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Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Danilo Sande December 2, 2013 Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis ”Se seus problemas sa˜o constantes, enta˜o e´ so´ derivar” Definic¸a˜o de derivada parcial em relac¸a˜o a` x em um ponto Seja f : D ⊂ R2 → R. A derivada parcial de f em relac¸a˜o a` varia´vel x, no ponto (xo , yo) ∈ D e´ denotada por ∂f∂x (xo , yo) (ou por fx(xo , yo)) e definida por: ∂f ∂x (xo , yo) = limh→0 f (xo + h, yo)− f (xo , yo) h , ou ∂f ∂x (xo , yo) = limx→xo f (x , yo)− f (xo , yo) x − xo , se o limite existir. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Definic¸a˜o de derivada parcial em relac¸a˜o a` y em um ponto Seja f : D ⊂ R2 → R. A derivada parcial de f em relac¸a˜o a` varia´vel y, no ponto (xo , yo) ∈ D e´ denotada por ∂f∂y (xo , yo) (ou por fy (xo , yo)) e definida por: ∂f ∂y (xo , yo) = limh→0 f (xo , yo + h)− f (xo , yo) h , ou ∂f ∂y (xo , yo) = limy→yo f (xo , y)− f (xo , yo) y − yo , se o limite existir. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivada parcial de func¸o˜es de va´rias varia´veis Seja f : D ⊂ Rn → R. ∂f ∂xn (x ′1, x ′ 2, ..., x ′ n) = lim h→0 f (x ′1, x ′ 2, ..., x ′ n + h)− f (x ′1, x ′2, ..., x ′n) h , onde (x ′1, x ′ 2, ..., x ′ n) e´ um ponto no R n Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 1 Seja f (x , y) = { x3−y2 x2+y2 , se (x , y) 6= (0, 0) 0, se (x , y) = (0, 0) . Calcule as derivadas parciais da func¸a˜o dada. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 2 Dado f (x , y) = 16− x2 − y2, calcule ∂f∂x (1, 2) Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivada parcial de 1a ordem Seja f : A ⊂ R2 → R e B ⊂ A o conjunto formado por todos os pontos (x , y) tais que ∂f∂x (x , y) exista. Definimos a func¸a˜o derivada parcial de 1a ordem de f em relac¸a˜o a` x, como a func¸a˜o que a cada (x , y) ∈ B associa o nu´mero ∂f∂x dado por: ∂f ∂x (x , y) = limh→0 f (x + h, y)− f (x , y) h e, analogamente em relac¸a˜o a` y: ∂f ∂y (x , y) = limh→0 f (x , y + h)− f (x , y) h , que tambe´m podem ser representadas por: Dx f (x , y), D1f (x , y), fx(x , y) no caso de x, e: Dy f (x , y), D2f (x , y), fy (x , y) no caso de y. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 3 Seja f (x , y) = 2xy − 3y2, calcule suas derivadas parciais. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivada parcial de 1a ordem Obs: Pensando y como uma constante yo , podemos considerar a func¸a˜o g de uma varia´vel dada por g(x) = f (x , yo), assim: ∂f ∂x (x , y) = limh→0 f (x + h, y)− f (x , y) h = lim h→0 g(x + h)− g(x) h = g ′(x). Desse modo, podemos calcular a derivada parcial de uma func¸a˜o de va´rias varia´veis em relac¸a˜o a` uma varia´vel, considerando todas as outras varia´veis como constantes e derivando a func¸a˜o em relac¸a˜o a` u´nica ”varia´vel na˜o constante” . Desse modo, todas as regras de derivac¸a˜o do ca´lculo A podem ser aplicadas. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplos 4 a 8 4) Se f (x , y) = sin(x2 + xy) + y , calcule suas derivadas parciais. 5) Se f (x , y) = x ln ( x 2 y−1) + 3y , calcule suas derivadas parciais. 6) Se f (x , y) = x2 √ [x2 + y2 ln(y2 + 1)]−5etan (x2y+y3x2), calcule ∂f ∂x (1, 0). 7) Se f (x , y , z) = cos(x+y+z) ln(x2+y2+z2) , calcule ∂f∂x (pi, 0, 0). 8) Verifique se a func¸a˜o z = ln(xy) + x + y satisfaz a equac¸a˜o x ∂z∂x -y ∂z ∂y = x − y . Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivada de func¸o˜es com integral Do teorema fundamental do ca´lculo: (1) ddx ∫ x 0 f (t)dt = f (x), assim: d dx ∫ b(x) a(x) f (t)dt = d dx ∫ b(x) 0 f (t)dt − d dx ∫ a(x) 0 f (t)dt d dx ∫ b(x) a(x) f (t)dt = d db(x) ∫ b(x) 0 f (t)dt db(x) dx − d da(x) ∫ a(x) 0 f (t)dt da(x) dx Usando (1): d dx ∫ b(x) a(x) f (t)dt = f (b(x)) db(x) dx − f (a(x))da(x) dx Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 9 Calcule as derivadas parciais da func¸a˜o: w = ∫ 3y 2xy t3dt Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Interpretac¸a˜o geome´trica das derivadas parciais de uma func¸a˜o de duas varia´veis Vamos supor que f : A ⊆ R2 → R admite derivadas parciais em (xo , yo) ∈ A. Para y = yo temos que f (x , yo) e´ uma func¸a˜o de uma varia´vel cujo gra´fico e´ uma curva C1, resultante da intersec¸a˜o da superf´ıcie Z = f (x , y) com o plano y = yo A inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva C1 no ponto P = (xo , yo) e´ dada por tanα = ∂f∂x (xo , yo). Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Interpretac¸a˜o geome´trica das derivadas parciais de uma func¸a˜o de duas varia´veis De maneira ana´loga, temos que a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva C2, resultante da intersec¸a˜o de z = f (x , y) como o plano x = xo , e´ tanβ = ∂f ∂y (xo , yo) Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 10 Seja z = 6− x2 − y2. Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva C2, resultante da intersec¸a˜o de z = f (x , y) com x=2, no ponto (2,1,1) e a eq. da reta tangente nesse ponto. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 11 Seja z = 2x2 + 5y2x − 12x . Encontre a inclinac¸a˜o da reta tangente a` curva C1, resultante da intersec¸a˜o de z = f (x , y) com y=1, no ponto (2,1,-6) e a eq. da reta tangente nesse ponto. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de ordem superior A derivada parcial de 2a ordem de uma func¸a˜o, e´ a derivada parcial da derivada parcial dessa func¸a˜o. Para uma func¸a˜o z = f (x , y) temos quatro derivadas parciais de 2a ordem: ∂ ∂x ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂x2 = Dxx f = D11f = fxx ∂ ∂y ( ∂f ∂x ) = ∂2f ∂y∂x = Dxy f = D12f = fxy ∂ ∂x ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂x∂y = Dyx f = D21f = fyx ∂ ∂y ( ∂f ∂y ) = ∂2f ∂y2 = Dyy f = D22f = fyy Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 12 Dada a func¸a˜o f (x , y) = x3y + x2y4, determine suas derivadas parciais de 2a ordem. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 13 Dada a func¸a˜o f (x , y) = sin(2x + y), determine ∂ 2f ∂y∂x e ∂2f ∂x∂y . Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Teorema de Schwartz (Teorema de Clairaut) Seja Z = f (x , y) uma func¸a˜o com derivdas parciais de 2a ordem mistas cont´ınuas em um conjunto aberto A⊂ R2. Enta˜o: ∂2f ∂x∂y (xo , yo) = ∂2f ∂y∂x (xo , yo) para todo (xo , yo) ∈ A. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Teorema de Schwartz (Teorema de Clairaut) Derivadas de ordem mais alta podem tambe´m ser definidas, pode exemplo: ∂3f ∂x3 = ∂∂x ( ∂ ∂x ( ∂f ∂x )) ∂3f ∂x∂y2 = ∂∂x ( ∂2f ∂y2 ) ∂3f ∂y∂x∂y = ∂ ∂y ( ∂ ∂x ( ∂f ∂y )) O teorema de Schwartz pode ser generalizado para essas situac¸o˜es, garantindo por exemplo que: fxyy = fyxy = fyyx . Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Teorema de Schwartz (Teorema de Clairaut) De forma geral ”Se todas as derivadas parciais em questa˜o forem cont´ınuas em um conjunto aberto A, enta˜o, para os pontos desse conjunto, a ordem da derivc¸a˜o parcial pode ser trocada sem alterar o resultado.” Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 14 Dada a func¸a˜o f (x , y) = e2x+3y . a) Calcule ∂ 3f ∂x3 e ∂ 3f ∂y3 . b) Verifique que ∂ 3f ∂y2∂x = ∂ 3f ∂x∂y2 . Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 15 Dada a func¸a˜o f (x , y) = { x3y x2+y2 , se (x , y) 6= (0, 0) 0, se (x , y) = (0, 0) . Verifique que as derivadas parciais de 2a ordem mistas sa˜o diferentes no ponto (0,0). Avalie a continuidades dessas func¸o˜es no ponto dado. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Equac¸o˜es diferenciais parciais Derivadas parciais aparecem em equac¸o˜es diferenciais parciais que expressam certas leis f´ısicas. Por exemplo, a equac¸a˜o diferencial parcial: ∇2u = 0, ou ( ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 )u = 0, ou ∂2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0 e´ chamada equac¸a˜o de Laplace (caso 2-D). Soluc¸o˜es dessas equac¸o˜es sa˜o chamadas func¸o˜es harmoˆnicas e sa˜o importantes no problema de conduc¸a˜o te´rmica, fluxo de fluidos e potencial ele´trico por exemplo. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 16 Mostre que a func¸a˜o u = ex sin y e´ soluc¸a˜o da eq. de Laplace. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Equac¸o˜es diferenciais parciais A eq. da onda ∂ 2u ∂t2 = a2 ∂ 2u ∂x2 descreve o movimento de uma onda, que pode ser sonora, onda de luz, onda no oceano ou uma onda viajando ao longo de uma corda vibrando. Por exemplo, se u(x , t) representa o deslocamento de uma corda de viola˜o vibrando no tempo t e a uma distaˆncia x de um final da corda, enta˜o u(x , t) satisfaz a eq. da onda. Nesse caso, a depende da densidade e tensa˜o da corda a = √ T µ Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Equac¸o˜es diferenciais parciais Se a=c (velocidade da luz no va´cuo), temos a eq. da onda eletromagne´tica: 1 c2 ∂2u ∂t2 − ∂2u ∂x2 = 0 (1-D), ou �u = 0 ( 1 c2 ∂2 ∂t2 −∇2)u = 0 1 c2 ∂2u ∂t2 − (∂2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ) = 0 Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis Exemplo 17 Mostre que a func¸a˜o u(x , t) = sin(x − ct) satisfaz a eq. da onda. Danilo Sande Derivadas parciais de func¸o˜es de duas varia´veis
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