Aula_1

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CÁLCULO DE FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS
DERIVADAS PARCIAIS
Prof. Ms. Márcia Vieira
Prof. Dr. Bruno Honda
Tópicos
 Derivadas parciais;
 Introdução (revisão);
 Definição;
 Conceito;
 Exemplos e exercícios;
Derivadas simples (tabela)
 Derivadas diretas:
 Propriedades:
onde ‘f’ e ‘g’ são funções de x, 
e ‘c’ é um número real
Cálculo de funções de várias variáveis 
Derivadas Parciais
Considere z = f(x, y) uma função real de duas variáveis, x e y;
Derivada parcial :
 Derivada em relação à apenas uma das variáveis;
 Símbolo especial (‘del’): 
Derivadas parciais
 Para calcular a derivada parcial da função f em função de x, usamos a 
seguinte notação:
 Vamos ver um exemplo. Considere a função:
 Para calcular a derivada parcial de f em relação à x, podemos escrever:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
ou 𝑓𝑥
 Lembrando: derivada parcial em relação à x, consideremos outra 
variável y como se fosse uma constante.
 Neste exemplo, o termo ‘y5’ será considerado constante, e a derivada 
será feita somente em relação à x. Observe:
 Dessa forma:
 Lembrando: derivada parcial em relação à y, consideremos outra 
variável x como se fosse uma constante.
 Neste exemplo, o termo ‘x4’ será considerado constante, e a derivada 
será feita somente em ralação à y. Observe:
 Dessa forma:
Exemplos – Derivadas Parciais
I) Considere a função 
 Vamos calcular a derivada parcial em relação a x:
yxz 4² +=
=


x
z
 Vamos assumir que a variável y é constante. Derivando somente em x:
Exemplos – Derivadas Parciais
 Vamos calcular a derivada parcial em relação a y:
 Agora devemos assumir que a variável x é constante: yxz 4² +=
 Ou seja:
Exemplos – Derivadas Parciais
Para a função 
 A derivada parcial em relação a x é
 A derivada parcial em relação a y é
yxz 4² +=
=


x
z
=


y
z
x2
4
Exemplos – Derivadas Parciais
II) Considere a função 
 A derivada parcial em relação a x é
 A derivada parcial em relação a y é
³².6),( yxyxf =
=


x
f
=


y
f
Exemplos – Derivadas Parciais
III) Considere a função 
 A derivada parcial em relação a x é
 A derivada parcial em relação a y é
senxyyxf .),( =
=


x
f
=


y
f
xy cos.
senx
Exemplos – Derivadas Parciais
IV) Encontre as derivadas parciais de primeira ordem da função:
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥3
𝑦2
Temos que: 𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥³
𝑦2
= 𝑥³. 𝑦−2
Para derivar em relação à x, mantemos 𝑦−2 e derivamos 𝑥3, ou seja:
𝑓𝑥 = 3𝑥
2𝑦−2 =
3𝑥2
𝑦2
Para derivar em relação à y, mantemos 𝑥3 e derivamos 𝑦−2, ou seja:
𝑓𝑦 = 𝑥
3. −2 𝑦−3 = −
2𝑥3
𝑦3
Exemplos – Derivadas Parciais
V) Encontre as derivadas parciais de primeira ordem da função:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3 +
1
𝑦2
 Derivando em relação à x temos: 
𝑓𝑥 = 3𝑥
2
 Derivando em relação à y temos: 
𝑓𝑦 = −2𝑦
−3 = −
2
𝑦3
Derivadas Parciais – Exemplos de Aplicação
Uma lata tem a forma de um cilindro de altura h (em cm) e raio r (em
cm). O volume V da lata é dado pela função 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐𝒉. Qual é a derivada
parcial do volume em relação ao raio e qual é a derivada parcial do
volume em relação à altura?
Resolução: 
O Volume da lata (cilindro) é uma função de duas variáveis, ou seja, o volume
depende do raio e da altura.
Derivadas Parciais – Exemplos de Aplicação
Sendo o volume do cilindro 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐𝒉 , a derivada parcial do
volume em relação ao raio é:
𝜕𝑉
𝜕𝑟
= 2𝜋𝑟ℎ (
𝑐𝑚3
𝑐𝑚
)
Observação: Quando derivamos o volume em relação ao raio r, a altura h se
apresenta como uma constante.
Derivadas Parciais – Exemplos de Aplicação
Sendo o volume do cilindro 𝑽 = 𝝅𝒓𝟐𝒉 , a derivada parcial em relação a altura é:
𝜕𝑉
𝜕ℎ
= 𝜋𝑟2(
𝑐𝑚3
𝑐𝑚
)
Observação 2: Quando derivamos o volume em relação a altura h, o raio se apresenta como uma
constante.
Observação 3: Quando uma constante está multiplicando a variável que estamos derivando,
mantemos essa constante multiplicando a derivada da função. 𝑐. 𝑓 𝑥 ′ = 𝑐. 𝑓′(𝑥)
Derivadas Parciais - Exercícios
1) Encontre as derivadas parciais das funções a seguir:
a) ³24 yxz −=
=


