d = y
podemos escrever um vetor (x, y, z) de IR3 como soma de um
vetor de U e um vetor de W .
Portanto, U +W = IR3, pore´m a soma na˜o e´ direta, pois U ∩W 6= {0IR3}.
2. V = M2(IR) com


U =
{[
a11 a12
a21 a22
]
∈M2(IR); a22 = a11
}
W =
{[
a11 a12
a21 a22
]
∈M2(IR); a11 = 0 e a21 = −a12
}
Soluc¸a˜o:
• A =
[
a b
c d
]
∈ U ∩W ⇐⇒
{
a = d
a = 0 e c = −b
⇐⇒ a = d = 0 e c = −b
⇐⇒ A =
[
0 b
−b 0
]
.
Logo, U ∩W =
{[
0 b
−b 0
]
∈M2(IR)
}
.
• U +W =
{[
x y
z t
]
∈M2(IR);
[
x y
z t
]
=
[
a b
c a
]
+
[
0 d
−d e
]}
Logo,
[
x y
z t
]
∈ U +W ⇐⇒


x = a
y = b+ d
z = c− d
t = a+ e
Tomando


a = x
b = y
c = z
d = 0
e = t− x
podemos escrever um vetor
[
x y
z t
]
deM2(IR) como soma
de um vetor de U e um vetor de W .
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 63
Portanto, U +W = M2(IR), pore´m a soma na˜o e´ direta, pois U ∩W 6= {0M2(IR)}.
3. V = Mn(IR), com n ∈ IN e n ≥ 2,


U = {A ∈Mn(IR); A e´ sime´trica}
W = {A ∈Mn(IR); A e´ anti-sime´trica}
Soluc¸a˜o:
• A ∈ U ∩W ⇐⇒
{
A e´ sime´trica
A e´ anti-sime´trica
⇐⇒
{
A = AT
A = −AT
⇐⇒ A = −A
⇐⇒ 2A = 0n×n ⇐⇒ A = 0n×n.
Logo, U ∩W = {0Mn(IR)}.
• Vimos no estudo de matrizes quadradas que toda matriz A ∈ Mn(IR) pode ser
escrita como:
A =
(
A+ AT
2
)
︸ ︷︷ ︸
sime´trica
+
(
A− AT
2
)
︸ ︷︷ ︸
anti-sime´trica
.
Portanto, U ⊕W = Mn(IR), a soma e´ direta pois U ∩W = {0n×n}.
4. V = F(IR) com


U =
{
f ∈ F(IR); f e´ par
}
W =
{
f ∈ F(IR); f e´ ı´mpar
}
Soluc¸a˜o:
• f ∈ U ∩W ⇐⇒
{
f e´ par
f e´ ı´mpar
⇐⇒
{
f(−x) = f(x) para todo x ∈ IR
f(−x) = −f(x) para todo x ∈ IR
⇐⇒ f(x) = −f(x) para todo x ∈ IR⇐⇒ 2f(x) = 0 para todo x ∈ IR
⇐⇒ f(x) = 0 para todo x ∈ IR⇐⇒ f = f0 a func¸a˜o nula.
Logo, U ∩W = {f0}.
• Vimos que toda func¸a˜o f ∈ F(IR) pode ser escrita como:
f(x) =
(
f(x) + f(−x)
2
)
︸ ︷︷ ︸
func¸a˜o par
+
(
f(x)− f(−x)
2
)
︸ ︷︷ ︸
func¸a˜o ı´mpar
.
Portanto, U ⊕W = F(IR), a soma e´ direta, pois U ∩W = {0F(IR)}.
5. V = IR4 com


U = {(x, y, z, w) ∈ IR4; x+ y = 0 e z − w = 0}
W = {(x, y, z, w) ∈ IR4; x− y − z + w = 0}
Soluc¸a˜o:
• (x, y, z, w) ∈ U ∩W ⇐⇒
{
x = −y e w = z
x = y + z − w
⇐⇒ −y = y + z − z
⇐⇒ 2y = 0⇐⇒
{
y = 0
x = 0
⇐⇒ (x, y, z, w) = (0, 0, z, z).
Logo, U ∩W = {(x, y, z, w) ∈ IR3; x = y = 0 e w = z}.
• U +W = IR4, veremos isto apo´s enunciarmos o teorema da dimensa˜o da soma e da
intersecc¸a˜o.
SEC¸A˜O 2.5 • DEPENDEˆNCIA E INDEPENDEˆNCIA LINEAR 64
6. V = P3(IR) com


