Movimento Curvilíneo 2
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Movimento Curvilíneo 2


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Mec. Ger. II \u2013 Movimento Curvilíneo \u2013 A.R. Alvarenga / 2012 1/2 
 
 
MECÂNICA GERAL II \u2013 MOVIMENTO CURVILINEO 
 
Grandezas do Movimento Curvilíneo (quando a trajetória não é uma linha reta) 
 
Distância: \u2206s = sA - sB 
Deslocamento: \u2206r = rA - rB 
 
Velocidade média: vmed = \u2206s / \u2206t = (sA - sB) / \u2206t 
Velocidade instantânea: v = dr / dt = ds / dt 
A velocidade é tangente à trajetória: v(t) \u2534 r(t) 
 
Aceleração média: amed = \u2206v / \u2206t = (vA - vB) / \u2206t 
Aceleração instantânea: a = d2r / dt2 = ds2 / dt2 
A aceleração é tangente à hodógrafa: a(t) \u2534 v(t) 
 
Vetor velocidade: v(t) = v.uv 
Componentes da aceleração: d v(t)/dt = (dv)/dt .uv + v .(d uv)/dt. 
a) Aceleração centrípeta: v .(d uv)/dt (mudança de direção) 
 MCU: quando v = cte, dv/dt = 0 
b) Aceleração tangencial: (dv)/dt .uv (mudança de módulo) 
MRV: quando (d uv)/dt = 0, então a trajetória é uma reta... 
MRU: quando (dv)/dt = 0 e (d uv)/dt = 0 \u2192 a = 0, 1ª Lei de Newton. 
 
Para ter uma trajetória CURVA, (duv)/dt \u2260 0, portanto, a aceleração a não é 
tangentel à trajetória (só no MRV). 
 
Grandezas do Movimento Geral Cartesiano (3D) 
 
Posição: r = x. i +y. j +z. k 
Deslocamento: \u2206r = \u2206x. i +\u2206y. j +\u2206z. k 
 
Velocidade: v = vx. i +vy. j +vz. k = x\ufffd 	\ufffd \ufffd y\ufffd 	\ufffd \ufffd z	\ufffd 	\ufffd 
sendo: 	x\ufffd = dx/dt, y\ufffd = dy/dt e z\ufffd = dz/dt 
 
Aceleração: a = ax. i +ay. j +az. k = x
 	\ufffd \ufffd y
 	\ufffd \ufffd z
 		\ufffd = dv/dt 
sendo: 	x
 = d2x/dt2, y
 = d2y/dt2 e z
 = d2z/dt2 
 
Conceito: posição s \u2192 d/dt \u2192 velocidade v \u2192 d/dt \u2192 aceleração a 
 aceleração a \u2192 \u222b dt \u2192 velocidade v \u2192 \u222b dt \u2192 posição s 
 
Projétil: movimento em que o corpo parte da posição s (x0, y0) com a velocidade inicial 
v0 (v0x i + v0y j) e sob o mesmo somente atua a aceleração da gravidade g (peso). 
 
vx (t) = v0x (constante, não se altera :. ax = 0) \u2192 sx (t) = s0x + v0x. t 
vy(t) = v0y \u2013 g.t (atua ay = g) \u2192 sy (t) = s0y + v0y. t -g.t2 
 
Referência: HIBBELER, R.C.; Dinâmica \u2013 Mecânica para Engenharia Cap. 12. 
 
 
 
Mec. Ger. II \u2013 Movimento Curvilíneo \u2013 A.R. Alvarenga / 2012 2/2 
 
 
Relembrando Equações do Cálculo I/II: 
 
Função f(x) Diferencial d f(x) /dx Integral \u222b f(x) dx 
Potencial d(xn)/dx = n. xn-1 \u222b (xn) dx = xn+1/(n+1) 
Linear d(a.x)/dx = a \u222b (a.x) dx = a.x2/2 
Constante d(a)/dx = 0 \u222b (a) dx = a.x 
Seno x d(sen a.x)/dx = a. cos(a.x) \u222b (sen a.x) dx = -cos(a.x) / a 
Cosseno x d(cos a.x)/dx = -a. sen(a.x) \u222b (cos a.x) dx = sen(a.x) / a 
Exponencial d(e a.x) /dx = a. e a.x \u222b (e a.x) dx = e a.x / a 
Logaritmo d(log ax) /dx = a/x \u222b (a/x) dx = log ax 
 
1) Integral indefinida: seja f\u2019(x) uma função continua, tal que d f(x)/dx = f\u2019(x) seja 
definida para todos os pontos do domínio, então: \u222b f\u2019(x) dx = f(x) +k, k= constante. 
 
2) Integral definida: seja f\u2019(x) continua no intervalo [a, b], tal que d f(x)/dx = f\u2019(x) seja 
definida para todos os pontos do domínio [a, b], então: 
\ufffd f 
\ufffdx\ufffddx \ufffd f\ufffdb\ufffd \ufffd f\ufffda\ufffd
\ufffd
\ufffd
 
 
3) No caso da Mecânica Geral II, procura-se a integração que possa definir 
adequadamente a expressão da função para um tempo t genérico que pertence ao 
intervalo [a,b], assim se escreve: 
velocidade:	\ufffd dv
\ufffd
\ufffd\ufffd
\ufffd v \ufffd v \ufffd \ufffd a\ufffdt\ufffddt \ufffd
"
"\ufffd
v\ufffdt\ufffd \ufffd v\ufffdt \ufffd 
v \ufffd v \ufffd \ufffd a\ufffdt\ufffddt \ufffd
"
"\ufffd
v\ufffdt\ufffd \ufffd v\ufffdt \ufffd 
 
Exemplo: a(t) = 12 t2, vA = 15 m/s, tA = 5 s \u2192 \u222b 12 t2 dt = 12 t3/3 = 4 t3 
 
 v(t) = 15 m/s + 4 t3 \ufffd4(5s)3 \u2192 v = 4 t3 \u2013 500 +15 \u2192 v(t) = (4 t3 \u2013 485) m/s 
 
 
posição:	\ufffd ds
(
(\ufffd
\ufffd s \ufffd s \ufffd \ufffdv\ufffdt\ufffddt \ufffd
"
"\ufffd
s\ufffdt\ufffd \ufffd s\ufffdt \ufffd 
s \ufffd s \ufffd \ufffdv\ufffdt\ufffddt \ufffd
"
"\ufffd
s\ufffdt\ufffd \ufffd s\ufffdt \ufffd 
 
Exemplo: v(t) = (4 t3 \u2013 485), sA = 12 m, tA = 5 s \u2192 \u222b (4 t3 \u2013 485) dt = t4 \u2013 485t 
 
 s(t) = 12 + t4 \u2013 485t \u2013 [(5)4 \u2013 485(5)] \u2192 s(t) = t4 \u2013 485t +1812 m. 
 
 Prof. ARTHUR/2012 
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