Movimento Curvilíneo 2

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Mec. Ger. II – Movimento Curvilíneo – A.R. Alvarenga / 2012 1/2 
 
 
MECÂNICA GERAL II – MOVIMENTO CURVILINEO 
 
Grandezas do Movimento Curvilíneo (quando a trajetória não é uma linha reta) 
 
Distância: ∆s = sA - sB 
Deslocamento: ∆r = rA - rB 
 
Velocidade média: vmed = ∆s / ∆t = (sA - sB) / ∆t 
Velocidade instantânea: v = dr / dt = ds / dt 
A velocidade é tangente à trajetória: v(t) ┴ r(t) 
 
Aceleração média: amed = ∆v / ∆t = (vA - vB) / ∆t 
Aceleração instantânea: a = d2r / dt2 = ds2 / dt2 
A aceleração é tangente à hodógrafa: a(t) ┴ v(t) 
 
Vetor velocidade: v(t) = v.uv 
Componentes da aceleração: d v(t)/dt = (dv)/dt .uv + v .(d uv)/dt. 
a) Aceleração centrípeta: v .(d uv)/dt (mudança de direção) 
 MCU: quando v = cte, dv/dt = 0 
b) Aceleração tangencial: (dv)/dt .uv (mudança de módulo) 
MRV: quando (d uv)/dt = 0, então a trajetória é uma reta... 
MRU: quando (dv)/dt = 0 e (d uv)/dt = 0 → a = 0, 1ª Lei de Newton. 
 
Para ter uma trajetória CURVA, (duv)/dt ≠ 0, portanto, a aceleração a não é 
tangentel à trajetória (só no MRV). 
 
Grandezas do Movimento Geral Cartesiano (3D) 
 
Posição: r = x. i +y. j +z. k 
Deslocamento: ∆r = ∆x. i +∆y. j +∆z. k 
 
Velocidade: v = vx. i +vy. j +vz. k = x� 	� � y� 	� � z	� 	� 
sendo: 	x� = dx/dt, y� = dy/dt e z� = dz/dt 
 
Aceleração: a = ax. i +ay. j +az. k = x
 	� � y
 	� � z
 		� = dv/dt 
sendo: 	x
 = d2x/dt2, y
 = d2y/dt2 e z
 = d2z/dt2 
 
Conceito: posição s → d/dt → velocidade v → d/dt → aceleração a 
 aceleração a → ∫ dt → velocidade v → ∫ dt → posição s 
 
Projétil: movimento em que o corpo parte da posição s (x0, y0) com a velocidade inicial 
v0 (v0x i + v0y j) e sob o mesmo somente atua a aceleração da gravidade g (peso). 
 
vx (t) = v0x (constante, não se altera :. ax = 0) → sx (t) = s0x + v0x. t 
vy(t) = v0y – g.t (atua ay = g) → sy (t) = s0y + v0y. t -g.t2 
 
Referência: HIBBELER, R.C.; Dinâmica – Mecânica para Engenharia Cap. 12. 
 
 
 
Mec. Ger. II – Movimento Curvilíneo – A.R. Alvarenga / 2012 2/2 
 
 
Relembrando Equações do Cálculo I/II: 
 
Função f(x) Diferencial d f(x) /dx Integral ∫ f(x) dx 
Potencial d(xn)/dx = n. xn-1 ∫ (xn) dx = xn+1/(n+1) 
Linear d(a.x)/dx = a ∫ (a.x) dx = a.x2/2 
Constante d(a)/dx = 0 ∫ (a) dx = a.x 
Seno x d(sen a.x)/dx = a. cos(a.x) ∫ (sen a.x) dx = -cos(a.x) / a 
Cosseno x d(cos a.x)/dx = -a. sen(a.x) ∫ (cos a.x) dx = sen(a.x) / a 
Exponencial d(e a.x) /dx = a. e a.x ∫ (e a.x) dx = e a.x / a 
Logaritmo d(log ax) /dx = a/x ∫ (a/x) dx = log ax 
 
1) Integral indefinida: seja f’(x) uma função continua, tal que d f(x)/dx = f’(x) seja 
definida para todos os pontos do domínio, então: ∫ f’(x) dx = f(x) +k, k= constante. 
 
2) Integral definida: seja f’(x) continua no intervalo [a, b], tal que d f(x)/dx = f’(x) seja 
definida para todos os pontos do domínio [a, b], então: 
� f 
�x�dx � f�b� � f�a�
�
�
 
 
3) No caso da Mecânica Geral II, procura-se a integração que possa definir 
adequadamente a expressão da função para um tempo t genérico que pertence ao 
intervalo [a,b], assim se escreve: 
velocidade:	� dv
�
��
� v � v � � a�t�dt �
"
"�
v�t� � v�t � 
v � v � � a�t�dt �
"
"�
v�t� � v�t � 
 
Exemplo: a(t) = 12 t2, vA = 15 m/s, tA = 5 s → ∫ 12 t2 dt = 12 t3/3 = 4 t3 
 
 v(t) = 15 m/s + 4 t3 �4(5s)3 → v = 4 t3 – 500 +15 → v(t) = (4 t3 – 485) m/s 
 
 
posição:	� ds
(
(�
� s � s � �v�t�dt �
"
"�
s�t� � s�t � 
s � s � �v�t�dt �
"
"�
s�t� � s�t � 
 
Exemplo: v(t) = (4 t3 – 485), sA = 12 m, tA = 5 s → ∫ (4 t3 – 485) dt = t4 – 485t 
 
 s(t) = 12 + t4 – 485t – [(5)4 – 485(5)] → s(t) = t4 – 485t +1812 m. 
 
 Prof. ARTHUR/2012 
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