U = {p(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 ∈ P3(IR); a3 = −a1}
W = {p(t) ∈ P3(IR); p(−1) = p
′(−1) = 0}
Soluc¸a˜o:
• p(t) = a0 + a1t+ a2t
2 + a3t
3 ∈ U ∩W ⇐⇒
{
a3 = −a1
p(−1) = p′(−1) = 0
⇐⇒


a3 = −a1
a0 − a1 + a2 − a3 = 0
a1 − 2a2 + 3a3 = 0
⇐⇒


a3 = −a1
a0 = a1 − a2 + a3
2a2 = a1 + 3a3
⇐⇒


a3 = −a1
a0 = a1 − a2 − a1 = −a2
2a2 = a1 − 3a1 = −2a1
⇐⇒


a3 = −a1
a2 = −a1
a0 = a1
Logo, U ∩W = {p(t) = a1 + a1t− a1t
2 − a1t
3 ∈ P3(IR)}.
• U +W = P3(IR), veremos isto apo´s enunciarmos o teorema da dimensa˜o da soma
e da intersecc¸a˜o.
Observac¸a˜o: Seja V um espac¸o vetorial, se U eW sa˜o subespac¸os de V tais que V = U⊕W ,
enta˜o para cada v ∈ V existem u´nicos u ∈ U e w ∈ W tais que v = u+ w.
De fato, se existissem u1,u2 ∈ U e w1, w2 ∈ W com v = u1 + w1 = u2 + w2, enta˜o
ter´ıamos u1 − u2 = w2 −w1 ∈ U ∩W , mas como V = U ⊕W , enta˜o u∩W = {0V }, da´ı que
u1 − u2 = w2 − w1 = 0V , e portanto
{
u1 = u2
w2 = w1
.
Portanto a decomposic¸a˜o de v como soma de um elemento de U e um elemento de W e´
u´nica.
2.5 Dependeˆncia e Independeˆncia Linear
Definic¸a˜o 2.10. Seja V um espac¸o vetorial sobre o corpo , dizemos que um subconjunto
S = {v1, v2, · · · , vk}, de V , e´ linearmente independente se, e somente se, a equac¸a˜o
a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk = 0V
tem apenas a soluc¸a˜o trivial a1 = a2 = · · · = ak = 0.
No caso em que a equac¸a˜o tem alguma soluc¸a˜o na˜o trivial, dizemos que S e´ linearmente
dependente.
Observac¸a˜o: Em geral usamos a notac¸a˜o L.I. para vetores ou conjunto de vetores line-
armente independentes e a notac¸a˜o L.D. para designar vetores ou um conjunto de vetores
linearmente dependentes.
Exemplos: Nos casos abaixo verifique se S e´ L.I. ou L.D.
CAP. 2 • ESPAC¸OS VETORIAIS 65
1. V = P2(IR) e S = {t+ 1, t
2 − 1, t+ t2}.
Soluc¸a˜o:
a(t+ 1) + b(t2 − 1) + c(t+ t2) = 0⇐⇒ (a− b) + (a+ c)t+ (b+ c)t2 = 0
⇐⇒


a− b = 0
a+ c = 0
b+ c = 0
⇐⇒


a− b = 0
b+ c = 0
b+ c = 0
⇐⇒
{
a = b
c = −b
Portanto, por exemplo, a = b = 1 e c = −1 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o, consequente-
mente S e´ L.D.
2. V = M2(IR) e S =
{[
1 −1
1 0
]
,
[
0 1
1 −1
]}
.
Soluc¸a˜o:
a
[
1 −1
1 0
]
+ b
[
0 1
1 −1
]
=
[
0 0
0 0
]
⇐⇒
[
a −a+ b
a+ b −b
]
=
[
0 0
0 0
]
⇐⇒