x
z 4
=


y
z
²6y−
Derivadas Parciais - Exercícios
b) 43.6),( yxyxf =
=


x
f 42.18 yx
=


y
f 33.24 yx
Derivadas Parciais - Exercícios
c) 23 6.52),( xyxyyxf −+=
=


x
f
xyx 12.15 2 −
=


y
f 352 x+
Derivadas parciais - Exercícios
2) Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função 𝑧 = 𝑥4. 𝑙𝑛𝑦.
Resolução:
Para derivar em relação à x, mantemos 𝑙𝑛𝑦 e derivamos 𝑥4, ou seja: 
𝑓𝑥 = 4𝑥
3𝑙𝑛𝑦
Para derivar em relação à y, mantemos 𝑥4 e derivamos 𝑙𝑛𝑦, ou seja:
𝑓𝑦 = 𝑥
4.
1
𝑦
=
𝑥4
𝑦
Derivadas parciais - Exercícios
3) Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥4 + 𝑙𝑛𝑦.
Resolução:
Derivando em x temos: 𝑓𝑥 = 4𝑥
3
Derivando em y temos: 𝑓𝑦 =
1
𝑦
Regra da cadeia
 As regras da derivação ordinária também se aplicam às derivadas 
parciais;
 Regra da cadeia: função composta u=u(x);
 Tabela:
Onde u=u(x) é uma função de x:
Derivadas Parciais – Mais alguns exemplos
 Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 
𝑧 = cos(𝑥2 + 𝑦2)
 Para calcular a derivada parcial em relação à x, vamos considerar que y 
é uma constante. Ou seja, usando a regra da cadeia: 𝑐𝑜𝑠𝑢 ′ = −𝑢′𝑠𝑒𝑛𝑢
 Substituindo na relação temos portanto:
Derivadas Parciais – Mais alguns exemplos
 Para calcular a derivada parcial em relação à y, vamos considerar que x 
é uma constante. Ou seja, usando a regra da cadeia: 𝑐𝑜𝑠𝑢 ′ = −𝑢′𝑠𝑒𝑛𝑢
 Substituindo na relação temos portanto:
Derivadas Parciais – Mais alguns exemplos
 Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
 Vamos calcular a derivada parcial em relação à x, lembrando da regra da 
cadeia: 𝑢𝑛 ′ = 𝑛𝑢𝑛−1. 𝑢′
 Ou seja,
 Substituindo na relação obtemos portanto:
𝑛
𝑎𝑚 = 𝑎
𝑚
𝑛
Derivadas Parciais – Mais alguns exemplos
 Vamos calcular a derivada parcial em relação à y, lembrando da regra da 
cadeia: 𝑢𝑛 ′ = 𝑛𝑢𝑛−1. 𝑢′
 Ou seja,
 Substituindo na relação obtemos portanto:
Derivadas parciais – Mais alguns exemplos
Considere a função:
 Para calcular a derivada parcial de f em relação à x, o termo ‘sen(4y)’ 
será considerado constante, e a derivada será feita somente em relação 
à x. Observe:
)4(2 ysenez x=
)4(2 ysenez x=
)4(.2 2 ysene
x
z x=


Lembrando que, pela regra da cadeia, 
uu eue .)'( =
Derivadas parciais – Mais alguns exemplos
 Para calcular a derivada parcial de f em relação à y, o termo será 
considerado constante, e a derivada será feita somente em relação à y. 
Observe:
)4(2 ysenez x=
)4cos(.4)4cos(4. 22 yeye
y
z xx ==


Lembrando que, pela regra da cadeia,   )cos(.')( uuusen =
xe2
 Não se esqueça de repetir os exemplos sozinho;
 Aproveite o tempo ocioso para ler e se atualizar;
 Seja responsável e siga os protocolos de saúde!
 Até a próxima!!
Exercício 1
 Encontre as derivadas parciais de 1ª ordem da função: 𝑧 = 𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 7𝑦)
A derivada parcial em relação à variável x: 
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 2𝑐𝑜𝑠(2𝑥 + 7𝑦)
A derivada parcial em relação à variável y: 
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 7𝑠𝑒𝑛(2𝑥 + 7𝑦)
Lembrete: 𝑠𝑒𝑛𝑢 ′ = 𝑢′𝑐𝑜𝑠𝑢