Achar todos os inteiros x tais que e 3x 6

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01) Achar todos os inteiros x tais que e 3x 6 (mod 15). 0 15 x 
02) Achar todos os inteiros x tais que e x 7 (mod 17). 1 100 x 
03) Sabendo que k 1 (mod 4), mostrar que 6k + 5 3 (mod 4). 
04) Achar os restos das divisões de 250 e 4165 por 7. 
05) Se a é um inteiro ímpar, então a2 1 (mod 8). 
06) Se a é um inteiro qualquer, então a3 0, 1 ou 8 (mod 9). 
07) Se a é um inteiro qualquer, então a3 a (mod 6). 
08) Mostrar, mediante um exemplo, que a2 b2 (mod.m) não implica a b (mod.m). 
09) Demonstrar que, se a b (mod. m) então mdc(a, m) = mdc(b, m). 
10) Mostrar, mediante um exemplo, que ak bk (mod. m) e k j não implica aj bj. 
11) Achar os restos das seguintes divisões: 
a) 245 por 7. R: r = 1. 
b) 11100 por 100. R: r = 1. 
c) 310.425+68 por 5. R: r = 1. 
d) 52.4841+285 por 3. R: r = 0. 
e) 710 por 51. R: r = 19. 
f) 2100 por 11. R: r = 1. 
g) 734 por 51. R: r = 49. 
h) 14256 por 17. R: r = 1. 
i) 521 por 127. R: r = 126. 
j) 1212 por 5. R: r = 3. 
l) (116 + 1717)21 por 8. R: r = 5. 
m) 1316-225.515 por 3. R: r = 0. 
n) 23728 por 13. R: r = 13. 
o) 563 por 29. R: r = 28. 
12) Mostrar que : 23 47 | (2 1) 
13) Para todo n N, Mostrar que: 
a) 1016n –1 é divisível por 70. R: r = 1. 
b) b) 198n –1 é divisível por 17. R: r = 1. 
 
 
14) Achar os restos da divisão por 7 do número: 
a) . R: r = 4. 2 3 100 10 10 10 10 10 + 10 + 10 +........+ 10 
b) 16 + 26+.......+1006. R: r = 2. 
c) 17 + 27+.......+1007. R: r = 3. 
d) 22225555 + 55552222. R: r = 0. 
 
15) Achar os restos da divisão por 4 do número: 
a) 1 + 2 + 22+........+219. R: r = 3. 
b) 15 + 25+.......+1005. R: r = 0. 
 
16) Determinar quais dos seguintes conjuntos são sistemas completos de 
restos módulo 6. 
a) {1, 2, 3, 4, 5}. 
R: Não é, porque possui somente 5 elementos. 
b) {0, 5, 10, 15, 20, 25}. 
R: Portanto é um sistema completo de restos módulo 6. 
c) {–4, –3, –2, –1, 0, 1}. 
R: Portanto é um sistema completo de restos módulo 6. 
d) {17, –4, 6, 7, 10, 3}. 
R: Portanto é um sistema completo de restos módulo 6. 
 
17) Achar um sistema completo de restos {p1, p2, ... p7} módulo 7, tal que todo 
pi é primo. 
R: r = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 28}. 
 
18) Achar um sistema completo de restos módulo 7 formado só de múltiplos 
não negativos de 4. 
R: r = { 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60}. 
 
19) Encontrar um sistema completo de restos módulo 11 formado somente por 
múltiplo de 6. 
R: . r: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 
20) Encontrar um sistema completo de restos módulo 7 onde todos os 
elementos são primos: 
R: . r: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 
 
21) Dado um primo p é sempre possível encontrar um sistema completo de 
restos módulo p formado só por primos? Justificar. Sua resposta. R: 
 
01) Resolver as seguintes congruências lineares: 
a) 34x 60(mod 98) R: x 45 e 94 (mod 98). 
b) 8x 16(mod 12) R: x 2, 5, 8, e 11 (mod. 12). 
c) 14x 36(mod 48) R: x 6 ou 30 (mod. 48). 
d) R: x 4 (mod. 24). 5x 3(mod 24) 
e) R: x 4 (mod. 7). 3x 5(mod 7) 
f) R: x 16 (mod. 19). 23x 7(mod19) 
g) R: x 13 (mod. 18). 7x 5(mod18) 
h) R: x 15, 39, 63, 87 e 111 (mod. 120). 25x 15(mod120) 
i) R: x 30 e 61 (mod. 48). 14x 36(mod 48) 
j) R: x 3 (mod. 12). 5x 15(mod12) 
k) R: x 3, 11, e 19 (mod. 24). 3x 9(mod 24) 
 
02) Resolver por congruência as seguintes equações diofantinas lineares. 
( a ) 4x + 51y = 9 
4x¹5≡9 (mod 51) 51y 
Mdc=(4,51)=1 
X= 15+(51/1)t 
X=15+51t 
R: x = 15 + 51t e y = -1 – 4t. 
( b ) 7x + 6y = 9 R: x = 3 + 6t e y = - 2 – 7t 
( c ) 11x + 27y = 4 R: x = 20 + 27t e y = -8 – 11t 
( d ) 79x – 131y = 6 R: x = 42 - 131t e y = 24 - 75t 
( e ) 39x + 26y = 104 R: x = 2t e y = 37 + 61t 
( f ) 61x – 11y = 81 R: x = 8 - 11t e y = 37 - 61t 
( g ) 65x + 77y = 200 R: x = 9 + 77t e y = -5 – 65t 
( h ) 51x + 85y = 1037 R: x = 2 + 5t e y = 11 – 3t 
 
03) Determinar o número de soluções que pode ter uma congruência linear 
cujo módulo é 20. 
R: 1, 2, 4, 5, 10 ou 20 soluções pois estes são os divisores de 20. 
 
04) Demonstrar que se d = mdc (a, m) e se d | b, então as congruências 
lineares ax b (mod. m) e (a|d)x (b|d) (mod. m|d) têm precisamente as mesmas 
soluções. 
 
05) Encontrar todas as soluções de cada uma das seguintes congruências 
lineares: 
a) 5x 3(mod 7) 
b) 13x 14(mod 29) 
c) 15x 9(mod 25) 
d) 37x 16(mod 19) 
e) 5x 20(mod 15) 
f) R: 3x 1(mod 25) 
g) R: 9x 1(mod 65) 
h) R: 6x 10 (mod 22) 
i) R: 14x 1(mod 77) 
j) R: 15x 9 (mod 12) 
l) R: 6x 10 (mod 22) 
m) R: 9x 12 (mod 21)