a = 0
−a+ b = 0
a+ b = 0
−b = 0
⇐⇒
{
a = 0
b = 0
Logo, a u´nica soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ a trivial a = b = 0, portanto S e´ L.I.
3. V = IR3 e S = {(1,−1, 3), (−2, 3,−5), (0, 1, 1)}.
Soluc¸a˜o:
a(1,−1, 3) + b(−2, 3,−5) + c(0, 1, 1) = (0, 0, 0)
⇐⇒ (a− 2b,−a+ 3b+ c, 3a− 5b+ c) = (0, 0, 0)⇐⇒


a− 2b = 0
−a+ 3b+ c = 0
3a− 5b+ c = 0
⇐⇒


a− 2b = 0
b+ c = 0
b+ c = 0
⇐⇒
{
a = 2b
c = −b
Logo, por exemplo, b = 1, a = 2 e c = −1 e´ uma soluc¸a˜o da equac¸a˜o, consequentemente
S e´ L.D.
4. V = C([0, 2pi]) e S = {1, cosx, sen (2x)}.
Soluc¸a˜o:
a+ b cos(2x) + csen x = 0 para todo x ∈ [0, 2pi].
Em particular para x = 0, x =
pi
2
e x =
3pi
2
obtemos:


a+ b = 0
a− b+ c = 0
a+ b− c = 0
⇐⇒


a+ b = 0
−2b+ c = 0
−c = 0
⇐⇒


a = 0
b = 0
c = 0
Portanto, S e´ L.I.
SEC¸A˜O 2.5 • DEPENDEˆNCIA E INDEPENDEˆNCIA LINEAR 66
5. V = F(IR) e S = {1, cos2 x, sen2x}.
Soluc¸a˜o:
a+ b cos2 x+ c sen2x = 0 para todo x ∈ IR.
Mas sabemos que cos2 x+ c sen2x = 1 para todo x ∈ IR, portanto a equac¸a˜o acima tem
soluc¸a˜o na˜o trivial


a = 1
b = −1
c = −1
Logo, S e´ L.D.
Observac¸o˜es: Seja V um espac¸o vetorial, decorrem da definic¸a˜o de dependeˆncia e inde-
pendeˆncia linear as seguintes consequeˆncias:
1. Se S = {v1, v2} e´ um subconjunto de V , com v1 6= 0V e v2 6= 0V , enta˜o S e´ L.D. se, e
somente se, v1 e v2 sa˜o mu´ltiplos (proporcionais).
2. Se S = {v} e´ um subconjunto unita´rio de V e v 6= 0V , enta˜o S e´ L.I.
3. Se S e´ um subconjunto de V tal que 0V ∈ S, enta˜o S e´ L.D, ou seja, todo conjunto que
conte´m o elemento neutro, 0V , e´ linearmente dependente.
4. Se S e S ′ sa˜o subconjuntos de V com S L.D. e S ⊂ S ′, enta˜o S ′ tambe´m e´ L.D., ou
seja, todo conjunto conte´m um subconjunto L.D. tambe´m e´ L.D.
5. Se S e´ um subconjunto L.I. de V , enta˜o todo subconjunto de S e´ L.I.
6. O conjunto vazio, ∅ ⊂ V , e´ linearmente independente.
Teorema 2.11. Sejam V um espac¸o vetorial sobre o corpo IF e v1, v2, · · · , vk vetores em
V . O conjunto S = {v1, v2, · · · , vk} e´ linearmente dependente (LD) se, e somente se, um
de seus elementos pode ser escrito como combinac¸a˜o linear dos demais elementos.
Demonstrac¸a˜o: Suponhamos que S = {v1, v2, · · · , vk} e´ um subconjunto L.D. de V ,
enta˜o a equac¸a˜o
a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk = 0V
tem alguma soluc¸a˜o trivial.
Suponhamos sem perda de generalidade que uma soluc¸a˜o na˜o trivial seja com a1 6= 0,
enta˜o temos:
a1v1 = −a2v2 − · · · − akvk =⇒ v1 = −
a2
a1
v1 + · · · −
ak
a1
vk.
Assim, v1 se escreve como combinac¸a˜o linear dos demais vetores.
Reciprocamente, supondo que v1 = α1v2 + · · ·+ αk−1vk, enta˜o temos
v1 − α1v2 − · · · − αk−1vk.
Consequentemente, S e´ linearmente dependente.